Estabilidade em Freqüência

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 Prof. Celso – Módulo 13 
 Estabilidade em Freqüência 
ESTABILIDADE EM FREQÜÊNCIA 
 
 A estabilidade de um sistema pode ser verificada através da margem de ganho e 
da margem de fase. 
 
Margem de ganho: é o fator pelo qual o ganho do sistema pode ser incrementado sem 
que o sistema se torne instável. É a quantidade no qual o ganho do sistema pode ser 
aumentado para alcançar o valor limite de 1, quando o ângulo de fase é 180o. 
 
 1 = Margem de ganho x ⎢G(jω)⎢φ=180o
em decibéis, temos: 
 
 Margem de ganho = 20 log 1 – 20 log( ⎢G(jω)⎢φ=180o) 
 
 Margem de ganho = – 20 log( ⎢G(jω)⎢φ=180o) 
 
Margem de fase: é o ângulo no qual o diagrama de Nyquist deve ser deslocado para que 
o sistema atinja o limiar de instabilidade, quando o módulo do sistema for igual a 1. 
 
 Margem de fase (γ) = 180o + φ 
 
 Para ser estável a margem de ganho e a margem de fase do sistema devem ser 
positivas. A figura abaixo (fig.13.1) mostra as margens de ganho e de fase no diagrama 
de Bode. 
 
 
fig.13. 1 - Margem de ganho e de fase no diagrama de Bode 
 
 
 
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A figura 13.2 mostra as margens de ganho e de fase no diagrama de Nyquist e 
para a carta de Nichols. 
 
 
fig.13. 2 - Margem de ganho e de fase para o diagrama de Nyquist e para carta de Nichols 
 
 
Exemplo 1: Um sistema tem a seguinte função de transferência: 
 
)13)(12(
)( ++= sss
ksG 
 
Pede-se: (a) o valor de k para que o sistema seja criticamente estável e (b) Para uma 
margem de ganho de 2 dB, o sistema é estável? 
 
Resposta: Calculado o valor de k para o sistema ser criticamente estável: 
 
 
2224
2
2224
2
22
)61(25
)61(
)61(25
5)(
)61(5)13)(12(
)(
ωωω
ωω
ωωω
ωω
ωωωωωωω
−+
−−−+
−=
−+−=++=
kjkjG
j
k
jjj
kjG
 
 
 
 
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O módulo e a fase são dados por: 
 
 
ω
ω
ω
ωωφ
ωωωω
5
)61(
5
)61(
)61(25
)(
2
2
2
2224
−=−
−−=
−+=
arctgarctg
kjG
 
 
(a) para φ = 180o, o módulo deve ser 1 para um sistema criticamente estável: 
 
6
1061180
5
)61( 22 =⇒=−⇒=−= ωωω
ωφ oarctg 
 
ra este ângulo, o módulo deve valer 1 para ser criticamente estável: 
pa
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833,0
1
))61(61()61()61(25
)61(
2224
=
=
−+
=
k
kjG
 
 
(b) Para o sistema possuir a margem de ganho de 2 dB, temos: 
 
 Margem de ganho =– 20 log( ⎢G(jω)⎢φ=180o) 
 
6617,0833,07943,0
10)833,0log(1,0
)833,0log(202
=⇒=
=−
−=
kk
porndomultiplicak
k
x 
 
O sistema será estável com esse valor de k, pois o mesmo é inferior ao valor do 
k crítico (0,833) 
 
 
 
 (a) (b) 
 A figura (a) mostra o diagrama de Bode para k=0,833. Notar que quando φ=180o 
o módulo = 1. A figura (b) mostra o diagrama de Bode para k=0,6617, notar que o 
sistema tem margem de ganho e margem de fase positivas. 
 
 
 
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Exemplo 2: Qual a margem de fase do sistema que possui a seguinte função de 
transferência: 
 
)2(
4)( += sssG 
 
Solução: no domínio da freqüência temos: 
 
 2424
2
2 4
8
4
4
2
4
)2(
4)( ωω
ω
ωω
ω
ωωωωω +−+
−=+−=+= jjjjjG 
 
O módulo e a fase são dados por: 
 
 
ω
ωφ
ωωω
4
8
4
4)(
2
24
arctarctg
jG
=−−=
+
=
 
 
 A margem de fase é med
 
 
2
64164
0164
4
4)(
2
24
24
−=+±−=
=−+
=
+
=
ω
ωω
ωωωjG
 
Considerando apenas os 
valores positivos de ω: 
 
57,1472,22 =⇒= ωω 
 
O ângulo de fase é 
dado por: 
 
o
arctgarctg
86,51
)27.1(2
=
==
φ
ωφ 
 
 
 
Como tanto a parte real c
ângulo relativo a -1800 e é a pró
 
244
ω
2g
ida quando o módulo tem o valor de 1, assim: 
2
9,84
1
±
 
omo a parte imaginária são negativas, esse ângulo é o 
pria margem de fase. 
 
 
 
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Exercício 1: Dado o diagrama de Bode abaixo, pergunta-se: qual margem de ganho, 
qual a margem de fase e se o sistema é estável ou instável. 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
 
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Exercício 2: Qual o valor de k para que o sistema abaixo ser: 
 
)1)(12(
)( ++= sss
ksG 
a) criticamente estável Resp: k=1,5 
b) fornecer uma margem de ganho de 3 dB Resp: k=1,06 
 
 
 
 
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Exercício 3: Qual é a margem de fase para o sistemas abaixo: 
a) 
)3(
9)( += sssG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resp.: 51,8o
 
b) 
)1(
2)( += sssG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resp.: 51o
 
 
 
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Relação entre resposta transitória e resposta em freqüência para um sistema de 
segunda ordem 
 
 A figura 13.3 mostra o 
diagrama em bloco de um 
sistema de segunda ordem. 
 
A função de transferência desse 
sistema em malha fechada é 
dada por: 
 
22
2
2)(
)(
nn
n
sssR
sC
ωζω
ω
++=
onde: ζ Æ coeficiente de amortecimento 
 
fig.13. 3 - Diagrama em bloco de um sistema de 2a. ordem 
 
ωÆ freqüência natural não amortecida 
 
O módulo e a fase deste sistema é dado por: 
 
[ ] [ ]
2
222
)/(1
)/(2
/2)/(1
1)(
n
n
nn
tg
jG
ωω
ωωζφ
ωζωωω
ω
−−=
+−
=
 (13.1) 
 
 O pico da freqüência é denominado de freqüência de ressonância (ωr) e acontece 
em: 
 221 ζωω −= nr , para 0 < ζ < 0,707 (13.2) 
 
 A figura 13.4 mostra o diagrama de módulo de Bode e a resposta de um sistema 
no tempo para uma entrada degrau: 
 
 
 
 
fig.13. 4 - Respota temporal e diagrama de Bode. 
 
 
 
 
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 A resposta para um sistema de segunda ordem subamortecido é dado por: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
+−= − )(.
1
)cos(1)(
2
tsentetc dd
tn ωζ
ζωζω 
Onde: 21 ζωω −= nd (13.3) 
 
 Nota-se através das equações (13.2) e (13.3) que para valores pequenos de ζ, a 
freqüênciade ressonância e a freqüência natural amortecida são quase iguais. Portanto 
ωr indica a velocidade transitória do sistema. 
 Substituindo a freqüência de ressonância (13.2) na equação do módulo (13.1), o 
módulo de ressonância será dado por: 
 
212
1
ζζ −=Mr 
 
 O valor do sobre sinal (Mp) da resposta do degrau unitário é dado por (vide 
apostila 5-pag.82): 
 
πζζπωσ )1/()/( 2−−− == eeM dp 
 
 Considerando o sistema em malha aberta: 
 
 
)2(
)(
2
n
n
ss
sG ζω
ω
+= 
 
 A freqüência crítica para o sistema ocorre quando o módulo de G(s) for unitário, 
assim: 
 
 22 241 ζζωω −+= n Nessa freqüência o ângulo de fase será: 
 
 ζ
ζζφ
2
241
90
22 −+−−= arctgo , com esse ângulo a margem de fase será: 
 
ζ
ζζγ
ζ
ζζγ
ζ
ζζγ
2
241
2
241
90
2
241
90180
22
22
22
−+=
−+−=
−+−−=
arctg
arctg
arctg
o
oo
 
 
 
 
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 Geralmente Mr indica a estabilidade relativa. Para um desempenho satisfatório o 
valor de Mr deve estar no intervalo de 1 < Mr < 1,4 (0 db< Mr <3 dB). Valor maior que 
1.5, a resposta transitória apresenta diversos sobre-sinais. 
 A banda passante (ou faixa de passagem) é a faixa de freqüência no qual o 
módulo está acima de – 3dB (vide figura 13.4, onde ωc é denominada freqüência de 
co
 
SE
 
 assante 
no
 
 
 
 cia 
 
 
 
 
 
 
 
 
G
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
rte). 
ÇÃO MATLAB 
Para obter o pico de ressonância, a freqüência de ressonância e a banda p
 MatLab 
[mag,phase,w] = bode (num, den,w) ;%armazena os valores de Bode 
[Mp, k] = max(mag); % obtém o valor máximo 
Pico_ressonancia = 20*log10(Mp) % calcula o pico de ressonância 
Freq_ressonancia = w(k) % obtém o valor da freq.de ressonân
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Para banda passante é necessário inserir o programa: 
n= 1; 
wile 20*log10(mag(n)>=-3; n = n + 1; 
end 
Banda_passante = w(n) 
Exemplo: Esboçar o o diagrama de Nyquist para: 
 Fazendo num = 16 Æ num = [0 0 16] 
164
16)( 2 ++= sss e den = (s2 + 4s +16) Æ den = [1 4 16] 
 
num = [0 0 16 ]; % numerador de G(s) 
den =[1 4 16]; 
[mag,phase,w] = bode (num, den,w) ;%armazena os valores de Bode 
[Mp, k] = max(mag); % obtém o valor máximo 
Pico_ressonancia = 20*log10(Mp) % calcula o pico de ressonância 
Freq_ressonancia = w(k) % obtém o valor da freq.de ressonância 
 
n= 1; 
wile 20*log10(mag(n)>=-3; n = n + 1; 
end 
Banda_passante = w(n)