DocGo.Net Solucoes de Exercicios Curso de Analise Vol 1 Elon Lages Lima (1)

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Soluc¸o˜es de Exerc´ıcios do Livro
“Curso de An a´lise”, Volume I,
de Elon Lages Lima
Cleber Fernando Colle,
Edson Jose´ Teixeira,
Ju´lio C. C. da Silva (jcconegundes@gmail.com) e
Rodrigo Carlos Silva de Lima (rodrigo.uff.math@gmail.com)
24 de dezembro de 2013
 
Suma´rio
1 Conjuntos e Func¸o˜es 7Exercı´cio 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Exercı´cio 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Exercı´cio 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Exercı´cio 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Exercı´cio 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Exercı´cio 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Exercı´cio 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Exercı´cio 1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Exercı´cio 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Exercı´cio 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Exercı´cio 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Exercı´cio 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Exercı´cio 1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Exercı´cio 1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Exercı´cio 1.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Exercı´cio 1.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Exercı´cio 1.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Exercı´cio 1.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Exercı´cio 1.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Exercı´cio 1.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Exercı´cio 1.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Conjuntos Finitos, Enumera´veis e Na˜o-Enumera´veis 30
Exercı´cio 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exercı´cio 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Exercı´cio 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Exercı´cio 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Exercı´cio 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Exercı´cio 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Exercı´cio 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Exercı´cio 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Exercı´cio 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Exercı´cio 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Exercı´cio 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Exercı´cio 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Exercı´cio 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Exercı´cio 2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Exercı´cio 2.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Exercı´cio 2.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Exercı´cio 2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Exercı´cio 2.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Exercı´cio 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Exercı´cio 2.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Exercı´cio 2.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1
 
Exercı´cio 2.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Exercı´cio 2.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Exercı´cio 2.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Exercı´cio 2.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Exercı´cio 2.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Exercı´cio 2.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Exercı´cio 2.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Exercı´cio 2.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 Nu´meros Reais 69
Exercı´cio 3.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Exercı´cio 3.02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Exercı´cio 3.03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Exercı´cio 3.04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Exercı´cio 3.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Exercı´cio 3.08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Exercı´cio 3.09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Exercı´cio 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Exercı´cio 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Exercı´cio 3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Exercı´cio 3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Exercı´cio3.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Exercı´cio 3.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Exercı´cio 3.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Exercı´cio 3.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Exercı´cio 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Exercı´cio 3.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Exercı´cio 3.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Exercı´cio 3.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Exercı´cio 3.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Exercı´cio 3.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Exercı´cio 3.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Exercı´cio 3.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Exercı´cio 3.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Exercı´cio 3.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Exercı´cio 3.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Exercı´cio 3.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Exercı´cio 3.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Exercı´cio 3.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Exercı´cio 3.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Exercı´cio 3.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Exercı´cio 3.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Exercı´cio 3.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Exercı´cio 3.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Exercı´cio 3.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Exercı´cio 3.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Exercı´cio 3.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Exercı´cio 3.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Exercı´cio 3.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Exercı´cio 3.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Exercı´cio 3.43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Exercı´cio 3.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Exercı´cio 3.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Exercı´cio 3.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Exercı´cio 3.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Exercı´cio 3.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Exercı´cio 3.49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2
 
Exercı´cio 3.50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Exercı´cio 3.51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Exercı´cio 3.52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Exercı´cio 3.53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Exercı´cio 3.54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Exercı´cio 3.55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Exercı´cio 3.56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Exercı´cio 3.57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Exercı´cio 3.58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Exercı´cio 3.59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Exercı´cio 3.60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4 Sequeˆncias e Se´ries de Nu´meros Reais 134Exercı´cio 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Exercı´cio 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Exercı´cio 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Exercı´cio 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Exercı´cio 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Exercı´cio 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Exercı´cio 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Exercı´cio 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Exercı´cio 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Exercı´cio 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Exercı´cio 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Exercı´cio 4.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Exerc´ıcio 4.11a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Exercı´cio 4.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Exercı´cio 4.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Exercı´cio 4.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Exercı´cio 4.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Exercı´cio 4.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Exercı´cio 4.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Exercı´cio 4.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Exercı´cio 4.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Exercı´cio 4.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Exercı´cio 4.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Exercı´cio 4.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Exercı´cio 4.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Exercı´cio 4.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Exercı´cio 4.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Exercı´cio 4.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Exercı´cio 4.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Exercı´cio 4.43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Exercı´cio 4.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Exercı´cio 4.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Exercı´cio 4.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Exercı´cio 4.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Exercı´cio 4.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Exercı´cio 4.49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5 Topologia da Reta 175
Exercı´cio 5.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Exercı´cio 5.02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Exercı´cio 5.03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Exercı´cio 5.04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Exercı´cio 5.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Exercı´cio 5.06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3
 
Exercı´cio 5.07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Exercı´cio 5.08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Exercı´cio 5.09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Exercı´cio 5.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Exercı´cio 5.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Exercı´cio 5.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Exercı´cio 5.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Exercı´cio 5.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Exercı´cio 5.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Exercı´cio 5.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Exercı´cio 5.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Exercı´cio 5.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Exercı´cio 5.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Exercı´cio 5.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Exercı´cio 5.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Exercı´cio 5.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Exercı´cio 5.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Exercı´cio 5.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Exercı´cio 5.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Exercı´cio 5.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Exercı´cio 5.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Exercı´cio 5.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Exercı´cio 5.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Exercı´cio 5.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Exercı´cio 5.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Exercı´cio 5.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Exercı´cio 5.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Exercı´cio 5.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Exercı´cio 5.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Exercı´cio 5.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Exercı´cio 5.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Exercı´cio 5.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Exercı´cio 5.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Exercı´cio 5.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Exercı´cio 5.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Exercı´cio 5.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Exercı´cio 5.43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Exercı´cio 5.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Exercı´cio 5.45 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Exercı´cio 5.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Exercı´cio 5.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Exercı´cio 5.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Exercı´cio 5.49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Exercı´cio 5.50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Exercı´cio 5.51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Exercı´cio 5.52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Exercı´cio 5.53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Exercı´cio 5.54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Exercı´cio 5.55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Exercı´cio 5.56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Exercı´cio 5.57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Exercı´cio 5.58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Exercı´cio 5.59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Exercı´cio 5.60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Exercı´cio 5.61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Exercı´cio 5.62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Exercı´cio 5.63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
4
 
Exercı´cio 5.64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6 Limites de Func¸o˜es 244
Exercı´cio 6.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Exercı´cio 6.02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Exercı´cio 6.03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Exercı´cio 6.04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Exercı´cio 6.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Exercı´cio 6.06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Exercı´cio 6.07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Exercı´cio 6.08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Exercı´cio 6.09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Exercı´cio 6.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254Exercı´cio 6.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Exercı´cio 6.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Exercı´cio 6.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Exercı´cio 6.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Exercı´cio 6.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Exercı´cio 6.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Exercı´cio 6.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Exercı´cio 6.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Exercı´cio 6.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Exercı´cio 6.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Exercı´cio 6.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Exercı´cio 6.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Exercı´cio 6.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Exercı´cio 6.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
7 Func¸o˜es Cont´ınuas 275
Exercı´cio 7.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Exercı´cio 7.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Exercı´cio 7.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279Exercı´cio 7.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Exercı´cio 7.42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Exercı´cio 7.43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Exercı´cio 7.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Exercı´cio 7.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Exercı´cio 7.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Exercı´cio 7.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
8 Derivadas 295
Exercı´cio 8.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Exercı´cio 8.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Exercı´cio 8.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Exercı´cio 8.49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Exercı´cio 8.50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Exercı´cio 8.51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Exercı´cio 8.52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Exercı´cio 8.53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Exercı´cio 8.54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Exercı´cio 8.55 . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
9 Integral de Riemann 307
5
 
10 Sequeˆncias e Se´ries de Func¸o˜es 308
Exerc´ıcio 10.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Exerc´ıcio 10.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Exerc´ıcio 10.46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Exerc´ıcio 10.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Exerc´ıcio 10.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Exerc´ıcio 10.49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
Exerc´ıcio 10.50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
Exerc´ıcio 10.51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Exerc´ıcio 10.52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
Exerc´ıcio 10.53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
6
 
Cap´ıtulo 1
Conjuntos e Func¸o˜es
7
 
Exerc´ıcio 1.1:
Dados os conjuntos A e B , seja X um conjunto com as seguintes propriedades:
(1a) X ⊃ ⊃ A e X ⊃ ⊃ B,
(2a) Se Y ⊃ ⊃ A e Y ⊃ ⊃ B enta˜o Y ⊃ ⊃ X.
Prove que X = A ∪∪ B.
A inclus a˜o A ∪∪ B ⊂ ⊂ X e´ fornecida pela primeira hipo´tese. De fato, se x ∈ ∈ A ⊂ ⊂ X ou x ∈ ∈ B ⊂ ⊂ X (isto e´, se
x ∈∈ A ∪∪ B) enta˜o x ∈ ∈ X .
E a segunda hip o´tese fornece a inclus a˜o A
∪∪
B
 ⊂ ⊂
 X pois A
∪∪
B
 ⊃ ⊃
 A e A
∪∪
B
 ⊃ ⊃
 B .
Portanto, X = A ∪∪ B.
8
 
Exerc´ıcio 1.2:
Enuncie e prove um resultado, ana´logo ao anterior, caracterizando A ∩∩ B.
Enunciado:
Dados os conjuntos A e B , seja X um conjunto com as seguintes propriedades:
1a X ⊂ ⊂ A e X ⊂ ⊂ B ,
2a Se Y ⊂ ⊂ A e Y ⊂ ⊂ B enta˜o Y ⊂ ⊂ X .
Prove que X = A ∩∩ B.
Prova:
A inclusa˜o A∩∩B ⊃ ⊃ X e´ fornecida pela primeira hipo´tese. De fato, se x ∈∈ X temos que A ⊃⊃ X ∋ ∋ x e B ⊃ ⊃ X ∋ ∋ x.
Consequentemente, se x ∈ ∈ X enta˜o x ∈∈ A ∩∩ B.
E a segunda hip o´tese fornece a inclus a˜o A ∩∩ B ⊂ ⊂ X pois A ∩∩ B ⊂ ⊂ A e A ∩∩ B ⊂ ⊂ B .
Portanto, X = A ∩∩ B.
9
 
Exerc´ıcio 1.3:
Sejam A, B ⊂ ⊂ E . Prove que A ∩∩ B = ∅ ∅ se, e somente se, A ⊂ ⊂ E \\B. Prove tambe´m que A ∪∪ B = E se, e somente
se, E \\A ⊂ ⊂ B .
•• A ∩∩ B = ∅∅ se e somente se A ⊂ ⊂ E \\B:
Suponhamos que A ∩∩ B = ∅ ∅. Se x ∈ ∈ A devemos ter que x pertence a E \\B. De fato, como x pertence a A e
A esta´ contido em E , segue que x pertence a B ou E \\B. Como A ∩∩ B = ∅ ∅, temos que x /∈∈ B . Logo, x ∈ ∈ E \\B.
Assim, A ⊂⊂ E \\B.
Consideremos o caso em que A
 ⊂⊂
 E 
\\
B. Se existisse x
 ∈∈
 A
∩∩
B terı´amos que x
 ∈∈
 A e x
 ∈ ∈
 B . Mas, como A e´ um
subconjunto de E \\B, terı´amos tambe´m que x ∈ ∈ E \\B. Um absurdo, pois se x ∈ ∈ E \\B enta˜o x /∈∈ B . Desta forma,
concluimos que A ∩∩ B = ∅ ∅.
•• A ∪∪ B = E se e somente se E \\A ⊂ ⊂ B :
Suponhamos que A ∪∪ B = E . Se x ∈ ∈ E \\A devemos ter que x pertence a B. De fato, como x pertence a E e
E = A ∪∪ B, devemos ter que x ∈ ∈ A ou x ∈ ∈ B . Ale´m disso, como x ∈ ∈ E \\A, temos tambe´m que x /∈∈ A. O que nos
garante que x ∈ ∈ B . Logo, E \\A ⊂⊂ B .
Consideremos o caso em que E \\A ⊂ ⊂ B. Seja x ∈ ∈ E . Segue que, x ∈ ∈ A ou x ∈ ∈ E \\A. Se x ∈ ∈ E \\A enta˜o x
pertence a B pois E \\A esta´ contido em B. Logo, x ∈ ∈ A ou x ∈ ∈ B . Ou seja, x ∈ ∈ A ∪∪ B. Assim, devemos ter que
E ⊂ ⊂ A ∪∪ B. E, como A e B esta˜o contidos em E , segue (veja o exercicio 1.1) que E = A ∪∪ B.
10
 
Exerc´ıcio 1.4:
Dados A, B ⊂ ⊂ E, prove que A ⊂ ⊂ B se, e somente se, A ∩∩ (E \\B) = ∅∅.
Suponhamos que A ⊂⊂ B . Se existisse x ∈∈ A ∩∩ (E \\B) terı´amos que x ∈∈ A e x ∈∈ E \\B. Isto e´, existiria x ∈∈ E tal
que x ∈ ∈ A e x /∈∈ B . Mas, isto e´ um absurdo, pois, como A ⊂⊂ B , se x ∈ ∈ A enta˜o x ∈ ∈ B . Portanto, A ∩∩ (E \\B) = ∅ ∅.
Consideremos, agora, o caso em que A ∩∩ (E \\B) = ∅ ∅. Seja x ∈ ∈ A. Como A ⊂ ⊂ E , temos que x ∈ ∈ E . Assim,
x ∈∈ B ou x ∈∈ E \\B. Logo, x ∈ ∈ B pois se x ∈∈ E \\B terı´amos que x ∈∈ A ∩∩ (E \\B) = ∅ ∅.
11
 
Exerc´ıcio 1.5:
Deˆ exemplo de conjuntos A , B,C tais que ( A ∪∪ B) ∩∩ C ̸ ̸= A ∪∪ (B ∩∩ C ).
Tome A = { {1, 2, 3}}, B = { {1, 3}} e C = {{1, 2}}. Desta forma, temos
(A ∪∪ B) ∩∩ C = {{1, 2} } ̸̸= {{1, 2, 3}} = A ∪∪ (B ∩∩ C ).
12
 
Exerc´ıcio 1.6:
Se A, X ⊂ ⊂ E sa˜o tais que A ∩∩ X = ∅∅ e A ∪∪ X = E , prove que X = E \\A.
Seja x ∈ ∈ X . Uma vez que x /∈ ∅∈ ∅ = A ∩∩ X , temos que x /∈∈ A. E, como x ∈ ∈ X ⊂ ⊂ E , devemos ter, tambe´m, que
x ∈∈ E . Logo, x ∈∈ E \\A. Portanto, como x ∈∈ X e´ arbitra´ro, devemos ter que X ⊂ ⊂ E \\A.
Considere, agora, x ∈ ∈ E \\A. Segue que x ∈ ∈ E e x /∈∈ A. Como x ∈ ∈ E = A ∪∪ X e x /∈∈ A, temos que x ∈ ∈ X .
Portanto, como x ∈∈ E \\A e´ arbitra´ro, devemos ter que X ⊂ ⊂ E \\A.
13
 
Exerc´ıcio 1.7:
Se A ⊂⊂ B , enta˜o
B ∩∩ (A ∪∪ C ) = (B ∩∩ C ) ∪∪ A,
para todo conjunto C . Por outro lado, se existir C de modo que a igualdade acima seja satisfeita, ent˜ ao A ⊂⊂ B .
Primeiramente, mostremos que se A ⊂⊂ B enta˜o, para qualquer conjunto C , temos
B ∩∩ (A ∪∪ C ) = (B ∩∩ C ) ∪∪ A.
Seja x ∈∈ B ∩∩ (A ∪∪ C ). Assim, x ∈ ∈ B e (x ∈ ∈ C ou x ∈ ∈ A).
•• Se x ∈∈ C temos que x ∈∈ B ∩∩ C. Logo, x ∈∈ (B ∩∩ C ) ∪∪ A.
•• Se x ∈∈ A temos imediatamente que x ∈∈ (B ∩∩ C ) ∪∪ A.
Segue, em todo caso, que x ∈∈ (B ∩∩ C ) ∪∪ A. Logo, concluimos que B ∩∩ (A ∪∪ C ) ⊂⊂ (B ∩∩ C ) ∪∪ A.
Considere, agora, que x ∈ ∈ (B ∩∩ C ) ∪∪ A. Assim, x ∈∈ B ∩∩ C ou x ∈∈ A.
•• Se x ∈∈ B ∩∩ C enta˜o x ∈∈ B e x ∈ ∈ C . Logo, x ∈∈ B , x ∈ ∈ A ∪∪ C e, consequentemente, x ∈∈ B ∩∩ (A ∪∪ C ).
•• Se x ∈∈ A temos que x ∈ ∈ B, ja´ que A ⊂⊂ B . Assim, x ∈ ∈ B e x ∈∈ A ⊂⊂ A ∪∪ C. Logo, x ∈∈ B ∩∩ (A ∪∪ C ).
Em ambos os casos, x ∈∈ B ∩∩ (A ∪∪ B). Desta forma, tem-se que B ∩∩ (A ∪∪ C ) ⊃⊃ (B ∩∩ C ) ∪∪ A.
Portanto, se A ⊂ ⊂ B enta˜o B ∩∩ (A ∪∪ C ) = (B ∩∩ C ) ∪∪ A, para qualquer conjunto C .
Reciprocamente, suponhamos que exista um conjunto C tal que x ∈∈ (B ∩∩ C ) ∪∪ A = B ∩ ∩ (A ∪∪ C ).
Se x ∈ ∈ A temos que x ∈ ∈ (B ∩ ∩ C ) ∪∪ A. Mas, como ( B ∩ ∩ C ) ∪∪ A = B ∩ ∩ (A ∪∪ C ), devemos ter que x ∈ ∈ B . Logo,
conclui-se que A ⊂ ⊂ B .
14
 
Exerc´ıcio 1.8:
Suponhamos que A e B sejam subconjuntos de E . Prove que A = B se, e somente se,
(
A ∩∩ (E \\B)
 ∪∪ ((E \\A) ∩∩ B

= ∅∅.
Suponhamos que A = B . Neste caso, temos que
E \\A = E \\B.
Logo, A ∩∩ (E \\B) = A ∩∩ (E \\A) = ∅∅
e
B ∩∩ (E \\A) = B ∩∩ (E \\B) = ∅∅.
Portanto, (
A ∩∩ (E \\B)

∪∪
(
B ∩∩ (E \\A)

= ∅ ∅∪∪ ∅∅ = ∅ ∅.
Reciprocamente, consideremos o caso em que
(
A ∩∩ (E \\B)

∪∪
(
B ∩∩ (E \\A)

= ∅∅.
Seja x ∈∈ A. Se supusermos, por absurdo, que x /∈∈ B teremos que x ∈ ∈ A ∩∩ (E \\B) e, consequentemente,
x ∈∈
(
A ∩∩ (E \\B)
 ∪∪ (B ∩∩ (E \\A)

= ∅∅.
Uma contradic¸a˜o. De modo inteiramente an a´logo e´ impossı´vel que x ∈ ∈ B e x /∈∈ A. Portanto, A = B.
15
 
Exerc´ıcio 1.9:
Prove que
(A\\B) ∪∪ (B\\A) = (A ∪∪ B)\\(A ∩∩ B).
•• (A\\B) ∪∪ (B\\A) ⊂ ⊂ (A ∪∪ B)\\(A ∩∩ B)
Seja x ∈ ∈ (A\\B) ∪∪(B\\A). Neste caso, x ∈ ∈ A\\B ou x ∈ ∈ B\\A. Se x ∈ ∈ B\\A enta˜o temos que x ∈ ∈ A e x /∈∈ B .
Logo, x ∈ ∈ A ∪∪ B e x /∈∈ A ∩∩ B, ou seja, x ∈∈ (A ∪∪ B)\\(A ∩∩ B). Analogamente, x ∈ ∈ B\\A implica x ∈∈ (A ∪∪ B)\\(A ∩∩ B).
•• (A\\B) ∪∪ (B\\A) ⊃ ⊃ (A ∪∪ B)\\(A ∩∩ B)
Seja x ∈∈ (A ∪∪ B)\\(A ∩∩ B). Neste caso, x ∈∈ A ∪∪ B e x /∈∈ A ∩∩ B. Se x ∈∈ A enta˜o x /∈∈ B , uma vez que x /∈∈ A ∩∩ B.
Isto e´, se x ∈ ∈ A enta˜o x ∈ ∈ A\\B. Analogamente, se x ∈∈ B , temos que x ∈∈ B\\A. Portanto, x ∈ ∈ (A\\B) ∪∪ (B\\A).
16
 
Exerc´ıcio 1.10:
Para conjuntos A e B , definimos o conjunto
A∆B := (A\\B) ∪∪ (B\\A).
Prove que A∆B = A∆C implica que B = C . Examine a validade um resultado an´alogo com ∩ ∩, ∪ ∪ ou × × em vez de
∆.
Suponhamos que A∆B = A∆C .
Mostraremos que os conjuntos B ∩ ∩ A e B\\A esta˜o contidos em C . Desta forma, como B = (B ∩ ∩ A) ∪∪ (B\\A),
concluiremos que B
 ⊂ ⊂
 C .
Seja x ∈ ∈ B ∩∩A. Temos que x /∈∈ A∆B = (A\\B)∪∪ (B\\A), pois x /∈∈ A\\B e x /∈∈ B\\A. Assim, como A∆B = A∆C ,
temos que x /∈∈ A∆C = (A\\C ) ∪∪ (C \\A) e, consequentemente, x /∈∈ A\\C . Logo, x ∈ ∈ C pois x ∈ ∈ A e x /∈∈ A\\C . Como
x ∈∈ B ∩∩ A e´ arbitra´rio, concluimos que B ∩∩ A ⊂⊂ C .
Seja x ∈ ∈ B\\A. Logo, x ∈ ∈ (A\\B) ∪ ∪ (B\\A) = A∆B. E, como A∆B = A∆C , temos que x ∈ ∈ A∆C . Sendo
x ∈ ∈ A∆C = (A\\C ) ∪∪ (C \\A), segue que x ∈ ∈ A\\C ou x /∈∈ C \\A. Assim, j a´ que x /∈∈ A, devemos ter que x ∈ ∈ C \\A e,
consequentemente, x ∈∈ C . Como x ∈ ∈ B\\A e´ arbitra´rio, concluimos que B\\A ⊂⊂ C .
Por fim, como B ∩∩ A e B\\A esta˜o contidos em C , devemos ter que B ⊂ ⊂ C . E, de forma an´aloga, prova-se que
C ∩ ∩ A e C \\A esta˜o contidos em B . Logo, C ⊂ ⊂ B . Portanto, supondo que A∆B = A∆C , temos que B = C .
Consideremos agora a validade dos casos ana´logos para ∩ ∩, ∪ ∪ e × × ao inve´s de ∆.
Existem A, B e C tais que
•• A ∩∩ B = A ∩∩ C e B ̸ ̸= C . Por exemplo: A = { {1}}, B = {{1, 2}} e C = { {1, 2, 3}};
•• A ∪∪ B = A ∪∪ C e B ̸ ̸= C . Por exemplo: A = { {1}}, B = {{2}} e C = {{1, 2}};
•• A ×× B = A ×× C e B ̸ ̸= C . Por exemplo: A = ∅∅, B = {{1}} e C = {{2}}.
17
 
Exerc´ıcio 1.11:
Prove as seguintes afirmac¸o˜es:
(a) ( A ∪∪ B) ×× C = (A ×× C ) ∪∪ (B ×× C );
(b) ( A ∩∩ B) ×× C = (A ×× C ) ∩∩ (B ×× C );
(c) ( A −− B) ×× C = (A ×× C ) −− (B ×× C );
(d) A ⊂ ⊂ A′, B ⊂ ⊂ B ′ =⇒⇒ A ×× B ⊂ ⊂ A′ ×× B′.
(a) Temos que a igualdad e ( A ∪∪ B) ×× C = (A ×× C ) ∪∪ (B ×× C ) e´ va´lida pois
(x, c) ∈∈ (A ∪∪ B) ×× C ⇐⇐⇒⇒ x ∈∈ A ∪∪ B e c ∈∈ C 
⇐⇐⇒⇒ (x ∈ ∈ A e c ∈ ∈ C ) ou ( x ∈ ∈ B e c ∈∈ C )
⇐⇐⇒⇒ (x, c) ∈ ∈ A ×× C ou (x, c) ∈ ∈ B ×× C 
⇐⇐⇒⇒ (x, c) ∈ ∈ (A ×× C ) ∪∪ (B ×× C ).
(b) Temos que a igualdad e ( A ∩∩ B) ×× C = (A ×× C ) ∩∩ (B ×× C ) e´ va´lida pois
(x, c) ∈ ∈ (A ∩∩ B) ×× C ⇐⇐⇒⇒ x ∈ ∈ (A ∩∩ B) e c ∈ ∈ C 
⇐⇐⇒⇒ (x ∈∈ A e c ∈∈ C ) e (x ∈∈ B e c ∈ ∈ C )
⇐⇐⇒⇒ (x, c) ∈∈ A ×× C e (x, c) ∈∈ B ×× C 
⇐⇐⇒⇒ (x, c) ∈∈ (A ×× C ) ∩∩ (B ×× C ).
(c) Temos que a igualdad e ( A −− B) ×× C = (A ×× C ) −− (B ×× C ) e´ va´lida pois
(x, c) ∈ ∈ (A −− B) ×× C ⇐⇐⇒⇒ x ∈ ∈ A −− B e c ∈ ∈ C 
⇐⇐⇒⇒ (x ∈∈ A e c ∈∈ C ) e (x /∈∈ B e c ∈ ∈ C )
⇐⇐⇒⇒ (x, c) ∈∈ A ×× C e (x, c) /∈∈ B ×× C ⇐⇐⇒⇒ (x, c) ∈∈ (A ×× C ) −− (B ×× C ).
(d) Seja ( a, b) ∈ ∈ A ×× B . Enta˜o, a ∈ ∈ A′ e b ∈ ∈ B′ pois A ⊂ ⊂ A′ e B ⊂ ⊂ B′. Logo, ( a, b) ∈ ∈ A′ × × B ′. Portanto,
concluimos que A ×× B ⊂ ⊂ A′ ×× B′.
18
 
Exerc´ıcio 1.12:
Dada uma fun c¸a˜o f : A →→ B :
(a) Prove que se tem f (X \\Y ) ⊃⊃ f (X )\\f (Y ), sejam quais forem os subconjuntos X e Y de A;
(b) Mostre que se f for injetora enta˜o f (X \\Y ) = f (X )\\f (Y ) para quaisquer X e Y contidos em A.
(a)
Suponhamos que z ∈ ∈ f (X )\\f (Y ). Desta forma, temos que z ∈ ∈ f (X ) e, consequentemente, existe x ∈ ∈ X tal
que f (x) = z. Como z /
∈∈
 f (Y ) e z = f (x), devemos ter que x /
∈∈
 Y . Logo, x
 ∈ ∈
 X 
\\
Y . Assim, concluimos que
z = f (x) ∈∈ f (X \\Y ).
Portanto, devemos ter que f (X \\Y ) ⊂ ⊂ f (X )\\f (Y ).
(b)
Pelo item (a), temos que f (X \\Y ) ⊂⊂ f (X )\\f (Y ). Logo, basta verificarmos que f (X \\Y ) ⊃⊃ f (X )\\f (Y ).
Seja z ∈ ∈ f (X \\Y ). Enta˜o, podemos escolher x ∈ ∈ X \\Y tal que f (x) = z . Assim, z = f (x) ∈ ∈ f (X ) pois x ∈ ∈ X .
Por outro lado, como f e´ injetivo, f (x) = z e x /∈∈ Y , nenhum y ∈ ∈ Y e´ tal que f (y) = z. Logo, z /∈∈ f (Y ). Portanto,
z ∈ ∈ f (X )\\f (Y ).
Com isso, concluimos que f (X \\Y ) = f (X )\\f (Y ).
19
 
Exerc´ıcio 1.13:
Mostre que a fun c¸a˜o f : A → → B e´ injetora se, e somente se, f (A\\X ) = f (A)\\f (X ) para todo X ⊂ ⊂ A.
Se f : A → → B e´ injetiva, pelo item (b) do exercı´cio 1.12, a igualdade f (A\\X ) = f (A)\\f (X ) e´ va´lida para todo
X ⊂ ⊂ A.
Suponhamos que a igualdade f (A\\X ) = f (A)\\f (X ) seja v a´lida para todo X ⊂ ⊂ A. Seja a ∈∈ A e denotemos por
b o elemento f (a) ∈ ∈ B . Assim,
b /∈∈ f (A\{\{a}}) = f (A)\\f ({{a}}).
Logo, na˜o existe a ′ ∈ ∈ A\{\{a}} tal que f (a′) = b = f (a). Desta forma, como a ∈ ∈ A e´ arbitra´rio, concluimos que f e´
injetivo.
20
 
Exerc´ıcio 1.14:
Dada a fun c¸a˜o f : A →→ B, prove que:
(a) f −1(f (X )) ⊃ ⊃ X para todo X ⊂ ⊂ A;
(b) f e´ injetora se, e somente se, f −1(f (X )) = X para todo X ⊂ ⊂ A.
(a)
Se x ∈∈ X enta˜o x ∈ ∈ f −1(f (X )) pois f (x) ∈∈ f (X ). Assim, devemos ter que f −1(f (X )) ⊃ ⊃ X .
(b)
Suponhamos que f e´ injetora e fixemos X ⊂ ⊂ A. Provaremos que f −1(f (X )) ⊂ ⊂ X e concluiremos, pelo item
(a), que f −1(f (X )) = X . Desta forma, podemos concluir que se f e´ injetora enta˜o f −1(f (X )) = X , para qualquer
X ⊂ ⊂ A.
Seja y ∈ ∈ f −1(f (X )). Segue que f (y) ∈ ∈ f (X ). Assim, existe x ∈ ∈ X tal que f (x) = f (y). Sendo f injetiva,
conclui-se que y = x ∈∈ X . Portanto, como y ∈ ∈ f −1(f (X )) e´ arbitra´rio, temos que f −1(f (X )) ⊂ ⊂ X .
Suponhamos, por outro lado, que f seja tal que f −1(f (X )) = X , para qualquer X ⊂ ⊂ A. Sejam x e y ∈ ∈ A
tais que f (x) = f (y). Neste caso, temos que f ({{x}}) = f ({{x, y}}). Assim, f −1(f ({{x}})) = f −1(f ({{x, y}})) e, pela
hipo´tese,
{{x}} = f −1(f ({{x}})) = f −1(f ({{x, y}})) = {{x, y}}.
Desta forma, y ∈ ∈ {{x}} e, consequentemente, x = y. Com isso, concluimos que se x e y ∈ ∈ A sa˜o tais que f (x) = f (y)
enta˜o x = y. Portanto, f e´ injetiva.
21
 
Exerc´ıcio 1.15:
Dada f : A → → B , prove:
(a) Para todo Z ⊂ ⊂ B, tem-se que f (f −1(Z )) ⊂ ⊂ Z ;
(b) f e´ sobrejetora se, e somente se, f (f −1(Z )) = Z para todo Z ⊂ ⊂ B .
(a)
Seja z ∈ ∈ f (f −1(Z )). Existe x ∈∈ f −1(Z ) tal que f (x) = z. Assim, como x ∈∈ f −1(Z ), z = f (x) ∈∈ Z .
Portanto, podemos concluir que f (f −1(Z ))
 ⊂⊂
 Z .
(b)
Suponhamos que f seja sobrejetora. Provaremos, para um Z ⊂ ⊂ B arbitra´rio, que f (f −1(Z )) = Z .
Pelo item (a), temos que f (f −1(Z )) ⊂⊂ Z .
Seja z ∈ ∈ Z . Como f e´ sobrejetiva, existe x ∈ ∈ A tal que z = f (x). Desta forma, como f (x) = z ∈ ∈ Z , segue que
x ∈∈ f −1(Z ). Logo, z = f (x) ∈ ∈ f (f −1(Z )).
Desta forma, concluimos que f (f −1(Z )) ⊃ ⊃ Z .
Portanto, devemos ter que f (f −1(Z )) = Z .
Suponhamos, por outro lado, que f (f −1(Z )) = Z , para todo Z ⊂ ⊂ B .
Seja z ∈ ∈ B . Definindo Z = {{z}}, temos que
f (f −1(Z )) = Z = {{z}}.
Desta forma, temos que z ∈ ∈ f (f −1(Z )). Assim, existe x ∈∈ f −1(Z ) ⊂⊂ A tal que f (x) = z.
Portanto, neste caso, f e´ sobrejetiva.
22
 
Exerc´ıcio 1.16:
Dada uma famı´lia de conjuntos (Aλ)λ∈L, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:
(1a) Para todo λ ∈∈ L, tem-se X ⊃ ⊃ Aλ;(2a) Se Y ⊃ ⊃ Aλ, para todo λ ∈∈ L, enta˜o Y ⊃⊃ X.
Prove que, nestas condic¸o˜es, tem-se X =
 ∪
λ∈L
Aλ.
Pela primeira condic¸a˜o, temos que X ⊃ ⊃ Aλ para cada λ ∈∈ L. Assim,
�
λ∈L
Aλ ⊂ ⊂ X pois cada x ∈ ∈
�
λ∈L
Aλ pertence
a Aλ
 ⊂ ⊂
 X , para algum λ
 ∈ ∈
 L.
O conjunto �
λ∈L
Aλ e´ tal que �
λ∈L
Aλ ⊃ ⊃ Aλ, para todo λ ∈∈ L. Logo, pela segunda condi c¸a˜o, �
λ∈L
Aλ ⊃ ⊃ X .
Portanto, X =
�
λ∈L
Aλ.
23
 
Exerc´ıcio 1.17:
Enuncie e demonstre um resultado ana´logo ao anterior, caracterizando
 ∩
λ∈L
Aλ.
Enunciado: Dada uma famı´lia de conjuntos (Aλ)λ∈L, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:
(1a) Para todo λ ∈∈ L, tem-se X ⊂ ⊂ Aλ;
(2a) Se Y ⊂ ⊂ Aλ para todo λ ∈ ∈ L, enta˜o Y ⊂ ⊂ X .
Nestas condic¸o˜es, tem-se X =
∩
λ∈L
Aλ.
Demonstrac¸a˜o:
Todo elemento x de X pertence a
∩
λ∈L
Aλ pois x ∈ ∈ X ⊂ ⊂ Aλ, pela primeira hip o´tese sobre X . Logo,
∩
λ∈L
Aλ ⊃ ⊃ X .
O conjunto
 ∩
λ∈L
Aλ e´ tal que
 ∩
λ∈L
Aλ ⊂ ⊂ Aλ, para todo λ ∈∈ L. Assim, pela segunda hip o´tese sobre X ,
 ∩
λ∈L
Aλ ⊂ ⊂ X .
Portanto, X =
 ∩
λ∈L
Aλ.
24
 
Exerc´ıcio 1.18:
Seja f : P P (A) −−→ → P P (A) uma func¸a˜o tal que X ⊂ ⊂ Y =⇒⇒ f (Y ) ⊂⊂ f (X ) e f (f (X )) = X. Prove que f (∪∪X λ) = ∩∩f (X λ)
e f (∩∩X λ) = ∪ ∪f (X λ).[Aqui X, Y e cada X λ sa˜o subconjuntos de A].
Fac¸amos cada inclusa˜o separadamente.
(i) f (
∪
X λ) ⊂ ⊂
∩
f (X λ)
Como ∪ ∪X λ ⊃ ⊃ X λ, para todo λ, temos por hip o´tese que f (∪∪X λ) ⊂ ⊂ f (X λ), para todo λ. Daı´, f (∪∪X λ) ⊂ ∩⊂ ∩f (X λ).
(ii) f (
∪
X λ)
 ⊃⊃ ∩
f (X λ)
Por (ii), temos que f (∩∩f (X λ)) ⊃ ⊃ ∪∪f (f (X λ)) = ∪∪X λ. Daı´, f (f (∩∩f (X λ))) ⊂ ⊂ f (∪∪X λ). Logo, ∩ ∩f (X λ) ⊂⊂ f (∪∪X λ).
(iii) f (
∩
X λ) ⊃ ⊃
∪
f (X λ)
Como ∩ ∩X λ ⊂ ⊂ X λ, para todo λ, temos por hip o´tese que f (∩∩X λ) ⊃ ⊃ f (X λ), para todo λ. Daı´, f (∩∩X λ) ⊃ ∪⊃ ∪f (X λ).
(iv) f (
∩
X λ) ⊂⊂
∪
f (X λ)
Por (i), temos que f (∪∪f (X λ)) ⊂ ⊂ ∩∩f (f (X λ)) = ∩∩X λ. Daı´, f (f (∪∪f (X λ))) ⊃ ⊃ f (∩∩X λ). Logo, ∪ ∪f (X λ) ⊃ ⊃ f (∩∩X λ).
De (i) e (ii), temos que f (∪∪X λ) = ∩ ∩f (X λ) e de ( iii) e (iv), temos f (∩∩X λ) = ∪∪f (X λ).
25
 
Exerc´ıcio 1.19:
Dadas as famı´lias (Aλ)λ∈L e (Bµ)µ∈M , forme duas famı´lias com ı´ndices em L ×× M considerando os conjuntos
(Aλ ∪∪ Bµ)(λ,µ)∈L×M e (Aλ ∩∩ Bmu)(λ,µ)∈L×M .
Prove que se tem �
�
λ∈L
Aλ
�
∩∩


�
µ∈M 
Bµ

 =
�
(λ,µ)∈L×M 
(Aλ ∩∩ Bµ),
�
λ
∈
L
Aλ
�
∪∪

 
µ
∈
M 
Bµ


=
(λ,µ)
∈
L
×
M 
(Aλ ∪∪ Bµ).
Primeiramente provemos que
�
�
λ∈L
Aλ
�
∩∩


�
µ∈M 
Bµ

 =
�
(λ,µ)∈L×M 
(Aλ ∩∩ Bµ).
Como �
λ∈L
Aλ ⊃ ⊃ Aλ ⊃ ⊃ Aλ ∩∩ Bµ,
para todo ( λ, µ) ∈ ∈ L ×× M, temos que
�
λ∈L
Aλ ⊃ ⊃
�
(λ,µ)∈L×M 
(Aλ ∩∩ Bµ).
Analogamente, mostra-se que
�
µ∈M 
Bµ ⊃ ⊃
�
(λ,µ)∈L×M 
(Aλ ∩ ∩ Bµ).
Assim, segue que �
�
λ∈L
Aλ
�
∩∩


�
µ∈M 
Bµ

 ⊃⊃
�
(λ,µ)∈L×M 
(Aλ ∩∩ Bµ) .
Seja x ∈ ∈ (∪∪λ∈LAλ) ∩∩ (∪∪µ∈M Bµ). Desta forma, x ∈ ∪ ∈ ∪λ∈LAλ e x ∈ ∪ ∈ ∪µ∈M Bµ. Assim, existem λ ∈ ∈ L e µ ∈ ∈ M 
tais que x ∈ ∈ Aλ e x ∈∈ Bµ. Logo,
x ∈∈ Aλ ∩ ∩ Bµ ⊂ ⊂
�
(λ,µ)∈L×M 
(Aλ ∩∩ Bµ) .
Com isso, podemos concluir que
�
�
λ∈L
Aλ
�
∩∩


�
µ∈M 
Bµ

 ⊂⊂
�
(λ,µ)∈L×M 
(Aλ ∩∩ Bµ) .
Mostremos agora que �
λ
∈
L
Aλ
�
∪∪

 
µ
∈
M 
Bµ


=
(λ,µ)
∈
L
×
M 
(Aλ ∪∪ Bµ).
Como
(Aλ ∪∪ Bµ) ⊃⊃ Aλ ⊃ ⊃
λ∈L
Aλ,
para todo ( λ, µ) ∈ ∈ L ×× M , temos que
(λ,µ)∈L×M 
(Aλ ∪∪ Bµ) ⊃ ⊃
λ∈L
Aλ.
26
 
Analogamente, mostra-se que 
(λ,µ)∈L×M 
(Aλ ∪∪ Bµ) ⊃ ⊃
µ∈M 
Bµ.
Assim, segue que
(λ,µ)∈L×M 
(Aλ ∪∪ Bµ) ⊃⊃
�
λ∈L
Aλ
�
∪∪


µ∈M 
Bµ

 .
Seja x ∈ ∈ ∩∩(λ,µ)∈L×M (Aλ ∪∪Bµ). Suponhamos, por absurdo , que x /∈∈ (∩∩λ∈LAλ)∪∪(∩∩µ∈M Bµ). Enta˜o, x /∈ ∈ ∩∩λ∈LAλ
e x /∈ ∈ ∩∩µ∈M Bµ. Assim, existem λ ∈∈ L e µ ∈∈ M tais que x /∈∈ Aλ e x /∈∈ Bµ. Com igual raz a˜o, existe (λ, µ) ∈ ∈ L××M tal
que x /∈∈ Aλ ∪∪Bµ. Um absurdo, pois como Aλ ∪∪Bµ ⊂ ⊂ ∩∩(λ,µ)∈L×M (Aλ ∪∪Bµ), terı´amos que x /∈ ∈ ∩∩(λ,µ)∈L×M (Aλ ∪∪Bµ).
Logo, devemos ter que x ∈∈ (∩∩λ∈LAλ) ∪∪ (∩∩µ∈M Bµ). Com isso, concluimos que
(λ,µ)∈L×M 
(Aλ ∪∪ Bµ) ⊂⊂
�
λ∈L
Aλ
�
∪∪


µ∈M 
Bµ

 .
27
 
Exerc´ıcio 1.20:
Seja (Aij )(i,j)∈N×N uma famı´lia de subconjuntos com ı´ndices em N ×× N. Prove, ou disprove por contra-exemplo, a
igualdade
∞�
j=1
� ∞
i=1
Aij
�
=
∞
i=1


∞�
j=1
Aij

 .
A igualdade e´ falsa em geral. De fato, tomando-se
Aij :=
�
 { {1}}, se i = j,
∅∅
, se i
 ̸ ̸
= j,
temos que
∞�
j=1
� ∞
i=1
Aij
�
=
∞�
j=1
(∅∅) = ∅ ∅
e
∞
i=1


∞�
j=1
Aij

 =
∞
i=1
({{1}}) = { {1}}.
28
 
Exerc´ıcio 1.21:
Dados os conjuntos A , B,C, estabelec¸a uma bije c¸a˜o entre F F (A ×× B; C ) e F F (A; F F (B; C )).
Seja f : A ×× B → → C . Podemos definir uma fun c¸a˜o ϕf : A → F → F (B; C ) definindo ϕf (a) : B → → C como sendo a
func¸a˜o dada por (
ϕf (a)

(b) := f (a, b),
para todo b ∈∈ B . Verificaremos que a fun c¸a˜o ϕ : F F (A ×× B; C ) → → F F (A; F F (B; C )), dada por
ϕ(f ) := ϕf ,
para cada f ∈ F ∈ F (A ×× B; C ), e´ uma bijec¸a˜o.Suponhamos que f e g ∈ ∈ F F (A ×× B; C ) sejam tais que ϕ(f ) = ϕ(g). Assim, ϕf = ϕg. Logo, dado ( a, b) ∈∈ A ×× B,
temos que
ϕf (a) = ϕg(a)
e, consequentemente,
f (a, b) =
(
ϕf (a)

(b) =
(
ϕg(b)

(b) = g(a, b).
Portanto, f = g. Com isso, concluimos que ϕ e´ injetiva.
Seja ψ : A → → F F (B; C ). Podemos definir uma fun c¸a˜o f : A ×× B → → C por
f (a, b) :=
(
ψ(a)

(b),
para todo ( a, b) ∈ ∈ A ×× B. Seja a ∈ ∈ A. Temos que
(
ϕf (a)

(b) = f (a, b) =
(
ψ(a)

(b),
para todo b ∈ ∈ B . Desta forma ϕf (a) = ψ (a). Portanto, como a e´ arbitra´rio, concluı´mos que ϕf = ψ . Com isso,
concluimos que ϕ e´ sobrejetiva.
Portanto, ϕ : F F (A ×× B; C ) → → F F (A; F F (B; C )) e´ uma bijec¸a˜o como querı´amos demonstrar.
29
 
Cap´ıtulo 2
Conjuntos Finitos, Enumera´veis e
Na˜o-Enumera´veis
30
 
Exerc´ıcio 2.1:
Prove que, na presenc¸a dos axiomas P1 e P2, o axioma A abaixo e´ equivalente a P3:
A : Para todo subconjunto n a˜o-vazio X ⊂ ⊂ N, tem-se X \\s(X ) ̸ ̸= ∅∅.
Relembremos as propriedades:
P1 : s : N →→ N e´ injetora;
P2 : N\\s(N) = {{1}};
P3 : Se X ⊂ ⊂ N e´ tal que 1 ∈∈ X e, para todo n ∈∈ X , s(n) ∈ ∈ X, enta˜o X = N.
Suponhamos que as afirmac¸o˜es P1, P2 e P3 sejam v a´lidos. Concluiremos que o axioma A e´ valido mostrando que
se X ⊂ ⊂ N e´ tal que X \\s(X ) = ∅ ∅ enta˜o X = ∅ ∅. Equivalentemente, se X ⊂ ⊂ s(X ) enta˜o N\\X = N. Primeiramente,
temos que 1 ∈ ∈ N\\X , pois, caso contr a´rio, 1 ∈ ∈ s(N) ja´ que
X ⊂ ⊂ s(X ) ⊂ ⊂ s(N),
contradizendo P2. Por P1,
s(N\\X ) = s(N)\\s(X ) ⊃⊃ s(N)\\X.
Desta forma, se n ∈ ∈ N\\X enta˜o s(n) /∈∈ X e, consequentemente, s(n) ∈ ∈ N\\X . Assim, por P3, conc luimos que
N\\X = N.
Reciprocamente, suponhamos que os axiomas P1, P2 e A sejam v´ alidos. Seja X ⊂ ⊂ N tal que 1 ∈ ∈ X e, para
todo n ∈∈ X , s(n) ∈ ∈ X . Provaremos que X = N e concluiremos daı´ que P3 e´ va´lido. Suponhamos por absurdo que
N\\X ̸ ̸= ∅ ∅. Por A, segue que existe
n ∈ ∈ (N\\X )\\s(N\\X ).
Como 1 /∈∈ N\\X , devemos ter que n ̸ ̸= 1 e, por P2, existe m ∈ ∈ N tal que
s(m) = n.
Por P1, m /∈∈ N\\X ja´ que s(m) = n /∈∈ s(N\\X ). Assim, m ∈∈ X e s(m) = n /∈∈ X , contradizendo a hipo´tese sobre X .
31
 
Exerc´ıcio 2.2:
Dados os n u´meros naturaisa e b, prove que existe um n u´mero natural m tal que m ·· a > b.
Se a = 1, basta tomar m = b + 1, pois
1(b + 1) = b + 1 > b.
Se a ̸ ̸= 1 ent a˜o a > 1 ja´ que a ∈ ∈ Z+. Assim, pela monoticidade da multiplica¸ ca˜o em Z+,
ba > b.
Logo, para m := b, temos que ma > b .
32
 
Exerc´ıcio 2.3:
Seja a um nu´mero natural. Se um conjunto X e´ tal que a ∈ ∈ X e, ale´m disso, n ∈∈ X ⇒ ⇒ n + 1 ∈ ∈ X , enta˜o X cont´em
todos os n u´meros naturais ≥ ≥ a.
Seja
A := {{k ∈ ∈ Z+ : a + k ∈ ∈ X }}.
Pela definic¸a˜o da rela c¸a˜o  em Z+, b  a se e somente se b = a + k para algum k ∈ ∈ Z0. Desta forma, provando
que A = Z+ podemos concluir que X conte´m todos os nu´meros naturais  a.
Como a ∈∈ X , temos, pela propriedade de X , que a + 1 ∈ ∈ X . Logo, 1 ∈∈ A.
Suponhamos que k ∈ ∈ A. Pela defini c¸a˜o de A, isto implica que a + k ∈ ∈ X . Assim pela propriedade de X , temos
que a + k + 1 ∈∈ X . Logo, k + 1 ∈∈ A.Portanto, p elo PIF, segue que A = Z+.
33
 
Exerc´ıcio 2.4:
Tente descobrir, independentemente, algumas das demonstrac¸o˜es omitidas no texto.
Associatividade: m + (n + p) = (m + n) + p.
Provada no livro.
Comutatividade: m + n = n + m.
Primeiramente mostraremos que
m + 1 = 1 + m,
para todo m ∈∈ Z+. O caso em que m = 1 e´ tautolo´gico. Supondo, como hipo´tese de indu c¸a˜o, que
m + 1 = 1 + m
para algum m ∈∈ Z+, segue que
s(m) + 1 = s(s(m)) = s(m + 1) = s(1 + m) = 1 + s(m).
Assim, pelo PIF, temos que m + 1 = 1 + m, para todo m ∈ ∈ Z+.
Por fim, provaremos, para m ∈∈ Z+ arbitra´rio e por indu c¸a˜o em n ∈ ∈ Z+, que
m + n = n + m.
O caso n = 1 foi provado no par a´grafo anterior. Supondo, como hip´otese de indu c¸a˜o, que
m + n = n + m
para algum n ∈ ∈ Z+, segue que
m + s(n) = s(m + n) = s(n + m)
= n + s(m) = n + (m + 1)
= n + (1 + m) = (n + 1) + m
= s(n) + m.
E o resultado segue pelo PIF.
Lei do Corte : m + n = m + p ⇒⇒ n = p.
Sejam n e p ∈ ∈ Z+. Provaremos, por indu c¸a˜o em m ∈∈ Z+, que se m + n = m + p enta˜o n = p.
O caso em que m = 1 resume-se a` injetividade da fun c¸a˜o s : Z+ → → Z+. Isto e´, como
s(n) = n + 1 = 1 + n = 1 + p = p + 1 = s( p),
temos que
n = p.
Suponhamos, como hipo´tese de induc¸a˜o, que m + n = m + p implique que n = p. Assim, se s(m) + n = s(m) + p
enta˜o
s(m + n) = s(n + m) = n + s(m)
= s(m) + n = s(m) + p
= p + s(m) = s( p + m)
= s(m + p).
Assim, se s(m) + n = s(m) + p temos, novamente pela injetividade de s : Z+ → → Z+, que m + n = m + p e, pela
hipo´tese de indu c¸a˜o, n = p.E o resultado segue pelo PIF.
Tricotomia: Dados m e n ∈ ∈ Z+, exatamente uma das treˆs alternativas seguintes podem ocorrer: ou m = n,
ou existe p ∈∈ Z+ tal que m = n + p, ou, ent a˜o, existe q ∈ ∈ Z+ com n = m + q .
Dizemos que ( m, n) ∈ ∈ Z+ ×× Z+ satisfaz a condic¸a˜o C se exatamente uma das exatamente uma das treˆs alterna-
tivas ocorre:
34
 
•• m = n;
•• m = n + p, para algum p ∈∈ Z+;
•• n = m + q , para algum q ∈ ∈ Z+.
Seja X o subconjunto de Z+ ×× Z+ definido por
T := {{(m, n) ∈ ∈ Z+ ×× Z+ : (m, n) satisfaz C }}.
Observemos que, como
T =
�
m∈Z+
{{m}} ×× T m,
onde T m := { {n ∈∈ Z+ : (m, n) satisfaz C }},
mostrando que
T m = Z+,
para cada m ∈∈ Z+, podemos concluir que
T =
�
m∈Z+
{{m}} ×× T m =
�
m∈Z+
{{m}} ×× Z+ = Z+ ×× Z+.
Portanto, concluimos a Lei da Tricotomia.
Procederemos com a demonstrac¸a˜o de que T m = Z+ por indu c¸a˜o em m ∈ ∈ Z+.
Consideremos o caso em que m = 1. Se n = 1 temos que n = m. Ale´m disso, como 1 /∈∈ s(Z), segue que
m = 1 ̸̸= s p(n) = n + p
e
n = 1 ̸̸= sq(m) = m + q,
para todos p e q 
 ∈ ∈
Z+. Logo, (1 , 1) satisfaz a condi c¸a˜o C e, consequentemente, 1
 ∈∈
 T 1. Supondo que n
 ∈ ∈
 T 1, como
na˜o se pode ter que 1 = m + q = sq(m) ja´ que 1 /∈∈ s(Z+), temos que exatamente uma das duas alternativas ocorre:
•• n = 1 e, equivalentemente, s(n) = 1 + 1;
•• n = 1 + q e, equivalentemente, s(n) = s(1 + q ) = 1 + s(q ).
Logo, se n ∈∈ T 1 enta˜o s(n) ∈∈ T 1. Com isso, concluimos, pelo PIF, que T 1 = Z+.
Suponhamos, como hipo´tese de induc¸a˜o, que T m = Z+. Provaremos que T s(m) = Z+.
Como X 1 = Z+, temos imediatamente que (1 , s(m)) satisfaz a condi¸ca˜o C e, consequentemente, ( s(m), 1)
satisfaz a condi c¸a˜o C. Logo, 1 ∈ ∈ T s(m). Supondo que n ∈ ∈ T s(m), temos que exatamente uma das treˆs alternativas
ocorrem:
•• n = s(m): Neste caso, s(n) = s(s(m)) = s(m) + 1;
•• n = s(m) + q , para algum q ∈ ∈ Z+: Neste caso, s(n) = s(s(m) + q ) = s(m) + s(q );
•• s(m) = n + p, para algum p ∈ ∈ Z+: Neste caso, se p = 1 ent a˜o s(m) = s(n). E, se p ∈∈ Z+\{\{1}} = s(Z+), existe
˜ pZ+ tal que p = s(˜ p), e assim
s(m) = n + p = n + s(˜ p) = n + (1 + ˜ p) = (n + 1) + ˜ p = s(n) + ˜ p.
Assim, se n ∈ ∈ T s(m), temos que exatamente uma das treˆs alternativas ocorrem:
•• s(n) = s(m) (no caso em que n = s(m));
•• s(n) = s(m) + q˜ (no caso em que n = s(m) ou n = s(m) + q , onde q˜ = s(q ));
•• s(m) = s(n) + ˜ p (no caso em que s(m) = n + p, onde p = s(˜ p)).
35
 
Logo, se n ∈∈ T s(m) enta˜o s(n) ∈ ∈ T s(m). Com isso, concluimos, pelo PIF, que T s(m) = Z+.
Portanto, X m = Z+, para todo m ∈ ∈ Z+.
Transitividade: se m < n e n < p enta˜o m < p.
Se, para m, n e p ∈ ∈ Z+, tivermos que m < n e n < p enta˜o existem r e s ∈ ∈ Z+ tais que
m + r = n
e
n + s = p.
Desta forma,
 p = n + s = (m + r) + s = m + (r + s).
Logo,
m < p.
Tricotomia: dados m e n ∈∈ Z+ exatamente uma das alternativas seguintes pode ocorrer: ou m = n, ou m < n
ou n < m.
Sejam m e n ∈ ∈ Z+. Segundo a tricotomia da adi c¸a˜o (provada acima), exatamente uma das treˆs condic¸o˜es e´
va´lida: ou m = n; ou existe p ∈ ∈ Z+ tal que m = n + p e, portanto, m > n; ou existe q ∈ ∈ Z+ tal que n = m + q e,
portanto, m < n.
Monoticidade da adi c¸a˜o: se m < n enta˜o, para todo p ∈ ∈ Z+, tem-se m + p < n + p.
Provada no livro.
Associatividade: m ·· (n ·· p) = (m ·· n) ·· p.
Provada no livro.
Comutatividade: m ·· n = n ·· m.
Primeiramente, provaremos que m ·· 1 = 1 ·· m, para todo m ∈∈ Z+. Depois, supondo, como hip o´tese de indu c¸a˜o,
que n ∈ ∈ Z+ e´ tal que m ·· n = n ·· m, para todo m ∈ ∈ Z+, provaremos que n + 1 e´ tal que m ·· (n + 1) = ( n + 1) ·· m.
Como isso, o resultado segue pelo Princı´pio da Induc¸a˜o Finita.
Provaremos a igualdade m ·· 1 = 1 ·· m por indu c¸a˜o em m ∈∈ Z+. Para m = 1 a igualdade e´ trivial. Suponhamos,
como hipo´tese de indu c¸a˜o, que m ·· 1 = 1 ·· m, para algum m ∈∈ Z+. Desta forma, temos que
(m + 1) ·· 1 = m + 1 = m ·· 1 + 1 = 1 ·· m + 1 = 1 ·· (m + 1).
Logo, pelo PIF, a igualdade e´ va´lida.
Suponhamos que n ∈ ∈ Z+ seja tal que m ·· n = n ·· m, para todo m ∈ ∈ Z+. Mostraremos, por indu c¸a˜o em m, que
m ·· (n + 1) = ( n + 1) ·· m, para todo m ∈∈ Z+. Para m = 1, o resultado segue do par´agrafo anterior. E, supondo que
m ·· (n + 1) = ( n + 1) ·· m, temos que
(m + 1) ·· (n + 1) = ( m + 1) ·· n + (m + 1)
= n ·· (m + 1) + ( m + 1)
= n
··
m + n + m + 1
= m ·· n + m + n + 1= m ·· (n + 1) + ( n + 1)
= (n + 1) ·· m + (n + 1)
= (n + 1) ·· (m + 1).
E temos o resultado.
Distributividade: m(n + p) = m ·· n + m ·· p.
36
 
Provada no livro.
Lei do Corte : m ·· p = n ·· p ⇒⇒ m = n.
Suponhamos que m, n e p ∈∈ Z+ sa˜o tais que
m ·· p = n ·· p.
Pela tricotomia, exatamente uma das treˆs condic¸o˜es e´ satisfeita: ou m = n + q , para algum q ∈ ∈ Z+; ou m = n + q ,
m = n + q , para algum q ∈ ∈ Z+; ou m = n. Provaremos que as duas primeiras condi c¸o˜es na˜o s a˜o possı´veis e, com
isso, teremos o resultado.Suponhamos que m = n + q , para algum q 
 ∈ ∈
Z+. Segue que
n ·· p = m ·· p = (n + q ) ·· p = p ·· (n + q ) = p ·· n + p ·· q = n ·· p + p ·· q.
Contradizendo a tricotomia.
De forma an a´loga, n a˜o podemos ter n = m + q , para algum q ∈ ∈ Z+.
Monoticidade: m < n ⇒ ⇒ m ·· p < n ·· p.
Sejam n e m ∈∈ Z+ tais que
m < n.
Provaremos que
m ·· p < n ·· p,
para todo p ∈ ∈ Z+, por indu c¸a˜o em p.
Para p = 1, a desigualdade e´ imediata.
Suponhamos, como hipo´tese de indu c¸a˜o, que m ·· p < n ·· p, para um certo p ∈ ∈ Z+. Como m < n, existe q ∈ ∈ Z+
tal que
n = m + q.
Assim,
n ·· ( p + 1) = ( m + q ) ·· ( p + 1) = ( p + 1) ·· (m + q ) = ( p + 1) ·· m + ( p + 1) ·· q = m ·· ( p + 1) + ( p + 1) ·· q.
e, consequentemente,
n ·· ( p + 1) < m ·· ( p + 1).
E o resultado segue, como querı´amos, pelo PIF.
37
 
Exerc´ıcio 2.5:
Um elemento a ∈ ∈ Z+ chama-se antecessor de b ∈∈ Z quando se tem a < b mas na˜o existe c ∈ ∈ Z+ tal que a < c < b .
Prove que, exceto 1, todo n u´mero natural possui um antecessor.
Seja x ∈∈ Z+\{\{1}}. Mostraremos que x possui um antecesor.
Pelo axioma de Peano P2, x = s(y) = y + 1 para algum y ∈ ∈ Z+. Logo, y < x.
Suponhamos que z ∈ ∈ Z+ e´ tal que z < x. Mostraremos que z  y. Temos que
x = z + n,
para algum n
 ∈ ∈
Z+. Se n = 1 temos que
y + 1 = x = z + 1
e, consequentemente, pela Lei do Corte, y = z. Se n ∈ ∈ Z+\{\{1}} enta˜o, novamente pelo axioma de Peano P2, existe
m ∈∈ Z+ tal que n = s(m). Assim,
s(y) = x = z + n = z + s(m) = s(z + m)
e, pela injetividade da fun¸ca˜o s (axioma de Peano P1),
y = z + m.
Logo, z < y.
Portanto, y e´ um antecessor de x.
38
 
Exerc´ıcio 2.6:
Use induc¸a˜o para demonstrar os seguintes fatos:
a) 2(1 + 2 + 3 + ... + n) = n(n + 1);
b) 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = ( n + 1)2;
c) (a −− 1)(1 + a + a2 + ... + an) = an+1 −− 1, seja quais forem a, n ∈∈ N;
d) n ≥ ≥ 4 ⇒⇒ n! > 2n.
Fac¸amos as demonstrac¸o˜es de maneira bem resumida.
a) Para n = 1, temos obviamente a igualdade uma vez que
2(1) = 1(1 + 1) .
Suponhamos que a igualdade seja verdadeira para n = k, ou seja,
2(1 + 2 + 3 + ... + k) = k(k + 1)
e provemos a sua validade para n = k + 1.
Temos pela hipo´tese de indu c¸a˜o que
2(1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1)) = 2(1 + 2 + 3 + ... + k) + 2(k + 1)
= k(k + 1) + 2(k + 1)
= (k + 1)(k + 2) = ( k + 1)((k + 1) + 1).
b) Para n = 1, temos a igualdade verificada obviamente pois
1 + 3 = 4 = (1 + 1) 2.
Suponhamos que a igualdade seja verificada para n = k, ou seja,
1 + 3 + 5 + ... + (2k + 1) = ( k + 1)2.
Assim, temos que
1 + 3 + 5 + ... + (2(k + 1) + 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k + 1)(2k + 3)
= (k + 1)2 + 2k + 3
= k2 + 2k + 1 + 2 k + 3
= k2 + 4k + 4
= (k + 2)2 = ((k + 1) + 1)2
c) Para n = 1, temos a igualdade verificada obviamente, pois (a −− 1)(1 + a) = a2 −− 1.
Suponhamos que a igualdade seja verdadeira para n = k, ou seja, ( a −− 1)(1 + a + a2 + ... + ak) = ak+1 −− 1.
Assim, temos que
(a −− 1)(1 + a + a2 + ... + ak + ak+1) = (a −− 1)(1 + a + a2 + ... + ak) + (a −− 1)(ak+1)
= ak+1
−−
1 + ak+2
−−
ak+1
= ak+2 −− 1.
d) Para n = 4, temos a igualdade verificada. Suponhamos que a igualdade seja verificad a para n = k, ou seja,
k! > 2k.
Assim, temos que
(k + 1)! > (k + 1)k! > (k + 1)2k > 2k+1
39
 
Exerc´ıcio 2.7:
Use o Segundo Princ´ıpio de Induc¸a˜o para demonstrar a unicidade de decomposi¸ ca˜o de um n´umero natural em
fatores primos.
Seja n ∈ ∈ N. Suponha que todos os n´ umeros naturais menores do que n sejam escritos de forma u´nica como
produto de fatores primos. Suponhamos que n tenha duas decomposic¸o˜es
n = α1α2...αm
e
n = β 1β 2...β p,
com αi e β j nu´meros primos. Se αi = β j para determinados i,j, (neste caso podemos supor sem perda de generali-
dade α1 = β 1) ent ao temos que
n = αir
e
n = β 1s,
com r = α2...αm, s = β 2...β p e r = s < n. Pelo segundo princı´pio de induc¸a˜o, temos que m = p e αi = β i, para
i = 2, 3,...,m.
Se αi ̸ ̸= β j para qualquer i = 1, 2,...,m e j = 1, 2,...,p, enta˜o temos que
mdc(n, n) = mdc(α1...αm, β 1...β p) = 1,
o que e´ um absurdo. Logo ocorre o primeiro caso e segue o resultado.
40
 
Exerc´ıcio 2.8:
Seja X um conjunto com n elementos. Use indu c¸a˜o para provar que o conjunto das bije¸co˜es (ou permuta c¸o˜es)
f : X → → X tem n! elementos.
Provemos este exercı´cio usando induc¸a˜o sobre o n´umero de elementos de X. Para | |X || = 1, temos obvia-
mente | |F || = 1. Suponhamos que se | |X || = k, enta˜o | |F || = k!. Suponhamos que | |X || = k + 1, digamos X =
{{x1, x2,...,x n, xn+1}}. Para cada i = 1, 2,...,k + 1, seja f i : X → → X tal que f i(xk+1) = xi. Temos enta˜o k + 1 f ′i s.
Agora, por indu c¸a˜o existem k ! restric¸o˜es f i

X\{xk+1}, pois cada restri c¸a˜o f i

X\{xk+1} : X \ \ {{xk+1} } →→ X \ \ {{xk+1}} e´
uma bijec¸a˜o. Portanto | |F || = (k + 1)k! = (k + 1)!, o que conclui a demonstra c¸a˜o.
41
 
Exerc´ıcio 2.9:
Sejam X e Y conjuntos finitos.
a) Prove que card(X ∪ ∪ Y ) + card(X ∩ ∩ Y ) = card(X ) + card(Y ).
b) Qual seria a f´ormula correspondente para treˆs conjuntos?
c) Generalize.
a) Sejam A = { {(1, x); x ∈ ∈ X } } ∪ ∪ {{(2, y); y ∈ ∈ Y }} e B = { {(3, z); z ∈ ∈ X ∪ ∪ Y } } ∪ ∪ {{(4, w); w ∈ ∈ X ∩ ∩ Y }}. Definamos
f : A → → B como sendo f (1, x) = (3 , x)
f (2, y) =
�
 (3, y); se y ∈ ∈ Y \ \ X 
(4, y); se y ∈ ∈ X ∩ ∩ Y 
.
Temos trivialmente que f e´ uma bijec¸a˜o entre A e B . Al´em disso, card(A) = card(X ∪ ∪ Y ) + card(X ∩ ∩ Y ) e
card(B) = card(X ) + card(Y ). Daı´ segue o resultado.
b) card(X ∪ ∪ Y ∪ ∪ Z ) + card((X ∩ ∩ Y ) ∪∪ (X ∩ ∩ Z ) ∪∪ (Y ∩ ∩ Z )) = card(X ) + card(Y ) + card(Z ).
c) card
� n∪
i=1
X i
�
+ card
�
∪
i≠j
(X i ∩∩ X j )
�
= card(X 1) + card(X 2) + ... + card(X n).
42
 
Exerc´ıcio 2.10:
Dado um conjunto finito X, prove que uma func¸a˜o f : X → → X e´ injetora se, e somente se, e´ sobrejetora.
(⇒⇒) Temos que g : X → → f (X ) dada por g (x) = f (x) e´ uma bijec¸a˜o. Se f (X ) ̸ ̸= X terı´amos um absurdo pois
na˜o pode haver bije c¸a˜o entre um conjunto finito e um subconjunto pr´ oprio deste conjunto.
(⇐⇐) Seja X = { {x1, x2,...,x n}}. Suponha que f na˜o seja injetora, ou seja, existem xi ̸̸= xj em X tais que
f (x1) = f (x2). Assim, f (X ) = {{f (x1), f (x2),...,f (xn)}} teria no m a´ximo n −− 1 elementos e desta forma f (X ) ̸ ̸= X,
o que e´ um absurdo. Logo, f e´ injetora.
43
 
Exerc´ıcio 2.11:
Formule matematicamente e demonstre o seguinte fato(conhecido como princ´ıpio das gavetas). Se m < n, enta˜o
de qualquer modo como se guardem n objetos em m gavetas, havera´ sempre uma gaveta, pelo menos, que conter´ a
mais de um objeto.
f : I n → → I m com n > m na˜o e´ injetiva.
Se f na˜o e´ sobrejetora, f ||I n tambe´m n a˜o sera´. Logo, f ||I n tambe´m n a˜o sera´ injetiva pelo exerc´ıcio anterior. E
consequentemente f tambe´m n a˜o seria injetiva.
Por outro lado, mesmo que f fosse sobrejetiva, se fosse tambe´m injetiva, f seria uma bijec¸a˜o entre um conjunto
finito e um subconjunto pr o´prio dele, que e´ um absurdo.
44
 
Exerc´ıcio 2.12:
Seja X um conjunto com n elementos. Determine o n u´mero de func¸o˜es injetivas f : I p → → X.
Princ´ıpio da contagem. Escolhamos um dos n elementos de X para ser f (1). Da´ı escolhamos 1 dos n − − 1
elementos restantes para ser f (2). E assim sucessivamente temos que o n´umero de fun c¸o˜es injetivas possı´veis e´
n(n −− 1)(n −− 2)...(n −− p + 1).
45
 
Exerc´ıcio 2.13:
Quantos subconjuntos com p elementos possui um subconjunto X, sabendo-se que X tem n elementos?Se n < p, vem de P1 que n a˜o existe subconjunto de X com p elementos. Caso contr a´rio podemos definir uma
func¸a˜o f : [1, p] ∩∩ N → → X (pelo axioma da escolha). Pelo princ´ıpio da contagem, temos que f pode ser definida de
n!
 p!(n −− p)! modos distintos. Pore´m, para cada imagem de f, f pode ter sido definida de p! formas. Sendo assim,
existem n! p!(n −− p)! imagens de f .
46
 
Exerc´ıcio 2.14:
Prove que se A tem n elementos, enta˜o P (A) tem 2 n elementos.
Associemos a cada X ∈ ∈ P (A) uma fun c¸a˜o f X : A → → {{0, 1}} dada por f (x) = 1 se x ∈ ∈ X e f (x) = 0 se x /∈∈ X.
Temos enta˜o que a aplica¸ca˜o X → → f X e´ uma bijec¸a˜o. E como, pelo princı´pio da contagem, e´ possı´vel se fazer 2
func¸o˜es f : A → → {{0, 1}} diferentes, temos que a ordem de P (A) e´ exatamente 2.
47
 
Exerc´ıcio 2.15:
Defina um fun c¸a˜o sobrejetiva f : N →→ N tal que, para todo n ∈ ∈ N, o conjunto f −1(n) seja infinito.
Seja f : N →→ N tal que f (2n3m) = n e f (x) = 1 para x divisı´vel por qualquer primo diferente de 2 e 3. Portanto,
f −1(N) ⊃ {⊃ {2n3, 2n32,..., 2n3m,... }}.
48
 
Exerc´ıcio 2.16:
Prove que se X e´ infinito enumera´vel, o conjunto das partes finitas de X tambe´m e´ (infinito) enumera´vel.
Seja X = {{x1, x2,... }}. Temos que
P =
∞�
i=1
{{A ⊂ ⊂ {{x1, x2,...,x i}}}} =
∞�
i=1
F i.
Temos que cardF i = 2i. Como P e´ uma reunia˜o enumera´vel de conjuntos enumera´veis, P e´ enumera´vel.
49
 
Exerc´ıcio 2.17:
Seja f : X → → X uma func¸a˜o. Um subconjunto Y ⊂ ⊂ X chama-se esta´vel relativamente a` f quando f (Y ) ⊂ ⊂ Y. Prove
que um subconjunto X e´ finito se, e somente existe um func¸a˜o f : X → → X que so´ admite os subconjuntos est a´veis
∅∅ e X.
(⇒⇒) Seja X = {{x1, x2,...,x n}} e f : X → → X dado por f (xi) = xi+1 se 1 ≤ ≤ i < n e f (xn) = x1. Se f e´ esta´vel em
A e x p ∈ ∈ A, temos que xq = f q− p(modn)(x p) ∈ ∈ A. Logo, A = X.
(⇐⇐) Dado x0 ∈ ∈ X (se X ̸ ̸= ∅ ∅, X e´ finito) consideremos o conjunto A = { {x0, f (x0), f 2(x0),...,f n(x0),... }}. Daı´
X = A, pois f e´ esta´vel em A e A ̸̸= ∅ ∅.
Se n a˜o existir k ∈ ∈ N tal que f k(x0) = x0, A −− {{x0}} e´ esta´vel por f e logo A −− {{x0}} = X − − {{x0}} = ∅ ∅, ou seja,
X =
 {{
x0
}}
, ou A = X = A
−− {{
x0
}}
, absurdo.
Por outro lado, se existir k ∈ ∈ N tal que f k(x0) = x0 o conjunto { {x0, f (x0), f 2(x0),...,f k−1(x0)}} e´ esta´vel por A
e na˜o vazio, logo e´ igual a X.
50
 
Exerc´ıcio 2.18:
Seja f : X →→ X uma fun c¸a˜o injetiva tal que f (X ) ̸̸= X. Tomando x ∈∈ X − − f (X ), prove que os elementos
x, f (x), f (f (x)),... sa˜o dois a dois distintos.
Provaremos por indu c¸a˜o em n que para todo p ∈ ∈ N, temos que f n(x) ̸ ̸= f n+ p(x) e a proposi¸ c ao estar´a
demonstrada. Com x /∈∈ f (X ), temos que x ̸ ̸= f p(x), para todo p ∈ ∈ N. Suponhamos que f n(x) ̸ ̸= f n+ p(x). Enta˜o
f n+1(x) ̸̸= f n+1+ p(x) pois f e´ injetora. Pelo PIF o resultado segue.
51
 
Exerc´ıcio 2.19:
Dado um conjunto finito X, prove que uma func¸a˜o f : X → → X e´ injetora se, e somente se, e´ sobrejetora.
(⇒⇒) Temos que g : X → → f (X ) dada por g (x) = f (x) e´ uma bijec¸a˜o. Se f (X ) ̸ ̸= X terı´amos um absurdo pois
na˜o pode haver bije c¸a˜o entre um conjunto finito e um subconjunto pr´ oprio deste conjunto.
(⇐⇐) Seja X = { {x1, x2,...,x n}}. Suponha que f na˜o seja injetora, ou seja, existem xi ̸̸= xj em X tais que
f (x1) = f (x2). Assim, f (X ) = {{f (x1), f (x2),...,f (xn)}} teria no m a´ximo n −− 1 elementos e desta forma f (X ) ̸ ̸= X,
o que e´ um absurdo. Logo, f e´ injetora.
52
 
Exerc´ıcio 2.20:
(a) Se X e´ finito e Y e´ enumera´vel, enta˜o F F (X, Y ) e´ enumera´vel.
(b) Para cada fun c¸a˜o f : N → → N seja Af = { {n ∈ ∈ N; f (n) ̸ ̸= 1}}. Prove que o conjunto X das fun c¸o˜es f : N → → N
tais que Af e´ finito e´ um conjunto enumera´vel.
Item (a)
Seja X = {{x1,...,x n}}. Definimos
φ : F F (X, Y ) →→ Y n
f →→ (f (x1),...,f (xn)).
Temos que φ e´ claramente injetiva. Logo, F F (X, Y ) esta´ em bijec¸a˜o com o conjunto φ(F F (X, Y )) ⊂ ⊂ Y n. Como
Y e´ enumer a´vel, Y n e´ enumera´vel (pois e´ produto finito de conjuntos enumera´veis). Assim, φ(F F (X, Y )) ⊂ ⊂ Y n e´
anumera´vel e, consequentemente, F F (X, Y ) e´ enumera´vel.
Item (b)
Seja
F n := {{Y ⊂ ⊂ N;card Y = n}}.
Definimos
φ : F F n →→ Y n
Y = { {y1,...,y n} } →→ (y1,...,y n).
Claramente, φ e´ injetiva. Como Y n e´ enumera´vel, segue que F n e´ enumera´vel. Portanto,
F :=
∞�
n=1
F n
e´ enumera´vel.
Seja
ψ : X →→ ∪Y ∈F F F (Y, N)f →→ f ||Af .
Temos que ψ e´ injetiva. De fato, se f , g ∈ ∈ X sa˜o tais que ψ(f ) = ψ(g) temos que
f ||Af = g||Ag
implicando que Af = Ag,
f ||Af = g||Ag ,
e
f = g
 ja´ que
f ||N\Af = 1 = g||N\Af .
Pelo item anterior,
∪
Y ∈F F F (Y, N) e´ uma unia˜o enumera´vel de conjuntos enumera´veis. Logo,
∪
Y ∈F F F (Y, N) e´
enumera´vel. Assim, como ψ e´ injetiva, segue que X e´ enumera´vel.
53
 
Exerc´ıcio 2.21:
Obtenha uma decomposic¸a˜o N = ∪ ∪∞i=1X i tal que os conjuntos X i sa˜o infinitos e dois a` dois disjuntos.
Para todo n ∈∈ N, existe um u´nico k ∈ ∈ Z0 tal que
2k  n < 2k+1.
Por isso, fica bem definida a fun¸ca˜o f : N →→ Z0 dada por
f (n) = n −− 2k,
onde 2
k
 n < 2
k+1
. Desta forma, temos, para
X i := f −1(i −− 1),
que
N =
∞�
i=1
X i
com os conjuntos X i sendo dois a` dois disjuntos. Adiante, como
X i = { {2k + i −− 1 || k ∈ ∈ Z0, i −− 1 < 2k}},
temos que cada X i e´ infinito.
54
 
Exerc´ıcio 2.22:
Defina f : N ×× N →→ N, pondo f (1, n) = 2n −− 1 e f (m + 1, n) = 2m(2n −− 1). Prove que f e´ uma bijec¸a˜o.
Para cada n u´mero natural p, temos, pela unicidade da decomposi¸ ca˜o de n u´meros naturais em n u´meros primos,
que existem u´nicos m e q ∈ ∈ Z+ tais que p = 2m−1q e q e´ ı´mpar. Sendo q ı´mpar, existe um u´nico n ∈ ∈ Z+ tal que
q = 2n −− 1. Assim, existem u´nicos m e n ∈∈ Z0 tais que p = 2m−1(2n −− 1). Portanto, e´ bem definida a func¸a˜o
g : Z+ →→ Z+ ×× Z+
 p = 2m−1(2n −− 1) →→ (m, n).
Como g e´ uma inversa para f , temos que f e´ bijetiva.
55
 
Exerc´ıcio 2.23:
Seja X ⊂ ⊂ N um subconjunto infinito. Prove que existe uma ´ unica bijec¸a˜o crescente f : N →→ X .
Definimos, indutivamente f : N →→ X por
f (1) = min( X )
e
f (n) = min
�
X − −
n−1�
i=1
{{f (i)}}
�
,
para n > 1. Temos, pelo PIF e pelo fato de X ⊂ ⊂ N ser bem ordenado, que f esta´ bem definida.
Dados m < n
 ∈∈
N, temos que
f (m) < min
�
X − −
n−1�
i=1
{{f (i)}}
�
= f (n)
pois f (m)  x, para todo x ∈ ∈ X − − ∪m−1i=1 ⊃⊃ X − −
∪n−1
i=1 , e f (m) /∈∈ X − −
∪n−1
i=1 . Com isso, concl uimos que f e´
estritamente crescente e, consequentemente que f e´ injetiva.
Provaremos, agora que f e´ sobrejetiva. Comec¸aremos mostrando, por induc¸a˜o que
n  f (n).
Para n = 1, temos de X ⊂ ⊂ N, que
1 = min(N)  min(X ) = f (1).
Usando o passo indutivo, temos que
n  f (n) < f (n + 1)
implicando que
n + 1  f (n + 1).
Logo, vale a desigualdade acima. Adiante, dado x ∈∈ X N, provaremos que x ∈ ∈ f (N). Suponhamos por absurdo que
exista x ∈∈ X − − f (N). Existe, pela arquimedianidade de N, n ∈∈ N tal que
x < n  f (n).
Mas, como
x ∈∈ X − −
n−1�
i=1
{{f (i)}},
terı´amos uma contradic¸a˜o com o fato de que
x < min
�
X − −
n−1�
i=1
{{f (i)}}
�
.
Portanto, f e´ sobrejetiva.
Provaremos, agora, que se g : N →→ X e´ uma bijec¸a˜o crescente enta˜o f = g. Devemos ter que
g(1) = min( X ) = f (1)
pois, caso