Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Universidade Federal Fluminense Disciplina: Aula 8 – Análise Dimensional e Semelhança FENÔMENOS DE TRANSPORTE Prof.: Gabriel Nascimento (Dep. de Eng. Agrícola e Meio Ambiente) Elson Nascimento (Dep. de Eng. Civil) Escola de Engenharia Aula 8 – Análise Dimensional e Semelhança Parâmetros Adimensionais Análise Dimensional Semelhança Métodos para solução de problemas com fluidos: Métodos Analíticos (eq. integrais e diferenciais) Métodos Numéricos (modelos computacionais) Métodos Experimentais (análise dimensional e semelhança) Parâmetros Adimensionais Definição: É a relação entre as forças de inércia e as forças viscosas atuando num fluido: onde: - massa específica; v - velocidade; L - comprimento do corpo; - viscosidade dinâmica; e - viscosidade cinemática. v LL vv Re Escoamento Laminar X Turbulento Escoamento Laminar X Turbulento Características do escoamento laminar: ▪ Predominância dos esforços viscosos ▪ As partículas movem-se ao longo de trajetórias bem definidas, em lâminas Características do escoamento turbulento: ▪ Irregularidade ▪ Difusividade ▪ Reynolds elevado ▪ Flutuação tridimensional de vorticidade ▪ Dissipação de energia ▪ Continuidade Escoamento interno (ex.: tubulação) 4000 2000 Re TURBULENTO TRANSITÓRIO LAMINAR Escoamento externo (ex.: cilindro) Representação gráfica Valor de Re Descrição Mín. Máx. 1 - 5 Sem descolamento das linhas de corrente 2 5-15 40 Par permanente de recirculações 3 40 150 Esteira laminar e periódica 4 150 300 Transição para turbulência na esteira 300 3.105 Esteira totalmente turbulenta 5 3.105 3,5.106 Camada limite turbulenta com esteira estreita e sem vórtices aparentes 6 3,5.106 - Resurgimento da esteira turbulenta com vórtices observada do regime 4, porém com camada limite turbulenta e esteira mais estreita (Lienhard, 1966) Definição: É a relação entre a força de arrasto do escoamento em torno de corpos imersos e a força dinâmica. onde: FD – força de arrasto - massa específica U – velocidade média A – área de referência: Área frontal: esferas, cilindros, carros, mísseis, projéteis e torpedos Área planificada: aerofólios (asas) e hidrofólios Área molhada: superfícies de navios e barcaças em contato com a água AU 2 1 F C 2 D D https://johncarlosbaez.wordpress.com/2012/05/30/fluid-flows-and-infinite- dimensional-manifolds-part-3/. Acesso em 27/05/2015. 𝐶𝐴,𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠: Coeficiente de arrasto de pressão. Arrasto causado pela diferença entre a pressão na região frontal de estagnação e na região traseira descolada 𝐶𝐴,𝑎𝑡𝑟: Coeficiente de arrasto de atrito. Integral da tensão cisalhante (viscosa) ao longo da superfície do corpo Obs.: Em cilindros, 𝐶𝐴,𝑎𝑡𝑟 é apenas 3% do total. Este valor aumenta para corpos mais compridos. 𝐶𝐴 = 𝐶𝐴,𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠 + 𝐶𝐴,𝑎𝑡𝑟 Exemplo: Arrasto sobre uma esfera AU 2 1 F C 2 D D AU 2 1 CF 2DD http://www.aerospaceweb.org/question/aerodynamics/q0231.shtml. Acesso em 28/05/2015. Exemplo 1: [PETROBRAS – ENG. PETRÓLEO JÚNIOR - 2012] Um fluido de densidade d = 1,0x103 kg/m³ e velocidade V = 10 m/s passa ao redor de uma esfera de raio R = 0,10 m. Calcule a ordem de grandeza da força dinâmica que o fluido exerce sobre a esfera em N. http://www.aerospaceweb.org/question/aerodynamics/q0231.shtml. Acesso em 28/05/2015. Efeito da rugosidade (esfera) Efeito da rugosidade (esfera) Disponível em: <http://engineering-references.sbainvent.com/fluid-mechanics/drag-coefficient-data.php#.WVLFA-vyuM8>. Acesso em 27 jun. 2017. Efeito da rugosidade Disponível em: http://www.discovery.com/tv-shows/mythbusters/videos/the-buster-awards-dirty-car/. Acesso em 06/03/2016. Aplicações: automobilismo Disponível em :http://eblog.mercedes-benz-passion.com/2010/01/the- large-wind-tunnel-in-unterturkheim/. Acesso em 01/12/2015. White (2011) Aplicações: esportes Aplicações Aplicações Definição: É a relação entre a força de sustentação do escoamento em torno de corpos imersos e a força dinâmica. onde: FD – força de sustentação - massa específica U – velocidade média A – área de referência AU 2 1 F C 2 L L Fonte: http://smart-blade.com/products-services/visualization-wind-tunnel.html. Acesso em 01/06/2015 Exemplo: Asa de avião AU 2 1 CF 2LL AU2 1 F C 2 L L http://www.aerospaceweb.org/question/aerodynamics/q0015b.shtml. Acesso em 27/05/2015. Definição: É a relação entre a velocidade do escoamento e a velocidade de propagação do som no fluido em questão. onde: V – velocidade do escoamento; a – velocidade da propagação do som. a V Ma Número de Mach: Indica a condição de escoamento em que o fluido pode ser considerado incompressível: 1Ma 3.0 a V Ma Número de Mach: < 1 : Escoamento subsônico = 1 : Barreira do som > 1 : Escoamento supersônico Definição: É a relação entre a energia cinética e a energia potencial gravitacional. Aplicável em escoamentos onde há superfície livre (ex.: canais abertos). onde: V – velocidade do escoamento; h – altura da lâmina d’água. Fr < 1 : Escoamento fluvial Fr = 1 : Escoamento crítico Fr > 1 : Escoamento torrencial gh V Fr onde: V – velocidade do escoamento; h – altura da lâmina d’água. Exemplo: gh V Fr https://ecourses.ou.edu/cgi- bin/ebook.cgi?doc=&topic=fl&chap_sec=10.3&page=theory. Acesso em 27/05/2015. http://www.lmnoeng.com/Channels/HydraulicJump.php. Acesso em 27/05/2015. Definição: É a relação entre forças de pressão e de inércia. Também chamado de coeficiente de pressão Cp. onde: p – pressão local; p0 – pressão de referência; e V – velocidade média do escoamento. 𝐸𝑢 = ∆𝑝 1 2𝜌𝑉 2 = 𝑝 − 𝑝0 1 2𝜌𝑉 2 Análise Dimensional Seja um fenômeno que envolve n variáveis dimensionais ui onde: Redução de um número de variáveis dimensionais (n) a um número menor (k) de variáveis (grupos) adimensionais i: 0,...,, 21 nuuuf 0,...,, k21 Teorema de Buckingham Pi: Número de grupos adimensionais necessário para substituir as variáveis da equação original: , onde r é o número mínimo de dimensões de referência necessário para descrever as grandezas G. Ex.: - MLT (r=4) - FLT (r=4) - MLT (r=3) - ... 0,...,, 21 nuuuf 0,...,, k21 rnk Teorema de Buckingham Pi: Número de grupos adimensionais necessário para substituir as variáveis da equação original: Secionando r grandezas (Gk, Gl, Gm, ...) que não formem um adimensional entre elas (independentes), cada grupo adimensional será formado por: 0,...,, 21 nuuuf 0,...,, k21 rnk 3 m 2 l 1 kii GGGA Procedimentos: Listar as variáveis dimensionais envolvidas Expressar cada uma delas em função das dimensões básicas Determinar o número necessário de termos pi Escolher as variáveis independentes para formar os pis Obter os termos pi adimensionais Escolher o termo 1 como o que tem a variável dependente e expressar o resultado como uma relação entre os termos pi: k321 ...,, Características da Análise Dimensional: Auxilia na obtenção de uma expressão que correlacione as variáveis envolvidas num determinado fenômeno Reduz a quantidade de repetições necessárias para o experimento Baseia-se na consideração das dimensões (L,M,T,...)das variáveis envolvidas no fenômeno, formando-se grupos admensionais Depende de dados experimentais Exemplo 2: Uma partícula esférica cai lentamente (regime laminar) num fluido viscoso. Admita que o arrasto, FD, é função do diâmetro e da velocidade da partícula (d e V) e da viscosidade, . Determine, através da análise dimensional, qual é a relação entre o arrasto e a velocidade da partícula. Variáveis dimensionais: Fd d V μ →n = 4 → k = n−r 4−3 = 1 →Π1 = Fd μVd f Fd,d,V,μ = 0 → ϕ Π1 =0 → Π1=K → Fd=K μ V d Exemplo 3: Considere o escoamento em regime permanente, incompressível de um fluido newtoniano num tubo longo, horizontal e que apresenta parede lisa. Utilize os dados experimentais abaixo para obter uma relação entre a queda de pressão por unidade de comprimento (Δ𝑝𝑙) e as demais variáveis. Dados: O diâmetro interno e comprimento são iguais a 12,6 mm e 1,5 m, respectivamente. O fluido utilizado foi água a 16°C ( = 999 kg/m³ e µ = 1,12x10-3 Pa.s). Dica: Utilize escalas logarítmicas para correlacionar os adimensionais. V (m/s) 0,36 0,59 0,89 1,78 3,39 5,16 7,11 8,76 p (Pa) 300 747 1.480 5.075 15.753 32.600 57.450 82.830 Exemplo 3: ... obter uma relação entre a queda de pressão por unidade de comprimento (Δ𝑝𝑙) e as demais variáveis. Dados: D = 12,6 mm; L = 1,5 m; = 999 kg/m³ e µ = 1,12x10-3 Pa.s). V (m/s) 0,36 0,59 0,89 1,78 3,39 5,16 7,11 8,76 p (Pa) 300 747 1.480 5.075 15.753 32.600 57.450 82.830 Variáveis dimensionais: ∆pl , D , V , ρ , μ → n = 5 → k = n−r → 5−3 = 2 f ∆pl , D, V, ρ , μ = 0 → ϕ Π1,Π2 = 0 → Π1 = φ Π2 Π1 = D ∆pl ρ V2 Π2 = Re = ρ V D μ 2 4046 6631 10002 20005 38099 57992 79908 98451 1 0,01946 0,01804 0,015710 0,013468 0,011525 0,010295 0,0095557 0,0090759 Exemplo 3: ... obter uma relação entre a queda de pressão por unidade de comprimento (Δ𝑝𝑙) e as demais variáveis. Dados: D = 12,6 mm; L = 1,5 m; = 999 kg/m³ e µ = 1,12x10-3 Pa.s). V (m/s) 0,36 0,59 0,89 1,78 3,39 5,16 7,11 8,76 p (Pa) 300 747 1.480 5.075 15.753 32.600 57.450 82.830 Π1 = φ Π2 Π1 = D ∆pl ρ V2 Π2 = Re = ρ V D μ 2 4046 6631 10002 20005 38099 57992 79908 98451 1 0,01946 0,01804 0,015710 0,013468 0,011525 0,010295 0,0095557 0,0090759 y = 0,150 x-0,244 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 1000 10000 100000 1000000 1 2 → D ∆pl ρ V2 = 0,150 ρ V D μ −0,244 → Π1 = 0,150 Π2 −0,244 Semelhança Modelo: É a reprodução de um sistema físico em condições controladas com o objetivo de se prever o comportamento de uma determinada variável ou característica. http://www.portal-energia.com/funcionamento-da-energia-hidrica-barragens- hidroelectricas/ Acesso em 27/05/2015. https://www.ambienteenergia.com.br/index.php/2010/09/belo-monte-modelo- reduzido-em-dezembro/5970. Acesso em 27/05/2015 Sistema real Modelo reduzido O emprego da semelhança torna os resultados experimentais amplamente aplicáveis Modelo Experimental Fenômeno Real SEMELHANÇA Sendo Π𝑖 o grupo adimensional correspondente ao protótipo e Π𝑖𝑚 ao modelo; e Denominando Π1 como o grupo adimensional que possui a variável a ser medida: Π2𝑚 = Π2 Π3𝑚 = Π3 ⋮ Π𝑘𝑚 = Π𝑘 Π1 = Π1𝑚 Exemplo 4: Um modelo em escala 1:10 de um avião deve ser ensaiado num túnel de vento pressurizado para determinar o arrasto no protótipo que deve voar a 107 m/s na atmosfera padrão. Para minimizar os efeitos de compressibilidade, a velocidade do ar na seção de teste do túnel de vento é igual a 107 m/s. a) Determine a pressão do ar na seção de teste do túnel. b) Qual é o arrasto no protótipo que corresponde a uma força de 4,45 N medida no modelo? Admita que a temperatura do ar na seção de teste é a padrão. Variáveis dimensionais: FD , L , V , ρ , μ → n = 5 → k = n−r → 5−3 = 2 Π1 = FD 1 2ρ V 2L2 Π2 = Re = ρ V L μ Para atendar às condições de semelhança: → Π2m= Π2 → ρmVm Lm μm = ρ V L μ → ρm ρ = L Lm =10 →ρm = 10ρ →pm = 10p = 10∙101,3 kPa = 1013 kPa Exemplo 4: Um modelo em escala 1:10 de um avião deve ser ensaiado num túnel de vento pressurizado para determinar o arrasto no protótipo que deve voar a 107 m/s na atmosfera padrão. Para minimizar os efeitos de compressibilidade, a velocidade do ar na seção de teste do túnel de vento é igual a 107 m/s. a) Determine a pressão do ar na seção de teste do túnel. b) Qual é o arrasto no protótipo que corresponde a uma força de 4,45 N medida no modelo? Admita que a temperatura do ar na seção de teste é a padrão. Variáveis dimensionais: FD , L , V , ρ , μ → n = 5 → k = n−r → 5−3 = 2 → Π2m= Π2 pm = 1013 kPa Então: →Π1 = Π1m → FD 1 2 ρ V 2L2 = FDm 1 2 ρmVm 2 Lm 2 Para atendar às condições de semelhança: Π1 = FD 1 2ρ V 2L2 Π2 = Re = ρ V L μ → FD = FDm ρ ρm L Lm 2 = 4,45∙ 1 10 ∙ 10 2 = 44,5 N Exemplo 5: Um modelo é utilizado para estudar o escoamento de água numa válvula que apresenta seção de alimentação com diâmetro igual a 610 mm. A vazão na válvula é 0,85 m³/s e o fluido utilizado no modelo também é água na mesma temperatura daquela que escoa no protótipo. O diâmetro da seção de alimentação do modelo é igual a 76,2 mm. Determine a vazão da água no modelo para que haja semelhança. Re𝑚= Re → ρmVm Dm μm = ρ V D μ → Vm V = D Dm = 13,2 → Qm Q = Vm Am V A = Vm V Dm D 2 = D Dm Dm D 2 = Dm D → Qm = Q Dm D = 0,85 76,2 610 = 0,106 m³/s Aula 8 – Análise Dimensional e Semelhança Parâmetros Adimensionais Análise Dimensional Semelhança Bibliografia: MUNSON, Bruce R. Fundamentos da mecânica dos fluidos. 4. ed. São Paulo: Blucher, 2004. WHITE, F.M. Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill, Brasil, 7a Edição, 2011. Fox R.W. & Mc Donald A.T. Introdução à Mecânica dos Fluídos. John Wiley and Sons, N.Y., Tradução: LTC–Livros Técnicos e Científicos, RJ. www.HidroUff.uff.br
Compartilhar