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FENTRAN Aula 8

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Universidade Federal Fluminense
Disciplina:
Aula 8 – Análise Dimensional e Semelhança
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Prof.: Gabriel Nascimento (Dep. de Eng. Agrícola e Meio Ambiente)
Elson Nascimento (Dep. de Eng. Civil)
Escola de Engenharia
 Aula 8 – Análise Dimensional e 
Semelhança
 Parâmetros Adimensionais
 Análise Dimensional
 Semelhança
Métodos para solução de problemas com fluidos:
 Métodos Analíticos (eq. integrais e diferenciais)
 Métodos Numéricos (modelos computacionais)
 Métodos Experimentais (análise dimensional e 
semelhança)
Parâmetros 
Adimensionais
 Definição: É a relação entre as forças de inércia e as 
forças viscosas atuando num fluido:
onde:
 - massa específica;
v - velocidade;
L - comprimento do corpo;
 - viscosidade dinâmica; e
 - viscosidade cinemática.
v
LL 



vv
Re


 Escoamento Laminar X Turbulento
 Escoamento Laminar X Turbulento
 Características do escoamento laminar:
▪ Predominância dos esforços viscosos
▪ As partículas movem-se ao longo de trajetórias bem definidas, em 
lâminas
 Características do escoamento turbulento:
▪ Irregularidade
▪ Difusividade
▪ Reynolds elevado
▪ Flutuação tridimensional de vorticidade
▪ Dissipação de energia
▪ Continuidade
 Escoamento interno (ex.: tubulação)
4000
2000
Re
TURBULENTO
TRANSITÓRIO
LAMINAR
 Escoamento externo (ex.: cilindro)
Representação gráfica
Valor de Re
Descrição
Mín. Máx.
1 - 5 Sem descolamento das linhas de corrente
2 5-15 40 Par permanente de recirculações
3 40 150 Esteira laminar e periódica
4
150 300 Transição para turbulência na esteira
300 3.105 Esteira totalmente turbulenta
5 3.105 3,5.106
Camada limite turbulenta com esteira estreita e sem 
vórtices aparentes
6 3,5.106 -
Resurgimento da esteira turbulenta com vórtices 
observada do regime 4, porém com camada limite 
turbulenta e esteira mais estreita
(Lienhard, 1966)
 Definição: É a relação entre a força de arrasto do 
escoamento em torno de corpos imersos e a força 
dinâmica.
onde:
 FD – força de arrasto
  - massa específica
 U – velocidade média
 A – área de referência:
 Área frontal: esferas, cilindros, carros, mísseis, projéteis e torpedos
 Área planificada: aerofólios (asas) e hidrofólios
 Área molhada: superfícies de navios e barcaças em contato com a água
AU
2
1
F
C
2
D
D


https://johncarlosbaez.wordpress.com/2012/05/30/fluid-flows-and-infinite-
dimensional-manifolds-part-3/. Acesso em 27/05/2015.
 𝐶𝐴,𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠: Coeficiente de arrasto de pressão. Arrasto causado pela 
diferença entre a pressão na região frontal de estagnação e na 
região traseira descolada
 𝐶𝐴,𝑎𝑡𝑟: Coeficiente de arrasto de atrito. Integral da tensão 
cisalhante (viscosa) ao longo da superfície do corpo
Obs.: Em cilindros, 𝐶𝐴,𝑎𝑡𝑟 é apenas 3% do total. Este valor aumenta 
para corpos mais compridos.
𝐶𝐴 = 𝐶𝐴,𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠 + 𝐶𝐴,𝑎𝑡𝑟
 Exemplo: Arrasto sobre uma esfera
AU
2
1
F
C
2
D
D


AU
2
1
CF 2DD 
http://www.aerospaceweb.org/question/aerodynamics/q0231.shtml. Acesso em 28/05/2015.
 Exemplo 1: [PETROBRAS – ENG. PETRÓLEO JÚNIOR -
2012] Um fluido de densidade d = 1,0x103 kg/m³ e velocidade 
V = 10 m/s passa ao redor de uma esfera de raio R = 0,10 m. 
Calcule a ordem de grandeza da força dinâmica que o fluido 
exerce sobre a esfera em N. 
http://www.aerospaceweb.org/question/aerodynamics/q0231.shtml. Acesso em 28/05/2015.
 Efeito da rugosidade (esfera)
 Efeito da rugosidade (esfera)
Disponível em: <http://engineering-references.sbainvent.com/fluid-mechanics/drag-coefficient-data.php#.WVLFA-vyuM8>. Acesso em 27 jun. 
2017.
 Efeito da rugosidade
Disponível em: http://www.discovery.com/tv-shows/mythbusters/videos/the-buster-awards-dirty-car/. Acesso em 06/03/2016.
 Aplicações: automobilismo
Disponível em :http://eblog.mercedes-benz-passion.com/2010/01/the-
large-wind-tunnel-in-unterturkheim/. Acesso em 01/12/2015.
White (2011)
 Aplicações: esportes
 Aplicações
 Aplicações
 Definição: É a relação entre a força de sustentação 
do escoamento em torno de corpos imersos e a 
força dinâmica.
onde:
 FD – força de sustentação
  - massa específica
 U – velocidade média
 A – área de referência 
AU
2
1
F
C
2
L
L


Fonte: http://smart-blade.com/products-services/visualization-wind-tunnel.html. Acesso em 
01/06/2015
 Exemplo: 
Asa de avião
AU
2
1
CF 2LL  AU2
1
F
C
2
L
L


http://www.aerospaceweb.org/question/aerodynamics/q0015b.shtml. Acesso em 27/05/2015.
 Definição: É a relação entre a velocidade do 
escoamento e a velocidade de propagação do som 
no fluido em questão.
onde:
V – velocidade do escoamento;
a – velocidade da propagação do som.
a
V
Ma 
 Número de Mach: Indica a condição de 
escoamento em que o fluido pode ser 
considerado incompressível:
1Ma
3.0
a
V
Ma
 Número de Mach: 
 < 1 : Escoamento subsônico
 = 1 : Barreira do som
 > 1 : Escoamento supersônico
 Definição: É a relação entre a energia cinética e a energia
potencial gravitacional. Aplicável em escoamentos onde
há superfície livre (ex.: canais abertos).
onde:
V – velocidade do escoamento;
h – altura da lâmina d’água.
 Fr < 1 : Escoamento fluvial
 Fr = 1 : Escoamento crítico
 Fr > 1 : Escoamento torrencial
gh
V
Fr 
onde:
V – velocidade do escoamento;
h – altura da lâmina d’água.
 Exemplo:
gh
V
Fr 
https://ecourses.ou.edu/cgi-
bin/ebook.cgi?doc=&topic=fl&chap_sec=10.3&page=theory. Acesso em 
27/05/2015.
http://www.lmnoeng.com/Channels/HydraulicJump.php. Acesso em 27/05/2015.
 Definição: É a relação entre forças de pressão e de
inércia. Também chamado de coeficiente de pressão Cp.
onde:
p – pressão local;
p0 – pressão de referência; e
V – velocidade média do escoamento.
𝐸𝑢 =
∆𝑝
1
2𝜌𝑉
2
=
𝑝 − 𝑝0
1
2𝜌𝑉
2
Análise Dimensional
 Seja um fenômeno que envolve n variáveis 
dimensionais ui onde:
 Redução de um número de variáveis dimensionais 
(n) a um número menor (k) de variáveis (grupos) 
adimensionais i:
  0,...,, 21 nuuuf
  0,...,, k21 
 Teorema de Buckingham Pi:
 Número de grupos adimensionais necessário para substituir as
variáveis da equação original:
, onde r é o número mínimo de dimensões de referência
necessário para descrever as grandezas G.
Ex.: - MLT (r=4)
- FLT (r=4)
- MLT (r=3)
- ...
  0,...,, 21 nuuuf   0,...,, k21 
rnk 
 Teorema de Buckingham Pi:
 Número de grupos adimensionais necessário para substituir as
variáveis da equação original:
 Secionando r grandezas (Gk, Gl, Gm, ...) que não formem um
adimensional entre elas (independentes), cada grupo
adimensional será formado por:
  0,...,, 21 nuuuf   0,...,, k21 
rnk 
3
m
2
l
1
kii GGGA

 Procedimentos:
 Listar as variáveis dimensionais envolvidas
 Expressar cada uma delas em função das dimensões 
básicas
 Determinar o número necessário de termos pi
 Escolher as variáveis independentes para formar os pis
 Obter os termos pi adimensionais
 Escolher o termo 1 como o que tem a variável 
dependente e expressar o resultado como uma relação 
entre os termos pi:
 k321 ...,, 
 Características da Análise Dimensional:
 Auxilia na obtenção de uma expressão que correlacione 
as variáveis envolvidas num determinado fenômeno
 Reduz a quantidade de repetições necessárias para o 
experimento
 Baseia-se na consideração das dimensões (L,M,T,...)das 
variáveis envolvidas no fenômeno, formando-se grupos 
admensionais
 Depende de dados experimentais
 Exemplo 2: Uma partícula esférica cai lentamente (regime 
laminar) num fluido viscoso. Admita que o arrasto, FD, é 
função do diâmetro e da velocidade da partícula (d e V) e da 
viscosidade, . Determine, através da análise dimensional, 
qual é a relação entre o arrasto e a velocidade da partícula.
Variáveis dimensionais:
Fd
d
V
μ
→n = 4 → k = n−r
4−3 = 1
→Π1 =
Fd
μVd
f Fd,d,V,μ = 0 → ϕ Π1 =0
→ Π1=K → Fd=K μ V d
 Exemplo 3: Considere o escoamento em regime 
permanente, incompressível de um fluido newtoniano num 
tubo longo, horizontal e que apresenta parede lisa. Utilize os 
dados experimentais abaixo para obter uma relação entre a 
queda de pressão por unidade de comprimento (Δ𝑝𝑙) e as 
demais variáveis.
Dados: O diâmetro interno e comprimento são iguais a 12,6 
mm e 1,5 m, respectivamente. O fluido utilizado foi água a 
16°C ( = 999 kg/m³ e µ = 1,12x10-3 Pa.s).
Dica: Utilize escalas logarítmicas para correlacionar os 
adimensionais.
V (m/s) 0,36 0,59 0,89 1,78 3,39 5,16 7,11 8,76
p (Pa) 300 747 1.480 5.075 15.753 32.600 57.450 82.830
 Exemplo 3: ... obter uma relação entre a queda de pressão 
por unidade de comprimento (Δ𝑝𝑙) e as demais variáveis.
Dados: D = 12,6 mm; L = 1,5 m;  = 999 kg/m³ e µ = 1,12x10-3 Pa.s).
V (m/s) 0,36 0,59 0,89 1,78 3,39 5,16 7,11 8,76
p (Pa) 300 747 1.480 5.075 15.753 32.600 57.450 82.830
Variáveis dimensionais: ∆pl ,
D , V , ρ , μ → n = 5
→ k = n−r → 5−3 = 2
f ∆pl , D, V, ρ , μ = 0 → ϕ Π1,Π2 = 0 → Π1 = φ Π2
Π1 =
D ∆pl
ρ V2
Π2 = Re =
ρ V D
μ
2 4046 6631 10002 20005 38099 57992 79908 98451
1 0,01946 0,01804 0,015710 0,013468 0,011525 0,010295 0,0095557 0,0090759
 Exemplo 3: ... obter uma relação entre a queda de pressão 
por unidade de comprimento (Δ𝑝𝑙) e as demais variáveis.
Dados: D = 12,6 mm; L = 1,5 m;  = 999 kg/m³ e µ = 1,12x10-3 Pa.s).
V (m/s) 0,36 0,59 0,89 1,78 3,39 5,16 7,11 8,76
p (Pa) 300 747 1.480 5.075 15.753 32.600 57.450 82.830
Π1 = φ Π2 Π1 =
D ∆pl
ρ V2
Π2 = Re =
ρ V D
μ
2 4046 6631 10002 20005 38099 57992 79908 98451
1 0,01946 0,01804 0,015710 0,013468 0,011525 0,010295 0,0095557 0,0090759
y = 0,150 x-0,244
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
1000 10000 100000 1000000

1
2
→
D ∆pl
ρ V2
= 0,150
ρ V D
μ
−0,244
→ Π1 = 0,150 Π2
−0,244
Semelhança
 Modelo: É a reprodução de um sistema físico em 
condições controladas com o objetivo de se prever o 
comportamento de uma determinada variável ou 
característica.
http://www.portal-energia.com/funcionamento-da-energia-hidrica-barragens-
hidroelectricas/ Acesso em 27/05/2015.
https://www.ambienteenergia.com.br/index.php/2010/09/belo-monte-modelo-
reduzido-em-dezembro/5970. Acesso em 27/05/2015
Sistema real Modelo reduzido
 O emprego da semelhança torna os resultados 
experimentais amplamente aplicáveis
Modelo
Experimental
Fenômeno
Real
SEMELHANÇA
 Sendo Π𝑖 o grupo adimensional correspondente 
ao protótipo e Π𝑖𝑚 ao modelo; e
 Denominando Π1 como o grupo adimensional que 
possui a variável a ser medida:
Π2𝑚 = Π2
Π3𝑚 = Π3
⋮
Π𝑘𝑚 = Π𝑘
Π1 = Π1𝑚
 Exemplo 4: Um modelo em escala 1:10 de um avião deve ser 
ensaiado num túnel de vento pressurizado para determinar o arrasto no 
protótipo que deve voar a 107 m/s na atmosfera padrão. Para minimizar 
os efeitos de compressibilidade, a velocidade do ar na seção de teste do 
túnel de vento é igual a 107 m/s. 
a) Determine a pressão do ar na seção de teste do túnel. 
b) Qual é o arrasto no protótipo que corresponde a uma força de 4,45 N 
medida no modelo? Admita que a temperatura do ar na seção de teste 
é a padrão.
Variáveis dimensionais: FD , L , V , ρ , μ → n = 5
→ k = n−r → 5−3 = 2
Π1 =
FD
 1 2ρ V
2L2
Π2 = Re =
ρ V L
μ
Para 
atendar às 
condições de 
semelhança:
→ Π2m= Π2 →
ρmVm Lm
μm
=
ρ V L
μ
→
ρm
ρ
=
L
Lm
=10
→ρm = 10ρ →pm = 10p = 10∙101,3 kPa = 1013 kPa
 Exemplo 4: Um modelo em escala 1:10 de um avião deve ser 
ensaiado num túnel de vento pressurizado para determinar o arrasto no 
protótipo que deve voar a 107 m/s na atmosfera padrão. Para minimizar 
os efeitos de compressibilidade, a velocidade do ar na seção de teste do 
túnel de vento é igual a 107 m/s. 
a) Determine a pressão do ar na seção de teste do túnel. 
b) Qual é o arrasto no protótipo que corresponde a uma força de 4,45 N 
medida no modelo? Admita que a temperatura do ar na seção de teste 
é a padrão.
Variáveis dimensionais: FD , L , V , ρ , μ → n = 5
→ k = n−r → 5−3 = 2
→ Π2m= Π2
pm = 1013 kPa
Então:
→Π1 = Π1m →
FD
 1 2 ρ V
2L2
=
FDm
 1 2 ρmVm
2 Lm
2
Para 
atendar às 
condições de 
semelhança:
Π1 =
FD
 1 2ρ V
2L2
Π2 = Re =
ρ V L
μ
→ FD = FDm
ρ
ρm
L
Lm
2
= 4,45∙
1
10
∙ 10 2 = 44,5 N
 Exemplo 5: Um modelo é utilizado para estudar o 
escoamento de água numa válvula que apresenta seção de 
alimentação com diâmetro igual a 610 mm. A vazão na 
válvula é 0,85 m³/s e o fluido utilizado no modelo também é 
água na mesma temperatura daquela que escoa no 
protótipo. O diâmetro da seção de alimentação do modelo é 
igual a 76,2 mm. Determine a vazão da água no modelo para 
que haja semelhança.
Re𝑚= Re →
ρmVm Dm
μm
=
ρ V D
μ
→
Vm
V
=
D
Dm
= 13,2
→
Qm
Q
=
Vm Am
V A
=
Vm
V
Dm
D
2
=
D
Dm
Dm
D
2
=
Dm
D
→ Qm = Q
Dm
D
= 0,85
76,2
610
= 0,106 m³/s
 Aula 8 – Análise Dimensional e 
Semelhança
 Parâmetros Adimensionais
 Análise Dimensional
 Semelhança
 Bibliografia:
 MUNSON, Bruce R. Fundamentos da mecânica dos 
fluidos. 4. ed. São Paulo: Blucher, 2004.
 WHITE, F.M. Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill, Brasil, 
7a Edição, 2011.
 Fox R.W. & Mc Donald A.T. Introdução à Mecânica dos 
Fluídos. John Wiley and Sons, N.Y., Tradução: LTC–Livros 
Técnicos e Científicos, RJ.
www.HidroUff.uff.br

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