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Estado de Tensões

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Estado de Tensões
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
Estado de Tensões
Considere um sólido em equilíbrio sujeito a um 
certo número de forças externas:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2
Estado de Tensões
Isolando-se uma parte deste sólido o equilíbrio é 
garantido pelo princípio da ação e reação (Lei de 
Newton).
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Pode-se dizer que uma 
área elementar ds é 
responsável por uma 
parcela df daquelas forças 
transmitidas. 
Estado de Tensões
A parcela df pode ser mostrada segundo suas 
componentes nos eixos x, y, z, com “origem” no 
centro da área do elemento ds.
Dividindo-se as 
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Dividindo-se as 
componentes da 
força pela área 
elementar ds, 
definem-se as 
seguintes grandezas:
Estado de Tensões
•Tensão normal => 
•Tensões tangenciais 
(cisalhantes) =>
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 5
(cisalhantes) =>
Diz-se que um elemento está em estado de 
tensões triaxiais quando ele se encontra sujeito 
as tensões σx, σy e σz.
Estado de Triplo ou Geral
ou Triaxial de Tensões
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Seja um elemento dx, 
dy e dz retirado de um 
sólido solicitado a este 
estado de tensão.
Estado de Triplo ou Geral
ou Triaxial de Tensões
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Estado Simples ou Linear 
ou Uniaxial das Tensões
•Seja uma barra sem peso 
tracionada por uma força axial: 
•A tensão é considerada em uma 
direção ou seja estado de tensão 
uniaxial.
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tracionada por uma força axial: 
F = σ1 . A ( σ = F / A )
σ1 → Tensão principal de tração (Tensão máxima)
σ2 → zero (Tensão mínima)
A representação gráfica do Estado simples de 
tensão pode ser feita através do Círculo de Mohr.
Estado Simples ou Linear 
ou Uniaxial das Tensões
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 9
tensão pode ser feita através do Círculo de Mohr.
Estado Simples ou Linear 
ou Uniaxial das Tensões
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 10
Conclusões relativas ao estado de tensão em um ponto 
neste estado:
a)A maior tensão normal possível é de σ para α = 0o;
Estado Simples ou Linear 
ou Uniaxial das Tensões
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a)A maior tensão normal possível é de σ1 para α = 0o;
Tensão principal (plano principal de tensão); 
b) A maior tensão tangencial possível é de τmax e 
ocorre quando α = 450;
Estado Duplo ou Plano
Ou Biaxial de Tensões
Considera-se, agora, um estado de 
tensão mais geral num elemento onde 
não só atua tensão normal em uma 
direção, mas em duas direções. 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 12
direção, mas em duas direções. 
Ou seja, estado de tensões biaxiais
As tensões biaxiais aparecem em análise de 
vigas, eixos, chapas etc...
Seja uma chapa retangular com espessura 
unitária com tensões normais e tangenciais 
atuando sob esta chapa.
Estado Duplo ou Plano
Ou Biaxial de Tensões
y σ
 y
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Tensão Normal:
σ > 0 → Tração
σ < 0 → Compressão 0 x
σ
 x
 y
τxy
A
B
P
θ=0o
Os planos em que atuam as máximas tensões 
são chamados de planos principais de tensão e 
as tensões máximas são chamadas tensões 
principais:
σ σ
Estado Duplo ou Plano
Ou Biaxial de Tensões
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principais:
σ1 e σ2
σ1 → Tensão máxima
σ2 → Tensão mínima
Círculo de Mohr
•Sistema de referência: σ como abscissa (+ para direita)
τ como ordenada (+ para baixo)
•Localize o ponto C (centro do círculo) por coordenadas:
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σ
 x
σ
 x σ y+
2
τxy= =0;( )
Círculo de Mohr
• Localize o ponto A por coordenadas:
O ponto A corresponde a θ = 0o
σ
 x σ x τxy τxy= =e
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•Localize o ponto B por coordenadas:
O ponto B corresponde a θ = 90o
•Usando estes três pontos construa o círculo.
σ
 x σ y τxy −τxy= =e
Estado Duplo ou Plano
Ou Biaxial de Tensões
Tensões Principais
2
xy
2
yxyx
mín
máx 22
τ+






 σ−σ
±
σ+σ
=σ
σ = σ σ = σ σ
C
B(θ=90 )o
-
σ1
-τxy
θ > 0 +
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σmáx = σ1 σmín = σ2
2
xy
2
yx
2
R τ+





 σ−σ
=
σ
τxy
C
θ2 1σ2
+
σ
 x
σ
 y
 x
τxy
A(θ=0 )o
σ
 x
σ
 y+
2
R
θ1 → é o ângulo que determina qual o 
plano onde atuam as tensões máximas.
Num certo valor de θ1 atua a máxima tensão 
Estado Duplo ou Plano
Ou Biaxial de Tensões
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Num certo valor de θ1 atua a máxima tensão 
normal e defasado de 90o atua a mínima 
tensão normal.
Para θ1 que determina as máximas tensões 
normais as tensões tangenciais são nulas.
Estado Duplo ou Plano
Ou Biaxial de Tensões
σ 1
y σ 2
A
B y
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1
σ 2
x
 x
θ1
AP
σ
Exemplo Prático
Trajetórias das tensões principais de tração σI e de compressão 
σII . 
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Estado de Triplo ou Geral
ou Triaxial de Tensões
Círculo de Mohr
Tensões principais
σ σ σ
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σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.
Estado de Triplo ou Geral
ou Triaxial de Tensões
Círculo de Mohr
Tensões principais
σ σ σ
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 22
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.
Estado de Triplo ou Geral
ou Triaxial de Tensões
Círculo de Mohr
Tensões principais
σ σ σ
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 23
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.
Cisalhamento Puro
Estado Simples ou Linear 
ou Uniaxial das Tensões
Tração Simples
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Estado Simples ou Linear 
ou Uniaxial das Tensões
Compressão Simples
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 25
Referências Bibliográficas
MASCIA, N.T., Teoria das Tensões, Departamento 
de Estruturas, Universidade Estadual de Campinas, 
Campinas-SP, 2006.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 26
HIBBELER, R., C., Resistência dos Materiais, 
Prentice Hall, São Paulo, 5 ed., 2004.

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