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www.profafguimaraes.net 1 Prof. A.F.Guimarães Física 4 – Questões 01 Questão 1 Obtenha uma expressão para a corrente máxima num circuito LC em função dos valores de L, de C e de ܸ (a tensão correspondente à carga máxima do capacitor). Resolução: Para um circuito LC, a expressão da carga em um capacitor é dada por: ݍ ൌ ݍܿݏሺ߱ݐ െ ߶ሻ (1.1) Em que ݍ ൌ ܥ ܸ é a carga máxima no capacitor, ߱ ൌ ሺܮܥሻିభమ é a frequência angular do circuito e ߶ é a fase inicial. (Veja, por exemplo – Física 4, D. Halliday e R. Resnick; 4ª edição; editora LTC, Rio de Janeiro, 1983). Para a intensidade de corrente no circuito, temos de (1.1): ݅ ൌ ݀ݍ݀ݐ � ݅ ൌ െ߱ݍݏ݁݊ሺ߱ݐ െ ߶ሻ (1.2) Logo, de (1.2), temos para a intensidade de corrente máxima no indutor: ݅ ൌ ߱ݍ ݅ ൌ ܸ ൬ܮܥ൰భమ (1.3) Questão 2 Um circuito LC oscilante consistindo de um capacitor de 1,0 nF e de um bobina de 1,5 mH possui uma voltagem máxima de 2,0 V. Determine: (a) a carga máxima no capacitor, (b) a corrente máxima percorrendo o circuito, (c) a energia máxima armazenada no campo magnético da bobina. Resolução: a) Para a carga máxima, temos: ݍ ൌ ܥ ܸ ݍ ൌ ʹ�݊ܥ (2.1) b) Para a intensidade de corrente máxima, temos, de (1.3): ݅ ൌ ܸ ൬ܮܥ൰భమ ؆ ͳǡ͵�݉ܣ (2.2) c) A energia máxima armazenada na bobina é dada por: ܷ ൌ ܮ݅ଶʹ ؆ ͳǡͻͻ ή ͳͲିଽ�ܬ (2.3) Questão 3 Num circuito LC oscilante, (a) que valor da carga, em termos da carga máxima no capacitor, está presente quando a energia é distribuída igualmente entre os campos elétrico e magnético? (b) Para que essa condição seja satisfeita, que fração de um período tem que transcorrer após o instante em que o capacitor se encontre plenamente carregado? Resolução: a) A energia máxima no referido circuito é dada por: ܷ ൌ ݍଶʹܥ (3.1) Ou em termos de corrente: ܷ ൌ ܮ݅ଶʹ (3.2) Tomando a energia distribuída uniformemente entre o capacitor e o indutor, podemos escrever que metade da energia total se encontra armazenada no capacitor. Assim, utilizando (3.1), teremos: ܷ ൌ ܷʹ� www.profafguimaraes.net 2 ݍଶʹܥ ൌ ݍଶͶܥ � ݍ ൌ ݍξʹ (3.3) b) Partindo do tempo inicial com a carga no capacitor sendo máxima, na metade do período, o campo elétrico no capacitor tem seu sentido invertido, mas com a mesma carga inicial. Para um quarto do período, toda a energia estará armazenada no indutor, e nenhuma carga estará presente no capacitor. Logo, temos que tomar, a partir do início, a oitava parte do período ቀݐ ൌ ଼்ቁ, onde teremos metade da energia em cada dispositivo. Questão 4 Calcule o tempo necessário para carregar o capacitor descarregado de 8,0 pF, num circuito LC no qual a tensão máxima é de 1,0 mV e a corrente máxima é de 50 mA. Resolução: De (1.2), temos para a corrente máxima: ݅ ൌ ߱ܥ ܸ (4.1) Utilizando os dados numéricos, temos: ߱ ൌ ǡʹͷ ή ͳͲଵଶ�ݎܽ݀ ή ݏିଵ (4.2) Que conduz a um período dado por: ܶ ൌ ʹ߱ߨ ؆ ͳǡͲͳ ή ͳͲିଵଶ�ݏ (4.3) Partindo do início, onde o capacitor se encontra completamente descarregado, para um tempo correspondente a um quarto do período, o capacitor terá carga máxima. Assim, teremos: ݐ ൌ Ͷܶ ؆ ʹǡͷ͵ ή ͳͲିଵଷ�ݏ (4.4) Questão 5 A fim de sintonizar o sinal de entrada de um rádio, utiliza-se um bonina e um capacitor variável com capacitância entre 20 e 500 pF. Calcule: (a) a razão entre as frequências máxima e mínima que podem ser sintonizadas com tal capacitor. (b) Para sintonizar as frequências num intervalo de 0,54 a 1,60 MHz a razão calculada em (a) será grande demais. Adicionando-se um capacitor em paralelo com o capacitor variável, o intervalo de variação deste último pode ser ajustado. Determine a capacitância e a indutância necessárias para sintonizar o referido intervalo de frequências. Resolução: a) Para a requerida razão das frequências teremos: ߱௫߱À ൌ ቌͳ ܮܥଵൗͳ ܮܥଶൗ ቍ భమ � ߱௫߱À ൌ ൬ܥଶܥଵ൰భమ (5.1) Assim, utilizando os dados numéricos, teremos: ߱௫߱À ൌ ͷ (5.2) b) Quando adicionamos um capacitor em paralelo ao capacitor variável, temos para a capacitância equivalente, por exemplo, para a menor: ܥଵ ൌ ܥ ܥଵ (5.3) A razão entre as frequências dadas é dada por: ߥଶߥଵ ൌ ͳǡͲͲǡͷͶ ؆ ʹǡͻ (5.4) Assim, utilizando a relação (5.1), temos: ͷͲͲ ܥʹͲ ܥ ൌ ͺǡ� ܥ ؆ Ͷͳǡͻ�ܨ (5.5) www.profafguimaraes.net 3 Para a indutância, podemos utilizar uma das frequências dadas. Por exemplo, para a frequência de 0,54 MHz, temos: ߱ଵ ൌ ʹߨߥଵ ؆ ͵ǡ͵ͻ ή ͳͲ�ݎܽ݀ ή ݏିଵ (5.6) Agora, de (5.6), teremos: ߱ଵ ൌ ൫ܮܥଵ൯ିభమ � ܮ ؆ ͳǡ ή ͳͲିସ�ܪ (5.7) Utilizando a outra frequência, obteremos um resultado igual ao resultado obtido em (5.7), pelo menos até a primeira casa decimal. Questão 6 Um corpo de 20 kg oscila preso a uma mola que, quando distendida 2 cm da sua posição de equilíbrio, tem uma força restauradora de 5 N. Determine a capacitância do sistema LC análogo, com ܮ ൌ ͳǡͲ ή ͳͲିଷ�ܪ. Resolução: A frequência angular de oscilação de um sistema massa-mola é dada por: ߱ ൌ ൬ ݇݉ ൰భమ (6.1) Em que ݇ ൌ ி௫ é a constante elástica. Para um circuito LC oscilar com a mesma frequência angular, teremos: ͳܮܥ ൌ ݇݉ (6.2) Agora utilizando os dados numéricos em (6.2), teremos: ܥ ൌ ݉݇ܮ ൌ ͺͲ�ܨ (6.3) Questão 7 Num circuito LC, temos: ܮ ൌ ʹͲ�݉ܪ e ܥ ൌ ͺͲͲ�ܨ. Calcule a resistência de um resistor que deve ser adicionado ao circuito para que a frequência do circuito RLC livre obtido seja dada por ߱Ԣ ൌ Ͳǡͻ߱, onde ߱ é a frequência angular do circuito LC livre. Resolução: A frequência do circuito LC é dada por: ߱ ൌ ሺܮܥሻିభమ (7.1) E a frequência do circuito RLC é dada por: ߱Ԣ ൌ ቈ ͳܮܥ െ ൬ ܴʹܮ൰ଶభమ (7.2) Assim, utilizando (7.1) e (7.2), teremos: ቈ ͳܮܥ െ ൬ ܴʹܮ൰ଶభమ ൌ Ͳǡͻ ͳܮܥ൨భమ ܴ ؆ Ͳǡͺͺ ൬ܮܥ൰భమ (7.3) Utilizando os dados numéricos, teremos: ܴ ؆ ͶͶͲͲ�ȳ (7.4) Questão 8 Num circuito LC amortecido, determine o tempo necessário para que a energia máxima presente no capacitor durante uma oscilação caia à metade da energia máxima presente durante a primeira oscilação. Suponha ݍ ൌ ݍ em ݐ ൌ Ͳ. Resolução: A carga em no capacitor para esse circuito é dada por: ݍ ൌ ݍ݁ିೃమಽܿݏ߱Ԣݐ (8.1) www.profafguimaraes.net 4 Em que ߱Ԣ é dado por (7.2). (Veja, por exemplo – Física 4, D. Halliday e R. Resnick; 4ª edição; editora LTC, Rio de Janeiro, 1983). A energia máxima no capacitor é dada por (3.1). Para a energia máxima cair pela metade, a carga máxima no capacitor deverá ser igual a: ݍԢ ൌ ݍξʹ (8.2) Logo, a amplitude dada em (8.1) deve cair para o valor dado em (8.2). Logo: ݍξʹ ൌ ݍ݁ିೃమಽ�� ʹ ൌ ܴݐܮ �� ݐ ൌ ʹಽೃ (8.3) Questão 9 Mostre que, no caso de amortecimento fraco, a intensidade da corrente num circuito LC amortecido, é dada aproximadamente por: ݅ ൌ െݍ߱Ԣ݁ିೃమಽݏ݁݊ሺ߱ᇱݐ ߶ሻ em que ߶ ൌ ܽݎܿݐ݃ ோଶఠᇱ. Resolução: Da equação (8.1), teremos: ݅ ൌ ݀ݍ݀ݐ ൌ െݍ݁ିೃమಽ ܴʹܮ ܿݏ߱ᇱݐ ߱Ԣݏ݁݊߱Ԣݐ൨ (9.1) Poderemos utilizar a relação: ݏ݁݊ሺܣ േ ܤሻ ൌ ݏ݁݊ܣ�ܿݏܤ േ ܿݏܣ�ݏ݁݊ܤ (9.2) Comparando com (9.1), podemos ter: ݅ ൌ െݍ݁ିೃమಽݏ݁݊ሺ߱ᇱݐ ߶ሻ (9.3) Desde que: ݏ݁݊�߶ ൌ ܴʹܮ ����ܿݏ�߶ ൌ ߱Ԣ (9.4) Questão 10 “Q” de um circuito. Mostre que, no circuito LC amortecido, a fração da energia perdida por ciclo é muito aproximadamente igual a ଶగோఠ . A quantidade ఠோ é muitas vezes chamada o “Q” do circuito (inicial de “qualidade”). Um circuito de “alto Q” tem resistênciabaixa, e baixa perda relativa de energia por ciclo ቀൌ ଶగொ ቁ. Resolução: Por exemplo, para o primeiro ciclo, temos que a energia máxima é dada por: ܷ ൌ ݍଶʹܥ (10.1) Para o ciclo subsequente, de (8.1), a energia máxima será dada por: ܷԢ ൌ ݍଶʹܥ ή ݁ିଶగோఠᇱ (10.2) Em que ܶ ൌ ଶగఠᇱ. Assim, teremos: οܷܷ ൌ ܷԢ െ ܷܷ ൌ ݁ିଶగோఠᇱ െ ͳ (10.3) Utilizando ݁௫ ؆ ͳ ݔ ڮ Ǣ�െλ ൏ ݔ ൏ λ, (Veja: Manual de fórmulas e tabelas matemáticas, Coleção Schaum, McGraw Hill, Murray R. Spiegel, São Paulo , 1973), teremos: οܷܷ ؆ െʹߨܴܮ߱Ԣ (10.4) O sinal negativo indica a perda de energia por ciclo. www.profafguimaraes.net 5 Obs.: Penso que na digitação da questão, foi esquecido o apóstrofo em ߱, no enunciado. Ainda que fosse desprezado o termo da resistência em ߱Ԣ, ver (7.2), fazendo ߱Ԣ ؆ ߱, o erro para tal aproximação é muito pequeno. Isto acontece devido à baixa resistência. Questão 11 Seja ߥ a frequência natural das oscilações de um circuito LC. Ligamos este circuito em série com uma resistência R. Supondo ߱ܮ ب ܴ, obtenha uma expressão aproximada para a determinação da variação relativa da frequência de ressonância. Resolução: Seja a frequência natural dada por: ߱ ൌ ʹߨߥ ൌ ሺܮܥሻିభమ (11.1) A frequência para o circuito LC amortecido é dada por (7.2). Logo: ʹߨߥ ൌ ቈ ͳܮܥ െ ൬ ܴʹܮ൰ଶభమ (11.2) Substituindo (11.1) em (11.2), teremos: ʹߨߥ ൌ ʹߨߥ ቈͳ െ ൬ ܴʹߨߥʹܮ൰ଶభమ (11.3) Utilizando ሺͳ ݔሻభమ ؆ ͳ ௫ଶ ڮ Ǣ�െͳ ൏ ݔ ͳ, (Veja: Manual de fórmulas e tabelas matemáticas, Coleção Schaum, McGraw Hill, Murray R. Spiegel, São Paulo , 1973), teremos: ߥ ؆ ߥ െ ߥ߱ ή ܴଶͺܮଶ �� ߥ െ ߥߥ ൌ ܴଶܥͺܮ (11.4) Em que ߱ é dado por (11.1), e para chegar a (11.4), utilizou-se o fato de que ߱ܮ ب ܴ. Questão 12 Numa cavidade ressonante cilíndrica o raio da cavidade vale 2 cm; determine a frequência angular das oscilações eletromagnéticas no interior desta cavidade. Resolução: A frequência angular para a cavidade ressonante cilíndrica é dada por: ߱ ൌ ʹǡͶͳܿܽ (12.1) Em que ܿ ؆ ͵ ή ͳͲ଼�݉ ή ݏିଵ é a velocidade da radiação eletromagnética no vácuo e a é o raio da cavidade. (Veja, por exemplo – Física 4, D. Halliday e R. Resnick; 4ª edição; editora LTC, Rio de Janeiro, 1983). Assim, teremos: ߱ ؆ ͵ǡʹ ή ͳͲଵ�ݎܽ݀ ή ݏିଵ (12.2) Questão 13 Considere o circuito da figura 13.1. A chave S é fechada para ݐ� ൌ �Ͳ, produzindo uma corrente ݅ଵ que passa através do ramo do indutor e uma corrente ݅ଶ que passa através do ramo do capacitor. A carga inicial do capacitor é igual a zero e a carga no instante t é igual a ݍଶ. A) Deduza expressões para ݅ଵǡ ݅ଶ��ݍଶ em função do tempo. Expresse as respostas em termos de ࣟǡ ܮǡ ܥǡ ܴଵǡ ܴଶ��ݐ. Para o restante deste problema, use os seguintes valores para os elementos do circuito: ࣟ ൌ Ͷͺ�ܸǡ ܮ ൌ ͺǡͲ�ܪǡ ܥ ൌ ʹͲ�ߤܨǡ ܴଵ ൌʹͷ�ȳ��ܴଶ ൌ ͷͲͲͲ�ȳ. B) Qual é a corrente inicial que passa através do ramo do indutor? Qual é a corrente inicial que passa através do ramo do capacitor? C) Quais são as correntes que passam através do ramo do indutor e do ramo do capacitor um longo tempo depois de a chave ser fechada? Qual é a duração desse “longo tempo”. Explique. D) Para qual tempo ݐଵ (com precisão de dois algarismos significativos) a corrente ݅ଵ torna- se igual a ݅ଶ? (Dica: Você deve considerar os desenvolvimentos em série da função exponencial.). E) Calcule ݅ଵ para as condições especificadas no item (D). F) A corrente total através do da bateria é ݅ ൌ ݅ଵ ݅ଶ. Para qual www.profafguimaraes.net 6 tempo ݐଶ (com precisão de dois algarismos significativos) a corrente i torna-se igual a um meio de seu valor final? (Dica: O cálculo numérico pode ser simplificado se você fizer aproximações adequadas. Um desenho de ݅ଵ���݅ଶ em função de t pode ajudar a decidir qual é a aproximação válida.) Figura 13.1 Resolução: A) Para o ramo do indutor, temos: ࣟ ൌ ܴଵ݅ଵ ܮ ݀݅ଵ݀ݐ (13.1) A solução de (13.1) é bem conhecida e é dada por: ݅ଵ ൌ ܴࣟଵ ቀͳ െ ݁ିೃభಽ ቁ (13.2) Sendo que para ݐ ൌ Ͳ ֜ ݅ଵ ൌ Ͳ. Agora para o ramo do capacitor, temos: ࣟ ൌ ܴଶ݅ଶ ݍଶܥ (13.3) Em que ݅ଶ ൌ ௗమௗ௧ . Logo, (13.3) se torna: ࣟ ൌ ܴଶ ݀ݍଶ݀ݐ ݍଶܥ (13.4) Cujo resultado é bastante conhecido, e é dado por: ݅ଶ ൌ ܴࣟଶ ݁ି ೃమ (13.5) Sendo que para ݐ ൌ Ͳ ֜ ݅ଶ ൌ ࣟோమ. B) Conforme as condições iniciais: ݅ଵ ൌ Ͳ��݅ଶ ൌ ࣟோమ. C) Para que as condições estacionárias se estabeleçam, o intervalo de tempo deve ser muito grande ሺݐ ՜ λሻ. Assim, utilizando os dados numéricos e (13.2), teremos: ݅ଵ ՜ ܴࣟଵ ൌ ͳǡͻʹ�ܣ (13.6) E de (13.5): ݅ଶ ՜ Ͳ (13.7) D) Utilizando as expressões de (13.2) e (13.5), teremos: ܴࣟଵ ቀͳ െ ݁ିೃభಽ ቁ ൌ ܴࣟଶ ݁ି ೃమ�� ͳ െ ݁ିೃభಽ ൌ ܴଵܴଶ ݁ି ೃమ (13.8) Utilizando a expansão da exponencial, conforme foi utilizada na Questão 9, teremos: ݐ ቆͳܮ ͳܴଶଶܥቇ ൌ ͳܴଶ (13.9) Utilizando os dados numéricos em (13.9), teremos: ݐ ؆ ͳǡ ή ͳͲିଷ�ݏ (13.10) E) Utilizando o resultado de (13.10) em (13.2), teremos: ݅ଵ ؆ ͻǡ�݉ܣ (13.11) ࣟ ܵ ܴଵ ܴʹ ܮ ܥ www.profafguimaraes.net 7 F) Utilizando (13.2) e (13.5), teremos para a corrente total: ݅ ൌ ࣟ ͳܴଵ ቀͳ െ ݁ିೃభಽ ቁ ͳܴଶ ݁ି ೃమ൨ (13.12) A corrente final é dada por (13.6), logo, tomando a metade, teremos: Ͳǡͻ ൌ Ͷͺ ͳʹͷ ቀͳ െ ݁ିమఱఴ ቁ ͳͷ ή ͳͲଷ ݁ି బǡభ൨ (13.13) Com o auxílio de uma planilha poderemos confeccionar o gráfico de i X t. No entanto, pode ser muito laborioso mesmo com o referido auxílio. Então, vamos partir do tempo um pouco superior ao que foi encontrado em (13.10) até um valor de 0,3 s (pode-se plotar até 1 s, porém um valor menor já é suficiente). Figura 13.2 Observando o gráfico da figura 13.2, podemos concluir que o instante procurado está entre 0,2 s e 0,25 s. Agora efetuando outra plotagem, podemos encontrar o instante procurado. Figura 13.3 O instante mais próximo é o de 0,22 s. Para esse instante, o gráfico confere uma corrente de aproximadamente 0,956 A. 0,85 0,9 0,95 1 1,05 0,2 0,22 0,24 i( A ) t (s) i X t 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 0 0,1 0,2 0,3 0,4 i( A ) t(s) i X t
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