Física 4 10 exercícios resolvidos

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1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 4 – Questões 10 
 Questão 1
Dilatação do tempo na vida cotidiana. Dois 
relógios atômicos são cuidadosamente 
sincronizados. Um deles permanece em Nova York 
e o outro é montado em um avião que se desloca 
com velocidade média igual a ʹͷͲ�݉ ή ݏିଵ e 
posteriormente volta para Nova York. Quando o 
avião retorna, o intervalo de tempo total medido 
pelo relógio no solo é igual a 4 h. Qual é a 
diferença entre os intervalos de tempo medidos 
pelos dois relógios e qual deles indica o intervalo 
mais curto? (Dica: Como ݑ ا ܿ, você pode 
simplificar ඥͳ െ ݑଶ ܿଶΤ usando a série binomial.) 
Resolução: 
O intervalo medido pelo referencial em repouso 
na terra (Nova York) é dado, segundo as 
transformações de Lorentz, por: οݐ ൌ οݐ଴ටͳ െ ݑଶܿଶ 
 (1.1) 
Em que οݐ଴, é o intervalo de tempo medido no 
referencial em repouso com relação ao avião. 
Sabendo que a velocidade do avião é muito menor 
do que a velocidade da luz no vácuo (ar), então 
teremos: 
ቆͳ െ ݑଶܿଶቇିభమ ؆ ͳ ൅ ͳʹ ή ቆݑଶܿଶቇ 
(1.2) 
Utilizando o resultado de (1.2) em (1.1), teremos: 
οݐ ؆ οݐ଴ ൭ͳ ൅ ͳʹ ή ቆݑଶܿଶቇ൱ 
(1.3) 
Utilizando os dados numéricos em (1.3), teremos: οݐ଴ ൌ οݐͳ ൅ ͳʹ ή ൬ݑଶܿଶ൰�� 
 οݐ଴ ൌ Ͷͳ ൅ ͳʹ ή ൬ ʹͷͲଶͻ ή ͳͲଵ଺൰ 
(1.4) 
 
Agora, tomando a diferença, teremos: 
 οݐ െ οݐ଴ ؆ οݐ଴ʹ ή ݑଶܿଶ 
 (1.5) 
 
Substituindo o resultado de (1.4), no membro 
direito de (1.5), teremos: 
 
οݐ െ οݐ଴ ൌ ʹ ή ۉۈ
ۇ ʹͷͲଶ ͻ ή ͳͲଵ଺ൗͳ ൅ ͳʹ ή ൬ ʹͷͲଶͻ ή ͳͲଵ଺൰یۋ
ۊ�� 
οݐ െ οݐ଴ ؆ ʹ ή ͸ǡͻͶ ή ͳͲିଵଷ ؆ ͳǡ͵ͻ ή ͳͲିଵଶ݄ 
(1.6) 
 
Cerca de ͷ�݊ݏ. O relógio no avião indica um 
intervalo de tempo mais curto. 
 
 Questão 2
 
Quando você está pilotando sua espaçonave em 
uma viagem até a Lua, uma astronauta passa por 
você pilotando uma espaçonave veloz com uma 
velocidade igual a ͲǡͺͲͲܿ em relação a você. No 
instante em que a astronauta passa por você, 
ambos começam a cronometrar o tempo a partir 
de zero. A) No instante em que a astronauta está a 
uma distância de ͳǡʹͲ ή ͳͲ଼݉ de você, qual é a 
leitura indicada no cronômetro da astronauta? B) 
Quando a astronauta mede o tempo indicado no 
item (A), qual é a distância que ela mede entre 
você e ela? C) Quando a astronauta mede o tempo 
indicado no item (A), qual é o intervalo de tempo 
que você verifica no seu cronômetro? 
Resolução: 
a) Para o piloto, o intervalo de tempo decorrido 
para que a astronauta esteja a ͳǡʹͲ ή ͳͲ଼݉ à sua 
frente, será dado por: 
 
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2 
οݐ ൌ ͳǡʹͲ ή ͳͲ଼݉ͲǡͺͲͲ ή ͵ ή ͳͲ଼ ׵ οݐ ൌ Ͳǡͷ�ݏ 
(2.1) 
Agora, para o referencial da astronauta, teremos: 
οݐ଴ ൌ οݐ ή ඨͳ െ ݒଶܿଶ �� οݐ଴ ൌ Ͳǡͷ ή ඥͳ െ Ͳǡ͸Ͷ ׵ οݐ଴ ൌ Ͳǡ͵�ݏ 
(2.2) 
b) Para a astronauta, a distância seria dada por: 
ܵ ൌ ܵ଴ ή ඨͳ െ ݒଶܿଶ 
(2.3) 
Só que agora, o comprimento próprio seria o valor 
de ͳǡʹͲ ή ͳͲ଼݉. Assim, teremos: ܵ ൌ ͳǡʹͲ ή ͳͲ଼ ή ඥͳ െ Ͳǡ͸Ͷ � ׵ ܵ ൌ ͹ǡʹ ή ͳͲ଻݉ 
(2.4) 
Ou, poderíamos calcular essa distância, levando 
em consideração que, para a astronauta, o piloto 
viaja com a velocidade de ͲǡͺͲͲܿ, porém, no 
sentido oposto. Utilizando o intervalo de tempo 
medido por ela (2.2), teremos: οܵ ൌ ͲǡͺͲͲ ή ͵ ή ͳͲ଼ ή Ͳǡ͵ ൌ ͹ǡʹ ή ͳͲ଻݉ 
(2.5) 
c) Ainda, levando em consideração o referencial 
da astronauta, o intervalo de tempo medido pelo 
piloto seria o tempo próprio. Logo, de forma 
semelhante ao que foi efetuado em (2.2), teremos: 
οݐԢ଴ ൌ οݐ ή ඨͳ െ ݒଶܿଶ �� οݐ଴ ൌ Ͳǡ͵ ή ඥͳ െ Ͳǡ͸Ͷ ׵ οݐ଴ ൌ Ͳǡͳͺ�ݏ 
(2.6) 
Obs.: Pode parecer estranho, pois o resultado de 
(2.6) difere do resultado de (2.1). Podemos 
reparar que o piloto, levando em consideração o 
tempo de trânsito de um sinal emitido do ponto ͳǡʹͲ ή ͳͲ଼݉, afirma que a astronauta passou nesse 
ponto no mesmo instante em que a leitura de seu 
cronômetro era igual a Ͳǡͷ�ݏ. Todavia, a astronauta 
afirma que aqueles dois eventos ocorreram em 
pontos diferentes e não eram simultâneos. Ela 
passava pela posição quando o intervalo de tempo 
medido pelo piloto indicava Ͳǡͳͺ�ݏ. 
 
 Questão 3
 
Uma partícula instável se forma a partir de um 
raio cósmico na atmosfera superior da Terra e se 
desloca verticalmente de cima para baixo com 
velocidade igual a ͲǡͻͻͷͶͲܿ em relação à Terra. 
Um cientista em repouso na superfície da 
terrestre verifica que essa partícula é criada a uma 
altura de ͶͷǡͲ�݇݉. A) Em relação ao cientista, 
quanto tempo a partícula leva para se deslocar ͶͷǡͲ�݇݉ até a Terra? B) Use a fórmula da 
contração do comprimento para calcular a 
distância entre a partícula e a Terra no momento 
em que ela foi criada, em relação ao sistema de 
referência da própria partícula. C) No sistema de 
referência da partícula, qual é o intervalo de 
tempo desde o momento em que ela é criada até o 
instante em que ela atinge a superfície da Terra? 
Calcule esse tempo aplicando a fórmula da 
dilatação do tempo e também pela distância 
calculada no item (B). Os dois resultados 
concordam? 
Resolução: 
a) Com relação ao cientista, teremos: 
 οݐ ൌ ͶͷͲͲͲͲǡͻͻͷͶͲ ή ͵ ή ͳͲ଼ ൌ ͳǡͷ ή ͳͲିସݏ 
(3.1) 
 
b) Utilizando a fórmula de contração do 
comprimento, teremos: 
 ݄ ൌ ݄଴ ή ඨͳ െ ݒଶܿଶ �� ݄ ൌ Ͷͷ ή ඥͳ െ ͲǡͻͻͷͶͲଶ ׵ ݄ ൌ Ͷǡ͵�݇݉ 
(3.2) 
 
c) Utilizando a fórmula de contração do tempo, 
juntamente com o resultado de (3.1), teremos: 
 
 
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οݐ ൌ οݐ଴ටͳ െ ݒଶܿଶ �� οݐ଴ ൌ ͳǡͷ ή ͳͲିସ ή ඥͳ െ ͲǡͻͻͷͶͲଶ ׵ οݐ଴ ؆ ͳǡͶͶ ή ͳͲିହݏ 
(3.3) 
Agora, utilizando o resultado de (3.2), teremos: οݐ଴ ൌ Ͷ͵ͲͲͲǡͻͻͷͶͲ ή ͵ ή ͳͲ଼ ؆ ͳǡͶͶ ή ͳͲିହݏ 
 (3.4) 
Os resultados de (3.3) e (3.4) concordam 
(diferença na terceira casa decimal). 
 
 Questão 4
Resolva as equações: ݔᇱ ൌ ௫ି௨௧ටଵିೠమ೎మ ൌ ߛሺݔ െ ݑݐሻ, ݕᇱ ൌ ݕ, ݖᇱ ൌ ݖ, ݐᇱ ൌ ௧ିೠೣ೎మටଵିೠమ೎మ ൌ ߛ ቀݐ െ ௨௫௖మቁ. 
 
E obtenha ݔ e ݐ em função de ݔǯ e ݐǯ para 
mostrar que a transformação resultante possui a 
mesma forma da transformação original, exceto 
que o sinal de ݑ fica trocado. 
Resolução: 
Para as variáveis ݕ e ݖ não há o que fazer. Agora, 
tomemos a variável ݔǯ: ݔ ൌ ݔԢߛ ൅ ݑݐ 
(4.1) 
Substituindo (4.1) na expressão de ݐǯ, teremos: ݐᇱ ൌ ߛݐ െ ߛݑܿଶ ቆݔԢߛ ൅ ݑݐቇ 
(4.2) 
Resolvendo (4.2) para ݐ, teremos: 
ݐ ൌ ݐᇱ ൅ ݑݔԢܿଶߛ ൬ͳ െ ݑଶܿଶ൰ ൌ ߛ ቆݐᇱ ൅ ݑݔԢܿଶ ቇ 
(4.3) 
 
Lembrando que ߛ ൌ ൫ͳ െ ೠమ೎మ൯ష�భమ. Agora, com o 
resultado de (4.3), podemos voltar em (4.1) e 
resolver para ݔ. Logo: 
 ݔ ൌ ݔᇱߛ ൅ ݑ ቈߛ ቆݐᇱ ൅ ݑݔᇱܿଶ ቇ቉ ݔ ൌ ߛݔᇱ ቆ ͳߛଶ ൅ ݑଶܿଶቇ ൅ ߛݑݐᇱ� ׵ ݔ ൌ ߛሺݔᇱ ൅ ݑݐԢሻ 
(4.4) 
 
 Questão 5
 
Uma espaçonave do planeta Imperial se desloca 
com velocidade elevada em relação ao planeta 
Áureo e dispara um foguete para atingir o planeta 
Áureo com uma velocidade igual a 0,920c em 
relação à espaçonave. Um observador na 
superfície do planeta Áureo verifica que o foguete 
está se aproximando com velocidade de 0,360c. 
Qual é a velocidade da espaçonave em relação ao 
planeta Áureo? A espaçonave está se aproximando 
ou afastando do planeta? 
Resolução: 
A expressão de soma de velocidades para a 
relatividade restrita é dada por: 
 ݒԢ ൌ ݒ െ ݑͳ െ ݑݒܿଶ 
(5.1) 
 
Em que ݒᇱ ൌ ͲǡͻʹͲܿ, a velocidade do foguete com 
relação à espaçonave, ݒ ൌ Ͳǡ͵͸Ͳܿ, a velocidade do 
foguete com relação ao planeta Áureo e u é a 
velocidade da espaçonave com relação ao planeta 
Áureo. Substituindo os dados em (5.1), teremos: 
 ͲǡͻʹͲܿ ൌ Ͳǡ͵͸Ͳܿ െ ݑͳ െ Ͳǡ͵͸Ͳݑܿ ͲǡͻʹͲܿ െ ͲǡͻʹͲ ή Ͳǡ͵͸Ͳݑ ൌ Ͳǡ͵͸Ͳܿ െ ݑ ׵ ݑ ൌ െͲǡͺ͵͹ܿ 
(5.2) 
 
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4 
A espaçonave se afasta do planeta Áureo. 
 Questão 6
Mavis se move com velocidade constante ݑ em 
relação a Stanley. Seja S’ o sistema de referência 
de Mavis e S o sistema de referência de Stanley; as 
origens dos dois sistemas coincidem para ݐ ൌ ݐᇱ ൌ Ͳ. Mavis verifica que dois eventos 1 e 2 
ocorrem simultaneamente em S’ nos pontos ݔଵԢ�‡�ݔଶԢ, onde ݔଶԢ ൐ ݔଵԢ. Desenhe um diagrama de 
espaçotempo para verificar se Stanley mediu ou 
não os mesmos dois eventos simultaneamente em 
S. Se eles não ocorrem simultaneamenteno 
sistema de referência de Stanley, qual dos dois 
eventos ocorre primeiro? Explique. 
Resolução: 
O diagrama espaçotempo dos dois referenciais 
está representado na figura 6.1. 
 
Figura 6.1 
Observando os diagramas representados na figura 
6.1, podemos verificar que os eventos 1 e 2 são 
simultâneos para o referencial S’ (azul). No 
entanto, para o referencial S (preto), o evento 1 
ocorreu antes do evento 2. 
 Questão 7
Com base em ܿ, qual é a velocidade relativa ݑ 
entre uma fonte de ondas eletromagnéticas e o 
observador quando ocorre: A) uma diminuição de 
frequência de 2%? B) Um aumento de um fator 
igual a 4 na frequência da luz observada? 
Resolução: 
a) Para uma diminuição da frequência, a fonte 
deve estar se afastando do observador. Logo, a 
frequência será dada por: 
݂ ൌ ଴݂ටܿ െ ݑܿ ൅ ݑ 
 (7.1) 
 
Uma diminuição de 2% corresponde a uma 
frequência de Ͳǡͻͺ ଴݂. Utilizando (7.1), teremos: 
 Ͳǡͻͺ ൌ ቀܿ െ ݑܿ ൅ ݑቁభమ Ͳǡͻ͸ͲͶሺܿ ൅ ݑሻ ൌ ܿ െ ݑ ׵ ݑ ൌ ͲǡͲʹͲͳܿ 
 (7.2) 
 
b) Para um aumento de 4 vezes, teremos a fonte 
se aproximando do observador. Assim, teremos: 
 ݂ ൌ ଴݂ඨܿ ൅ ݑܿ െ ݑ Ͷ ൌ ൬ܿ ൅ ݑܿ െ ݑ൰భమ ͳ͸ሺܿ െ ݑሻ ൌ ܿ ൅ ݑ ׵ ݑ ؆ Ͳǡͺͺʹܿ 
(7.3) 
 
 Questão 8
 
Uma partícula com massa ݉ se move ao longo 
de uma linha reta sob a ação de uma força ܨ 
dirigida ao longo da mesma linha reta. Calcule a 
derivada da equação ݌Ԧ ൌ ݉ݒԦ ටͳ െ ೡమ೎మൗ para 
mostrar que a aceleração ܽ ൌ ݀ݒ ݀ݐΤ da partícula é 
dada por ܽ ൌ ሺܨ ݉Τ ሻሺͳ െ ݒଶ ܿଶΤ ሻయమ. Calcule a 
derivada de ݌Ԧ para encontrar uma expressão para 
o módulo da aceleração em função de ܨ, ݉ e ݒ ܿΤ 
quando a força for perpendicular à velocidade. 
Resolução: 
Calculando a derivada, teremos: 
 ݀݌Ԧ݀ݐ ൌ ݉ ݀݀ݐ ቆ ݒԦξͳ െ ௩మ ௖మΤ ቇ ൌ ݉ ቈ݀ݒԦ݀ݐ ή ξͳ െ ௩మ ௖మΤሺͳ െ ௩మ ௖మΤ ሻ െ ݒԦሺݒ ܿଶΤ ሻሺͳ െ ௩మ ௖మΤ ሻଷ ଶൗ ή ݀ݒ݀ݐ቉ 
(8.1) 
 
Tomando o movimento retilíneo, ou seja, força 
paralela à aceleração, teremos de (8.1): 
 
ܿݐ 
ݔ 
ࢉ࢚Ԣ 
࢞Ԣ ࢉ࢚૚ᇱ ൌ ࢉ࢚૛Ԣ ࢞૚Ԣ Ԣ ࢞૛Ԣ 
ܿݐଵ ܿݐܿݐଶ 
ݒ ൌ ݒᇱ ൌ ܿ 
ݔଵ ݔଶ 
ͳ ʹ 
 
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5 
ܨ ൌ ݉ ቈ ͳሺͳ െ ௩మ ௖మΤ ሻଵ ଶൗ ൅ ݒଶܿଶ ή ͳሺͳ െ ௩మ ௖మΤ ሻଷ ଶൗ ቉ ݀ݒ݀ݐ ܨ ൌ ݉ ή ݀ݒ݀ݐ ή ͳሺͳ െ ௩మ ௖మΤ ሻଷ ଶൗ ׵ ܽ ൌ ݀ݒ݀ݐ ൌ ݉ܨ ή ሺͳ െ ௩మ ௖మΤ ሻଷ ଶൗ 
(8.2) 
Tomando a força perpendicular à velocidade, 
movimento circular, teremos, ݀ݒ ݀ݐΤ ൌ Ͳ. Logo, 
utilizando (8.1), temos: ܨԦ ൌ ݉ ή ݀ݒԦ݀ݐ ή ͳሺͳ െ ௩మ ௖మΤ ሻଵ ଶൗ ׵ Ԧܽ௖௣ ൌ ݀ݒԦ݀ݐ ൌ ܨԦ݉ ή ሺͳ െ ௩మ ௖మΤ ሻଵ ଶൗ 
(8.3) 
 Questão 9
Partindo de ܧ ൌ ܿඥ݉଴ଶܿଶ ൅ ݌ଶ, mostre que no 
limite clássico ሺ݌ܿ ا ݉଴ܿଶሻ a energia tende ao 
limite clássico da energia cinética somada com a 
energia de repouso. 
Resolução: 
Tomando a expressão da energia total, temos: 
ܧ ൌ ݉଴ܿଶ ቈͳ ൅ ݌ଶ݉଴ଶܿଶ቉భమ 
(9.1) 
Agora, utilizando em (9.1) a expansão ሺͳ ൅ ݔሻ௡ ؆ ͳ ൅ ݊ݔ, para ݔ ൏ ͳ, teremos: ܧ ؆ ݉଴ܿଶ ቆͳ ൅ ͳʹ ݌ଶ݉଴ଶܿଶቇ ׵ ܧ ؆ ݉଴ܿଶ ൅ ݌ଶʹ݉଴ 
 (9.2) 
Em que o último termo de (9.2), representa a 
energia cinética. 
 Questão 10
Um elétron de ͲǡͶʹͲ�ܯܸ݁ em um tubo de raios 
X colide com um anodo. Determine: A) Sua energia 
cinética em ܸ݁. B) Sua energia total em ܸ݁. C) Sua 
velocidade. D) Qual é a velocidade do elétron, 
calculada classicamente? 
Resolução: 
a) A energia cinética: 
 ܭ ൌ Ͷǡʹ ή ͳͲହ�ܸ݁ 
(10.1) 
 
b) A energia de repouso do elétron vale: 
 ܧ଴ ൌ ݉଴ܿଶ ൌ ͷͳʹͶ͵͹ǡͷ�ܸ݁ 
(10.2) 
 
Assim, a energia total será: 
 ܧ ൌ ܭ ൅ ܧ଴ ׵ ܧ ൌ ͻ͵ʹͶ͵͹ǡͷ�ܸ݁ 
(10.3) 
 
c) A energia cinética é dada por: 
 ܭ ൌ ۉۇ ͳටͳ െ ݒଶܿଶ െ ͳیۊ݉଴ܿଶ 
(10.4) 
 
Resolvendo (10.4) para a velocidade, teremos: 
 ݒ ൌ ܿඨͳ െ ቆ ݉଴ܿଶܭ ൅݉଴ܿଶቇଶ 
(10.5) 
 
Substituindo os dados numéricos em (10.5), 
teremos: 
 ݒ ؆ ͲǡͺͶܿ 
(10.6) 
 
d) Agora, calculando a energia cinética 
classicamente, teremos: 
 ܭ ൌ ݉଴ݒଶʹ ׵ ݒ ؆ ͵ǡͺͶ ή ͳͲ଼݉ ή ݏିଵ 
(10.7) 
 
 
 
 
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6 
 Questão 11
Uma partícula de massa ݉ acelerada por uma 
força constante ܨ, de acordo com a mecânica 
newtoniana, deve continuar a ser acelerada 
indefinidamente. Ou seja, quanto ݐ ՜ λǡ ݒ ՜ λ. 
Mostre que, de acordo com a mecânica 
relativística, a velocidade da partícula tende a ܿ 
quanto ݐ ՜ λ. (Nota: Uma integral útil é ׬ሺͳ െ ݔଶሻିଷ ଶΤ ݀ݔ ൌ ݔ ξͳ െ ݔଶΤ .) 
Resolução: 
Utilizando o resultado de (8.2), teremos: ݀ݒ݀ݐ ൌ ݉ܨ ή ሺͳ െ ௩మ ௖మΤ ሻଷ ଶൗ ݀ݒሺͳ െ ௩మ ௖మΤ ሻଷ ଶൗ ൌ ݉ܨ ݀ݐ 
(11.1) 
Integrando a expressão resultante de (11.1), 
teremos: න ݀ݒሺͳ െ ௩మ ௖మΤ ሻଷ ଶൗ௏଴ ൌ න ݉ܨ ݀ݐ்଴ ׵ ܸටͳ െ ܸଶܿଶ ൌ ݉ܨ ή ܶ 
(11.2) 
Resolvendo o resultado de (11.2) para ܸ, teremos: 
ܸ ൌ ܨ ή ܶൗ݉ටͳ ൅ ቀܨ ή ܶ݉ܿ ቁଶ 
(11.3) 
A expressão (11.3) assume ainda a seguinte 
forma: ܸ ൌ ܿටͳ ൅ ቀ ݉ܿܨ ή ܶቁଶ 
(11.4) 
Tomando o limite de (11.4) para ܶ ՜ λ, teremos: 
்݈݅݉՜ஶ ܿටͳ ൅ ቀ ݉ܿܨ ή ܶቁଶ ൌ ܿ 
(11.5) 
 
 Questão 12
 
Um dos comprimentos de onda emitidos pelos 
átomos de hidrogênio submetidos a condições 
normais de laboratório é dado por ߣ ൌ ͸ͷ͸ǡ͵�݊݉, 
na região vermelha do espectro eletromagnético. 
Observando-se essa mesma luz emitida por uma 
galáxia distante verifica-se que ela sofre um 
deslocamento Doppler para ߣ ൌ ͻͷ͵ǡͶ�݊݉, 
na região infravermelha do espectro 
eletromagnético. Qual é a velocidade dessa galáxia 
em relação à Terra? Ela está se aproximando ou se 
afastando da Terra? 
Resolução: 
Sabe-se que a frequência é inversamente 
proporcional ao comprimento de onda pela 
relação: 
 ݂ ൌ ܿߣ 
(12.1) 
 
Assim, podemos concluir que a galáxia está se 
afastando. Utilizando a relação (7.1), teremos: 
 ߣ଴ߣ ൌ ቂܿ െ ݑܿ ൅ ݑቃభమ 
(12.2) 
 
Utilizando os dados numéricos em (12.2), 
teremos: 
 ͸ͷ͸ǡ͵ͻͷ͵ǡͶ ൌ ቂܿ െ ݑܿ ൅ ݑቃభమ ͲǡͶ͹͸ͳ ൌ ܿ െ ݑܿ ൅ ݑ ׵ ݑ ؆ Ͳǡ͵ͷͷܿ 
(12.3) 
 
 Questão 13
 
Uma partícula de massa ݉ se move com 
velocidade ݒ. Construa um triângulo retângulo 
com um ângulo ߙ tal que ݏ݁݊�ߙ ൌ ݒ ܿΤ . Se o 
comprimento do cateto adjascente ao ângulo ߙ 
possui valor igual ao da energia de repouso ݉ܿଶ, 
 
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7 
mostre que: A) o comprimento da hipotenusa será 
igual à energia total; B) o comprimento do cateto 
oposto ao ângulo ߙ será dado pelo produto de c 
vezes o momento linear relativístico; C) descreva 
um procedimento gráfico simples para a 
determinação da energia cinética ܭ. 
Resolução: 
a) Seja então o triângulo retângulo representado 
na figura 13.1: 
 
Figura 13.1 
O seno do ângulo ߙ é dado por: ݏ݁݊�ߙ ൌ ݄ݒ݄ܿ ൌ ܿݒ 
(13.1) 
Logo, pelo teorema de Pitágoras, teremos: ሺ݄ܿሻଶ ൌ ሺ݄ݒሻଶ ൅ ሺ݉ܿଶሻଶ ሺ݄ܿሻଶ ቆͳ െ ݒଶܿଶቇ ൌ ሺ݉ܿଶሻଶ ׵ ݄ܿ ൌ ݉ܿଶටͳ െ ݒଶܿଶ 
(13.2) 
O resutado de (13.2) representa a energia total. 
b) Do resultado de (13.2), temos: ݄ ൌ ݉ܿටͳ െ ݒଶܿଶ 
(13.3) 
Assim, para o cateto oposto teremos a seguinte 
expressão: 
݄ݒ ൌ ݉ݒටͳ െ ݒଶܿଶ ή ܿ ׵ ݄ݒ ൌ ݌ܿ 
(13.4) 
 
c) A figura 13.2 ilustra, graficamente, a energia 
cinética. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13.2 
 
 Questão 14
 
Transformação de Lorentz para a 
aceleração. Usando um método análogo ao 
empregado nos textos para a dedução das 
transformações de Lorentz para a velocidade, 
podemos determinar as transformações de 
Lorentz para a aceleração. Suponha que um 
sistema S’ possua um componente ݔ com 
velocidade constante ݑ em relação a um sistema S. 
Um objeto se desloca em relação ao sistema S com 
velocidade instantânea ݒ ao longo do eixo Ox e 
com uma aceleração instantânea ܽ. A) Mostre que 
sua aceleração instantânea em relação ao sistema 
S’ é dada por: 
 ܽᇱ ൌ ܽ ቀͳ െ ௨మ௖మቁଷ ଶΤ ቀͳ െ ௨௩௖మቁିଷ. 
 
Resolução: 
A transformação de Lorentz para a velocidade é 
dada por: 
 ݒԢ ൌ ݒ െ ݑͳ െ ݑݒܿଶ 
(14.1) 
 
Em que ݒԢ é a velocidade do objeto com relação ao 
sistema S’. De (14.1), diferenciando, teremos: 
 
Ȉ ߙ ݉ܿଶ 
݄ݒ Ȉ ߙ ݉ܿଶ 
݌ܿ 
 
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8 
݀ݒᇱ ൌ ݀ݒ ή ሺͳ െ ݑଶ ܿଶΤ ሻሺͳ െ ݑݒ ܿଶΤ ሻଶ 
 (14.2) 
Diferenciando a expressão de ݐǯ (das 
transformações de Lorentz da questão 4), 
teremos: ݀ݐԢ ൌ ݀ݐ െ ݑ݀ݔ ܿଶΤሺͳ െ ݑଶ ܿଶΤ ሻଵ ଶΤ 
(14.3) 
Então, utilizando (14.2) e (14.3), teremos:݀ݒᇱ݀ݐᇱ ൌ ݀ݒሺͳ െ ݑଶ ܿଶΤ ሻሺͳ െ ݑݒ ܿଶΤ ሻଶ݀ݐሺͳ െ ݑݒ ܿଶΤ ሻሺͳ െ ݑଶ ܿଶΤ ሻଵ ଶΤ ݀ݒԢ݀ݐԢ ൌ ݀ݒ݀ݐ ή ሺͳ െ ݑଶ ܿଶΤ ሻሺͳ െ ݑݒ ܿଶΤ ሻଶ ή ሺͳ െ ݑଶ ܿଶΤ ሻଵ ଶΤሺͳ െ ݑݒ ܿଶΤ ሻ ׵ ܽᇱ ൌ ܽ ή ሺͳ െ ݑଶ ܿଶΤ ሻଷ ଶΤሺͳ െ ݑݒ ܿଶΤ ሻଷ 
(14.4) 
Em que ݒ ൌ ݀ݔ ݀ݐΤ , ܽ ൌ ݀ݒ ݀ݐΤ e ܽᇱ ൌ ݀ݒԢ ݀ݐΤ . 
Utilizando o mesmo procedimento, podemos encontrar 
também: ܽ ൌ ܽԢ ή ሺͳ െ ݑଶ ܿଶΤ ሻଷ ଶΤሺͳ ൅ ݑݒԢ ܿଶΤ ሻଷ 
(14.5) 
 Questão 15
Uma versão realista do paradoxo dos 
gêmeos. Uma espaçonave deixa a Terra no dia 1º 
de janeiro de 2100. Stella, uma das irmãs gêmeas 
nascidas no ano 2075, pilota a espaçonave 
(sistema de referência S’); a outra gêmea, 
chamada de Terra, permanece em nosso planeta 
(sistema de referência S). A espaçonave possui 
uma aceleração com módulo constante g no seu 
próprio sistema (isso faz com que o astronauta se 
sinta como se estivesse em casa, visto que a 
acelerção é igual à existente na superfície 
terrestre). A trajetória da espaçonave é uma linha 
reta. A) Utilizando os resultados da questão 14, 
mostre que, para o sistema S da gêmea Terra, a 
aceleração da espaçonave é dada por: 
ௗ௨ௗ௧ ൌ ݃ቀͳ െ ௨మ௖మቁଷ ଶΤ , 
 
onde ݑ é a velocidade instantânea em relação ao 
sistema S. B) Escreva o resultado do item (A) na 
forma ݀ݐ ൌ ݂ሺݑሻ݀ݑ, onde ݂ሺݑሻ é uma função de ݑ, 
e integre ambos os membros da equação anterior. 
(Dica: Use a integral indicada na questão 11.) 
Mostre que, no sistema de referência da irmã 
gêmea Terra, o tempo que Stella leva para atingir 
a velocidade ݒଵ é dado por: 
 ݐଵ ൌ ௩భ௚ටଵି௩భమ ௖మΤ . 
 
C) Use a fórmula da dilatação do tempo para 
relacionar ݀ݐ com ݀ݐǯ (intervalos de tempo 
infinitesimais medidos, respectivamente, no 
sistema S e no sistema S’). Combine esse resultado 
com o obtido no item (A) e integre como indicado 
no item (B) para mostrar o seguinte: quando Stella 
adquire uma velocidade ݒଵ em relação à sua irmã 
Terra, o tempo ݐԢଵ decorrido no sistema S’ é dado 
por: 
 ݐԢଵ ൌ ௖௚ ή ܽݎܿ�ݐ݄݃ ቀ௩భ௖ ቁ. 
 
Onde ܽݎܿ�ݐ݄݃ é a função inversa da tangente 
hiperbólica. D) Combine os resultados obtidos nos 
itens (B) e (C) para achar ݐଵ em termos somente 
de ݐԢଵǡ ݃�‡�ܿ. E) Stella acelera em linha reta durante 
5 anos (usando seu relógio), freia com a mesma 
taxa durante 5 anos, volta na mesma direção sem 
sentido contrário, acelera durante 5 anos e freia 
com a mesma taxa durante 5 anos, finalmente 
atingindo o repouso na superfície terrestre. De 
acordo com o relógio de Stella, ela regressou no 
dia 1º de janeiro de 2120. De acordo com o relógio 
da irmã Terra, em que data ela regressou? 
Resolução: 
a) A partir da equação (14.5), poderemos 
determinar a aceleração de Stella com relação à 
Terra. Para o referencial de Stella, temos: ݒᇱ ൌ Ͳ�‡�ܽᇱ ൌ ݃. Assim: 
 ݀ݑ݀ݐ ൌ ܽᇱ ή ሺͳ െ ݑଶ ܿଶΤ ሻଷ ଶΤሺͳ ൅ ݑ ή Ͳ ܿଶΤ ሻଷ 
 
 
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9 
׵ ݀ݑ݀ݐ ൌ ݃ ή ቆͳ െ ݑଶܿଶቇଷ ଶΤ 
(15.1) 
b) Do resultado de (15.1), teremos: ݀ݐ ൌ ݀ݑ݃ ή ൬ͳ െ ݑଶܿଶ൰ଷ ଶΤ 
(15.2) 
De (15.2), teremos: 
න ݀ݐ௧భ଴ ൌ ͳ݃ න ቆͳ െ ݑଶܿଶቇିଷ ଶΤ ݀ݑ௩భ଴ 
(15.3) 
Utilizando a integral da questão 11, teremos para 
(15.3): 
ݐଵ ൌ ܿ݃ ή ݒଵൗܿටͳ െ ݒଵଶܿଶ ׵ ݐଵ ൌ ͳ݃ ή ݒଵටͳ െ ݒଵଶܿଶ 
(15.4) 
c) Utilizando a dilatação do tempo, podemos 
escrever: ݀ݐ ൌ ݀ݐԢටͳ െ ݑଶܿଶ 
(15.5) 
Utilizando o resultado de (15.1) juntamente com 
(15.5), teremos: ݀ݑ݀ݐᇱ ή ඨͳ െ ݑଶܿଶ ൌ ݃ ή ቆͳ െ ݑଶܿଶቇଷ ଶΤ ׵ ݀ݐᇱ ൌ ݀ݑ݃ ൬ͳ െ ݑଶܿଶ൰ 
(15.6) 
Agora, integrando o resultado de (15.6), teremos: 
න ݀ݐԢ௧ᇱభ଴ ൌ ͳ݃ න ݀ݑ൬ͳ െ ݑଶܿଶ൰௩భ଴ 
(15.7) 
 
Com o auxílio de uma tabela de integrais (por 
exemplo, M. R. Spiegel, Manual de Fórmulas e 
Tabelas Matemáticas, Ed. McGraw-Hill do Brasil, 
São Paulo, 1973), temos: 
 
න ݀ݔܽଶ െ ݔଶ ൌ ۖەۖ۔
ۓ ͳʹܽ ή ݈݊ ൬ܽ ൅ ݔܽ െ ݔ൰ ൅ ܿ݋݊ݏݐǤ‘—ͳܽ ή ܽݎܿ�ݐ݄݃ ቀܽݔቁ ൅ ܿ݋݊ݏݐǤ 
(15.8) 
 
Então, utilizando (15.8) para resolver (15.7), 
teremos: 
 ݐԢଵ ൌ ܿ݃ ή ܽݎܿ�ݐ݄݃ ቀݒଵܿቁ 
(15.9) 
 
d) Utilizando os resultados de (15.4) e (15.9), 
teremos: 
 ݒଵܿ ൌ ݐ݄݃ ቆ݃ݐᇱଵܿ ቇ ׵ ݐଵ ൌ ͳ݃ ή ܿ ή ݐ݄݃ ൬݃ݐԢଵܿ ൰൤ͳ െ ݐ݄݃ଶ ൬݃ݐԢଵܿ ൰൨ଵ ଶΤ 
(15.10) 
 
e) Utilizando os dados numéricos em (15.10), 
teremos ݐଵ ؆ ʹͶͷͺ�ƒ‘•. 
 
 Questão 16
 
Determinação da massa de uma estrela. 
Muitas estrelas vistas no céu são na realidade 
estrelas binárias, ou seja, duas estrelas que giram 
em torno do centro de massa comum. Quando 
essas estrelas possuem velocidades angulares 
elevadas, suas velocidades em relação à Terra 
podem ser medidas pelo efeito Doppler da luz que 
elas emitem. As estrelas que se enquadram nesse 
caso denominam-se estrelas binárias 
espectroscópicas. Na figura 16.1 mostramos um 
 
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10 
caso simples de estrelas binárias 
espectroscópicas: duas estrelas idênticas, cada 
uma delas com massa ݉, giram em torno do 
centro de massa comum descrevendo uma 
circunferência de raio ܴ. O plano comum das 
órbitas das estrelas é visto de perfil em relação a 
um observador da Terra. A) A luz produzida pelo 
gás hidrogênio em um laboratório na Terra possui 
frequência igual a Ͷǡͷ͸ͺͳͳͲ ή ͳͲଵସܪݖ. Observamos 
através de um telescópio na Terra que a luz 
proveniente dessas estrelas possui uma 
frequência que varia entre Ͷǡͷ͸͹͹ͳͲ ή ͳͲଵସܪݖ e Ͷǡͷ͸ͺͻͳͲ ή ͳͲଵସܪݖ. Verifique se esse sistema 
binário se aproxima ou se afasta da Terra, calcule 
a velocidade do sistema e a velocidade angular das 
estrelas. (Dica: As velocidades envolvidas são 
muito menores do que a velocidade da luz, de 
modo que você pode usar o resultado aproximado ο݂ ݂Τ ؆ ݑ ܿΤ ) B) A frequência da luz proveniente 
de cada estrela do sistema binário varia desde um 
valor máximo até um valor mínimo e retorna ao 
valor máximo em um período igual a 11,0 dias. 
Determine o raio orbital ܴ e a massa ݉ de cada 
estrela. Forneça a resposta da massa ݉ em 
quilogramas e também como um múltiplo da 
massa do Sol, ͳǡͻͻ ή ͳͲଷ଴�݇݃. Compare o valor de ܴ 
com a distância entre a Terra e o Sol, ͳǡͷͲ ή ͳͲଵଵ݉. 
(Essa técnica é efetivamente usada na astronomia 
para a determinação da massa de estrelas. Na 
prática, o problema é mais complicado porque em 
um sistema binário as estrelas não costumam 
serem idênticas, as órbitas geralmente não são 
circulares e o plano da órbita está inclinado em 
relação à linha de visão de um observador na 
Terra.) 
Figura 16.1 
Resolução: 
a) Seja ଵ݂ a frequência da luz emitida pela estrela 
localizada na parte superior da figura 16.1. Assim, 
utilizando a dica fornecida no enunciado da 
questão, teremos: 
 ଵ݂ െ ݂݂ ൌ ܸ ൅ ݒܿ Ͷǡͷ͸ͺͻͳͲ െ Ͷǡͷ͸ͺͳͳͲͶǡͷ͸ͺͳͳͲ ൌ ܸ ൅ ݒ͵ ή ͳͲ଼ ׵ ܸ ൅ ݒ ൌ ͷʹǡͷͶ�݇݉ ή ݏିଵ 
(16.1) 
 
Em que ܸ é a velocidade da estrela com relação ao 
centro de massa do sistema binário e ݒ é a 
velocidade do centro de massa do sistema binário 
com relação à Terra. De forma semelhante, 
teremos para a estrela localizada na parte inferior 
da figura 16.1: 
 ଶ݂ െ ݂݂ ൌ ݒ െ ܸܿ Ͷǡͷ͸͹͹ͳͲ െ Ͷǡͷ͸ͺͳͳͲͶǡͷ͸ͺͳͳͲ ൌ ݒ െ ܸ͵ ή ͳͲ଼ ׵ ݒ െ ܸ ൌ െʹ͸ǡʹ͹�݇݉ ή ݏିଵ 
(16.2) 
 
Em que ଶ݂ é a frequência da luz emitida pela 
referida estrela localizada na parte inferior da 
figura 16.1. Em (16.1) e (16.2), temos ଵ݂ ൐ ଶ݂, Isto 
é devido à aproximação da estrela, localizada na 
parte superior, da Terra, enquanto a outra se 
afasta. Agora utilizando os resultados de (16.1) e 
(16.2), teremos: 
 ݒ ൌ ͳ͵ǡͳͶ�݇݉ ή ݏିଵ 
(16.3) 
 
O resultado (16.3), sendo positivo, mostra que o 
sistema se aproxima da Terra. A velocidade das 
estrelas com relação ao centro de massa do 
sistema vale: 
 ܸ ൌ ͵ͻǡͶͳ�݇݉ ή ݏିଵ 
(16.4) 
 
b) Utilizando o período, teremos: 
 ܸ ൌ ʹߨܴܶ ֜ ͵ͻǡͶͳ ൌ ʹߨܴͻͷͲͶͲͲ 
 
Terra 
��
 
 
 
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11 
׵ ܴ ൌ ͷǡͻ͸ ή ͳͲ଺݇݉ 
(16.5) 
Em que 11 dias correspondem a ͻͷͲͶͲͲ�ݏ. Esse 
resultado representa cerca de 4% a distância do 
Sol à Terra. 
Agora, utilizando a interação gravitacional 
como uma resultante força centrípeta para as 
estrelas, teremos: 
ܩ݉ଶͶܴଶ ൌ ܸ݉ଶܴ ֜ ݉ ൌ Ͷܴܸଶܩ ׵ ݉ ൌ ͷǡͷͷ ή ͳͲଶଽ݇݃ 
(16.6) 
Cerca de 28% da massa do Sol. 
 Questão 17A relatividade e a equação de onda. A) 
Considere uma transformação galileana ao longo 
do eixo ܱݔǣ ݔᇱ ൌ ݔ െ ݒݐ�‡�ݐᇱ ൌ ݐ. No sistema de 
referência S, a equação da propagação das ondas 
eletromagnéticas no vácuo é dada por: డమாሺ௫ǡ௧ሻడ௫మ െ ଵ௖మ ή డమாሺ௫ǡ௧ሻడ௧మ ൌ Ͳ, 
 
onde E representa o campo elétrico da onda. 
Mostre que, usando uma transformação galileana 
no sistema de referência S, obtemos: ቀͳ െ ௩మ௖మቁ డమாሺ௫ᇱǡ௧ᇱሻడ௫ᇱమ ൅ ଶ௩௖మ డమாሺ௫ᇱǡ௧ᇱሻడ௫ᇱడ௧ᇱ െ ଵ௖మ ή డమாሺ௫ǡ௧ሻడ௧మ ൌ Ͳ. 
 
A forma da equação anterior é diferente da forma 
da equação da onda no sistema S. Logo, a 
transformação galileana viola o primeiro 
postulado da relatividade segundo o qual todas as 
leis físicas devem possuir a mesma forma em 
todos os sistemas de referência inerciais. (Dica: 
Usando a regra de cadeia, expresse as respectivas 
derivadas parciais ߲ ߲ݔΤ �‡� ߲ ߲ݐΤ em termos de ߲ ߲ݔᇱ‡� ߲ ߲ݐԢΤΤ .) B) Repita a análise do item (A) 
usando agora as transformações de Lorentz dadas 
pelo conjunto das equações da questão 4 e mostre 
que no sistema de referência S’ a equação da onda 
possui a mesma forma da equação da onda no 
sistema S: 
డమாሺ௫ᇱǡ௧ᇱሻడ௫ᇱమ െ ଵ௖మ ή డమாሺ௫ᇱǡ௧ᇱሻడ௧ᇱమ ൌ Ͳ. 
 
Explique por que esse resultado mostra que a 
velocidade da luz no vácuo é igual a c tanto no 
sistema de referência S’ quanto no sistema S. 
Resolução: 
a) Seja a equação de onda escrita da seguinte 
forma: 
 ൬ ߲߲ݔ െ ͳܿ ή ߲߲ݐ൰ ൬ ߲߲ݔ ൅ ͳܿ ή ߲߲ݐ൰ܧሺݔǡ ݐሻ ൌ Ͳ 
(17.1) 
 
Acatando a sugestão fornecida no enunciado, 
teremos: 
 ߲߲ݔ ൌ ߲߲ݔԢ ή ߲ݔᇱ߲ݔ ൅ ߲߲ݐԢ ή ߲ݐԢ߲ݔ 
(17.2) 
 
E 
 ߲߲ݐ ൌ ߲߲ݔԢ ή ߲ݔᇱ߲ݐ ൅ ߲߲ݐԢ ή ߲ݐԢ߲ݐ 
(17.3) 
 
De acordo com as transformações galileanas, 
temos para (17.2) e (17.3): 
 ߲߲ݔ ൌ ߲߲ݔᇱ ή ͳ ൅ ߲߲ݐᇱ ή ͲǢ �߲ݐᇱ߲ݔ ൌ Ͳ ߲߲ݐ ൌ ߲߲ݔԢ ή ሺെݒሻ ൅ ߲߲ݐԢ ή ͳ 
(17.4) 
 
Agora, substituindo os resultados de (17.4) em 
(17.1), teremos: 
 ൤ ߲߲ݔᇱ െ ͳܿ ൬ ߲߲ݐᇱ െ ݒ ߲߲ݔᇱ൰൨ ൤ ߲߲ݔᇱ ൅ ͳܿ ൬ ߲߲ݐᇱ െ ݒ ߲߲ݔᇱ൰൨ ܧሺݔᇱǡ ݐᇱሻ ൌ Ͳ 
 ൤ቀͳ ൅ ܿݒቁ ߲߲ݔᇱ െ ͳܿ ή ߲߲ݐᇱ൨ ൤ቀͳ െ ܿݒቁ ߲߲ݔᇱ ൅ ͳܿ ή ߲߲ݐᇱ൨ ܧሺݔᇱǡ ݐᇱሻ ൌ Ͳ 
 ቆͳ െ ݒଶܿଶቇ߲ଶܧሺݔᇱǡ ݐᇱሻ߲ݔᇱଶ ൅ ͳܿ ቂቀͳ ൅ ܿݒቁ െ ቀͳ െ ܿݒቁቃ ߲ଶܧሺݔᇱǡ ݐᇱሻ߲ݔᇱ߲ݐᇱെ ͳܿଶ ߲ଶܧሺݔᇱǡ ݐᇱሻ߲ݐᇱଶ ൌ Ͳ 
 ׵ ቆͳ െ ݒଶܿଶቇ߲ଶܧሺݔᇱǡ ݐᇱሻ߲ݔᇱଶ ൅ ʹݒܿଶ ߲ଶܧሺݔᇱǡ ݐᇱሻ߲ݔᇱ߲ݐᇱ െ ͳܿଶ ߲ଶܧሺݔᇱǡ ݐᇱሻ߲ݐᇱଶ ൌ Ͳ 
(17.5) 
 
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12 
b) Agora, repetiremos o procedimento, utilizando 
as transformações de Lorentz, que são dadas por: ݔᇱ ൌ ߛሺݔ െ ݒݐሻǢ�ݐᇱ ൌ ߛ ቀݐ െ ݒݔܿଶቁ 
(17.6) 
Em que ߛ ൌ ଵටଵିೡమ೎మ . Assim, teremos para as 
equações (17.2) e (17.3): ߲߲ݔ ൌ ߛ ߲߲ݔԢ െ ߛݒܿଶ ߲߲ݐԢ 
(17.7) 
E ߲߲ݐ ൌ ߛ ߲߲ݐԢ െ ߛݒ ߲߲ݔԢ 
(17.8) 
Agora, substituindo os resultados (17.7) e (17.8) 
em (17.1), teremos: 
൤ߛ ቀͳ ൅ ܿݒቁ ߲߲ݔᇱ െ ߛ ቀͳ ൅ ܿݒቁ ͳܿ ή ߲߲ݐᇱ൨ ൤ߛ ቀͳ െ ܿݒቁ ߲߲ݔᇱ൅ ߛ ቀͳ െ ܿݒቁ ͳܿ ή ߲߲ݐᇱ൨ ܧሺݔᇱǡ ݐᇱሻ ൌ Ͳ 
 ߛଶ ቆͳ െ ݒଶܿଶቇ ቈ߲ଶܧሺݔԢǡ ݐԢሻ߲ݔԢଶ െ ͳܿଶ ή ߲ଶܧሺݔԢǡ ݐԢሻ߲ݐԢଶ ቉ ൌ Ͳ 
 ׵ ߲ଶܧሺݔԢǡ ݐԢሻ߲ݔԢଶ െ ͳܿଶ ή ߲ଶܧሺݔԢǡ ݐԢሻ߲ݐԢଶ ൌ Ͳ 
(17.9) 
Tanto para o referencial inercial S como para o 
referencial inercial S’, a equação de onda possui a 
mesma forma, segundo as transformações de 
Lorentz. E como ܿ representa a velocidade da 
onda, os dois referenciais inerciais medem a 
mesma velocidade para a luz. 
 Questão 18
Produção de káon. Na física das energias 
elevadas, novas partículas podem ser produzidas 
mediante a colisão entre partículas com energias 
elevadas e partículas em repouso. Uma parte da 
energia cinética da partícula incidente é usada 
para produzir a massa de repouso da nova 
partícula. A colisão de um próton com outro pode 
produzir um káon positivo ሺܭାሻ juntamente com 
um káon negativo ሺܭିሻ: 
 ݌ ൅ ݌ ՜ ݌ ൅ ݌ ൅ ܭି ൅ ܭା. 
 
A) Calcule a energia cinética mínima do próton 
incidente para que a reação anterior ocorra, 
sabendo que o segundo próton (o alvo) está 
inicialmente em repouso. A energia de repouso de 
cada káon é igual a Ͷͻ͵ǡ͹�ܯܸ݁. (Dica: Neste caso é 
conveniente usar um sistema de referência para o 
qual o momento linear seja igual a zero. Observe, 
no entanto, que agora você deve usar as 
transformações de Lorentz, para relacionar as 
velocidades no sistema do laboratório com as 
velocidades no sistema no qual o momento linear 
total e igual a zero.) B) Como essa energia cinética 
mínima calculada se compara com a energia de 
repouso dos káons criados? C) Em vez da hipótese 
anterior, suponha que os dois prótons estejam em 
movimento com velocidades de mesmo módulo e 
sentidos contrários. Calcule a energia cinética 
mínima do sistema dos dois prótons para que a 
reação mencionada ocorra. Como essa energia 
cinética mínima calculada se compara com a 
energia de repouso dos káons criados? (Este 
exemplo mostra que, quando usamos feixes de 
partículas colidindo em sentidos contrários, as 
energias necessárias para produzir a reação são 
substancialmente menores do que as empregadas 
quando o alvo está em repouso.) 
Resolução: 
a) Podemos pensar no centro de massa como o 
referencial onde o momento linear é nulo. Assim, 
tomando os resultados da questão 13, podemos 
escrever para a velocidade do centro de massa a 
seguinte expressão: 
 ௖ܸ௠ܿ ൌ ݌ଵܿܧ 
(18.1) 
 
Em que ݌ଵ é o momento do próton em movimento 
e ܧ é a energia total do sistema, dados por: 
 ݌ଵ ൌ ߛ݉௣ݒǢ ܧ ൌ ܭଵ ൅ ʹ݉௣ܿଶ 
(18.2) 
 
 
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13 
Em que ݉௣ é a massa de repouso do próton e ܭଵ é 
a energia cinética do próton em movimento. Para 
o referencial no centro de massa, temos para a 
energia total antes da colisão a expressão dada 
por: ܧ ൌ ʹ൫ܭ ൅݉௣ܿଶ൯ ൌ ʹߛ௖௠݉௣ܿଶ 
(18.3) 
Em que ܭ é a energia cinética dos dois prótons e ߛ௖௠ é dado por: ߛ௖௠ ൌ ͳටͳ െ ௖ܸ௠ଶܿଶ 
(18.4) 
Utilizando (18.1) e o último resultado de (18.2), 
teremos: 
ߛ௖௠ ൌ ඨͳ ൅ ܭଵʹ݉௣ܿଶ 
(18.5) 
Lembrando que as relações do triângulo da 
questão 13 nos fornecem: ሺ݌ଵܿሻଶ ൌ ൫ܭଵ ൅݉௣ܿଶ൯ଶ െ ൫݉௣ܿଶ൯ଶ 
(18.6) 
Agora, pela conservação da energia, teremos: ʹߛ௖௠݉௣ܿଶ ൌ ʹ൫݉௣ܿଶ ൅ ܧ଴൯ 
(18.7) 
Em que ܧ଴ é a energia de repouso do káon. Assim, 
utilizando (18.5) e (18.7), teremos: 
ܭଵ ൌ ʹ݉௣ܿଶ ൥ቆͳ ൅ ܧ଴݉௣ܿଶቇଶ െ ͳ൩ 
(18.8) 
Agora, substituindo os dados numéricos em 
(18.8), teremos: ܭଵ ൌ ʹͶͻ͵ǡ͹�ܯܸ݁ 
(18.9) 
b) A energia em (18,9), é cerca de 5 vezes a 
energia de repouso dos káons. 
 
c) Agindo de forma semelhante, temos: 
 ܿݒ ൌ ݌ܿܧ 
(18.10) 
 
Em que ݒ e ݌ são, respectivamente, a velocidade e 
o momento linear dos prótons. A energia total do 
sistema é dada por: 
 ܧ ൌ ʹ൫ܭ ൅݉௣ܿଶ൯ ൌ ʹߛ݉௣ܿଶ 
(18.11) 
 
Em que ܭ é a energia cinética dos prótons e ߛ ൌ ଵටଵିೡమ೎మ . Da mesma forma, teremos: 
 ߛ ൌ ͳ ൅ ܭ݉௣ܿଶ 
(18.12) 
 
Pela conservação da energia, teremos: 
 ʹߛ݉௣ܿଶ ൌ ʹ൫݉௣ܿଶ ൅ ܧ଴൯ 
(18.13) 
 
Observe que no termo ao lado esquerdo da 
igualdade na expressão (18.13), não aparece 
termos de energia cinética. Isso significa que 
estamos em uma situação limite, que é justamente 
a condição imposta pela questão. Assim, 
utilizando (18.12) e (18.13), teremos: 
 ܭ ൌ ܧ଴ 
(18.14) 
 
Ou seja, ܭ ൌ Ͷͻ͵ǡ͹�ܯܸ݁. A energia cinética 
mínima dos prótons é igual a energia de repouso 
dos káons. 
 
 Questão 19
 
Prove que, quando os eixos utilizados por O e O’ 
não são parelelos à velocidade relativa, a 
transformação geral de Lorentz é 
 
 
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14 
ݎԢሬሬԦ ൌ ݎԦ ൅ ሺߛ െ ͳሻ ή ሺ௥Ԧή௩ሬԦሻ௩మ െ ߛݒԦݐ. ݐᇱ ൌ ߛ ቀݐ െ ሺ௥Ԧή௩ሬԦሻ௖మ ቁ. 
 
(Sugestão: decompor os vetores ݎԦ e ݎԢሬሬԦ em 
componentes paralelas e perpendiculares a ݒԦ; 
note que ݎԢሬሬԦ ൌ ݎԢሬሬԦצ ൅ ݎԢሬሬԦୄ�‡�ݎԦצ ൌ ሺݎԦ ή ݒԦሻݒԦ ݒଶΤ .) 
Resolução: 
A figura 19.1 ilustra a situação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19.1 
O que faremos a seguir é muito similar ao que já 
feito quando se trata da velocidade paralela a um 
dos eixos (por exemplo, eixo ݔ e�ݔǯ). Vamos 
admitir que ambos os referenciais tenham ݐ ൌ ݐᇱ ൌ Ͳ, quando suas posições coincidem (0 
coincide com 0’). Vamos supor que, no instante ݐ ൌ Ͳ, um sinal luminoso seja emitido a partir da 
posição comum aos dois referenciais. Depois de 
um tempo ݐ, para um observador em O, o sinal 
luminosoalcançou o ponto ܲ. Logo, poderá 
escrever: ݎଶ ൌ ሺܿݐሻଶ 
(19.1) 
De forma semelhante, para um observador em 0’ 
(que viaja com velocidade ݒ) perceberá que o 
sinal luminoso alcançou o mesmo ponto ܲ depois 
de um tempo ݐǯ, com a mesma velocidade ܿ. Logo, 
escreverá: ݎԢଶ ൌ ሺܿݐԢሻଶ 
(19.2) 
 
Observando a figura 19.1, podemos concluir: ݎԦୄ ൌ ݎԢሬሬԦୄ 
(19.3) 
Para um observador em 0, ͲͲᇱ ൌ ݒݐ, então ݎԦצ ൌ ݒԦݐ, para หݎᇱሬሬሬԦצห ൌ Ͳ, o que nos conduz às 
seguintes relações: ݎᇱሬሬሬԦצ ൌ ܣሺݎԦצ െ ݒԦݐሻ e ݐᇱ ൌ ܤ൫ݐ െ ܦሬሬԦ ή ݎԦצ൯. Assim, substituindo em (19.2), 
teremos: 
 ୄݎଶ ൅ ܣଶሺݎԦצ െ ݒԦݐሻଶ ൌ ܿଶܤଶ൫ݐ െ ܦሬሬԦ ή ݎԦצ൯ଶ 
(19.4) 
 
Em que ݎԢሬሬԦ ൌ ݎԢሬሬԦצ ൅ ݎԢሬሬԦୄ. Desenvolvendo a equação 
(19.4), teremos: 
 ୄݎଶ ൅ ሺܣଶ െ ܿଶܤଶܦଶሻݎצଶ െ ʹݐ൫ܣଶݒԦ െ ܿଶܤଶܦሬሬԦ൯ ή ݎԦצൌ ቆܤଶ െ ܣଶ ή ݒଶܿଶቇ ሺܿݐሻଶ 
(19.5) 
 
A equação (19.1) nos fornece: 
 ୄݎଶ ൅ ݎצଶ ൌ ሺܿݐሻଶ 
(19.6) 
 
Para que ocorra a equivalência entre as equações 
(19.5) e (19.6), teremos: 
 ܣଶ െ ܿଶܤଶܦଶ ൌ ͳǢܣଶݒԦ െ ܿଶܤଶܦሬሬԦ ൌ ͲǢܤଶ െ ܣଶ ή ݒଶܿଶ ൌ ͳ 
(19.7) 
 
Resolvendo o sistema de equações em (19.7), 
temos: 
 ܣ ൌ ܤ ൌ ͳටͳ െ ݒଶܿଶܦሬሬԦ ൌ ݒԦܿଶ 
(19.8) 
 
Fazendo ܣ ൌ ߛ, e substituindo em (19.2), teremos: 
 ݎᇱሬሬሬԦ ൌ ݎԦୄ ൅ ߛሺݎԦצ െ ݒԦݐሻǢ��ݎԦୄ ൌ ݎԦ െ ݎԦצ ݎԢሬሬԦ ൌ ݎԦ ൅ ሺߛ െ ͳሻ ሺݎԦ ή ݒԦሻݒԦݒଶ െ ߛݒԦݐǢ ��ݎԦצ ൌ ሺݎԦ ή ݒԦሻݒԦݒଶ 
(19.9) 
ݔ�
ݖ 
Ͳ 
ݔԢ 
ݖԢ 
ͲԢ 
ݕ 
ݕԢ ݒԦݐ 
࢘ሬԦ ࢘ԢሬሬሬԦ ࢘ሬԦצ ࢘ԢሬሬሬԦצ ࢘Ԣ
ሬሬሬሬሬሬሬԦሬሬ ሬሬሬሬሬሬ࢘ሬԦୄ ࢘ԢሬሬሬԦୄ 
ܲ 
 
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15 
E para o tempo: ݐᇱ ൌ ܤ൫ݐ െ ܦሬሬԦ ή ݎԦצ൯ ׵ ݐᇱ ൌ ߛ ቆݐ െ ሺݎԦ ή ݒԦሻܿଶ ቇ 
(19.10) 
 Questão 20
Prove que, se ܸ e ܸǯ são os módulos das 
velocidades de uma partícula relativa aos 
observadores ܱ e ܱǯ, que se movem ao longo do 
eixo ݔ com velocidade relativa ݒ, então: 
ඥͳ െ ܸԢଶ ܿଶΤ ൌ ඥሺͳ െ ݒଶ ܿଶΤ ሻሺͳ െ ܸଶ ܿଶΤ ሻͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ 
 
e 
ඥͳ െ ܸଶ ܿଶΤ ൌ ඥሺͳ െ ݒଶ ܿଶΤ ሻሺͳ െ ܸԢଶ ܿଶΤ ሻͳ ൅ ݒܸԢ௫ ܿଶΤ 
 
Resolução: 
As transformações das componentes da 
velocidade são dadas por (veja, por exemplo: 
Alonso & Finn, Física um curso universitário, vol. I 
– Mecânica, ed. Edgard Blücher, 1972, 4ª 
reimpressão, 1986): ܸԢ௫ ൌ ௫ܸ െ ݒͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ǢܸԢ௬ ൌ ௬ܸඥͳ െ ݒଶ ܿଶΤͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤܸԢ௭ ൌ ௭ܸඥͳ െ ݒଶ ܿଶΤͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ Ǥ
Ǣ 
(20.1) 
Agora escrevendo a expressão para ܸǯ, teremos: ܸԢଶ ൌ ܸԢ௫ᇱଶ ൅ ܸԢ௬ᇱଶ ൅ ܸԢ௭ᇱଶ 
(20.2) 
Substituindo os teremos de (20.1) em (20.2), 
teremos: 
ܸᇱଶ ൌ ͳሺͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ሻଶ ቈ ௫ܸଶ െ ʹݒ ௫ܸ ൅ ݒଶ ൅ ൫ ௬ܸଶ ൅ ௭ܸଶ൯ ቆͳ െ ݒଶܿଶቇ቉ 
ܸԢଶ ൌ ͳሺͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ሻଶ ቈܸଶ െ ܸଶ ή ݒଶܿଶ ൅ ௫ܸଶ ή ݒଶܿଶ െ ʹ ௫ܸݒ ൅ ݒଶ቉ 
(20.3) 
 
Em que ܸଶ ൌ ௫ܸଶ ൅ ௬ܸଶ ൅ ௭ܸଶ. Agora, desenvolvendo 
(20.3), teremos: 
 ͳ െ ܸᇱଶܿଶ ൌ ͳሺͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ሻଶ ቈെܸଶܿଶ ቆͳ െ ݒଶܿଶቇ െ ௫ܸଶ ή ݒଶܿସ ൅ ʹ ௫ܸݒܿଶ െ ݒଶܿଶ቉ ൅ ͳ ͳ െ ܸᇱଶܿଶ ൌ ͳሺͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ሻଶ ቈെ ܸଶܿଶ ቆͳ െ ݒଶܿଶቇ ൅ ͳ െ ݒଶܿଶ቉ ׵ ቆͳ െ ܸᇱଶܿଶ ቇభమ ൌ ͳͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ቈቆͳ െ ܸଶܿଶቇ ቆͳ െ ݒଶܿଶቇ቉భమ 
(20.4) 
 
Fazendo a troca ܸᇱ ՜ ܸǢ� ௫ܸ ՜ ܸԢ௫�‡�ݒ ՜ െݒԢ, no 
resultado (20.4), teremos a outra equação. 
 
 Questão 21
 
Prove que a transformação geral para as 
acelerações relativas a 0 e 0’, de uma partícula que 
se move com velocidade ܸ relativa a 0, é: 
 ܽԢ௫ ൌ ௔ೣ൫ଵି௩మ ௖మΤ ൯య మΤሺଵି௩௏ೣ ௖మΤ ሻయ ǡܽԢ௬ ൌ ଵି௩మ ௖మΤሺଵି௩௏ೣ ௖మΤ ሻమ ቀܽ௬ ൅ ௔ೣ௩௏೤ ௖మΤଵି௩௏ೣ ௖మΤ ቁܽԢ௭ ൌ ଵି௩మ ௖మΤሺଵି௩௏ೣ ௖మΤ ሻమ ቀܽ௭ ൅ ௔ೣ௩௏೤ ௖మΤଵି௩௏ೣ ௖మΤ ቁ Ǥ, 
 
Resolução: 
Vamos utilizar as diferenciais das expressões 
(20.1). Assim, teremos: 
 ܸ݀Ԣ௫ ൌ ሺͳ െ ݒଶ ܿଶΤ ሻሺͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ሻଶ ή ݀ ௫ܸܸ݀Ԣ௬ ൌ ඥͳ െ ݒଶ ܿଶΤሺͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ሻ ή ݀ ௬ܸ ൅ ௬ܸඥͳ െ ݒଶ ܿଶΤሺͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ሻଶ ή ܿݒଶ ή ݀ ௫ܸܸ݀Ԣ௭ ൌ ඥͳ െ ݒଶ ܿଶΤሺͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ሻ ή ݀ ௭ܸ ൅ ௭ܸඥͳെ ݒଶ ܿଶΤሺͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ሻଶ ή ܿݒଶ ή ݀ ௫ܸ
 
(21.1) 
 
Para o tempo, na forma diferencial, de (14.3), 
teremos: 
 ݀ݐᇱ ൌ ሺͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ሻඥͳ െ ݒଶ ܿଶΤ ή ݀ݐ 
(21.2) 
 
 
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16 
Para a aceleração em ݔ, teremos, de (21.1) e 
(21.2): ܸ݀ᇱ௫݀ݐᇱ ൌ ሺͳ െ ݒଶ ܿଶΤ ሻሺͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ሻଶ ή ඥͳ െ ݒଶ ܿଶΤሺͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ሻ ή ݀ ௫ܸ݀ݐ ׵ ܽԢ௫ ൌ ܽ௫ሺͳ െ ݒଶ ܿଶΤ ሻଷ ଶΤሺͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ሻଷ 
(21.3) 
De forma semelhante, teremos para a aceleração 
em ݕ, de (21.1) e (21.2): ܸ݀ᇱ௬݀ݐᇱ ൌ ඥͳ െ ݒଶ ܿଶΤሺͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ሻ ή ඥͳ െ ݒଶ ܿଶΤሺͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ሻ ή ݀ ௬ܸ݀ݐ ൅ ௬ܸඥͳ െ ݒଶ ܿଶΤሺͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ሻଶή ܿݒଶ ή ඥͳ െ ݒଶ ܿଶΤሺͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ሻ ή ݀ ௫ܸ݀ݐ ׵ ܽԢ௬ ൌ ͳ െ ݒଶ ܿଶΤሺͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ሻଶ ቆܽ௬ ൅ ܽ௫ݒ ௬ܸ ܿଶΤͳ െ ݒ ௫ܸ ܿଶΤ ቇ 
(21.4) 
E procedendo da mesma forma, encontramos a 
aceleração para ݖ. 
 Questão 22
Prove que a lei de transformação de 
velocidades pode ser escrita na forma vetorial: 
ܸԢሬሬሬԦ ൌ ͳߛ൫ͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦ ܿଶΤ ൯ ቈሬܸԦ ൅ ሺߛ െ ͳሻ ሬܸԦ ή ݒԦݒଶ ݒԦ െ ߛݒԦ቉ 
 
Resolução: 
Tomando as formas diferenciais dos resultados de 
(19.9) e (19.10), teremos: ݀ݎᇱሬሬሬԦ ൌ ݀ݎԦ ൅ ሺߛ െ ͳሻ ሺ݀ݎԦ ή ݒԦሻݒԦݒଶ െ ߛݒԦ݀ݐǡ ݀ݐᇱ ൌ ߛ ቆͳ െ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ܿଶ ቇ݀ݐǤ 
(22.1) 
Em que ݂݀ ൌ డ௙డ௫భ ݀ݔଵ ൅ డ௙డ௫మ ݀ݔଶ ൅ڮ. 
Agora, utilizando essas equações, teremos: 
݀ݎᇱሬሬሬԦ݀ݐᇱ ൌ ቆሬܸԦ ൅ ሺߛ െ ͳሻ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ݒԦݒଶ െ ߛݒԦቇ݀ݐߛ ቆͳ െ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ܿଶ ቇ݀ݐ ׵ ܸԢሬሬሬԦ ൌ ͳߛ൫ͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦ ܿଶΤ ൯ ቈሬܸԦ ൅ ሺߛ െ ͳሻ ሬܸԦ ή ݒԦݒଶ ݒԦ െ ߛݒԦ቉ 
(22.2) 
 
 Questão 23
 
Prove que a lei de transformação de 
acelerações pode ser escrita na forma vetorial: 
 ܽԢሬሬሬԦ ൌ ଵࢽ૜൫ଵି௏ሬሬԦή௩ሬԦ ௖మΤ ൯య ቂ Ԧܽ ൅ ቀଵఊ െ ͳቁ ሺ௔ሬԦή௩ሬԦሻ௩ሬԦ௩మ െ ௩ሬԦൈ൫௔ሬԦൈ௏ሬሬԦ൯௖మ ቃ. 
 
Resolução: 
Vamos utilizar a forma diferencial de (22.2). 
Assim: 
 ܸ݀ԢሬሬሬԦ ൌ ͳߛଶ ቆͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦܿଶ ቇଶ ቊቈ݀ ሬܸԦ ൅ ሺߛ െ ͳሻ ൫݀
ሬܸԦ ή ݒԦ൯ݒଶ ݒԦ቉ ߛ ቆͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦܿଶ ቇ
െ ቈሬܸԦ ൅ ሺߛ െ ͳሻ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ݒଶ ݒԦ െ ߛݒԦ቉ ቆെߛ ൫݀ ሬܸԦ ή ݒԦ൯ܿଶ ቇቋ 
(23.1) 
 
Devemos utilizar a forma diferencial do tempo 
dada em (22.1). teremos: 
 ܸ݀ᇱሬሬሬሬԦ݀ݐᇱ ൌ ͳߛଶ ቆͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦܿଶ ቇଷ ݀ݐ ቊቈ݀ ሬܸԦ ൅ ሺߛ െ ͳሻ ൫݀
ሬܸԦ ή ݒԦ൯ݒଶ ݒԦ቉ ቆͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦܿଶ ቇ
െ ቈሬܸԦ ൅ ሺߛ െ ͳሻ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ݒଶ ݒԦ െ ߛݒԦ቉ ቆെ൫݀ ሬܸԦ ή ݒԦ൯ܿଶ ቇቋ ܽᇱሬሬሬԦ ൌ ͳߛଶ ቆͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦܿଶ ቇଷ ቊ Ԧܽ െ Ԧܽ ൫
ሬܸԦ ή ݒԦ൯ܿଶ ൅ ሺߛ െ ͳሻ ሺ Ԧܽ ή ݒԦሻݒଶ ݒԦ
െ ሺߛ െ ͳሻ ሺ Ԧܽ ή ݒԦሻݒଶ ݒԦ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ܿଶ ൅ ሬܸԦ ሺ Ԧܽ ή ݒԦሻܿଶ൅ ሺߛ െ ͳሻ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ݒଶ ݒԦ ሺ Ԧܽ ή ݒԦሻܿଶ െ ߛݒԦ ሺ Ԧܽ ή ݒԦሻܿଶ ቋ ܽԢሬሬሬԦ ൌ ͳߛଶ ቆͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦܿଶ ቇଷ ቊ Ԧܽ ൅ ቆߛ െ ͳ െ ߛݒ
ଶܿଶ ቇ ሺ Ԧܽ ή ݒԦሻݒଶ ݒԦ െ Ԧܽ ൫ሬܸԦ ή ݒԦ൯ܿଶ ൅ ሬܸԦ ሺ Ԧܽ ή ݒԦሻܿଶ ቋ 
(23.2) 
 
Vamos utilizar no resultado de (23.2) a seguinte 
identidade de operação com vetores: ܤሬԦ൫ܣԦ ή ܥԦ൯ െܥԦ൫ܣԦ ή ܤሬԦ൯ ൌ ܣԦ ൈ ൫ܤሬԦ ൈ ܥԦ൯, veja, por exemplo, M. R. 
Spiegel, Manual de Fórmulas e Tabelas 
 
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Matemáticas, Ed. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 
1973. E lembrando que ߛ ൌ ቀͳ െ ௩మ௖మቁିଵ ଶൗ , teremos: 
ܽԢሬሬሬԦ ൌ ͳߛଶ ቆͳ െ ሬܸԦ ή ݒԦܿଶ ቇଷ ቊ Ԧܽ ൅ ൬ͳߛ െ ͳ൰ ሺ Ԧܽ ή ݒԦሻݒଶ ݒԦ െ ͳܿଶ ൣݒԦ ൈ ൫ Ԧܽ ൈ ሬܸԦ൯൧ቋ 
(23.3) 
Obs.: No enunciado da questão, aparece um termo 
cúbico para ߛ. No entanto, se os referenciais 
inerciais estão em movimento relativo, com a 
velocidade relativa paralela ao eixo ݔ, e a partícula 
também possui uma velocidade com relação ao 
referencial 0, também paralela ao eixo ݔ, a 
transformação para a aceleração seria dada pela 
equação (21.3), que é exatamente o resultado 
esperado se for utilizado (23.3), ou seja, aparece ߛଷ. A expressão do enunciado forneceria ߛସ dando 
um resultado diferente de (21.3).