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LISTA DE EXERCÍCIOS PARA A2 
CURSO: DISCIPLINA: 
CICLO BÁSICO DAS ENGENHARIAS CÁLCULO 2 
Professor : THIAGO MACIEL DE OLIVEIRA 
 
Plano tangente e reta normal 
1) Encontre equações para o plano tangente e para a reta normal da superfície: 
 
a) no ponto . 
 
 é superfície de nível de em 
 . 
 
Determinando o vetor gradiente em 
 
 
 ; 
 
 
 ; 
 
 
 . 
Em 
 
 
 ; 
 
 
 ; 
 
 
 . 
Equação do plano tangente: 
Equação da reta normal: 
 
 
 
 
 
b) 
 no ponto . 
 
 
 é superfície de nível de 
 em . 
 
Determinando o vetor gradiente em 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 ; 
 
 
 . 
Em 
 
 
 ; 
 
 
 ; 
 
 
 . 
Equação do plano tangente: 
Equação da reta normal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrais Duplas 
Calcule as seguintes integrais: 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicações: áreas e volumes 
 
4) Calcule a área da região limitada pelas curvas de equação e . 
 
 
5) Calcule a área da região limitada pelas curvas de equação e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Determine o volume da região do 1º octante limitada pelo plano . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrais Triplas 
Calcule as seguintes integrais: 
 
7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicações: áreas e volumes 
 
9) Determine o volume da região do 1º octante limitada pelo plano . 
 
 
10) Calcule o volume do sólido limitado pelos paraboloides e . 
 
 
 
Valores extremos 
Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções a seguir. 
 
11) 
 
 e 
 
 
 e 
 
 
 Ponto crítico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e Máximo local 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) 
 
 
 e 
 e ou e Pontos 
críticos e ; para 
 
 Ponto de sela; para 
 
 e Máximo local .