Física Clássica Aula 2

Prévia do material em texto

Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
F´ısica Cla´ssica
Rafael, Mendeli
Fabio, Suzana
Bras´ılia, 2o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Operac¸o˜es com algarismos significativos
I O nu´mero de algarismos significativos no resultado de uma
multiplicac¸a˜o ou divisa˜o, de va´rios nu´meros na˜o pode ser
maior que o menor nu´mero de algarismos significativos
qualquer dos fatores, ou divisores
I O resultado da adic¸a˜o ou subtrac¸a˜o de dois nu´meros na˜o
tem algarismos significativos ale´m da u´ltima casa decimal na
qual os dois nu´meros originais tem algarismos significativos
I Exemplos:
I 1,23 x 4,321 = 5,31
I 1,040 + 0,2134 = 1,253
Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Exemplos
I Calcular as seguintes expresso˜es, dando os resultados em
notac¸a˜o cient´ıfica e arredondando-os com o nu´mero correto de
algarismos siginificativos:
I a) (1, 14)(9, 99x104)
I b) (2, 78x10−8)− (5, 31x10−9)
I c) 12pi/(4, 56x10−3)
I d) 27, 6 + (5, 99x102)
Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Grandezas vetoriais e escalares
I Grandezas escalares sa˜o quantidades completamente descritas
por um nu´mero. Exemplos: massa, tempo, temperatura, etc...
I Grandezas vetoriais na˜o podem ser descritas apenas por um
nu´mero (magnitude), e´ necessa´rio especificar a sua direc¸a˜o e
sentido. Exemplo: velocidade, forc¸a, acelerac¸a˜o, campo
ele´trico, etc...
I Grandezas vetoriais sa˜o enta˜o descritas atrave´s do seu
mo´dulo, da direc¸a˜o e do sentido.
Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Grandezas vetoriais e escalares
I Grandezas escalares sa˜o quantidades completamente descritas
por um nu´mero. Exemplos: massa, tempo, temperatura, etc...
I Grandezas vetoriais na˜o podem ser descritas apenas por um
nu´mero (magnitude), e´ necessa´rio especificar a sua direc¸a˜o e
sentido. Exemplo: velocidade, forc¸a, acelerac¸a˜o, campo
ele´trico, etc...
I Grandezas vetoriais sa˜o enta˜o descritas atrave´s do seu
mo´dulo, da direc¸a˜o e do sentido.
Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Grandezas vetoriais e escalares
I Grandezas escalares sa˜o quantidades completamente descritas
por um nu´mero. Exemplos: massa, tempo, temperatura, etc...
I Grandezas vetoriais na˜o podem ser descritas apenas por um
nu´mero (magnitude), e´ necessa´rio especificar a sua direc¸a˜o e
sentido. Exemplo: velocidade, forc¸a, acelerac¸a˜o, campo
ele´trico, etc...
I Grandezas vetoriais sa˜o enta˜o descritas atrave´s do seu
mo´dulo, da direc¸a˜o e do sentido.
Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Exemplo
I Exemplo: O movimento de um objeto
sobre uma mesa, conforme a figura.
I O deslocamento de um objeto do
ponto O ao ponto P.
I O deslocamento da mesa, que causa o
deslocamento do objeto (que agora
esta´ parado sobre a mesa) de P para S.
I Se o deslocamento fosse simultaˆneo, o
objeto passaria diretamente de O para
S. Assim, o vetor que liga os pontos O
e S e´ o resultado da soma dos vetores
de O a P e de P a S.
O
P
S
−→
OS =
−→
OP +
−→
PS
Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Soma vetorial - regra do paralelogramo
Observe a figura abaixo. Nesta figura, colocamos os vetores da
figura anterior na mesma origem, e constru´ımos um paralelogramo
para obter o mo´dulo, direc¸a˜o e sentido do vetor
−→
OS . O mo´dulo do
vetor
−→
OS e´ dado por
∣∣∣−→OS∣∣∣ = √∣∣∣−→OP∣∣∣2 + ∣∣∣−→PS∣∣∣2 + 2 ∣∣∣−→OP∣∣∣ ∣∣∣−→PS∣∣∣ cosφ
OP
OS
PS
Ø
Propriedades:
I −→a +−→b = −→b +−→a
I −→d +
(−→e +−→f ) = (−→d +−→e )+−→f
I Subtrac¸a˜o: −→a −−→b = −→a +
(
−−→b
)
Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Decomposic¸a˜o de vetores
Ao analisar quantidades vetoriais, por vezes e´ importante saber
como e´ o comportamento destas quantidades em diferentes
direc¸o˜es. Para isto, podemos decompor o vetor. A ide´ia e´ usar a
regra do paralelogramo de forma invertida, conforme a figura
abaixo.
a
Ø
a
x
a
y
x
y
I ax = a cosφ
I ay = a sinφ
I
∣∣−→a ∣∣ = √a2x + a2y
I −→r = −→a +−→b
I rx = ax + bx
I ry = ay + by
I tg (φ) = ryrx
Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Decomposic¸a˜o de vetores
Ao analisar quantidades vetoriais, por vezes e´ importante saber
como e´ o comportamento destas quantidades em diferentes
direc¸o˜es. Para isto, podemos decompor o vetor. A ide´ia e´ usar a
regra do paralelogramo de forma invertida, conforme a figura
abaixo.
a
Ø
a
x
a
y
x
y
I ax = a cosφ
I ay = a sinφ
I
∣∣−→a ∣∣ = √a2x + a2y
I −→r = −→a +−→b
I rx = ax + bx
I ry = ay + by
I tg (φ) = ryrx
Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Vetores unita´rios
Uma forma mais simples de es-
crever um vetor e´ utilizando a
decomposic¸a˜o de vetores e a
noc¸a˜o de vetores unita´rios. Um
vetor unita´rio e´ um vetor que
tem mo´dulo 1 e o mesmo sen-
tido e direc¸a˜o dos eixos. O
vetor iˆ tem o sentido do eixo
x , jˆ do eixo y e kˆ do eixo z .
Assim, o vetor −→a do exemplo
anterior pode ser escrito como−→a = ax iˆ + ay jˆ
Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Multiplicac¸a˜o de vetores
Existem duas formas principais de multiplicac¸a˜o de vetores: o
produto escalar e o produto vetorial. No produto escalar, o
resultado e´ um escalar, ja´ no produto vetorial o resultado e´ um
vetor tambe´m.
I O produto escalar e´ definido da seguinte forma:
−→a · −→b = |−→a ||−→b | cosφ, onde φ e´ o aˆngulo entre os vetores −→a
e
−→
b .
I Note que podemos definir a norma de um vetor atrave´s do
produto escalar −→a · −→a = |−→a |2 =⇒ |−→a | =
√−→a · −→a .
I Como os vetores unita´rios tem tamanho 1, o seu produto
escalar com um vetor e´ igual a componente deste vetor na
direc¸a˜o do vetor unita´rio −→a · iˆ = |−→a | cosφ = ax
I Observe que podemos usar a propriedade acima para escrever
o produto escalar em termos das componentes dos vetores
−→a · −→b = axbx + ayby
Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Produto vetorial
O produto vetorial de dois vetores −→a e −→b tem como resultado um
vetor −→c cuja direc¸a˜o e´ perpendicular ao plano definido pelos dois
vetores −→a e −→b , com o sentido dado pela regra da ma˜o direitae o
mo´dulo dado por |−→a ×−→b | = |−→a ||−→b | sinφ.
I Propriedades:
I −→a ×−→b = −−→b ×−→a (o sentido de −→c e´ invertido por causa da
regra da ma˜o direita!).
I −→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣
iˆ jˆ kˆ
ax ay az
bx by bz
∣∣∣∣∣∣ =
(aybz − azby ) iˆ + (azbx − axbz) jˆ + (axby − aybx) kˆ
Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Exemplo
Os vetores a e b esta˜o orientados conforme indica a figura. A
resultante da soma destes vetores vale R. Temos a = b = 5
unidades. Determinar: (a) as componentes de R segundo Ox e Oy,
(b) o mo´dulo de R, (c) o aˆngulo que R forma com o eixo Ox.
Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica
Algarismos Significativos
Vetores
Operac¸o˜es com vetores
Refereˆncias
Refereˆncias e segunda lista de exerc´ıcios
I Livro texto, pg. 40 a 49.
I Exerc´ıcios Halliday e Resnick, todos os do cap´ıtulo 2.
Rafael, MendeliFabio, Suzana F´ısica Cla´ssica
	Algarismos Significativos
	Vetores
	Operações com vetores
	Referências