Matemática - Potenciação e outros

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Fundamentos de 
Matematica Elementar 
Gelson Iezzi 
Osvaldo Dolce 
Carlos Murakami 
elogaritmo 
GELSON IEZZI 
OSVALDO DOLCE 
CARLOS MURAKAMI 
FUNDAMENTOS DE 
~ 
MATEMATICA 
ELEMENTAR2 
LOGARITMOS 
~ AAAl ~EDITORA 
Apresenta~ao 
Fundamentos de Matemcitica Elementa l" e um a cole<;ao elaborada com 0 objeti-
vo de oferecer ao estudante uma visao global da Matematica, no ensino medio. De-
senvolvendo os programas em geral adotados nas escolas, a cole9ao dirige-se aos 
vestibulandos, aos universitarios que necessitam rever a Matematica elementar e tam-
. bern , como e 6bvio, aqueles alunos de ensino medio cujo interesse focaliza-se em ad-
quirir uma forma9ao mais consistente na area de Matematica . 
No desenvolvimento dos capitulos dos Iivros de FuntialllellTos procUJ'amos seguir 
uma ordem l6gica na apresenta<;ao de conceitos e propriedades . Salvo algumas exce-
<;oes bern conhecidas da Matematica e lementar, as proposi<;oes e os teoremas estao 
sempre acompanhados das respectivas demonstra<;oes. 
Na estrutura<;ao das series de exercicios, buscamos sempre uma ordena<;ao crescen-
te de dificu ldade. Partimos de problemas simples e tentamos cbegar a questoes que en-
vol vern outros assuntos ja vistos, levando 0 estudante a ll ma revisao. A seqUencia do tex-
to sugere uma dosagem para teoria e exercicios . Os exercfcios resolvidos, apresentados 
em meio aos propostos, pretend em sempre dar explica<;ao sobre alguma novidade que 
aparece. No final de cada volume, 0 aluno pode encontrar as respostas para os problemas 
propostos e assim ter seu refor<;o positivo ou partir a procura do erro cometido. 
A ultima parte de cada volume e constitufda por testes de vestiblliares. 
selecionados dos melhores vestibulares do pais e com respostas. Esses testes podem ser 
usados para uma revisao da materia estlldada. 
Ap rove ita mos a oporrun idade para ag radece r ao professor dr. Hygino H. 
Domingues, autor dos textos de hist6ria da Matematica que contribuem muito para 0 
enriquecimento da obra. 
Neste volume, estudaremos fun<;oes exponenciais e logaritmicas bern como suas 
aplica<;oes na resolu<;ao de equa<;oes e inequa<;oes. Entretanto, sugerimos que seja feita 
uma revisao preliminar sobre os conceitos e as propriedades de potencias e rafzes. 
Finalmente, como ha sempre uma certa distancia entre 0 anseio dos autores e 0 
valor de sua obra, gostarfamos de receber dos colegas professores llma aprecia<;ao so-
bre este trabalho, notadamente os comentarios crfticos, os quais agradecemos. 
Os autores 
SUDlario 
CAPITULO I - POTENCIAS E RAizES 
I. Potencia de expoente natural .... ......... .............. . ........ . 1 
II. Potencia de expoente inteiro negativo ............... . .... . .... . 6 
III. Raiz enesima aritmetica ............ ..................... ........... 9 
IV. Potencia de expoente racional .............................. ..... . 17 
V. Potencia de expoente irracional ............... . .... .. . ... . ....... 21 
VI. Potencia de expoente real .................. ... .. ... ... ... .. ...... .. 23 
Leitura: Stifel, Burgi e a criac;ao dos logaritmos ... .......... .. ..... 24 
CAPITULO II - FUN<;AO EXPONENCIAL ... . ............... ... 27 
I. Definic;ao .............................. . .......... . .................... . 27-
II. Propriedades ........ ... ...... ... .. . ......... . .. . .... .. . .... ... . ..... ... 27 
III. Imagem ........ ... ........... .. .................................. ...... . 33 
IV. Gnifico .......... .. .... .... ..... ... ...... ............... .. ..... ..... . .... 33 
V. Equac;oes exponenciais .... ... . ........... ..... .............. ...... .. 39 
VI. Inequac;oes exponenciais .... .. ..... . ... . ... ... .. ..... ... ... .. ....... 48 
Leitura: Os logaritmos segundo Napier.. .. ........ ..... .. .... ....... .. 55 
CAPITULO III - LOGARITMOS ..................... .. ...... .. ...... 57 
I. Conceito de logaritmo ..................... . ........................ 57 
II. Antilogaritmo . ...... . ........ . .............. ..... ....... .. .. .......... 58 
III. Consequencias da definic;ao ... .... .. ... ...... .. . .................. 60 
IV. Sistemas de logaritmos .... .. ........ .. . .................. .. ........ 62 
V. Propriedades dos logaritmos .............. ....... .............. .. . 63 
VI. Mudanc;a de base .. . .. ...... .. ......... .. . ...... ... . :................ . 72 
Leitura: Lagrange: a grande piramide da Matematica .. .. .... . .. .. 77 
CAPITULO IV - FUN<;AO LOGARiTMICA .... .. .. .. . ..... . . ... 80 
1. Definic;ao ..... ... .. . .... ... ... ... . .. ........ ................. ..... . .... . 80 
II. Propriedades .......... . .. .... .. ....... .. .. . ... .... .... ......... ... .. ... 80 
III. Imagem .. ... ~ . . ...... . ... . ........... ... . . . . ... ......... .... .... .. .. . . .. 83 
IV. Gnifico .. ..... .. ..... ... ..... .. ... ....... ..... ...... . ........ .... ... ..... 83 
CAPITULO V - EQUAC;OES EXPONENCIAIS E 
LOGARITMICAS .... .... .. .. ..... ... .. .......... ......... ...... ... ..... ..... ....... . 88 
I. Equa,<6es exponenciais .......... ...... .. ........... ............. ......... ....... ..... 88 
II. Equa,<6es logarftrnicas ............................ .................................... 91 
Leitura: Gauss e 0 universe em Matematica ........ ..... ......... ............ .... 109 
CAPITULO VI - INEQUAC;OES EXPONENCIAIS E 
LOGARITMICAS .. ........................ ........... ............................... 11 2 
1. Inequao;6es exponenciais ................ .............. ............ .................. 112 
II. Inequao;6es logarftrnicas ... ... ..... .. .... .. .... .. .. ........ ... ...................... . 115 
Leitura: A computa,<1io e 0 sonho de Babbage ...... ................ ......... .... 126 
CAPiTULO VII - LOGARITMOS DECIMAlS ........ ...... ....... .... 130 
1. Introduo;1io ..... ............................... ........... ...... ... ................... ... .. .. .. 130 
II . Caracterfstica e mantissa .. ....... ..... .. .. ... ... ....... .. .... .... .... .. .......... ... 131 
Ill. Regras da caracterfstica .. .... .... ... ... ... ..... ... .......... ...... ... .. .. ........ .... 131 
IV. Mantissa ............ ................... .. .... ......... ........ ..... .. ....... ... ........ ........ 133 
V. Exemplos de aplicao;6es da tabua de logaritmos ............. ........ 136 
RESPOSTAS DOS EXERCicIOS .......... ....... ........... ...... ..... ............. 142 
TESTES DE VESTIBULARES ....... ............................ ................ .... .. 160 
RESPOSTAS DOS TESTES ..... .... ................ ............ ........ ............. .... . 195 
CAPITULO I 
Potencias e Raizes 
I. Potencia de expoente natural 
1. DeJini<;ao 
Seja a urn numero real e n urn numero natural. Potencia de base a e 
expoente n e 0 numero an tal que: 
[
ao = 1 
an = an- I . a, V n, n ~ 
Dessa defini9iio decorre que: 
a l = aD . a = 1 . a = a 
a2 = a l • a = a . a 
a3 = a2 • a = (a . a) . a = a . a . a 
e, de modo geral , para p natural e p ~ 2, tern os que aP e urn produto de p 
fatores iguais a a. 
2. Exemplos 
I?) 3° = 1 
2?) (-2)0 = 
3?) 51 = 5 
4?) (+)' 
7 
POTENCIAS E RAIZES 
1. 
2. 
2 
5?) (-3)1 = -3 
6?) 32 = 3 . 3 = 9 
7?) (-2)3 = (-2) (-2) (-2) = -8 
8?) ( ~ r = ~ . ~ . ~ . ~ = !~ 
9?) (-0,1)5 = (-0,1) (--0,1) (-0,1) (-0,1) (-0,1) = -0,00001 
10?) 03 = 0 . 0 . 0 = 0 
II?) ()O = 1 
12?) 01 = ° 
, 
EXERCICIOS 
Calcule: 
a) (-3)2 b) -32 c) -23 d) - (-2)3 
SolUl;ao 
a) (-3)2 = (-3) . (-3) = 9 
b) -32 = -(3) . (3) = -9 
c) -23 = -(2)(2)(2) = -8 
d) - (-2)3 = -(-2)(-2)(-2) = 8 
Calcule: 
a) (-3)3 e) ( ! Y i) -22 m) 07 
b) (_2)1 f) (-+r j)- (- ~ r n) (-4)° 
c) 34 g) (+Y k) (-1)10 0) - 5° 
d) 17 h) ( ! r I) (-1)13 p) - ( -1)1 5 
POTENCIAS E RAizES
3. Propriedades 
Se a E IR, b E IR, m E IN e n E IN, entao valem as seguintes pro-
priedades: 
PI" am . an = am+n 
P z- am = am-n, a "* 0 e m ~ n 
an 
P3• (a . b)n = an . bn 
4' - = - b"* 0 P ( a)n an b bn ' 
Ps. (am)n = am ' n 
Demonstrariio de P J (por indu<;ao sobre n). 
Consideremos m fixo. 
I?) A propriedade e verdadeira para n = 0, pois: 
2?) Suponhamos que a propriedade seja verdadeira para n = p, isto e, 
am . aP = a m+p , e mostremos que e verdadeira para n = p + 1, isto e, 
am . ap+J = am+p+J. De fato: 
am . aP+1 = am . (ap . a) = (am. aP) . a = a rn +p . a = a rn +p+1 
Demonstrariio de P 3 (por indu~ao sobre n). 
I?) A propriedade e verdadeira para n = 0, pois: 
(a . b)O = 1 = 1 . 1 = aO . bO 
2?) Suponhamos que a propriedade seja verdadeira para n = p, isto e, 
(a . b)p = aP • bp, e most rem os que e verdadeira para n = p + 1, isto e, 
(a· b)p+J = ap+ J . bp+J. De fato: 
(a. b)P+l (a . b)p . (a . b) = (ap . bp) . (a . b) = (ap . a) . (bp . b) = 
= aP +1 . bp+1 
Demonstrariio de P5 (por indu~ao sobre n) . 
Consideremos m fixo. 
3 
POTENCIAS E RAIzES 
I?) A propriedade e verdadeira para n = 0, pois: 
(am)O = 1 = aO = am' ° 
2?) Supondo que a propriedade seja verdadeira para n = p, isto e, 
(am)P = am' P, mostremos que e verdadeira para n = p + 1, isto e, (a l1l)P+ I 
al7l · (p + l) . De fato: 
(am)p + I = (am)p . (am) = am ' p . am = am ' p+ m = am(p+ I) 
As demonstra<;:6es das propriedades P2 e P4 ficam como exercicios. 
As propriedades PIa P 5 tern grande apJica<;:ao nos calculos com poten-
cias. A elas nos referiremos com 0 nome simpJificado de propriedades (P ) nos 
it~ns seguintes. 
Nas "ampJia<;:6es" que faremos logo a seguir no conceito de potencia, 
procuraremos manter sempre validas as propriedades (P), isto e, estas proprie-
dades serao estendidas sucessivamente para potencias de expoente inteiro, ra-
cional e real. 
4. Na defini<;:ao da potencia an, a base a pode ser urn numero real positivo, 
nulo ou negativo. 
Vejamos 0 que ocorre em cad a urn desses casos : 
I ? caso 
[
On 
a=O ~ 00 
2 ? caso 
o '.J n E IN , n ~ 1 
1 
a > 0 ~ an > 0 '.J n E IN 
isto e, toda potencia de base real positiva e expoente n E IN e urn numero real 
positivo . 
3 ? caso 
[ 
a2n > 0 \f n E IN 
a < 0 ~ a2n+ I < 0 '.J n E IN 
isto e, toda potencia de base negativa e expoente par e urn numero real positivo 
e toda potencia de base negativa e expoente impar e urn numero real negativo . 
4 
POTENCIAS E RAIZES 
EXERCicIOS 
3. Se Ii E IN , calcule 0 valor de A = (_J)2n - (_J)2n+3 + (_1)3n - (_l)n. 
4. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cad a uma das senten~as abaixo: 
a) 53 . 52 = 56 e) (53)2 = 56 
b) 36 : 32 = 33 f) (-2)6 = 26 
27 
c) 23 • 3 = 63 g) - = (-2)2 
25 
5. Simplifique (a 4 . b 3 )3 . (a2 . W. 
Solu~iio 
(a4 . b3)3 . (a2 . b)2 = (a4 ' 3 . b3 . 3) . (a2 ' 2 . b2) = a l2 . b9 • a4 • b2 = 
= a 12 + 4 • b9 +2 = a l6 . b ll . 
6. Simplifique as expressoes, supondo a . b *- o. 
a) (a2 . b3)2 • (a3 . b2)3 
(a4 • b2)3 b) --'---=-7-(a . b2)2 
c) [(a3 . b2)2]3 
d) ( a4 . b3 )5 
a2 • b 
7 . Se a e b sao numeros reais, en tao em que condi~oes (a + b)2 = a2 + b 2 ? 
8. Determine 0 menor numero inteiro positivo x para que 2940x = M3, em que 
Meum inteiro. 
9. Determine 0 ultimo algarismo (algarismo das unidades) do numero ]4(1414) . 
5 
POTENCIAS E RAlzES 
II . Potencia de expoente inteiro negativo 
5. Defini{:ao 
Dado urn numero real a, nao nulo, e urn numero n natural, define-se a 
,potencia a - n pela rela~ao 
isto e, a potencia de base real, nao nula, e expoente inteiro negativo e definida 
como 0 inverso da correspondente potencia de inteiro positivo. 
6. Exemplos 
1~) 2-1 = _1_ = ~ 
21 2 
2~) 2-3 = _1_ = _1 
23 8 
3~) (-2)-3 = _1_ = _1_ = - ~ 
(-2)3 -8 8 
4~) ( - ~ r = ( - 1-)' = : = ~ 
5~) ( - -H' = (_ +)' --=--- = -32 1 
32 
EXERCicIOS 
10 . Calcule 0 valor das expressoes: 
6 
a) 2- 1 - (_2)2 + (-2t l 
22 + 2-2 
(-+r·(+r 
c) [ ( _ + rr 
POTENCIAS E HAIZES 
11. Calcule: 
a) 3-1 f) (-3)-2 k) - -( 2 r S p) (0,7S)-2 
b) (-2)-1 g) -S-2 ( 2 f I) - -3 1 q) 2- 3 
c) -3-1 ( 1 r m) (0,1)-2 1 h) - r) (0,2)-2 3 
d) - (-3)-1 
. (2 r n) (0,2Sf3 1 I) - s)--
3 (-3)-3 
e) 2-2 . ( 3 f J) --
2 
0) (-0,Sf3 t) 1 (0,01) 2 
X - I + y - I 
12. Remova os expoentes negativos e simplifique a expresslio , em que (xy) I 
X, Y E IR*. 
7. Observa<;;6es 
l~) Com a defini9aO de pott!ncia de expoente inteiro negativo, a proprie-
dade (P4) 
(a *- 0) 
passa a ter significado para m < n. 
2~) Se a = 0 e n E IN*, O-n e urn simbolo sem significado. 
8. Com as defini90es de potencia de expoente natural e potencia de expoen-
te inteiro negativo, podemos estabelecer a seguinte defini9aO: 
Se a E IR e n E 7L., entao: 
[ ;n-I . a :~ ~ > ~ an = 1 -- se n < 0 e a*-O 
a-n 
7 
POTENCIAS E RAlzES 
Estas poteocias tern as propriedades (P) 
Pt. am . an = am+n 
Pl. ~ = am- n 
an 
Pl. (a . b)n = an . bn 
P4• ( ~ )" = ~: 
Ps• (amy = am· n 
em que a E IR* , b E IR*, m E 7L. e n E 7L. . 
8 
EXERCicIOS 
13. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cad a uma das senten<;as abaixo: 
a) (5 3t 2 = 5-6 f) ~ = 58 5-6 
b) 2-4 = -16 
c) (7r + 2)-2 = 7r-2 + 2 - 2 
d) 3-4 .35 = ~ 
3 
7-2 
e) -- = 7-3 
r 5 
Solu~iio 
(al . b- 2)-2 
(a-4 . b3) 3 
a3(-2) • b(-2) . (-2) 
a-4 · 3 . b3 · 3 
g) r l - 3-1 = 6-1 
h) 7r1 + 7r- 1 = 1 
i) (2-3)-2 = 26 
POTENCIAS E RAizES 
15. Se a . b *- 0, simplifique as expressoes: 
(a3 . b- 2)-2 . (a . b-2)3 
e) (a-I . b2r3 
f) (a- I + b- I ) . (a + b)-' 
g) (a-2 - b-2) • (a- I - b-')-' 
16. Se n E 7L. e a E IR *, simplifique as expressoes: 
a) a2n + 1 • a l - n . a3- n a2(n + I) . a3-n c) ---,-------
a l - n 
a2n +3 . an- I 
b)----
a2(n-l) 
an+4 - a3 . an 
d)-----
a4 . an 
III . Raiz enesima aritmetica 
9. Defini~ao 
Dados urn numero real a ~ 0 e urn numero natural n, demonstra-se que 
existe sempre urn numero real positivo ou nulo b tal que b n = a. 
Ao numero b chamaremos raiz enesima aritmetica de a e indicaremos pe-
10 simbolo ra em que a e chamado radicando e n e 0 indice. 
Exemplos 
I?) m = 2 porque 25 32 
2?) ~ 2 porque 23 8 
3?) .j9 3 porque )2 9 
4?) 7fO 0 porque 07 0 
5?) f1 porque 16 
1 o. Observa~oes 
P) Da definic;ao decorre d~)n a, para todo a ~ O. 
9 
POTENCIAS E RAizES 
2~) Observemos na defini!;ao dada que: 
.j36 = 6 e nao .j36 = ± 6 
)f = ~ e nao )f = ± ~ 
,mas 
- rs = - 2, - .J4 = - 2, ± .J9 = ± 3 
sao senten!;as verdadeiras em que 0 radical "nao e causador" do sinal que 0 
antecede. 
3~) Devemos estar atentos no calculo da raiz quadrada de urn quadrado 
perfeito: 
Exemp/os 
I?) ~ (-5)2 = I- 51 
2?) .fx2 = Ixl 
.fa2 = lal 
5 e nao ~(-5)2 = - 5 
e nao .fx2 = x 
EXERCicIOS 
17. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cad a uma das senten~as abaixo: 
a) m = 3 c) 11 = 1 e) Ji =....!... ~8 2 
b) 14 = ± 2 d) - ,J9 = -3 f) (cj = 0 
18. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das senten~as abaixo: 
a) R = x2 , V x E IR 
b) rxw = x5, V x E IR 
c) R = x3, V x E IR + 
d) ~ (x - 1)2 = X - 1, V x E IR e x ~ 1 
e) ~ (x - 3)Z = 3 - x, V x E IR e x ~ 3 
10 
POTENCIAS E RAfzES 
19. Determine a raiz quadrada aritmetica de (x - 1)2. 
Solu~io 
[ ~-1 ~: ~::! l-xsex<l 
20. Determine a raiz quadrada aritmetica de: 
a) (x + 2)2 b) (2x - W c) x2 - 6x + 9 d) 4x2 + 4x + 1 
11 . Propriedades 
Se a E IR +, b E IR + , m E 7L., n E IN* ep E IN* , temos: 
Rl. ~=" ~am . p 
R2• ~ = rfa . {t; 
R3• ff = t (b *- 0) 
R4• (rfa)m = ~ 
Rs· «a = Pia 
Demonstraroes 
Fayamos rc;; = x; entao: 
x"P = (~)np = [(~)"] P = [am]P ~ x = "~. 
Fayamos x = ra . {L;; entao: 
x" = (rfa . (t;)" = (rfa)" . ({t;)"
= ab => x = ~. 
R4• (rfa)mo = ~ 
11 
Considerando n fixo e m ~ 0, provaremos por indw;ao sobre m: 
I?) A propriedade e verdadeira para m = 0, pois: 
(rra)O = 1 = ~l = ~ 
2?) Supondo a propriedade verdadeira para m = p, isto e, (f;;)p = {;;P, 
provemos que e verdadeira para m = p + 1, isto e: 
(rra)p+! = ~ap+! 
De fato: 
(rra)p +! = (rra)P. rra = ~ . rra = ~ = ~ap+! 
Se m < 0, fa~amos -m = q > 0; entao: 
1 1 1 
(rra)Q = ~ = ~ 1 
~ 
Rs· «a = prra 
Fa~amos x = ifa; entao: 
xP = (ifa)P = ra ==> (Xp)n = (a)n ==> Xpn = a ==> x p a 
A verifica~ao da propriedade R3 fica como exercicio. 
12. Observafao 
Notemos que, se b E IR e n E IN *, temos: 
para b ~ 0, b· rra = ~ 
para b < 0, b· rra = - r-a- ·- I-b-I n 
isto e, 0 coeficiente do radical (a menos do sinal) pode ser colocado no radi-
cando com expoente igual ao indice do radical. 
12 
Exemp/os 
I?) 2 . 33 = ~ 3 . 23 = ~ 
2?) -5 2 = -~ - EO 
3?) -2 ~ = - ~2 . 24 = - m 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
, 
EXERCICIOS 
Simplifique os radicais: 
a) ~ b) J576 c) m d) 51 
Solu~ao 
a) ~ = ~ = 22 = 4 
b) J576 = J 26 . 32 = J26 . 132 = 23 . 3 = 24 
c) m = ~ = fi2 . fj = 2fj 
d) 51 = ~26 . 2 = ~ . ~ = 22 . ~ = 4~ 
Simplifique os radicais: 
a) f144 c) fW e)~ g) Jl2s i) rsu 
b) f324 d) f1% f)m h) m 
Simplifique as expressoes: 
a) J8 + m + m -J50 
b) sf1Qg + 2J243 - m + 2m 
c) 50 - 54 + ms - 154 
d) J2 000 + J200 + 50 + 2 
e) (128 - ~ + ?f54 - ~ 
f)ms-~+rsI-~ 
g) a W + b Vb + ~ a4b4 - 3ab 3 ab 
Simplifique: 
a) J 8lx3 b) J 4SX3y2 c) h 2x4y5 d) J8x2 
Reduza ao mesmo indice Jj, 12 e f.5. 
Solu~io 
o minimo multiplo comum entre 2,3 e 4 e 12; entiio, reduzindo ao in dice 
12, temos: 
fj = 1ifj6, ~ = IvIz4,15 = 1(53. 
13 
POTENCIAS E HAIZES 
26. Reduza ao mesmo indice: 
a) .J2.~. ~ 
b) .J3. (4. ~. ~ 
27. Efetue as opera~6es indicadas com as raizes: 
a) .J3 . -!l2 c) H- : [f-
b) 5i : fj d) .J3 . (2 
Solu~io 
a) .J3 . -!l2 = 5T2 = fj6 = 6 
b) 5i : fj = 5i = ~ 24 = rs = 2 fj 3 
c) H- : [f- = H- . .J2 = ~ ~ . 2 = .J3 
d).J3·(2 = ~.~ = ~ = ~ 
e) (4 : ~ 
f)V+:# 
e) (4: ~ = 1 ~(22)4: 1?f23 = -- = 12 - = lW = 1m Iff ~8 
1?f23 23 
28. Efetue as opera~6es indicadas com as raizes: 
a) .J2 . m f) (4 . ~ 
b) .J2 . 55 . .J3O g) J6 : .J3 
c) (2 . ~ . W h) 54 : 16 
d) .J2 . 16 
e) 16 . -!l2 j).J2.(2 
29. Efetue as opera~6es : 
a) (-!l2 - 2.J27 + 3 f75) . .J3 
b) (3 + .J2) . (5 - 3.J2) 
c) (5 - 2.J3)2 
14 
k) fj . ~ . J5 
I) fj : .J2 
m) .J2 : (2 
.J2.(2 
n) ~ 
~.~ 
0) 55 
POTtNCIAS E RAizES 
Solu~iio 
a) fU . 13 - 2 57 . 13 + 3 [is . 13 = 56 - 2 J81 + 3 . ms = 
= 6 - 2 . 9 + 3 . 15 = 33 
b) (3 + ,[2) . (5 - 3,[2) = 15 - 9,[2 + 5,[2 - 6 = 9 - 4,[2 
c) (5 - 213)2 = 25 - 20,J3 + 12 = 37 - 2013 
30. Efetue as opera~oes: 
a) 213 (3J5 - 250 - 145) g) (2 J5 - 4 fi) . (J5 + 2fi) 
b) (50 - 145 + 3 Jill) : 2 J5 h) (3 + ,[2)2 
c) (6 + ,[2) . (5 - ,[2) i) (4 - f5 )2 
d) (3 + J5) . (7 - f5) j) (2 + 3 fi)2 
e) (,[2 + 3) . (,[2 - 4) k) (l - ,[2)4 
f) (2 13 + 3 J2) . (5 13 - 2 J2) 
31 . Efetue: 
a) (4Fs - 2m) : ~ 
b) (3 fU + 2 [ti8) : 13 
c) (3 m + 2 Fs + 3 m - .J5O) . ii 
d) (Fs + (l2 + (.1) : J2 
32. Efetue: 
a) ~.nz;l 
b) J 7 + fi4 . ~7 - fi4 
c) ~ 5 + 2 J6 . ~ 5 - 2 J6 
d) J2 . ~ 2 + .J2 . ~,--; -+-~=2=+=.J2=2 . ~ 2 - ~ 2 + .J2 
33 . Simplifique: 
a) ~a + Jb . ~a - Jb . J a2 - b 
b) (2r,::y + x-fY + yJ;.) : FxY 
c) (a. Jt + 2Fab + b . ff) . Fab 
d) ~p + JP2-=I . ~p - JP2-=I 
e) ~x + J X2 - y3 . ~x - J X2 - y3 
15 
POTENCIAS E RAIZES 
34. SimpIifique as raizes: 
a) W64 b) J?16 
35. Racionalize os denominadores das fra<;6es: 
1 
a) --
,{3 
Solu<;iio 
b) _1_ 
~ 
1 I,{3,{3 
a) ,{3 = ,{3 . ,{3 = -3-
1 1 (ii «i 
b) ~ = ~ . (ii = 2 
c) 5 
3 - fi 
5 5 3 + fi 5(3 + fi) 
c) 3 - fi 3 - fi 3 + fi 2 
1 1 (1 + 12) + I3 
d) 1 + 12 - ,{3 = (1 + 12)- ,{3' (1 + Ji)+I3 = 
1 + Ji +,{3 Ji (l + Ji + ,{3) . Ji 
2Ji . Ji = 4 
36. Racionalize 0 denominador de cada fra<;ao: 
3 2 
a) -- g)-Ji ?/3 
b) _4_ 
.J5 
h) _3_ 
~ 
3 i) _ 1_ c) --
.J6 2+ ,{3 
d)~ j) 1 
3.J5 3 - Ji 
4 k) 2 e) -
2,{3 3 + 2Ji 
f) _I_ I) 6 
«i 5 - 3Ji 
16 
c) ~aWa 
d) 1 
I+Ji- ,{3 
m) 1 3Ji- ,{3 
n) 4 2.J5 -3 Ji 
0) 1 
2+,{3 +[5 
p) 5 2- .J5+ Ji 
q) 3 
I3 - Ji + I 
r) ~ - 1 ?/3 - 1 
POTENCIAS E RAIZES 
37. 
38. 
39. 
40. 
fi - 1 
Determine 0 valor da expressao -,=--~ -I . 
Simplifique: 
) (2+73 ~ 2 - I3 
a f2"=-"J3 + 2 + I3 
2+ I3 2- I3 b) + -----;0= =,-
Ii + ~2 + I3 Ii - ~2 - I3 
f48+ m -Jill 
c) ~=--~~~~ 
12 + ,fIOs - 180 
d) rJ=2J2 -~~2 
Simplifique a expressao : 
x + F!=l x - F!=l 
x - F!=l x + F!=l 
S· I'f' - 2a~ I + x 2 b d 1 (ff f+) Imp I Ique a expressao r.-:--; , sa en 0 que x = - - - -
x + vI + x 2 2 b a 
(0 < b < a). 
41. Mostre que ~9 (12 - 1) = 1 - ~ + fi. 
42. 3 4 1 Mostre que + ----;=====:=:-h - 2 10 11 - 2, 30 
43. Calcule 0 valor de x = R 2 + ~2 + ~. 
5 44. Qual 0 valor que se obtem ao subtrair ---=0- de 
8 - 3 7 
IV. Potencia de expoente racional 
13. Defini~ao 
12 ? 
7 + 3 
Dados a E IR! e .l!..... E <D (p E 7L e q E IN*), define-se potencia de ba-q 
se a e expoente .l!..... peia rela~ao: q 
17 
Se a 0 e L > 0, adotarnos a seguinte defini~ao especial: q 
p 
0'1 = 0 
Exemplos 
14. Observa~oes 
1~) 0 sirnbolo of com L < 0 nao tern significado, pois L E m 
q q 
e q E IN * => p < 0 => OP nao tern significado. 
2~) Toda potencia de base positiva e expoente racional e urn nurnero real 
positivo: 
p 
a > 0 ==> all = c{c;Y > 0 
EXERCiclOS 
45. Expresse na forma de potencia de expoente racional os seguintes radicais: 
a) .J5 d) m 1 g)-
2 
b) f,i e) ffi h) _1_ ~ 
c) 27 f) e 22)2 i) ( ~ r 
46. Calcule, substituindo as potencias de expoente racional pelos correspondentes ra· 
dicais: 
1 3 
1 
d) ( : r g) (-A-r a) 83 
-I 
-I 
e) (-1z r - I b) MT h) (0,81fT 
-I -2 
c) (0,25)2 f) 273 i) (0,00-°·5 
18 
15. Propriedades 
As propriedades (P) se verificam para as potencias de expoente racional. 
Se a E IR!, b E IR!, L E <D e .!..-. E <D, entao valem as seguintes 
propriedades: 
p r ~+.:. PI· aq as a q s 
p p - r 
P2 • a
q 
aq S 
!. 
as 
p p P 
P3• (a . b)q aq . b q 
( ~ )§ P P4 • aq p 
b q 
Ps• ( a*)+ = 
p . r 
aq S 
Demonstraroes 
ps + rq a-q-s -
q s 
Ps. ( a* Y = ~(a*)' = ~('!I;;)r = ~~ = q ' ~apr = apt s a*'+ 
Deixamos a demonstra~ao das propriedades P2 e P4 como exercfcio . 
EXERCicios 
47. Simplifique, fazendo uso das propriedades (P): 
-4 
b) 2f3 
19 
POTENCIAS E RAIZES 
Solu~iio 
1. 3 
a) 164 = (24)4 = 23 = 8 
- 4 -4 
b) 2i3 = (33f""3 = 3- 4 = _1_ 
81 
1 1 
c) (81 2)4 = [(34)2]4 = 32 = 9 
48. Simpli fique fazendo uso das propriedades (P) : 
3 
a) 92 
4 
b) 83 
c) (+ )~I 
- 2 
d) 643 
49. Simpli fique: 
2 -I 4 
a) 23 . 25 .25 
-I 1 1 
b) 3 r . 3 5 .32 
-I 1 
c) 
5 2-
. 5 J 
2 - J 
55 . 5 2 
1 -2 
d) J2 . 33 
1 1 1 
3 5 .3 8 .3 60 
e) 8 1-0,25 
5 
f) 2564 
1 
g) 1 02410 
i) (322)-0,4 
1 
j) (343- 2)3 
2 -2 3 - J 
f) (27 3 - 273 ) . (164 - 16-4") 
2 1 1 1 
g) (1253 + 16 2 + 343 J )2 
I I 
50. Determine 0 valor da expressao (0,064 3 ) (0,0625 4 ) . 
3 I 
St . Determine 0 valor da expressao 5xo + 3x"4 + 4x - 1 , para x = 16. 
52. Determine 0 valor da expressao l.- . 8f - l.- . 8 - f 3 3 
53. Simplifique, supondo a > 0 e b > 0: 
a) (n + ~ n-R . n+ va=tr-I 
20 
POTENCIAS E HAizES 
54. Se a > 0, mostre que: 
1 
---1----1---- + --~I--~I---- 2(a
4
-J) 
1 1 
4 
a 4 + a 8 + a4 - a 8 + a2 - a4 + J 
v. Potencia de expoente irracional 
16. Dados urn nurnero real a > 0 e urn nurnero irracional 0', podernos cons-
truir , com base nas potencias de expoente racional, urn unico
nurnero real po-
sitivo arx que e a potencia de base a e expoente irracional 0'. 
Seja por exernplo a potencia 3 ''2. Sabendo quais sao os valores racionais 
aproxirnados par falta ou por excesso de .j2 , obternos em correspondencia os 
valores aproxirnados por falta ou por excesso de 3''2 (potencias de base 3 e 
expoente racional, ja definidas): 
AI A2 BI B2 
1 2 31 31 
1,4 1,5 31.4 31.5 
1,41 1,42 31.-1 1 31.41 
1,414 1,415 31.-11-1 31.-1 15 
1,4142 1,4143 31.-11 42 31.-11-1 .1 
" 
/ 
, 
, / 
, 
" - ..f2- --- - "'3,2 ... -
17. Dejini<;iio 
Seja a E IR, a > 0 eO' urn nurnero irracional; considerernos os conjuntos 
AI = [r E<Olr<O' ] e A2 = [sE<Ols >0' ] 
21 
POTENCIAS E RAizES 
Notemos que: 
a) todo numero de A, e menor que qualquer numero de A l . 
b) existem dois racionais res tais que r < a < sea diferen~a s - r e 
menor que qualquer numero positivo e arbitrario . 
Em correspondencia aos conjuntos A, e A l , consideremos os conjuntos 
BI = [arlr E Ad 
e 
B2 = [as I s E A2l 
Se a > 1, demonstra-se(') que: 
a) todo numero de B, e menor que qualquer numero de B2 • 
b) existem dois numeros ar e as tais que a diferen~a as - ar e menor que 
qualquer numero positivo e arbitrario. 
Nessas condi~6es, dizemos que ar e as sao aproxima~6es por falta e por 
excesso, respectivamente, de ar> e que B, e B2 sao classes que definem a" . 
Se 0 < a < 1, tudo acontece de forma analoga. 
Exemplos de potencias com expoente irracional: 
2,"2, 4,3, 5"', ( ~ t ,"2, (7)- ,"2, (.J2),3 
18. Se a o e a e irracional e positivo, daremos a seguinte defini~ao especial: 
()a = 0 
19. Observa<;oes 
l~) Se a = 1, entao 101 = 1, V a irracional. 
2~) Se a < 0 e a e irracional e positivo, entao 0 simbolo a" nao tern sig-
nificado. Exemp!os: (-2),"2, (-5)'] e (- 2)'] nao tern significado. 
(P). 
3~) Se a e irracional e negativo (a < 0), entao oa nao tern significado. 
4~) Para as potencias de expoente irracional sao validas as propriedades 
(.) A demonstra, ao esui nas paginas 28, 29 e 30. 
22 
POTENCIAS E RAIZES 
EXERCicIO 
55. Simplifique: 
a) 3 . 2[3 . 2- [3 
b) (2lJ3)fi 
c) (4./2t [3 
d) (3./2 - 1)./2 + I 
VI. Potencia de expoente real 
20. Considerando que ja foram definidas anteriormente as potencias de base 
a (a E IR: ) e expoente b (b racional ou irracional), entao ja est a definida a 
potencia ab com a E IR: e b E IR. 
21. Observa~oes 
l~) Toda potencia de base real e positiva e expoente real e urn numero 
positivo. 
a > 0 => ab > 0 
2~) Para as potencias de expoente real sao valid as as propriedades (P), 
isto e: 
P l· ab . aC = ab+ c (a E IR!, b E IR e c E IR) 
b 
P2• ~ = ab-c (a E IR!, b E IR e c E IR) aC 
Pl· (a . by = aC • be (a E IR!, b E IR! e c E IR) 
P4• ( ~ t ae (a E IR!, b E IR! e c E IR) be 
Ps• (aby = ab ' e (a E IR!, b E IR e c E IR) 
23 
POTENCIAS E RAlzES 
EXERCicIOS 
2// +4 - 2 . 2" 
56 Simplifique a expressao , V- n, n E IR. 
. 2. 2" +3 
57. Determine 0 valor da expressao (2" + 2n- ') (3// - 3"- '), para to do n. 
58. Chamam-se cosseno hiperb6lico de x e seno hiperb6lico de x, e representam-se 
respectivamente por cosh x e senh x , os numeros: 
cosh x = e + e-
x 
2 
e senh x 
Calcule (cosh X) 2 - (senh X)2. 
2 
LEITURA 
24 
Stifel, Burgi e a 
Cria~ao dos Logaritmos 
Hygino H. Domingues 
Ao se findar 0 seculo XVI, urn dos grandes desafios da matema-
tica consistia em encontrar meios de simplificar os calculos aritmeti-
cos, de escoima-Ios de erros, visando em especial as necessidades da 
astronomia. Alguns procedimentos entao usados com essa finalidade 
estavam longe do ideal. Era 0 caso daprostajerese (adi<;:ao e subtra<;:ao 
em grego), consistindo na conversao de produtos em somas, mediante 
rela<;:6es trigonometricas como 2 cos x cos y = cos(x + y) + cos (x - y), 
por exemplo. 
Esse ponto de estrangulamento seria eliminado com a cria<;:ao dos 
logaritmos no seculo XVII. E interessante notar que, embora os loga-
ritmos resultem da rela<;:ao inversa da potencia<;:ao, a epoca em que sur-
giram ainda nao se usavam expoentes em matematica. Sem duvida sao 
dois os pais da ideia de logaritmo: John Napier (1550-1617) e Jobst 
Burgi (1552-1632), em trabalhos independentes, quase concomitantes, 
o primeiro a partir de no<;6es geometricas, 0 segundo a partir de no-
<;6es algebricas. E ha tambem os precursores, dos quais talvez 0 mais 
importante seja Michael Stifel (1487-1567). 
Alemao da cidade de Esslinger, Stifel seguiu a carreira religiosa, 
inicialmente como monge agostiniano, mas acabou se convertendo as 
doutrinas de Lutero, de quem era amigo. As tantas, certamente sem 
consultar seu lider religioso, anunciou 0 fim do mundo para 3/1011533, 
baseando-se em interpreta<;6es de profecias biblicas . Considerando-se 
sua grande reputa<;ao cientifica e a intensidade da fe naquela epoca, 
pode-se imaginar os transtornos causados por esse rebate falso. Tanto 
que Stifel teve que se refugiar numa prisao ... De hi Lutero 0 salvou 
para a matematica. 
Com efeito, em 1544 Stifel publicaria sua Arithmetica integra, 
o mais importante tratado de algebra da Alemanha no seculo XVI. Nele 
aparece pela primeira vez 0 triangulo dos coeficientes do bin6mio, ate 
os de ordem 17, inclusive a formula recorrente entre eles hoje conheci-
da como relar;iio de Stifel. E aparece tambem 0 embriao da ideia de 
logaritmo. Cotejando a progressao geometrica J..., J..., J..., 1, 2, 4, 8, ... 
842 
com a progressao aritmetica -3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, ... , Stifel observou 
que 0 produto (quociente) de dois termos quaisquer da primeira esta 
associado a soma (diferen<;a) dos respectivos da segunda. Mas, para 
que essa ideia fosse proveitosa, era preciso interpolar, numa e noutra, 
copias associadas convenientes de numeros reais, algo muito dificil para 
a epoca. 
o sui<;o Burgi era urn homem ecletico. Dedicava-se a fabrica<;ao 
de relogios, mas era versado em matematica e astronomia, tendo mes-
mo colaborado com Kepler em Praga. Dai, provavelmente, sua preo-
cupa<;ao em criar os logaritmos, embora fosse urn eximio ca1culista. 
Estimulado pelas ideias de Stifel, partiu de uma progressao arit-
metica de primeiro termo 0, razao 10 e ultimo termo 32 000, cujos ele-
mentos chamou de mlmeros vermelhos (pela cor com que os imprimiu). 
A progressao geometric a correspondente come<;a com 108 e sua razao 
e 1 + 10-4 (nota<;ao atual) - seus termos sao chamados mimeros ne-
gros. A partir dai constroi 0 que na verdade e, na terminologia atual , 
uma tabua de antilogaritmos: os numeros vermelhos (logaritmos) sao 
escritos na primeira linha e na coluna da esquerda e os negros corres-
pondentes distribuidos pelas demais linhas e colunas. A escolha de 
1,0001 como razao da P .G. objetivava fazer com que suas potencias 
ficassem muito proximas entre si; e come<;ar essa progressao com lOS 
era urn expediente para evitar numeros decimais. 
~ 25 
26 
Burgi inventou seus logaritrnos por volta do ano 1600. Mas s6 
em 1620 publicou urn trabalho a respeito. Com isso ficou atnis de Na-
pier na questao da prioridade sobre 0 assunto. (Verpag. 55.) 
0 
10 
20 
30 
1 ~ parte da tabela de antilogaritmos de Burgi 
(logaritrnos em verrnelho; antilogaritrnos em preto) 
0 500 1000 1 500 2000 
100000000 100501227 101004966 101511230 102020032 
.... 10000 .... 11277 .. .. 15067 .... 21381 .... 30234 
.... 20001 .. .. 21328 .... 25168 .... 31534 ... . 40437 
.... 30003 .... 31380 . .. . 35271 ... .41687 .... 50641 
CAPITULO II 
Fun~ao Exponencial 
I. Defini~ao 
22. Dado urn nurnero real a, tal que 0 < a =1= 1, charnarnos func;:ao exponen-
cial de base a a func;:ao f de IR em IR que associa a cada x real 0 nurnero cr. 
Em sirnbolos : f: IR - IR 
x - aX 
Exemp/os de funroes exponenciais em IR 
a) f(x) = 2X d) p(x) = lOX 
b) g(x) = (+ t e) r(x)
= ( 2)X 
c) h(x) = 3x 
II. Propriedades 
1~) Na func;:ao exponencial f(x) = ax, ternos: 
x = 0 = f(O) = aO = 1 
isto e, 0 par ordenado (0, 1) pertence a func;:ao para todo a E IR: - (1] . Isto 
significa que 0 gnifico cartesiano de toda func;:ao exponencial corta 0 eixo y 
no ponto de ordenada 1 . 
27 
FUNC;:ii.O EXPONENCIAL 
2~) A fun<;:ao exponencial f(x) = aX e crescente (decrescente) se, e so-
mente se, a > 1 (0 < a < 1). Portanto, dados os reais x j e xl> temos: 
I) quando a > 1: 
II) quando 0 < a < 1: 
XI < X 2 => f(x l) > f(x2) 
A demonstra<;:ao desta propriedade exige a seqiiencia de lemas e teoremas 
apresentados nos itens 23 a 30. 
3~) A fun<;:ao exponencial f(x) = aX, com 0 < a =1= 1, e injetora pois, 
dados x, e X 2 tais que x, =1= X 2 (por exemplo x, < x 2), vern: 
se a > 1, temos: f(x j ) < f(x2 ) 
se 0 < a < 1, temos: f(x,) > f(x2 ). 
e, portanto, nos dois casos, f(x,) =1= f(x2 ). 
23. Lema 1 
Sendo a E IR, a > 1 en E 7L., temos: 
all > 1 se, e so mente se, n > O. 
Demonstrar;iio 
1 ~ parte 
Provemos, por indu<;:ao sobre n, a proposi<;:ao: n > 0 => all > 1: 
I?) e verdadeira para n = 1, po is a' = a > 1; 
2?) suponhamos que a proposi<;:ao seja verdadeira para n = p, isto e, 
aP > 1, e provemos que e verdadeira para n = p + 1. 
De fa to , de a > 1, multiplicando ambos os membros desta desiguaJdade 
por aP e mantendo a desigualdade, pois aP e positivo, temos: 
28 
a > 1 => a . aP > aP ~ aP+ I > aP > 1 
2~ parte 
Provemos, por redu<;:ao ao absurdo, a proposi<;:ao: 
an > 1 => n > 0 
Supondo n ~ 0, temos: - n ~ O. 
FUN<;AO EXPONENCIAL 
Notemos que n = 0 => aO = 1 e pela primeira parte -n > 0 => a- n > 1; 
portanto: 
Multiplicando ambos os membros dessa desigualdade por an e manten-
do 0 sentido da desigualdade, pois an e positivo, temos: 
o que e urn absurdo, pois contraria a hip6tese an > 1. Logo, n > O . 
. 24. Lema 2 
Sendo a E IR, a > 1 erE <0 , temos: 
ar > 1 se, e so mente se, r > O. 
Demonstrar,:iio 
1:' parte 
Provemos a proposi<;:ao r > 0 => ar > 1 . 
Fa<;:amos r = L com p, q E IN*; entao: 
q 
p 
a' = aq 
J J 
Pelo lema 1, se a = (aq)q > 1 e q > 0, entao a q > 1. Ainda pelo 
J J 
mesmo lema, se aq > 1 e p > 0, entao (aq)P > 1, ou seja, 
I P (aq)p = aq = a' > 1 
2:' parte 
Provemos agora a proposi<;:ao: ar > 1 => r > O. 
Fa<;:amos r = L com p E 7L. e q E 7L.*; entao: 
q 
29 
FUNC:;AO EXPONENCIAL 
.1. 
Supondo q > 0 e considerando que na 1 ~ parte provamos que a q > 1, 
temos, pelo lema 1: 
Logo: 
l , 
a q > 1 e (a <i)p > 1 ~ p > 0 
q>O e p>O~r=~>O 
q 
Supondo, agora, q < 0, isto e, - q > 0, pelo lema 1 temos: 
_l 
a q > 
, , 
e (a<i)p = (a- <i)- P > 1 ~ - p > 0 ~ p < 0 
Logo: q<O e p<O~r=~>O 
q 
25. Lema 3 
Sendo a E IR, a > 1, res racionais, temos: 
as > ar se, e somente se, s > r. 
Demonstrafiio 
as > ar {=} as . a- r > ar • a- r {=} as- r > 1 ('~2) S - r > 0 {=} S > r 
26. Lema 4 
Sendo a E IR, a > 1 e ex E IR -0;), temos: 
aa > 1 se, e somente se, ex > o. 
Demonstrafiio 
Sejam os dois conjuntos que definem 0 numero irracional ex, 
A,= ( rEo;)lr<ex j e A2 = [s EO;) ls>ex j 
e em correspondencia os conjuntos de potencias de expoentes racionais que de-
finem aa, 
30 
FUN<;AO EXPONENCIAL 
1~ parte 
Provemos a proposic;:ao : 
a > 0 = all' > 1 
Pela definic;:ao do numero a irracional e positivo, existem rE Al e 
s E A 2 tal que 0 < r < a < s. 
Pelo lema 2, como a > 1, r > 0 e s > 0, temos : ar > 1 e as > 1. 
Pelo lema 3, como a > 1 e r < s, temos : 1 < a r < as e, agora, pela 
definic;:ao de potencia de expoente irracional, vem: 
1 < a' < all' < as 
isto e, 
2~ parte 
Provemos, agora, por reduc;:ao ao absurdo, a proposic;:ao: 
all' > 1 = a > 0 
Suponhamos a < 0, isto e, - a > o. 
Pela primeira parte deste teorema, temos: 
a > 1, - a E IR - <0 J = a-a > 
- a > 0 
Multiplicando ambos os membros da desigualdade obtida por a ll' > 0, 
vern: 
a-a . all' > all' 
isto e, 
1 > all' 
o que contraria a hip6tese; logo: 
a > 0 
27. Teorema 1 
Sendo a E IR, a > 1, XI E IR e X 2 E IR, ternos: 
ab > 1 se, e sornente se, b > O. 
31 
FUN<;:AO EXPONENCIAL 
Demonstrariio 
bE IR ~ ou 
[
bE <0 <= 2\ ab > 1 ~ b > 0) 
b E IR -<0 <= 4) (ab > 1 ~ b > 0) 
28. T eorema 2 
Sendo a E IR, a > 1, XI E IR e Xl E IR, ternos: 
ax' > aX} se, e sornente se, XI > Xl. 
Demonstrariio 
aX, > aX, ~ ~ > 1 ~ aX' -X' > 1 <!corema I) XI - x2 > 0 ~ XI > x2 
aX' 
29. Teorema 3 
Sendo a E IR, 0 < a < 1 e b E IR, ternos: 
ab > 1 se, e sornente se, b < O. 
Demonstrariio 
Se 0 < a < 1, entao ~ > 1. 
a 
Seja c == ~ > 1; peio teorerna 1, vern: 
a 
c b > 1 ~ -b > 0 
Substituindo c == ~, ternos : 
a 
ab > 1 ~ b < 0 
30. Teorema 4 
Sen do a E IR, 0 < a < 1, XI E IR e Xl E IR, ternos: 
aX, > ax' se, e sornente se, XI < Xl . 
32 
FUNC;:AO EXPONENCIAL 
Demonstroriio 
aX, (teorema 3) 
aX, > aX, ** -- > 1 ** aX' - x, > 1 = Xl - x2 < 0 ** Xl < X2 aX, 
EXERCicIO 
59. Determine 0 menor valor da expressao ( ~ rx-xl 
III. Imagem 
31. Vimos anteriormente, no estudo de potencias de expoente real, que se 
o E IR: , entao ax > 0 para todo x real. 
Afirmamos, entao, que a imagem da func,:ao exponencial e: 
1m = IR: 
IV. Grafico 
32. Com relac,:ao ao grafico cartesiano da func,:ao I(x) = aX, podemos dizer: 
I ?) a curva representativa esta toda acima do eixo dos x, pois 
y = ax > 0 para todo x E IR. 
2?) corta 0 eixo y no ponto de ordenada 1. 
3?) se a > 1 eo de uma func,:ao crescente e se 0 < a < 1 eo de uma 
func,:ao decrescente, 
4?) toma urn dos aspectos da figura abaixo. 
y 
y = ax 
(a > 1) 
x 
y = ax 
(0 < a < 1 ) 
y 
x 
33 
FUNCAO EXPONENCIAL 
33. Exemplos 
I?) Construir 0 gnifico da func;ao exponenciai de base 2, f(x) = 2x. 
x y = 2' 
y 
- 3 1 - 7 
8 
6 I 
-2 1 
-
4 
5 / 
4 I f( 1 - 2x 
- 1 1 
-
2 
3 I 
2 V 
V 
0 1 
-
V" 1 
4 3 - 2 1 1 2 3 4 x 
1 2 
2 4 
3 8 
2?) Construir 0 gnifico da func;ao exponenciai da base ~ J(x) = ( ~ r 
x y = (+t 
y 
- 3 8 8 
- 2 4 
-1 2 
7 
\ 6 
\ 5 
0 1 4 
1 1 -
2 
1\ 3 
f xl ( ) \ 2 
1'\... 1 
2 1 -
....... r--
4 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 x 
3 1 -
8 
34 
FUNC;AO EXPONENCIAL 
3~) Construir 0 grafico da fun~ao exponencial de base e, f(x) = e X. 
Urn numero irracional importantissimo para a analise matemcitica e indi-
cado pela letra e e definido pela rela~ao: 
1 
e = lim (1 + x)X, x E IR 
x-o 
A demonstra~ao de que 0 citado limite existe sera feita quando fizermos 
o estudo de !imites. A tabela abaixo sugere urn valor para e (com quatro casas 
decimais): e == 2,7183. 
x I 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 
1 
(I + x)X (1+ 1)1=2 (I +0,1)10=2,594 (I + 0,01)100 = 2,705 2,717 2,7182 2,7183 
x eX 
-3 0,05 
-2,5 0,08 
-2 0,14 
y 
- 1,5 0,22 
y e ' 7 I 
-1 0,36 6 I 
5 I 
-0,5 0,60 4 I 
3 
0 1 
2 / 
0,5 1,65 ../ , 
-4 -3 - 2 - , 0 , 2 3 x 
1 2,72 
1,5 4,48 
2 7,39 
2,5 12,18 
3 20,80 
35 
FUN<;:AO EXPONENCIAL 
EXERCicIOS 
60. Construa os gnificos cartesianos das seguintes func;:oes exponenciais: 
a) y = 3X c) y = 4X e) y = lO-x 
b) y = (+ r d) y = 10" f)y= ( + r 
61. Construa 0 gnifico cartesiano da func;:ao em IR definida por f(x) = 2 2x-1. 
Solu~ao 
Vamos construir uma tabela da seguinte maneira: atribufmos valores a 
2x -] , ca1culamos 22x-J e finalmente x. 
x 2x- l y=22x- 1 
-I -3 1 
-
y 
8 
-
1 
-2 1 
- -
7 
2 4 6 1 
0 -I 1 -
2 
I fIx) = 2.-5 
4 I 
3 I 
1 0 1 - 2 
2 , I 
1 1 2 
-
V 
3 2 4 -
- 2 - , , 2 3 4 5 x 
2 
2 3 8 
62. Construa os gnificos das funcoes em IR definidas por: 
a) f(x) = 21- x c) f(x) = 21 xl ( 
1 ) Ixl
e) f(x) = 2 
x+ 1 
b) f(x) = 3- 2- ( 
1 )2X + I 
d) f(x) = 2 
36 
FUN<;:AO EXPONENCIAL 
63. Represente graficamente a func;ao f(x) = ex2 • 
64. Represente graficamente a func;ao f: IR ..... IR. definida por f(x) = e-x2• 
65. Construa 0 gnifico da fum;:ao em IR definida por f(x) = ? + 1 . 
Solu.;ao 
x 2X y=2x + 1 x 
-3 -3 
-2 -2 
-1 -I 
0 
1 
2 
3 
Notemos que 0 gnifico deve 
apresentar para cad a x uma 
orden ada y que e 0 valor de 
2x mais uma unidade. As-
sim. se cada 2X sofre urn 
acrescimo de 1. tudo se pas-
sa como se a exponencial 
y = ? sofresse uma trans-
lac;ao de uma unidade "pa-
ra cima". 
0 
1 
2 
3 
2x y=2x+ 1 
1 
-
8 
1 
4 
1 
-
2 
1 
2 
4 
8 
-
- -
---
4 - 3 - 2 
- 1 
x 2X 
-3 1 
-
8 
-2 1 
-
4 
-I 1 
-
2 
0 1 
1 2 
2 4 
3 8 
y 
y 2 - I: 
I 
B 
I 
7 
6 /, 
5 11/ 
4 / ' 
3 V' 2/ I = 2-
V, / ~ 
, 
, 
1 2 3 4 
66. Construa os gnificos das func;6es em IR definidas por: 
a) f(x) = 2X - 3 c) f(x) = 2 - 3' 
b) f(x) = ( + r + 1 d) f(x) = 3 - ( + r 
y=2x + 1 
9 
-
8 
5 
-
4 
3 
-
2 
2 
3 
5 
9 
5 x 
37 
FUN<;:AO EXPONENCIAL 
67. Construa os gnificos das fun~6es em IR definidas por: 
a) f(x) = 2' + 2-' b) f(x) = 2' - Z-' 
68. Construa 0 gnifico da fun~ao em IR definida por f(x) = 3· 2x - l • 
38 
Solu~ao 
Vamos construir uma tabela dando valores a x-I e caIculando 2x-I, 
3 . 2x-I e x. Temos: 
x x-I 2,- 1 y = 3 . 2,- 1 
-2 -3 1 3 - -
8 8 
-1 -2 1 3 - -
4 4 
0 -1 1 3 - -
2 2 
1 0 1 3 
2 1 2 6 
3 2 4 12 
4 3 8 24 
y 
13 
12 
11 
10 
9 I 
8 I 
7 I 
6 II 
5 
4 I 
3 / 
2 L 
'--
-
1 
!--
1 2 3 4 5 6 7 8 , 
FUN<;:AO EXPONENCIAL 
69. Construa os gnificos das fun~6es em IR definidas por: 
a) f(x) = ~ . 3x 
2 
b) f(x) = 0,1 . 22x-3 
v. Equa~oes exponenciais 
34. Defini<;oo 
c) f(x) = ~ . 32x- 1 
5 
x+1 
d) f(x) = 3 . 2 - 2-
Equa~6es exponenciais sao equa~6es com incognita no expoente . 
Exemplos 
2' = 64, ( 3)' = 381,4' - 2' = 2. 
Existem dois metodos fundamentais para resolu~ao das equa~6es expo-
nenciais. 
Faremos a apresenta~ao agora do primeiro metodo, sendo que 0 segundo 
sera apresentado quando do estudo de logaritmos. 
35. Metodo da redu<;oo a uma base comum 
Este metodo, como 0 proprio nome ja diz, sera aplicado quando ambos 
os membros da equa~ao, com as transforma~6es convenientes baseadas nas pro-
priedades de potencias, forem redutiveis a potencias de mesma base a 
(0 < a *- 1). Pelo fato de a fun~ao exponencial/(x) = ax ser injetora, po-
demos concluir que potencias iguais e de mesma base tern os expoentes iguais, 
isto e: 
c (0 < a *- 1) 
. EXERCicIOS 
70. Resolva as seguintes equa<;:6es exponenciais: 
a) 2' = 64 b) 8' = _1_ 
32 
c) ( 3)X = W 
39 
FUN~AO EXPONENCIAL 
Solu~ao 
a) 2' = 64 ** 2' = 26 <=} X = 6 
S = [6J 
5 b) 8' = _1- <=} (23)' = _1_ <=} 23, = 2- 5 <=} 3x = 5 <=}x=--
32 25 3 
S = [-f] 
c) ( 3)' = ffi <=} 32 = J.[34 <=} 32 = 33 <=} - = - <=} x = -( I)' , 4 X 4 8 2 3 3 
S = [ : ] 
71. Resolva as seguintes equa<;6es exponenciais: 
a) 2' = 128 h) 4' = ~ 
8 
b) 3' = 243 . ( 1 r 1) -- = 25 
125 
c) 2x = _1- j) (54)' = _1-
16 8 
d) ( + r = 125 k) 100' = 0,001 
e) e 2)' = 8 I) 8' = 0,25 
f) «(3)' = ~ m) 125' = 0,04 
g) 9' = 27 n) ( ~ r = 2,25 
72. Resolva as seguintes equa<;6es exponenciais: 
a) 23, -1 = 32 h) 73,+4 = 492x- 3 
b) 74x+3 = 49 i) 53x-1 = ( 215 t+
3 
c) 11 2,+5 = 1 j) (,/2)3'-1 = (316)2x-1 
d) 2,,-,-16 = 16 k) 82x+ I = ~4x-1 
e) 3,'+ 2x = 243 I) 4,'-1 = 8' 
f) 52"+3x-2 = 1 m) 27"+ I = 95x 
g) 81 1- 3, = 27 n) 8x'-, = 4'+ I 
73. Resolva a equa<;iio 4 x'+ 4x = 4 12• 
40 
FUNCAO EXPONENCIAL 
74. Determine os valores de x que satisfazem a equa~ao JOO . JOX = 1 10005. 
75. Resolva as equa~6es exponenciais abaixo: 
a) (2xy-1 = 4 
76. 
b) 32x- 1 . 93x +4 = 27X + 1 
c) 0 . ~ 252x-5 - 2~ 53x- 2 0 
Solu~ao 
2 {=} x 2 ou x -1, 
S = [2 , - 1 J 
{=} 8x + 7 = 3x + 3 {=} x 4 5' s=(-~] 
x-2 2x-5 
c) ~ 5'-2 . ~252x-5 = 2~ 53x-2 {=} 5- 2- . (52)- X- 3x- 2 5~ {=} 
x-2 4x-IO 
{=} 52+ x 
{=} x2 + 3x - 18 
3x-2 2 4 10 5--rx- {=} ~ + x-
2 x 
3x - 2 
2x 
3 ou x -6 (nao serve pois x > 0) 
S = [3J 
Resolva as seguintes equa~6es exponenciais: 
a) (2x)X+4 = 32 f) 3x+2 . 9x 81 2x 
2435x+ 1 273- 4x 
b) (9x+ Iy- I = 3X2 +X+4 g) x+~ 23x-8 = 2x-5 
c) 23x- 1 . 42x+3 = 83- x h) 83x = mx : 4x- 1 
d) (3 2x- 7)3 : 9X + 1 = (33x- I)4 i) X-ifiJ23X- I _ 3x-~ 8x-3 =0 
e) 23x+ 2 : 82x- 7 = 4x- 1 j) ~ 8x- I . X+~42x-3 = ~ 25x+3 
77. Determine os valores de x que satisfazem a equa~ao (4 3- x )2-X = 1. 
41 
João Roberto
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João Roberto
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FUN<;AO EXPONENCIAL 
78. Resolva a equacyao exponencial: 2x-1 + 2" + 2x+1 - 2x+2 + 2x+3 120. 
SOIUlriio 
Resolvemos colocando r l em evidencia: 
2X- 1 + 2X + 2X+ 1 - 2x+2 + 2x+3 = 120 ~ 
~ 2x- 1 (1 + 2 + 22 - 23 + 24) = 120 ~ 2x- 1 . 15 
~ 2x- 1 = 8 ~ 2x- 1 = 23 ~ x-I = 3 ~ x = 4, 
120 ~ 
S = [4). 
79. Resolva as seguintes equacyoes exponenciais: 
a) 3'- 1 - 3X + 3x+ 1 + 3x+2 = 306 
b) 5'-2 - 5X + 5x+1 = 505 
c) 23x + 23x+ 1 + 23x+2 + 23x+3 = 240 
d) 54x- 1 - 54x - 54x + 1 + 54x+2 = 480 
e) 3 . 2X - 5 . 2x+1 + 5 . 2x+3 - 2x+5 2 
f) 2· 4x+2 - 5· 4x+1 - 3· 22x+ 1 - 4X 20 
80. Resolva as seguintes equacyoes exponenciais: 
42 
a) 4X - 2X = 56 b) 4X + 1 - 9 . 2X + 2 o 
Solu~iio 
a) 4X - 2X = 56 ~ (22)' - 2x - 56 = 0 ~ (2x)2 - 2x - 56 = 0 
Empregando uma incognita auxiliar, isto e, pondo 2" = y, temos: 
y2 - Y - 56 = 0 ~ y = 8 ou y = -7. 
Observemos que y = -7 nao convem, pois y = 2 X > o. 
De y = 8, temos: 2" = 8 ~ 2X = ~ ~ x = 3 . 
S = [ 3). 
b) 4X + 1 - 9 . 2x + 2 = 0 # 4 . 4X - 9 . 2X + 2 = 0 # 4 . (2x)2 - 9 . 2x + 2 = 0 
Pondo 2X = Y, temos: 1 
4y2 - 9y + 2 = 0 ~ y == 2 ou y = -
4 
mas y = 2"; entao: 
2" = 2 ~ x = 1 ou 2" = ..!.... ~ x = -2. 
4 
S = [1, -2 ) . 
81. Resolva as seguintes equa<;:5es exponenciais: 
a) 4X - 2X - 2 = 0 
b) 9 X + 3X = 90 
c) 4X - 20 . 2X + 64 0 
d) 4X + 4 = 5 . 2X 
e) 9' + 3x+ 1 = 4 
f) 52x + SX + 6 = 0 
g) 22x + 2 X + 1 = 80 
h) WZx- 1 - 11 . 10'-1 + 0 
i) 4 x+ 1 + 4 3- x = 257 
2x _.1 j) 5 . 2 2x - 4 2 - 8 = 0 
82. Resolva a equa<;:iio 25[;, - 124· 5 x = 125. 
FUN<;:AO EXPONENCIAL 
83. Calcule 0 produto das solu<;:5es da equa<;:iio 4x' + 2 - 3 . 7 +3 160. 
84. Resolva as seguintes equa<;:5es exponenciais: 
a) 3' - _1_5_ + 3x-l = ~ 
3x- 1 3x- 2 
b) 2 >+ 1 + 2 x-2 __ 3_ = ~ 
2x- 1 2X 
c) 162x+ 3 - 162x + 1 = 28x+ 12 - 26x+5 
85. Resolva a equa<;iio exponencial: 
3 (x2 + 7-) = 81 
3 (x + £) 
86. Determine 0 numero de solu<;5es distintas da equa<;:iio 2X - L X = k, para k real. 
87. Resolva a equa<;:iio exponencial: 
2 
88. Resolva a equa<;iio exponencial: 
89. Resolva a equa<;iio: 
90. Resolva a equa<;iio: 
1 
4 X _ 3x - "2 x + ~ 3 2 - 22x- 1 
3 x- 1 - _5_ = 4 . 31 - 3x 
3 X+ 1 
8X - 3 . 4X - 3 . 2X + 1 + 8 = 0 
43 
João Roberto
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FUNCAO EXPONENCIAL 
9 1. Resolva as equa~6es em IR +: 
a) xx'-5x +6 = 1 
Solu~ao 
b) X2x' -7x +4 x 
a) Devemos examinar inicialmente se 0 ou 1 sao solu~6es da equa~ao . 
Substituindo x = 0 na equa~ao proposta, temos: 
06 = 1 (falso) 
logo, 0 nao e solu~ao. 
Substituindo x = 1 na equa~ao, temos: 
12 = 1 (verdadeiro) 
logo, 1 e solu~ao da equa~ao. 
Supondo agora 0 < x *" 1, temos: 
xx'-5x +6 = 1 = x2 - 5x + 6 = 0 = x = 2 ou x = 3 
Os valores x = 2 ou x = 3 sao solu~6es, po is satisfazem a condi~ao 
0< x *" 1. 
S=[I,2,3J. 
b) Examinemos inicialmente se Oou 1 sao solu~6es da equa~ao proposta: 
04 = 0 (verdadeiro) = x = 0 e solu~ao 
r l = 1 (verdadeiro) = x = 1 e solu~ao. 
Supondo 0 < x *" 1, temos: 
X2x'-7x +4 = X = 2X2
- 7x + 4 1 = 2X2 - 7x + 3 o = x 3 
1 
ou x =-. 
2 
Os val ores x = 3 ou x = { sao solu~6es, pois satisfazem a condi~ao 
2 
O<x*"1. 
S = [0, I, 3, +] . 
92. Resolva as equa~6es em IR +: 
a) X2- 3x = 1 c) xx'-2 = 1 e) xx'-3x-4 
b) X2x+ 5 = 1 d) xx'-7x+ 12 = 
93. Resolva as equa~6es em IR +: 
a) XX = x c) X4- 2x = x e) xx'- 2x- 7 
b) xx+ 1 = X d) X2x'-5x+ 3 = X 
44 
x 
João Roberto
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FUN<;AO EXPONENCIAL 
94. Resolva em IR a equa~ao (x2 - x + 1)(2x'-3X-2) = 1. 
95. Determine 0 conjunto solu~ao da equa~ao Xx'-8 = 1. 
96. Determine 0 numero de solu~6es de 2 X = x 2 • 
Sugestiio: Fa~a os gnificos de f(x) = x 2 e g(x) = 2X. 
Observe que 2100 > 1002 • 
97. Resolva em IR + a equa~ao X2x - (x2 + x) XX + x 3 = o. 
98. Resolva a equa~ao 4X + 6X = 2 . 9X• 
Solu,>iio 
Dividindo par 9\ temos: 
4X 6X ( 4 )X 4x + 6x = 2 . 9x <=* - + - = 2 <=* - + 
9x 9x 9 
<=* ( ~ r + ( ~ r -2=0 
Fazendo ( ~ r = y, temos: 
y = 
ou 
y = -2 (nao convem) 
mas y = ( ~ r entao: 
( ~ r= I<=*X=O 
S = [OJ. 
99. Resolva as equa~6es: 
a) 4X + 2 · 14x = 3 . 49x b) 22x +2 - 6X - 2 . 32x +2 = 0 
100. Resolva os seguintes sistemas de equa~6es: 
[ 
4X = 16y 
a) 2x+l = 4y 
[ 
22(x'-y) = 100 . 52(y-x') 
b) x + y = 5 
[ 
3X+ Y = 1 
10 1. Se 2x+2y = 2 ' calcule 0 valor de x - y. 
[ 
2X - 2Y = 24 
c) x + y = 8 
[ 
3 X - 2(Y') = 77 
d) x ( y, ) 
32 - 2 T = 7 
45 
FUN<;:AO EXPONENCIAL 
102. Calcuie 0 produto das soiu<;6es das equa~6es: 
103. Resoiva 0 sistema de equa~6es: 
[ 
2x . 3Y = 108 
4X • 2Y = 128 
[ 
xy2-ISy+S6 = 
y - x = 5 
104. Resolva os sistemas de equa~6es para x E IR + eyE IR +. 
[
xx+Y = yX-Y [xy - yX 
a) x2y = 1 b) x3:: y2 
105. Resolva 0 sistema de equa~6es para x > 0 e y > 0 e sendo m . n > 0: 
[ 
xY = yX 
xm = yn 
106. Para que valores reais de m a equa~ao 4 X - (m - 2) . 2 X + 2m + 1 
peio menos uma raiz real? 
o admite 
46 
Solu~iio 
Pondo 2x = y, temos: 
y2 - (m - 2) y + (2m + I) = 0 
Lembrando que a equa~ao exponenciai admitini peio menos uma raiz real 
se existir y = 2x > 0, a equa~ao acima devera ter pelo menos uma raiz 
real e positiva. 
Sendo f(y) = y2 - (m - 2)y + (2m + 1), temos: 
a) as duas raizes sao positivas: 
S YI ~ Y2 > 0 = ~ ~ 0, - > 0 ea· [(0) > 0 
2 
~ ~ 0 ~ ~ = m2 - 12m ~ 0 = m ~ 0 ou m ~ 12 CD 
S S m-2 ® 
- > 0 = - = ---" > 0 = m > 2 II 
222 
a . [(0) > 0 = a . [(0) = 2m + 1 > 0 = m > 
2 
FUN<;:AO EXPONENCIAL 
CD 
@ 
@ 
o 
1111111111111111111111 11 1111111111111111111111111111111. 
2 
12 
.111111 11111111111111111111111111 m 
---------:--------<011111 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 m 
______ --=2'--(01111 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 m 
CDn@n@ 
12 
. lIIlIlIIlIlIlIlIlIllIllIlIIlIlIlI m 
SI [ m E IRlm ~ I2 J 
b) somente uma raiz e positiva: 
YI > 0 ~ Y2 = 
I 
= a·f(O) = 2m + I < 0 = m < - - = 
2 
= S2 = [m E IRlm < - +) 
YI > 0 e Y2 = 0 = S = m - 2 > 0 e f(O) 
I 
= 2m + I = 0 = m> 2 e m = - - = S3 = 0 
2 
o conjunto dos valores de m, para que a equa<;:ao exponencial proposta 
admita pelo menos uma raiz real, e: 
S = SI U S2 U S3 = [m E IRlm < I 
2 
ou m ~ 12). 
107. Determine m real para que as equa<;:6es abaixo admitam pelo menos uma raiz real. 
a) 32x - (2m + 3) . 3x + (m + 3) = 0 
b) 22x + 1 - (2m - 3) . 2x +1 + (7 - 2m) = 0 
c) m . 9X - (2m + 1) 3x + (m - I) = 0 
108. Determine m real para que a equa<;:ao m (2X - 1)2 - 2'< (2X - 1) + J 
mita pelo menos uma raiz real. 
o ad-
109. Para que val ores reais de m a equac;ao 2 x + 2 -x 
raiz real? 
m admite pelo menos uma 
aX + a-X 110. Para que valores reais de m a equa<;:ao -"---'----"-
raiz real? aX - a -X 
m,comO < a * 1,admite 
Ill. Mostre que a equa<;:ao 
a2x - (m + 1) aX + (m - 1) = 0, com 0 < a * 1, 
ad mite pelo menos uma raiz real, qualquer que seja m real. 
47 
FUNt;AO EXPONENCIAL 
VI. Inequa~oes exponenciais 
36. Defini~ao 
Inequa<;:6es exponenciais sao as inequa<;:6es com incognita no expoente. 
Exemplos 
2x > 32, (.]5)X > (25, 4X - 2 > 2x. 
Assim como em equa<;:6es exponenciais, existem dois metodos fundamen-
tais para resolu<;:ao das inequa<;:6es exponenciais. 
. Do nlesmo modo usado no estudo de equa<;:6es exponenciais, faremos a 
apresenta<;:ao agora do prime"iro metodo e 0 segundo sera visto no estudo de 
logaritmos. 
37. Metodo da redu~ao a uma base comum 
Este metodo sera aplicado quando ambos os membros da inequa<;:ao pu-
derem ser representados como potencias de mesma base a (0 < a *- 1). 
Lembremos que a fun<;:ao exponencial f(x) = aX e crescente, se a > 1, 
ou decrescente, se 0 < a < 1; portanto: 
Se b e c sao numeros reais, entao: 
para a > 1 tem-se ab > aC $=} b > c 
para 0 < a < 1 tem-se ab > aC $=} b < c. 
EXERCicIOS 
112. Classifique em V ou F as seguintes senten~as: 
a) 32•7 > 1 c) (0,3)°·2 > 1 e) 7rh > 1 
b) ( ~ r·5 > I ( 7 )-0.32 d) - < 1 5 f) e- J3 > 1 
48 
FUN<;:AO EXPONENCIAL 
113. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) as seguintes sentenc;as: 
a) 21,3 > 21,2 f) (0,11)-3,4 < (0,11)4,2 
b) (0,5)1,4 > (0,5)1,3 g) e2,7 > e2,4 
c) ( ~ r,3 > ( ~ r,7 h) ( -;-r < (-;- r,5 
d) ( ~ r < ( ~ t 3 2 i) (?}3f4 > (?}3) 3 
3 5 
e) (J2)f3 < (J2/2 j) ( ~ fS < ( ~ f7 
114. Classifique em V ou F as seguintes sentenc;as: 
a) 2°,4 > 4°,3 e) (?}3)- O,5 < 27-0,1 
b) 81,2 > 41,s f) (fS)- I,2 > «(.t)2,1 
c) 93,4 < 32,3 g) 8- 1,2 > 0,252,2 
( 1 )5,4 ( 1 )1,6 d) -- <-J2 8 h) ( ~ r < (2 ,25t l ,2 
115. Resolva as seguintes inequac;6es exponenciais: 
a) 2X > 128 b) (~ )X >-~ 5 r 27 
Solu~lio 
a) 2x > 128 <=> 2x > 27 
Como a base e maior que 1, vern x > 7. 
S= [ xEIRlx>7 ]. 
b) ( + r ~ 1;; <=> ( + r ~ ( + r 
c) u[2y < 18 
Como a base esta compreendida entre 0 e 1, temos x ~ -3. 
S = [ x E IR I x ~ -3 ] . 
x 3 
c) (~)x < 18 <=> 23. < 24 
C b ·, 1 x 3 9 omo a ase e maJOr que , temos: - < - <=> x < -. 
3 4 4 
s = [x E IR I x < :). 
49 
FUN<;:AO EXPONENCIAL 
116. Resoiva as seguintes inequa~6es exponenciais: 
a) 2X < 32 
b) (+r > * 
c) 3X < _1_ 
27 
d) (+ r ~ 125 
e) «(3)" ~ + 
f) (J2)X > 1~ 
~ 16 
g) 4x ~ 8 
h) (+ r ~ 243 
i) (ffi)X < .b 
\1 125 
j) (0,01)" ~ ~ 
1000 
k) (0,008)X > (is 
I) 0,16x > ~ 15,625 
117. Resolva as seguintes inequa~6es exponenciais: 
a) 32x+3 > 243 h) (0,3)"'-2x-8 ~ 
b) 25x- 1 ~ 8 i) 4X2 + I ~ 321- x 
c) (0,1)3-4X < 0,0001 j) 27x'-3 > 9 
d) 75x-6 < 1 k) (0,01)2X2 + I ~ (0,001)3X 
e) (0,42)1- 2x ~ 1 
f) 3X2_5x+6 > 9 
g) 2X2- X ~ 64 
( 
1 )X1+5X+ I 1 
118. Resoiva , em IR, a inequa~ao 2 ~ 2· 
119. Resolva as seguintes inequa~6es exponenciais: 
50 
a) 8 < 2x < 32 g) 4 < 8 1xI < 32 
b) 0,0001 < (0,1)" < 0,01 h) 25 < 1252x- 1 < 125 
c) _1_ < 3x < 81 
27 
d) ~ ~ 4x ~ 32 
8 "" "" 
e) _8_ < (~ )X < ~ 
27 9 2 
f) 0,1 < 100" < 1 000 
i ) (0,3)"-5 ~ (0 ,09)2x+3 ~ (0,3)X+6 
j) 1 ~ 7x'-4x+ 3 ~ 343 
k) 3x'- 3 < 3X2_5x+6 < 9 
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FUNc;i\O EXPONENCIAL 
120. Resolva as seguintes inequa~6es exponenciais: 
a) (3X)2.-7 > _1_ 
27 
( 
1 
)
3X+ 1 
b) 2x . 41 + 2x-x' ~ (+t l 
x+ 1 x-I 
c) 7~ : 7X+f < .J343 
Solu~iio 
a) (3x)2x-7 > _1 __ 3 2x'-7x > 3-3 _ 2X2 - 7x > -3 _ 
27 
_ 2X2 - 7x + 3 > 0 _ x < ~ ou x > 3 
2 
s = [x E IR I x < + ou x > 3 ] . 
~ [( + rrl - (+ r+x . (+ r-4x+2X' ~ (+ r-3 -
_ - ~ - _ 5x2 - 3x - 2 :::; 3x - 3 _ ( 1 ) 5X>-3X-2 ( 1 ) 3X-3 2 2 
1 
_ 5x2 - 6x + 1 :::; 0 _ - :::; x :::; 
5 
S [x E IR I + :::; x :::; 1 ] . 
x+ 1 x- I 3 1 1 3 _7~-X+f < 72 _ ~-~ < __ 
x-I x+l 2 
_ ~ _ ~ _ ~ < 0 _ -3x2 + 8x + 3 < 0 
x-I x + 1 2 2(x + 1) (x
- 1) 
~ 
51 
FUN<;:AO EXPONENCIAL 
- 1 
- 3x2 + 8x + 3 - I 
x + 1 - <> 
x-I - I 
I 
-3x2 + 8x + 3 I 
2(x + 1) (x - 1) 
- I 
I 
-
+ 
-
+ 
0 
° 
1 
3 
+ 
+ 
-
-
° 
I 
I 
I 
I 
6 111111111111111 11111111 6 
+ 
+ 
+ 
+ 
s = [X E IR ~ x < -Iou - + < x < 1 ou x > 3 J . 
121. Resolva as inequar;6es exponenciais: 
a) (2X+ 1)2x-3 < 128 
b) (27x-2)x+ 1 ~ (9" + 1)"-3 
c) ( ~ t-2 • ( : r+ 1 ~ ( 287 t3 
d) 253- 4x : 1252-x > 53x + 1 
0,043x+2 . 25 1-4x 
e) 0,0083-x. 1254-3x > 1 
2x-3 1 
f) 2x=t : 32X+T > 4 
1 1 I 
g) (0,1)X+T . (0,01)X+3 < (0,001)>+2 
h) ( ~ ) X~1 : ( ~ )x12 ~ [( 2; ) x1 3]~ 
122. Resolva a inequar;ao: 
2x - 2x +l - 2x+ 2 - 2x+3 + 2x+4 < ~ 
4 
Solu~io 
3 
0 -
+ 
+ 
-
2X - 2x+ 1 - 2x+ 2 - 2x+3 + 2x+ 4 < ~ <=* 2X(1 - 2 - 22 - 23 + 24) < ~ <=* 
. 44 
<=* 2X. 3 < ~ <=* 2x < 2-2 <=* X < - 2 
4 
S = [x E IR I x < -2 J . 
52 
João Roberto
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FUN<;:AO EXPONENCIAL 
123. Resolva as seguintes inequar;oes exponenciais: 
a) 2x- 1 + 2X + 2x +1 - 2x +2 + 2x+3 > 240 
b) 3' +5 - 3x+4 + 3x+3 - 3x+2 < 540 
c) 4x +1 _22x+1 + 4x -22x-I _4x-1 ~ 144 
d) 32x+ 1 - 9x - 32x- 1 - 9x- 1 ~ 42 
e) 3· 22x+5 - 9 · 22x +3 - 5· 4x+1 + 7· 22X+1 - 3·4' < 60 
f) 3(x') + 5 . 3(x'+ I) + 2 . 3(x'+2) - 4 . 3(x'+ 3) + 3(x'+4) < 63 
124. Resolva as seguintes inequar;oes: 
a) 32x +2 - 3x+3 > 3X - 3 x+_L c) 4 2 + 5 . 2" + 2 > 0 
b) 2" - 1 > 21- x 
SolUl;iio 
a) 32x + 2 - 3X + 3 > 3' - 3 ~ 32x • 32 - 3X • 33 - 3' + 3 > 0 ~ 
~ 9 (3,)2 - 28 . 3' + 3 > 0 
Fazendo 3X = y, temos: 
9y2 - 28y + 3 > 0 ~ y < ~ ou y > 3; mas y = ]X, logo: 
9 
3' < J... ou 3' > 3 ~ 3' < 3-2 ou 3x > 3 ~ x < - 2 ou x > 1. 
9 
S = [ x E IR I x < -2 ou x > 1 j . 
b) 2x - 1 > 21- x ~ 2' - 1 > ~ ~ 2'(2X - 1) > 2 ~ 
2x 
~ (2x)2 - 2x - 2 > 0 
Fazendo 2x = y, temos: 
y2 - Y - 2> 0 ~ y < -] ou y > 2. 
Mas 2X = y, logo: 7 < -] ou 2x > 2 . 
Lembrando que 2x > 0, V x E IR, temos: 
2x > 2 ~ x > 1. 
S = [ x E IR I x > 1 J. 
X+-
2
1 
.1 
c) 4 + 5 . 2x + 2 > 0 ~ 4X • 4 2 + 5 . 2' + 2 > 0 ~ 
~ 2 . (2x)2 + 5 . 2x + 2 > 0 
Fazendo 7 = y, temos: 
2y2 + 5y + 2 > 0 ~ y < - 2 ou 
2X < - 2 ou 2x > - ~. 
2 
] 
y> --; masy = 7, logo: 
2 
.. 
53 
João Roberto
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FUNt;:AO EXPONENCIAL 
Lembrando que 2x > 0, V- x E IR, temos: 
1 
2x > - 2' "Ix E IR. 
S = IR. 
125. Resolva as seguintes inequa~5es: 
a) 4X - 6 . 2X + 8 < 0 g) 25" + 6 . 5" + 5 > 0 
b) 9" - 4 . 3X+ 1 + 27 > 0 h) 3x (3X + 6) < 3 (2 . 3x- 1 - 3) 
c) 52x + 1 - 26 . 5" + 5 ::;; 0 i) 2 x+3 + 2 - X < 6 
d) 2 2x - 2 x+ 1 - 8 ::;; 0 j) 3 (3 X - 1) ~ 1 - 3- x 
e) 32x - 3x + 1 > 3x - 3 x+l. k) 4 2 - 2 x+2 ~ 2 x+ 1 - 1 
f) 2 x (2X + 1) < 2 I) e2x - eX + 1 - eX + e < 0 
126. Determine 0 conjunto solu~ao da inequa~ao 2 2x+2 - 0,75· 2 x+2 < 1. 
127. Resolva a inequa~ao 2 x +5 + 3x < 3x +2 + 2 x+2 + 2 X . 
eX + 1 128. Determine 0 conjunto de todos os numeros reais x para os quais < O. 1- x 2 
129. Resolva a inequa~ao X2Xl _ 9x+ 4 < 1 em IR +. 
54 
Solu~ao 
I?) Verificamos se 0 ou 1 sao solu~5es: 
x = 0 => 04 < 1 (V») 
x = 1 => 1- 3 < 1 (F) => SI = [OJ 
2?) Supomos 0 < x < 1 e resolvemos: 
X2x'-9x+4 < XO => 2 X2 - 9x + 4 > 0 
Lembrando que 0 < x < 1, vern S2 = 
3?) Supomos x > 1 e resolvemos: 
=> x < ...!.. ou x > 4 
2 
[x E IR I 0 < x < f ). 
2 2x'-9x + 4 < XO => 2 X2 - 9x + 4 < 0 => ...!.. < x < 4 
2 
Lembrando que x > 1, vern S3 = [x E IR 11 < x < 4J. 
A solu~ao e S = SI U S2 U S3 = [x E IR 10 ::;; x < ~ ou 1 < x < 4J. 
FUN(AO EXPONENCIAL 
130. Resolva em IR+ as inequa~6es : 
a) X5x- 2 > c) x 2x'+x-1 < e) X3x'-7x+2 ~ 1 
b) x4x- 3 < 1 d) X2x'-5x-3 > 1 f) X4x'-IIx+6 ~ 
131. Resolva em IR a inequa~ao IxI 3x l _4x-4 > 1. 
132. Resolva em IR + as inequa~6es: 
a) X2x+4 < x c) X4x'-17x+ 5 < x e) xx'-5x+7 ~ x 
b) X4x- 1 ~ X d) X5x'-IIX+3 > X 
133. Resolva em IR + as inequa~6es : 
a) x (x'> > X2x b) x 2 < Xx'-7X + 8 c) xx2-x-2 ~ X4 
LEITURA 
Os Logaritmos segundo Napier 
Hygino H. Domingues 
Certamente nao era nada confortavel uma viagem de Londres a 
Edimburgo no distante ana de 1615. Em veiculos puxados a cavalos, 
por estradas esburacadas e poeirentas, 0 percurso parecia intermina-
vel. Mas para 0 erninente professor Henry Briggs (1556-1630), que ocu-
pava no Gresham College de Londres a primeira catedra de matemati-
ca criada na Inglaterra, valia a pena 0 sacrificio. Afinal, ia conhecer 
John Napier (1550-1617), que no ana anterior tomara publica uma in-
ven~ao sua que sacudira a matematica da epoca: os logaritmos. 
o nobre escoces John Napier, Barao de Murchiston, ao contra-
rio de Briggs, nao era urn matematico profissional. Alem de adminis-
trar suas grandes propriedades, dedicava-se a escrever sobre varios as-
suntos. As vezes sem conseguir se livrar dos preconceitos da epoca, co-
mo num trabalho de 1593 em que procurava mostrar que 0 papa era 
o anti cristo e que 0 Criador pretendia dar fim ao mundo entre 1688 
e 1700. As vezes como urn visionario ilurninado, como quando previu 
os sub marin os e os tanques de guerra, por exemplo. As vezes com a 
pondera~ao de urn autentico cientista, como no caso dos logaritmos, 
em cuja cria~ao trabalhou cerca de 20 anos. 
o termo logaritmo foi criado por Napier : de logos e arithmos, 
que significam, respectivamente, "razao" e "numero". E a obra em 
que, no ana de 1614, apresentou essa sua descoberta recebeu 0 titulo 
de Mirifice logarithmorum canonis descriptio (ou seja, Uma descririio 
da maravilhosa regra dos logaritmos). Nela Napier explica a natureza 
dos logaritmos, segundo sua concep~ao, e fomece uma tabua de loga-
• 
55 
56 
ritmos dos senos de 0° a 90°, de minuto em minuto. A razao de aplicar 
sua ideia a trigonometria se deveu ao fato de que 0 objetivo principal 
dessa tabua era facilitar os longos e penosos calculos que nave gad ores 
e astronomos enfrentavam diuturnamente. 
Em Iinguagem moderna, Napier concebeu os seus logaritmos da 
A C x B seguinte maneira: Imaginemos os 
• • • pontos C e F percorrendo respecti-
D F X vamente 0 segmento AB e a semi-re-
•• ---y---4._------__ • ta DX, partindo ao mesmo tempo 
de A eD, com a mesma velocidade inicial; admitamos ainda que, nu-
mericamente, a velocidade de C seja dada sempre pela medida de CB 
e que a velocidade de F seja constante; nessas condi<;6es Napier defi-
niu como logaritmo de x = CB 0 numero y = DF. Assim, explici-
tamente, nesse conceito nao intervem a ideia de base. Mas pode-se pro-
var que y = 107 log l ie (xl107 ). A potencia 107 surge ai porque Napier 
considerava AB = 107• Alias, a epoca de Napier 0 seno nao era de-
finido como hoje, por meio de uma razao; era a medida da semicorda 
do angulo central, tomando como unidade um submultiplo do raio da 
circunferencia considerada. E, para evitar fra<;6es, um submultiplo mui-
to pequeno - no caso 1/ 1Q? do raio. 
Napier tambem estava ansio-
so por conhecer Briggs, a ponto de 
se decepcionar com 0 atraso de sua 
chegada, achando que nao viria. 
Consta que ao se verem ficaram va-
rios minutos sem conseguir articu-
lar nenhuma palavra. Durante 0 
mes que Briggs passou em Edimbur-
go, certamente 0 assunto dominan-
te de suas conversas com Napier fo-
ram os logaritmos. E acabaram 
concordando que uma tabua de 10-
garitmos de base 10 seria mais uti!. 
Mas Napier nao viveria para le\'ar 
a termo esse trabalho - Briggs e 
John Napier (1550·1617). outros 0 fariam. 
Considerando as prioridades da epoca, Briggs e Napier acerta-
ram nessa op<;ao. Mas, com 0 advento das calculadoras manuals e dos 
computadores, as tabuas de logaritmos perderam sua utilidade. Hoje, 0 
que importa especialmente sao certas propriedades funcionais dajun-
rao logaritmo e de sua inversa, ajunrao exponencial. E nesse sentido 
deve-se privilegiar, isto sim, a base e = 2,7182 ... 
CAPITULO
III 
Logaritmos 
I. Conceito de logaritmo 
38. Lembremos que no estudo de equa~6es e inequa~6es exponenciais, feito 
anteriormente, s6 tratamos dos casos em que podiamos reduzir as potencias 
a mesma base. 
Se queremos resolver a equaryiio 2x = 3, sabemos que x assume urn va-
lor entre J e 2, pois 2' < 2 X = 3 < 22, mas com os conhecimentos adquiri-
dos ate aqui nao sabemos qual e esse valor nem 0 processo para determina-lo . 
A fim de que possamos resolver este e outros problemas, vamos iniciar 
agora 0 estudo de logaritmos. 
39. Defini{:Qo 
Sendo a e b numeros reais e positivos, com a -;e J, chama-se logaritmo 
de b na base a 0 expoente que se deve dar a base a de modo que a potencia 
obtida seja igual a b. 
Em simbolos: se a , b E IR, 0 < a *- J e b > 0, entao: 
log. b = x <=> aX = b 
Em logo b = x, dizemos: 
a e a base do logaritmo, b e 0 logaritmando, x e 0 logaritmo. 
57 
LOGARITMOS 
40. Exe m plos 
I?) log2 8 = 3, pois 23 = 8 
2?) log) ~ = - 2 pois 3-2 = ~ 
9' 9 
3?) logs 5 1, pois 51 = 5 
4?) log7 1 0, pois 7° = 
3 1. 
5?) log4 8 = 2' pois 42 
, ( 1 )-2 6?) \ogo' 25 = -2, pOlS (0,2t 2 = - = 52 
- 5 25 
Com as restric;6es impostas (a, b E IR, 0 < a "* 1 e b > 0), dados a e 
b existe urn unico x = log a b. 
A operaC;ao, pe\a qual se determina 0 logaritmo de b (b E IR e b > 0) 
numa dada base a (a E IR e 0 < a "* 1), e chamada /ogaritmar ao e 0 resulta-
do dessa operaC;ao e 0 /ogaritmo , 
II. Antilogaritmo 
41. Defini~ao 
Sejam a e b numeros reais positivos com a "* 1; se 0 logaritmo de b na 
base a e x , entao b e 0 antilogaritmo de x na base a. 
Em simbolos , se a, b E IR, 0 < a "* 1 e b > 0, entao: 
log. b = x ¢=} b = antilog.x 
Exemp/os 
I?) antilog)2 = 9, pois log) 9 = 2 
2 °, ) ' I 3 1 'I 1 3 antlog+ = g' pOlS og+ g = 
3?) antilog2(- 2) 1 'I 1 2 -, pOlS og2 - = -4 4 
58 
LOGARITMOS 
EXERCicIOS 
134. Calcule pela definicao os seguintes logaritmos: 
135. 
1 
a) IOg2-
8 
Solu~iio 
1 
a) IOg2 - = X ='> 2x 
8 
b) logs 4 x ='> 8x 
b) logs 4 
1 
8 
='> 2x 
c) IOgO,25 32 ='> (0,25)X = 32 ='> (+ r 
='> -2x 5 ='> x 5 
2 
c) IOgO,25 32 
-3 
2 ='> x 
32 ='> 2-2x 
2 
3 
Ca1cule pela definicao os seguintes logaritmos: 
a) IOg4 16 e) 1 i) 1 IOg7 - IOg9 --
7 27 
b) 1 f) IOg27 81 j) IOgO,25 8 log) -
9 
c) IOgSI 3 g) IOgl 25 25 k) IOg25 0,008 
d) IOgl 8 h) log l 32 I) IOgO,OI 0,00 1 
2 "4 
136. As indicacoes R 1 e R]> na escala Richter , de dois terremotos estao relacionadas 
pela formula 
Rl - R2 = 10giO ( ~~ ) 
em que M J e M2 medem a energia liberada pelos terremotos sob a forma de on-
das que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos : urn corres-
_ M 
pondente a RI = 8 e outro correspondente a R2 = 6. Calcule a razao _ _ I . 
M] 
59 
LOGARITMOS 
137. Calcule pela defini~ao os seguintes logaritmos: 
a) IOg2 J2 d) log 8 m 
b) 10g"G 49 
f) 10g ,iz7 fsi 
g) log --,=- 57 
3 
I 
h) 10g'(4 In 
' >/ 8 
i) log. ~ _3_ 
, 3 (j 
138. Determine 0 conjunto verdade da equa~ao log3 3/25 = x. 5~9 
139. Calcule a soma S nos seguintes casos: 
4 
a) S = logloo 0,001 + IOgl 5 - - logl 25 0,64 
. 9 . 
b) S = logg 2 + 10gf2 8 - 10gf2 18 
c) S = log,,'9 ~ ;7 - 10g,I0.5 18 + log" 100 ~ 
140. Calcule 0 valor de S: 
S = IOg4 (lOg3 9) + IOg2 (lOg81 3) + 10&.8 (lOgl6 32) 
141. Calcule: 
a) antilog3 4 b) antilog l6 ~ 2 c) antilog} - 2 d) anti log 1 - 4 "2 
142. Determine 0 valor de x, na equa~ao y = 210gJ (X+4), para que y seja igual a 8. 
III. Conseqiiencias da definic;ao 
42. Decorrem da defini~ao de Iogaritmos as seguintes propriedades para 
o < a "* 1, b > O. 
I?) " 0 Iogaritmo da unidade em qualquer base e igual a 0." 
log. 1 = 0 
2?) " 0 logaritmo da base em qualquer base e igual a 1." 
log. a = 1 
60 
lOGARITMOS 
3?) "A potencia de base a e expoente logab e igual a b." 
alo8, b = b 
A justifica~ao desta propriedade esta no fato de que 0 logaritmo de b na 
base a e 0 expoente que se deve dar a base a para a potencia obtida ficar igual a b. 
4?) "Dois logaritmos em uma mesma base sao iguais se, e somente se, 
os logaritmandos sao iguais." 
Demonstrariio 
log. b = log. c 
log. b 
(defini~ao 
de !ogaritmo) 
log. c <=? b c 
b (terceira 
conseqiiencia) 
EXERCicIOS 
143. Calcule 0 valor de: 
a) Slog,S b) 31 + log,4 
Solu~ao 
a) SIog,5 = (23)log,5 = (210g,5)3 = 53 = 125 
b) 31+ log,4 = 31 . 310g,4 = 3 · 4 = 12 
144. Calcule 0 valor de: 
a) 310g,2 d) Slog.,5 
b) 410g,3 e) 21 + log,S 
c) 5 10g,,2 f) 32- log,6 
145. Calcule: 
c b 
g) 81 +log,3 
h) ~-log,!2 
a) antilog2 (lOg2 3) b) antilog3 (lOg3 5) 
61 
João Roberto
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João Roberto
Highlight
LOGARITMOS 
146. Se A = 5 l og" 2, determine 0 valor de A 3 . 
147. Determine 0 valor de A tal que 4 log, A + 2A - 2 O. 
IV. Sistemas de logaritmos 
43. Chamamos de sistema de logaritmos de base a ao conjunto de todos os 
logaritmos dos numeros reais positivos em uma base a (0 < a ::f. 1). Por exem· 
plo, 0 conj unto formado por todos os logaritmos de base 2 dos numeros reais 
e. positivos e 0 sistema de logaritmos na base 2. 
Entre a infinidade de valores que pode assumir a base e, portanto, entre 
a infinidade de sistemas de logaritmos, existem dois sistemas de logaritmos par-
ticularmente importantes, que sao : 
a) sistema de logaritmos decimais e 0 sistema de base 10, tam bern cha-
mado sistema de logaritmos vulgares ou de Briggs (Henry Briggs, matemarico 
ingles (1556-1630), quem primeiro destacou a vantagem dos logaritmos de base 
10, tendo publicado a primeira tabua (tabela) dos logaritmos de 1 a 1 000 em 
1617) . 
Indicaremos 0 logaritmo decimal pela nota~ao loglo x ou simplesmente 
log x. 
b) sistema de logaritmos neperianos e 0 sistema de base e (e = 2,71828 ... 
numero irracional), tam bern chamado de sistema de logaritmos naturais. 0 nome 
neperiano vern de John Napier, matemarico escoces (1550-1617), autor do pri-
meiro trabalho pubJicado sobre a teoria dos logaritmos . 0 nome natural se de-
ve ao fato de que no estudo dos fen6menos naturais geralmente aparece uma 
lei exponencial de base e . 
Indicaremos 0 logaritmo neperiano pelas nota~6es loge x ou En x . Em al-
gumas publica~6es tam bern encontramos as nota~6es Lg x ou Lx. 
EXERCicIOS 
148. Seja x 0 numero cujo logaritmo na base (9 vale 0, 75. Determine 0 valor de 
x 2 - 1. 
62 
LOGARITMOS 
149. 0 logaritmo de urn numero na base 16 e~. Calcule 0 logaritmo desse numero 
3 
na base~. 
4 
150. Determine 0 numero, cujo logaritmo na base a e 4 e na base ~ e 8. 
3 
151. Calcu le 0 logaritmo de 144 no sistema de base 2 J3 . 
152. Determine a base do sistema de logaritmos no qual 0 logaritmo de 12 vale -1. 
v. Propriedades dos logaritmos 
Vejamos agora as propriedades que tornam vantajoso a emprego de 10-
garitmos nos ca1culos. 
44. 1?) Logaritmo do produto 
"Em qualquer base a (0 < a *- 1), a logaritmo do produto de dais fato-
res reais positivos e igual a soma dos logaritmos dos fatores." 
z 
Em simbolos: 
Se 0 < a *- 1, b > 0 e c > 0, entao 
log. (b . c) = loga b + loga c. 
Demonstrariio 
Fazendo logo b x, logo c = y e logo (b· c) 
x + y. 
De fato: 
log. b = x => aX 
log. c = y => aY 
log. (b . c) => aZ 
~ 1 => aZ 
b · c 
aX . aY => aZ 
Z, provemos que 
aX + Y => z=x+y 
63 
LOGARITMOS 
45. ObservQ(:oes 
1~) Esta propriedade pode ser estendida para 0 caso do logaritmo do pro-
duto de n (n ~ 2) fatores reais e positivos, isto e: 
Se 0 < a *- 1 e bl' b2 , b3 , •• • , bn E IR:, entao: 
, log. (b l . b2 • b3 ••••• bn) = log. b l + log. b2 + log. b3 + ... + log. bn • 
Demonslrariio 
Faremos a demonstra~ao por indu~ao sobre n. 
a) Para n = 2, e verdadeira, isto e: 
log. (b l . b~ = log. b l
+ log. b2 
b) Suponhamos que a propriedade seja valida parap ~ 2 fatores, isto e: 
Hipotese [ log. (b l . b2 .... . bp) = log. b l + log. b2 + ... + log. bp 
e mostremos que a propriedade e valida para (p + 1) fatores, isto e: 
Tese [ log. (b l . b2 .. ... bp • bp + I) = log. b l + log. b2 + .. . + log. bp + log. bp + I 
Temos: 
1 ~ membra da lese = log. (b l . b2 ... . . bp • bp + I) = 
log. [(bl . b2 ..... bp) • bp + l] = log. (b l . b2 . . .. b p) + log. bp + I 
log. b l + log. b2 + ... + log. bp + log. bp + I = 2 ~ membro da lese. 
2~) Devemos observar que, se b > 0 e c > 0, entao b . c > 0 e vale a 
identidade 
log. (b . c) = log. b + log. c com ° < a *-
mas, se soubermos apenas que b . c > 0, entao teremos : 
64 
log. (b . c) = log.l b l + log.l cl com ° < a *- 1. 
Exemp/os 
1~) logs (3 . 4) = logs 3 + logs 4 
2~) log4 (2 . 3 . 5) = log4 2 + log4 3 + log4 5 
3 ~) log6 3 . (-4) . (-5) = log6 3 + log6 1-4 1 + log6 I-51 
4~) Se x > 0, entao log2 [x . (x + 1)] = log2 X + log2 (x + 1) 
5~) log3 [x . (x - 2)] = log3 X + log3 (x - 2) se, e somente se, x > 0 e 
x - 2 > 0, is to e, x > 2. 
LOGARITMOS 
46. 2?) Logaritmo do quociente 
"Em qualquer base a (0 < a *- 1), 0 logaritmo do quociente de dois nu-
meros reais positivos e igual a diferenc;:a entre 0 logaritmo do dividendo e 0 
logaritmo do divisor." 
Em simbolos: 
Se 0 < a *- J, b > 0 e c > 0, en tao 
log. ( ~ ) = log. b - log. c. 
Demonstrapio 
Fazendo loga b = x, loga c = y e loga ( ~ ) Z, mostremos que z=x- y . 
De fato: 
log. b = x 
log. c = y 
log. ( ~ ) = z 
47. Observafoes 
= aZ 
I ~) Fazendo b = 1, escrevemos: 
aX 
= a Z aX- Y = z 
log. ~ = log. 1 - log. c = log. _1_ = - log. c 
c c 
2~ ) Se b > 0 e c > 0, entao ~ > 0 e vale a identidade: 
c 
log. ( ~ ) = log. b - log. c c~m 0 < a *-
mas, se soubermos apenas que ~ > 0, en tao teremos: 
c 
log. ( ~ ) = log. I b I - log. I c I com 0 < a *- l. 
x - y 
65 
LOGARITMOS 
Exemplos 
I?) logs ( ~ ) = logs 2 - logs 3 
( 2 . 3 ) 2?) log -5- = log (2 . 3) - log 5 = log 2 + log 3 - log 5 
3?) log ( _2_ ) = log 2 - log (3 . 5) = log 2 - [log 3 + log 5] 
3·5 
= log 2 - log 3 - log 5 
4?) Se x > 0, entao log2 (_ x_) = log2 X - log2 (x + 1) 
x + 1 
5?) log3 x + 1 = log3 (x + 1) - log3 (x - 1) se, e somente se, 
x-I 
x + 1 > 0 e x - 1 > 0, isto e, x > 1. 
48. Cologaritmo 
Chama-se cologaritmo de urn numero b (b E IR e b > 0), numa base 
a (a E IR e 0 < a *- 1), ao oposto do logaritmo de b na base a. 
Em simbolos: 
Se 0 < a*-1 e b > 0, entao 
colog. b = -log. b. 
Considerando que loga b = -Ioga~, temos: se 0 < a*-1 e b > 0, 
b 
entao: 
66 
Exemplos 
colog. b = log. _1 
b 
I?) colog2 5 = -log2 5 = log2 ~ 5 
2?) colog2 ~ = -log2 _1 = log2 3 3 3 
LOGARITMOS 
3?) log ( ~ ) = log 2 - log 3 = log 2 + colog 3 
4?) Se x > 1, enUio log3 x - log3 (x - 1) = log3 X + colog3 (x - 1) 
49. 3?) Logaritmo da potencia 
"Em qualquer base a (0 < a "* 1), 0 logaritmo de uma potencia de base 
real positiva e expoente real e igual ao produto do expoente pelo logaritmo da 
base da potencia." 
Em simbolos: 
Se 0 < a =1= 1, b > 0 e a E IR, entao 
log. bOl = a . log. b . 
Demonstrar;iio 
Fazendo loga b = X e loga b'" = y , provemos que y 
De fato: 
log. b = x = aX 
log. b'" = y = aY 
50. Observa90es 
b] = aY b'" a"' ·X = y 
l~) Como corolario desta propriedade, decorre: 
a · x. 
a·x 
"Em qualquer base a (0 < a "* 1), 0 logaritmo da raiz enesima de urn 
numero real positivo e igual ao produto do inverso do indice da raiz pelo loga-
ritmo do radicando" . 
Em simbolos: 
Se 0 < a "* 1, b > 0 e n E IN *, entao 
log. (t; = log. b* = _1_ log. b. 
n 
2~ ) Se b > 0, entao b'" > 0 para todo a real e vale a identidade 
log. bOl = a . log. b 
mas, se soubermos apenas que bOl > 0, entao temos: 
log. b'" = a . log. Ibl . 
67 
LOGARITMOS 
Exemplos 
I?) log3 2s = 5 . log3 2 
I 1 
2?) logs if2 = logs 23 = - . logs 2 
3 
3?) log2 _1_ = log2 3-4 = - 4 . log2 3 
34 
4?) log (x - 1)4 = 4 . log (x - 1) se, e somente se, x- I> 0, isto e, x> I 
5?) Se x "* 0, entao log X2 = 2 . log Ixl. 
51. As propriedades 
1~) log. (b . c) = log. b + log. c 
2~) log. ( ~ ) = log. b - log. c 
3~) log. b" = ex . log. b 
validas com as devidas restrir;oes para a, bee, nos permit em obter 0 logarit-
mo de urn produto, de urn quociente ou de uma potencia, conhecendo somente 
os logaritmos dos termos do produto, dos termos do quociente ou da base de 
potencia. 
Notemos a impossibilidade de obter 0 logaritmo de uma soma au de uma 
diferenr;a por meio de regras analogas as dadas. Assim, para encontrarmos 
log. (b + c) e log. (b - c) 
devemos, respectivamente, caIcular inicialmente (b + c) e (b - c). 
52. As expressoes que envolvem somente as operar;oes de multiplicar;ao, divi-
sao e potenciar;ao sao chamadas express6es logarftmicas, isto e, expressoes que 
podem ser caIculadas utilizando logaritmos, com as restrir;oes ja conhecidas. 
Assim, par exemplo, a expressao 
a" . {t; A = --=----=-"'=-
ell 
em que a, b, c E IR:, ex, {3 E IR e n E IN *, pode ser calculada aplicando 10-
garitmos. 
68 
LOGARlTMOS 
A r . ~ r. ~ I --=----.:~ ~ log A = log ~ log A = log (a" . bn) - log c{3 ~ 
cB c{3 
~ log A = a . log a + ~ log b - (3 log c. 
n 
Dispondo de uma tabela que de log a, log b e log c (veja nas paginas 134 
e 135), ca1culamos log A e, entao, pela mesma tabela, obtemos P. 
EXERCicIOS 
153. Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos (a, bee sao reais positivos): 
( 2ab ) ( a
3b2 ) a) log2 -c- b) log3 ~ 
Solu~iio 
a) log2 ( 2~b ) = log2 (2ab) - log2 c = log2 2 + log2 a + 
- log2 C = I + log2 a + log2 b - log2 C 
log2 b -
( 
a3b2 ) b) log3 ~ = log3 (a3b2) - log3 c4 = log3 a3 + log3 b2 - log3 c4 = 
= 3 log3 a + 2 log3 b - 4 log3 C 
c) log ( _a_3_ ) = log a3 - log (b2 ,fc) = log a3 - (log b2 + log ct ) = 
b2 ,fc 
I 
= 3 log a - 2 log b - - log c 
2 
154. Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos (a, bee sao reais positivos): 
a) log5 ( 5
b
a
C 
) d) log3 ( a . ,~ ) g) log2 1 4a J;.b 
c . h 2 ~ b fc;.2b 
e) log ~acb: (.1 a4 ~ab )2 
h) log ~ b2 ~ 
f) log ~ a 
b2 . ,fc 
( ab2 ) b) log3 -c-
( 
a2 {t; ) 
c) log2 ~ 
69 
João Roberto
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LOGARITMOS 
155. b·c Se m = --;}2' determine log m. 
156. Seja x = ~. CaIcule log x. 
157. Desenvolva, apJicando as propriedades dos logaritmos (a > b > c > 0) : 
2a ( a(a + b)Z ) 
a) logz aZ _ bZ c) log c· 3 Jb 
b) log3 ( a
Z 
-Jbc ) d) log ( ~a(a - W ) ~ (a + W aZ + bZ 
158. Qual e a expressao cujo desenvolvimento logaritmico e: 
1 + logz a - iogz b - 2 logz c (a, b, c sao reais positivos)? 
Solu~iio 
1 + logz a - IOg2 b - 2 logz c = !ogz 2 + logz a - (Iogz b + 2 logz c) = 
= logz (2a) - logz (b . CZ) = logz (~) 
b . CZ 
A -, 2a expressao e --2-' 
bc 
159. Qual e a expressao cujo desenvolvimento logaritmico e dado abaixo (a, b, c sao 
reais positivos)? 
a) logz a + logz b - logz c 
b) 2 log a - log b - 3 log c 
d) ~ log a - 2 log b - ~ log c 
2 3 
1 1 3 
e) - log a - - log c - - log b 
322 
1 1 f) 2 + - logz a + - logz b- Iogz c 3 6 
1 g) - (log a - 3 log b - 2 log c) 
4 
70 
LOGARITMOS 
160. Qual e a expressao cujo desenvolvimento logaritmico e dado abaixo 
( a > b > c> D)? 
a) 1 + log2 (a + b) - log2 (a - b) 
b) 2 log (a + b) - 3 log a - log (a - b) 
c) ~ log (a - b) + log a - log (a + b) 
2 
d) + log (a2 + b2) - [ + log (a + b) - log (a - b) ] 
e) 3 log (a - b) - 2 log (a + b) + 4 log b 
5 
161. Se log x = log b + 2 log c - ~ log a, determine 0 valor de x. 
162. Se log 2 = a e log 3 = b, coloque em fun~ao de a e b os seguintes logaritmos 
decimais: 
a) log 6 e) log 0,5 
b) log 4 f) log 20 
c) log 12 g) log 5 ( (Sugestao: