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Estado de Tensões UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Estado de Tensões Considere um sólido em equilíbrio sujeito a um certo número de forças externas: Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2 Estado de Tensões Isolando-se uma parte deste sólido o equilíbrio é garantido pelo princípio da ação e reação (Lei de Newton). Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 3 Pode-se dizer que uma área elementar ds é responsável por uma parcela df daquelas forças transmitidas. Estado de Tensões A parcela df pode ser mostrada segundo suas componentes nos eixos x, y, z, com “origem” no centro da área do elemento ds. Dividindo-se as Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 4 Dividindo-se as componentes da força pela área elementar ds, definem-se as seguintes grandezas: Estado de Tensões •Tensão normal => •Tensões tangenciais (cisalhantes) => Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 5 (cisalhantes) => Diz-se que um elemento está em estado de tensões triaxiais quando ele se encontra sujeito as tensões σx, σy e σz. Estado de Triplo ou Geral ou Triaxial de Tensões Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 6 Seja um elemento dx, dy e dz retirado de um sólido solicitado a este estado de tensão. Estado de Triplo ou Geral ou Triaxial de Tensões Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 7 Estado Simples ou Linear ou Uniaxial das Tensões •Seja uma barra sem peso tracionada por uma força axial: •A tensão é considerada em uma direção ou seja estado de tensão uniaxial. Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 8 tracionada por uma força axial: F = σ1 . A ( σ = F / A ) σ1 → Tensão principal de tração (Tensão máxima) σ2 → zero (Tensão mínima) A representação gráfica do Estado simples de tensão pode ser feita através do Círculo de Mohr. Estado Simples ou Linear ou Uniaxial das Tensões Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 9 tensão pode ser feita através do Círculo de Mohr. Estado Simples ou Linear ou Uniaxial das Tensões Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 10 Conclusões relativas ao estado de tensão em um ponto neste estado: a)A maior tensão normal possível é de σ para α = 0o; Estado Simples ou Linear ou Uniaxial das Tensões Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 11 a)A maior tensão normal possível é de σ1 para α = 0o; Tensão principal (plano principal de tensão); b) A maior tensão tangencial possível é de τmax e ocorre quando α = 450; Estado Duplo ou Plano Ou Biaxial de Tensões Considera-se, agora, um estado de tensão mais geral num elemento onde não só atua tensão normal em uma direção, mas em duas direções. Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 12 direção, mas em duas direções. Ou seja, estado de tensões biaxiais As tensões biaxiais aparecem em análise de vigas, eixos, chapas etc... Seja uma chapa retangular com espessura unitária com tensões normais e tangenciais atuando sob esta chapa. Estado Duplo ou Plano Ou Biaxial de Tensões y σ y Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 13 Tensão Normal: σ > 0 → Tração σ < 0 → Compressão 0 x σ x y τxy A B P θ=0o Os planos em que atuam as máximas tensões são chamados de planos principais de tensão e as tensões máximas são chamadas tensões principais: σ σ Estado Duplo ou Plano Ou Biaxial de Tensões Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 14 principais: σ1 e σ2 σ1 → Tensão máxima σ2 → Tensão mínima Círculo de Mohr •Sistema de referência: σ como abscissa (+ para direita) τ como ordenada (+ para baixo) •Localize o ponto C (centro do círculo) por coordenadas: Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 15 σ x σ x σ y+ 2 τxy= =0;( ) Círculo de Mohr • Localize o ponto A por coordenadas: O ponto A corresponde a θ = 0o σ x σ x τxy τxy= =e Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 16 •Localize o ponto B por coordenadas: O ponto B corresponde a θ = 90o •Usando estes três pontos construa o círculo. σ x σ y τxy −τxy= =e Estado Duplo ou Plano Ou Biaxial de Tensões Tensões Principais 2 xy 2 yxyx mín máx 22 τ+ σ−σ ± σ+σ =σ σ = σ σ = σ σ C B(θ=90 )o - σ1 -τxy θ > 0 + Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 17 σmáx = σ1 σmín = σ2 2 xy 2 yx 2 R τ+ σ−σ = σ τxy C θ2 1σ2 + σ x σ y x τxy A(θ=0 )o σ x σ y+ 2 R θ1 → é o ângulo que determina qual o plano onde atuam as tensões máximas. Num certo valor de θ1 atua a máxima tensão Estado Duplo ou Plano Ou Biaxial de Tensões Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 18 Num certo valor de θ1 atua a máxima tensão normal e defasado de 90o atua a mínima tensão normal. Para θ1 que determina as máximas tensões normais as tensões tangenciais são nulas. Estado Duplo ou Plano Ou Biaxial de Tensões σ 1 y σ 2 A B y Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 19 1 σ 2 x x θ1 AP σ Exemplo Prático Trajetórias das tensões principais de tração σI e de compressão σII . Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 20 Estado de Triplo ou Geral ou Triaxial de Tensões Círculo de Mohr Tensões principais σ σ σ Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 21 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. Estado de Triplo ou Geral ou Triaxial de Tensões Círculo de Mohr Tensões principais σ σ σ Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 22 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. Estado de Triplo ou Geral ou Triaxial de Tensões Círculo de Mohr Tensões principais σ σ σ Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 23 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. Cisalhamento Puro Estado Simples ou Linear ou Uniaxial das Tensões Tração Simples Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 24 Estado Simples ou Linear ou Uniaxial das Tensões Compressão Simples Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 25 Referências Bibliográficas MASCIA, N.T., Teoria das Tensões, Departamento de Estruturas, Universidade Estadual de Campinas, Campinas-SP, 2006. Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 26 HIBBELER, R., C., Resistência dos Materiais, Prentice Hall, São Paulo, 5 ed., 2004.
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