7. DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL

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DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
DE UM CAMPO VETORIAL
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo B – funções de várias 
variáveis, integrais múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. 
São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 115 – 214 a 228.
STEWART, J. Cálculo. V.II. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 
2004, p. 1075 a 1082.
Profª Me. Adriana Clara Hamazaki – 2018/01
1. DIVERGÊNCIA
Se � �, �, � � � �, �, � �	 
 � �, �, � �	
 
��, �, ���
é um campo vetorial em �� e existem 
��
��
,
��
��
	�
��
��
, 
então a divergência de �	 é a função de três variáveis 
definida por:
���	�	 �
 !
 "
	
 #
 $
 �
 %
Observe que ���	�	 é um campo escalar. Em 
termos do operador gradiente 
& �
 
 "
'	
 
 "
(	
 
 "
)
A divergência de �	 pode ser escrita 
simbolicamente como o produto escalar de 
& e �	:
���	�	 � & · �	 �
 �	"
 "
 �	$
 $
 �	%
 %
Exemplos:
1) Se +	 ", $, % � "%'	
 "$%(	, ��
-
), 
determine a divergência de +	.
���	�	 � & · �	
2) Dado o campo vetorial +	 ", $, % �
2"/'	 
 ���(	
 "$%), calcular div+	.
���	�	 � & · �	
Observação:
A divergência mede a magnitude de 
uma fonte ou um sorvedouro de um 
campo vetorial em um determinado 
ponto. Assim ele pode ser considerado 
um escalar que mede a dispersão ou 
divergência dos vetores do campo num 
determinado ponto.
2. ROTACIONAL
Se � �, �, � � � �, �, � �	 
 � �, �, � �	
 
��, �, ���
é um campo vetorial em �� e as derivadas parciais de 
P, Q e R existem, então o rotacional de �	 é um campo 
vetorial sobre �� definido por:
345	+	 � &"+	 �
'	 (	 )
 
 "
 
 $
 
 %
! # �
Exemplos:
1) Determinar o rotacional de
+	 ", $, % � "%'	
 "$%(	, $6)
345	+	 � &"+	 �
'	 (	 )
�
��
�
��
�
��
�� ��� ,�7
2) Determinar 345	+	, sendo
+	 ", $, % � "%$6'	 
 "$%(	
 3"$)
345	+	 � &"+	 �
'	 (	 )
�
��
�
��
�
��
���7 ��� 9��
Observações:
• Rotacional:
–Mede o quanto os vetores de um 
campo vetorial tendem a girar em 
torno de um determinado eixo. 
– A direção e o sentido deste eixo de 
rotação é dado pelo rotacional, e a 
velocidade de rotação em torno deste 
eixo é dada pelo módulo do rotacional.
Teorema de Clairaut
Se f é uma função de três variáveis que tem 
derivadas parciais de segunda ordem 
contínuas, então 345 &+ � 0.
345	 &+ � &" &+ �
'	 (	 )
 
 "
 
 $
 
 %
 +
 "
 +
 $
 +
 %
Se +	 é um campo vetorial conservativo, então 
345	+	 � 0.
Mostre que +	 ", $, % � $6%�'	 
 2"$%�(	
3"$6%6) é um campo vetorial conservativo.
345	+	 � 0
345	+	 � &"+	 �
'	 (	 )
�
��
�
��
�
��
$6%� 2"$%� 3"$6%6
Exercícios:
Calcule o divergente e o rotacional dos 
campos abaixo:
1) �	�", $, %� � 2"6$	'	
 "$%	(	
 3"%6	)
2) �	�", $, %� � "6$%	'	
 "$6%	(	 
 "$%6	)
3) �	�", $, %� � $%�	'	 , 3"$	(	 
 "/	)
4) �	�", $, %� � "�$	'	, %6	)
5) �	�", $, %� � 3$6%	(	 
 2"$%	)
6) �	�", $, %� � ��	'	 
	 (	
 "��	)
7) �	�", $, %� � ��$	'	
 ��%	(	
 "6	)
8) �	�", $, %� � "	'	
 �� <�= %	(	
�� >4< %	)