Derivada AULA 2017

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MATEMÁTICA APLICADA ÁS CIÊNCIAS NATURAIS I 
BIOLOGIA - 2017 
 
DERIVADA 
Após estudarmos limite de uma função e suas propriedades, passaremos a estudar agora a 
derivada, a partir da idéia de taxa de variação média. 
Como exemplo, vamos considerar a função 2x
f(x)
2

. 
1ª) Vamos construir uma tabela a partir da função dada: 
 
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
f(x) 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 
 
2ª) Vamos construir agora o gráfico da função: 
 
 Podemos observar que se consideramos x variando de 1 a 2, por exemplo, o valor de y também 
varia, e varia de 0,5 a 2. Assim, enquanto x varia de 1 unidade, y varia 1,5 unidades. Observamos também 
que mantendo a variação de x constante e igual a 1 unidade (no caso), as variações de y são 0,5; 1,5; 2,5; 
3,5; . Essas variações estão marcadas no gráfico acima: Observe que elas não são constantes. 
Vamos então considerar, para y, dois valore 
1 2y e y
, e também para x, dois valores 
1 2 1 2x e x , com x x
, para podermos calcular a razão 
2 1
2 1
y y
x x


. 
1) 

1 1
2 2
x 1 y 0,5
x 2 y 2
  

  
 
2 1
2 1
y y 2 0,5 1,5
1,5
x x 2 1 1
 
  
 
. 
Podemos dizer que entre 1 e 2, y cresce em média 1,5 unidades por unidade de x. 
2) 

1 1
2 2
x 3 y 4,5
x 4 y 8
  

  
 
2 1
2 1
y y 8 4,5 3,5
3,5
x x 4 3 1
 
  
 
. 
Podemos dizer que entre 3 e 4, y cresce em média 3,5 unidades por unidade de x. 
3) 

1 1
2 2
x 1 y 0,5
x 4 y 8
  

  
 
2 1
2 1
y y 8 0,5 7,5
2,5
x x 4 1 3
 
  
 
. 
Podemos dizer que entre 1 e 4, y cresce em média 2,5 unidades por unidade de x. 
4) 

1 1
2 2
x 2 y 2
x 1 y 0,5
   

   
 
2 1
2 1
y y 0,5 2 1,5 1,5
1,5
x x 1 ( 2) 1 2 1
   
   
     
. 
Podemos dizer que entre 
2
 e 
1
, y decresce em média 1,5 unidades por unidade de x. 
5) 

1 1
2 2
x 3 y 4,5
x 2 y 2
   

   
 
2 1
2 1
y y 2 4,5 2,5 2,5
2,5
x x 2 ( 3) 2 3 1
   
    
     
. 
Podemos dizer que entre 
3
 e 
2
, y decresce em média 2,5 unidades por unidade de x. 
6) 

1 1
2 2
x 3 y 4,5
x 1 y 2
   

   
 
2 1
2 1
y y 0,5 4,5 4,0 4,0
2
x x 1 ( 3) 1 3 2
   
    
     
. 
 
 Podemos dizer que entre 
3
 e 
1
, y decresce em média 2 unidades por unidade de x. De um 
modo geral, sendo f uma função definida num intervalo aberto do domínio, 
1 2x e x
 dois valores do 
domínio, 
1 2com x x
, a razão 
2 1
2 1
f (x ) f (x )
x x


, representa a variação no valor da função em média por 
unidade que se acrescenta no valor de x entre 
1 2x e x
. Assim, vale definir: 
 
 
 
Vale observar que a taxa de variação média pode não ser constante, podendo ser positiva ou 
negativa dependendo dos pontos considerados. 
Após estudar a taxa de variação média, faremos agora um breve estudo da interpretação 
geométrica da taxa de variação média, usando o resultado para calcular os coeficientes angulares das retas 
secantes e tangentes. 
Faremos agora a interpretação geométrica da taxa de variação média, para isso usaremos a mesma 
função 2x
f(x)
2

 e o seu gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
2 1
1 2 1 2
2 1
f(x ) f(x )
, x x que é a taxa de variação média da função entre x e x .
x x
y
x

 
 
 
 
 
 
 
 
Observando a figura, temos: 
2 1
PQ
2 1
f(x ) f(x )Cateto Oposto
PSQ, retângulo tg θ , tg θ e sendo m tg θ, temos:
Cateto Adjacente x x

    

2 1
PQ
2 1
f(x ) f(x ) Δy
m
x x Δx

 

, Isto é, geometricamente, a taxa de variação média da função entre 
1 2 1 2x e x ,(x x )
 é igual ao coeficiente angular da reta secante ao gráfico da função nos pontos 
1 1 2 2P(x , f(x )) e Q(x , f(x ))
. 
 Neste exemplo estamos usando também o conceito de razão incremental ou razão do acréscimo, 
para calcular o coeficiente angular da reta secante e tangente ao gráfico da função dada, como vemos 
abaixo: 
 
Ao estudamos a taxa de variação média, vimos que a mesma serve para calcular coeficiente 
angular da reta secante e tangente usando o mesmo conceito de taxa de variação média. 
O conceito de derivada também pode ser interpretado como taxa de variação, pois dada uma 
função 
( )y f x
, quando a variável independente varia de x a 
x Δx
, há correspondente variação de y a 
y f (x x) f (x)   
. O quociente é 
y f (x x) f (x)
x x
  

 
, que representa a taxa de variação de y em 
ralação a x é chamado de razão incremental ou razão dos acréscimos. 
 
1 – DEFINIÇÃO DE DERIVADA: 
 Dizemos que a função f(x) é derivável no ponto xo, se o limite da razão incremental 
x
y


, quando 
0x 
, existir e for único 
o
o
x x
o
f (x) f (x )
f '(x) lim
x x



. 
 Notações: 
dy
f '(x)
dx

 ou 
x 0
f (x x) f (x)
f '(x) lim
x 
 


 ou 
x 0
y
f '(x) lim
x 



. 
. 
 
 f(x) 
f(xo) 
xo x 
f(x) 
y
y
x
x 
y 
x0 + x = x 
x
= x – xo 
x 
 Acréscimo ou incremento de x 
f (xo) + 
y
 = f (x) 
y
= f (x) – f (xo) 
y

 Acréscimo ou incremento de f (x) 
o
o
xx
xfxf
x
y




 )()(
, Razão incremental ou 
razão dos acréscimos. 
 
1.2 – FUNÇÃO DERIVADA: 
 Seja f uma função derivável no intervalo aberto I. Para cada xo, pertencente a I, existe, e é único o 
limite: 
o o
o
x 0
f (x x) f (x )
f '(x ) lim
x 
 


 
 Portanto, podemos definir uma função f: I

R, que associa cada xo  I a derivada de f no ponto 
xo. Esta função é chamada derivada de f ou simplesmente derivada de f. 
 Habitualmente a derivada de f é representada por 
'(x)f
, 
df
dx
, 
'y
 ou 
Df
. 
Teorema: Seja a função 
: A Bf 
 e xo. A. Se f é derivável em xo, então f é contínua em xo 
lim ( ) ( )
o
o
x x
f x f x


. 
 
1.3 – DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES: Apresentaremos as derivadas das funções 
elementares. 
 
1.3.1 – Função Identidade: A derivada da função identidade é igual a um. 
 Dada a função f (x) = x, temos: f '(x) = 1. 
 
1.3.2 – Função constante: A derivada da constante é igual a zero. 
 Dada a função f (x) = k, temos: f ' (x) = 0. 
 
Exemplo: 
 
1) Para f(x) = 6, temos que :  f’(x) = 0 
 
1.4 – REGRAS DE DERIVAÇÃO: As derivadas são muito usadas em engenharia, ciências, economia, 
medicina e ciências da computação para calcular a velocidade e a aceleração, para explicar o 
funcionamento de máquinas, para estimar a diminuição do nível da água quando ela é bombeada para fora 
de um tanque e para prever as conseqüências de erros cometidos durante medições. Obter derivadas 
calculando limites tal como vimos anteriormente pode ser demorado e difícil. Veremos técnicas e 
fórmulas para calcular derivadas mais facilmente. 
 
1.4.1 - Derivada da potência: 
n n 1f(x) x f '(x) n (x)    
 
Exemplo: 
 
1) Para f(x) = x
6
, temos que :  f’(x) = 6x5 
 
 
1.4.2 – Derivada da raiz: 
n
n 1n
1
f (x) x f '(x)
n ( x) 
  

 x

0. 
Conseqüências das fórmulas de derivadas 
 m mnnf(x) x ( x)  
 m m
1
n n
m
y x y ' x
n

   
 ou 
   
m m n
n nmy x y ' x
n

  
 
m n m
1
n nm m' x ' x
n n
y y
   
   
             
  
 
Exemplo: 
 
1) Para f(x) = √𝑥 = 𝑥
1
2 = temos que : f’(x) = 
1
2
𝑥 
1
2
 − 1 =
1
2
𝑥− 
1
2 = 
1
2
.
1
√𝑥
= 
1
2√𝑥
 
 
1.4.3 – Derivada da soma: É a soma das derivadas. 
 Sejam u = u(x) e v = v(x), duas funções deriváveis em I = (a, b). Temos que a função f(x) = u(x) + 
v(x), também é derivável em I e sua derivada é dada por: 
f '(x) u '(x) v '(x) 
 
Exemplos: 
1) Para 
23 5)( xxxf 
, temos que :
xxxf 103)(' 2 
 
2) Para xsenxxf  3)( , temos que: xxxf cos3)(' 2  
 
1.4.4 – Derivada da diferença: É a diferença das derivadas. 
 Sejam u = u(x) e v = v(x), duas funções deriváveis em I = (a, b). Temos que a função f(x) = u(x) - 
v(x), também é derivável em I e sua derivada é dada por: 
f '(x) u '(x) v '(x) 
 
Exemplo: 
1) Para f(x) = 4x
4 
- 5x , temos que : f’(x) = 4.(4x3) - 5.1 = f’(x) = 16x3 - 5 
 
1.4.5 – Derivada do produto: É o produto da deriva da 1ª função pela 2ª função, somado com o produto 
da 1ª função pela derivada da 2ª função. 
 Sejam u = u(x) e v = v(x), funções deriváveis em I = (a, b). Temos que a função f (x) = u(x)

v(x), 
também é derivável em I e sua derivada é dada por: 
 
 
Por extensão: a derivada de 
f (x) u(x) v(x) t(x)  
 é dada por: 
f '(x) u '(x) v(x) t(x) u(x) v'(x) t(x) u(x) v(x) t '(x)        
 
 
 
f '(x) u '(x) v(x) u(x) v '(x)   
 
Exemplo: 
1) Para f(x) = (3x
3
 -5) . (2x
4
 + 3x
2
) , temos que : f’(x) = 9x2 . (2x4 + 3x2) + (3x3 - 5) . (8x3 + 6x) 
Para f(x) =
  2 33x x 1 x x  
, temos que: f’(x) = (3x2 + x).( 1 + 3x2) + (6x + 1). ( 1 + x + x3) 
Obs: 
 
(I) No caso particular em que 
(x) cu 
, temos 
(x) c (x) (x) c' (x) c (x)f = v f ' = v v'   
. Mas o termo 
c ' (x)v
é nulo (derivada da constante é zero), portanto: 
(x) c (x) (x) c (x)f = v f ' = v' 
 
 O que vem comprovar a regra da homogeneidade. 
 
(II) No caso de três ou mais funções, a regra continua válida, bastando para isso observar a seqüência 
de derivadas em cada termo. Assim, se 
1 2 n(x) (x) (x) (x)f =u u u  
, então sua derivada será: 
1 2 n 1 2 n 1 2 n(x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x)f ' =u' u u u u' u u u u'         
 
No caso de termos todas as funções iguais, ou seja: 
1 2 3 n(x) (x) (x) (x) (x)u u u u u    
, a regra ficaria: 
 
n 1 n 1 n 1u(x) u(x) u(x)
soma de parcelas de (x)
(x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x)
n u'
f ' =u' u u u' u u u' u u
  
         
 
 
Ou simplesmente: 
n 1(x) n (x) (x)f ' = u u' 
 
 
1.4.6 – Derivada do quociente: É o produto da deriva da 1ª função pela 2ª função, subtraindo o produto 
da 1ª função pela derivada da 2ª função e o resultado dividimos pela o quadrado da 2ª função. 
Sejam u = u(x) e v = v(x), duas funções deriváveis em I = (a, b) e v(x) 

 0. Temos que a função 
u(x)
( )
v(x)
f x 
, também é derivável em I e sua derivada é dada por: 
2
u '(x) v(x) u(x) v '(x)
f '(x)
[v(x)]
  

 
Exemplo: 
1) Para f(x) = , temos que : f’(x) = 
 
f’(x) = 
 
1.5 – DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
1.5.1. Derivada da função seno: A derivada da função seno é igual a função cosseno. 
 Dada a função f (x) = sen x, temos: f ' (x) = cos x. 
 
1.5.2. Derivada da função cosseno: A derivada da função cosseno é igual a menos função seno. 
 Dada a função f (x) = cos x, temos: f ' (x) = - sen x 
 
35
32
2
4


xx
x
22
432
)35(
)52)(32()04.2).(35(


xx
xxxxx
22
432
)35(
)52)(32()8).(35(


xx
xxxxx
1.5.3. Derivada da função tangente: A derivada da função tangente é igual a função secante elevado ao 
quadrado. 
Dada a função f (x) = tg x, temos: f ' (x) = 
2sec x
. 
 
1.5.4. Derivada da função cotangente: A derivada da função cotangente é igual a menos função 
cossecante elevado ao quadrado. 
Dada a função f (x) = cotg x, temos:
2f '(x) cossec x 
 
 
1.5.5. Derivada da função secante: A derivada da função secante é igual ao produto das funções 
tangente pela secante. 
Dada a função f (x) = sec x, temos: f '(x) = tg x

secx. 
 
1.5.6. Derivada da função cossecante: A derivada da função cossecante é igual a menos o produto das 
funções cotangente pela cossecante. 
Dada a função f (x) = cossec x, temos: f ' (x) = – cotg x

cossec x 
 
1.6 – DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA OU (REGRA DA CADEIA) 
 
Função Composta: Imagine que uma indústria consiga vender tudo que produz (p), ou seja, L é 
uma função de p, logo podemos escrever L(p). Mas a produção por sua vez, pode depender do tempo (t) 
durante o qual determinada máquina funciona, isto é, p depende de t e escrevemos p(t), e, portanto o lucro 
também depende de t e escrevemos L(p(t)). Neste caso o que temos e a composição das funções L e p. O 
tipo de função que modela situações como estas se chama de função composta. 
 
A Regra da cadeia 
 
Teorema: Se y = f(u) é uma função diferenciável de u e u = g(x) é uma função diferenciável de x, 
então y = f(g(x)) é uma função diferenciável de x e dy dy du
.
dx du dx

 ou equivalentemente 
d
[f (g(x))] f '(g(x)).g '(x)
dx

 
Ao aplicar a regra da cadeia, é conveniente pensar na função composta fog como tendo duas 
partes , uma parte “de fora” e outra “de dentro”, como a seguir: 
 
u g(x) de dentro
de fora
y f (g(x)) f (u)

  
 
 
Exemplos: 
 
 
 
1.6 – DERIVADA SUCESSIVA 
 
Seja f é uma função diferenciável em algum intervalo aberto I, então a derivada f ´ é novamente 
uma função definida nesse intervalo aberto I. Podemos então perguntar se 
'f
 é novamente diferenciável 
nesse intervalo. Se for, então sua derivada 
 ' 'f
 é escrita, por simplicidade, como 
''f
 (leia-se: “f duas 
linhas”). Denominamos 
''f
 como sendo a derivada de segunda ordem, ou simplesmente, a derivada 
segunda da função f. 
Podemos também utilizar a notação de Leibniz, como se segue: 
   
d d d
1ª Derivada : (x) 2ª Derivada : (x)
dx dx dx
f f
 
  
 
 
Ou seja, 
 
2
2
d d d
(x)
dx dx dx
f
 
 
 
. 
 Também utiliza - se a notação 
   2 xf
 para denotarmos a segunda derivada. 
 
 Desta forma, se f é uma função e se 
, ´ e ´´f f f
 são diferenciáveis num intervalo aberto, nós 
podemos formar a derivada de terceira ordem (ou derivada terceira) 
'''f
 ou 
 3
f
 e, se 
'''f
, também é 
diferenciável no intervalo aberto I, podemos obter a derivada de quarta ordem
 4
f
, e assim por diante. Se 
fpode ser sucessivamente diferenciável n vezes dessa forma, dizemos que f é n vezes diferenciável e 
escrevemos sua derivada de n-ésima ordem, ou derivada de ordem n-ésima como 
 n
f
 ou 
n
y
x
nd
d
. 
Notações: 
(1) (1) dy(x) y y '
dx
f   
 2
(2) (2)
2
d y
(x) y y ''
dx
f   
 n
( ) (n) n
n
d y
y y
dx
nf   
. 
 
 
 
Por exemplo, encontre todas as derivadas de: f (x) = 
4 3 215x 8x 3x 2x 4   
 
Temos:  
 
 
 
 
3 2
2
2
' x 60x 24x 6x 2
'' x 180x 48x 6
''' x 360x 48x
'''' x 360
''''' x 0
f
f
f
f
f
   
  
 


 
Observe que a partir da quinta derivada 
    5 xf
 todas as outras serão nulas. 
 
1.7 – DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA 
 Considerando a função inversível y = f(x), derivável no ponto x, onde
'( ) 0f x 
, podemos 
demonstrar que a função inversa x = f 1 (y), tambémé derivável no ponto y, onde y = f (x). Inicialmente 
escrevemos a identidade abaixo decorre 
0 0x y    
logo: 
x 1
yy
x




. 
 Devemos observar que 
( )y f x
 é derivável e contínua no ponto x. Logo, se 
0x
 temos 
0y
, então: 
y 0 x 0
x 0
x 1 1
lim lim
y yy
lim
x x
   
 

 
 
 
. 
 
y 0
x 0
x 1
lim
yy
lim
x
 
 




 
[
1 1 1 1f (y)]' x' x'
f '(x) [f(x)]' y'
     
 ou 
1
y '
x '

. 
Exemplo: 
Para f(x) = 3x + 2, temos que : [𝑓−1(𝑦)]′ = ? 
 
1.7.1 - DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS: 
 
1.7.1.1 - Derivada da função y = arc. sen x: 
y = arc sen x 
2
1
y '
1 x


 
 
1.7.1.2 -Derivada da função y = arc. cos x: 
y = arc cos x 
2
1
y '
1 x
 

 
 
1.7.1.3 -Derivada da função y = arc. tg x: 
y = arc tg x 
2
1
y '
1 x


 
 
1.7.1.4 -Derivada da função y = arc. cotg x: 
y = arc cotg x 
2
1
y '
1 x
 

 
1.7.1.5 -Derivada da função y = arc. sec x: 
y = arc sec x 
1
1
'
2 

xx
y
 
1.7.1.6 -Derivada da função y = arc. cossec x: 
y = arc cossec x 
2
1
y '
x x 1
 

 
 
 
1.8 – DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS 
 Até agora nossas funções envolvendo uma variável foram expressas, de maneira geral na forma 
explícita y = f (x). Em outras palavras uma das variáveis é dada explicitamente em função da outra. 
Por exemplo: 
y 3x 5 
 
2u 3w w 
 
2s 16t 20t  
 
1
y
x

 
 Onde dizemos que y, s e u são funções de x, t e w respectivamente. 
 A equação F (x, y) = 0, define y como uma função implícita de x, como por exemplo, x.y = 1. 
 
 
Forma explícita Forma implícita 
1
y
x

 ou 
1y x
 
x y 1 
 
2
2
dy 1
1 x
dx x
    
 
 A grande vantagem da derivada implícita está no fato de que, quando uma função derivável nos é 
dada na forma implícita sendo difícil ou até impossível colocá-la na forma explícita, mesmo assim é 
possível determinar sua derivada. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
1.9 - REGRA DE L’HOSPITAL 
 
Objetivo: 
 Resolver limites com problema de indeterminação; 
 
Introdução 
 Uma das principais aplicações da derivada é o levantamento da indeterminação que possibilita o 
cálculo de limites de funções que possuem alguns tipos de indeterminação, para compreendermos melhor 
vejamos a seguir uma situação problemas. 
 
Situação Problema 
Exemplo 1 - Determine o limite 
4
16
lim
2
4 

 x
x
x
 
Solução 
Se fizermos a substituição do valores 𝑥 = 4 na expressão temos 
𝑥2 − 16
𝑥 − 4
=
42 − 16
4 − 4
=
0
0
 
Como 
0
0
 é uma indeterminação, surge a necessidade de levantá-la para podermos calcular o valor do 
limite, para isto há dois caminhos possíveis que são o uso de manipulação algébrica e o outro mais 
eficiente é o uso da regra de L’Hospital. Antes de começarmos a resolver o limite vamos agora mostrar a 
definição da regra de L’Hospital. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Forma de resolvermos o limite: Uso da Regra de L’Hospital 
Exemplo 1 - Determine o limite 
4
16
lim
2
4 

 x
x
x 
Solução:
 
 
842
1
2
lim
'4
')16(
lim
4
16
lim
4
2
4
2
4







x
x
x
x
x
xxx
 
Regra de l’Hospital 
Se para (finito ou infinito) e tendem 
para zero ou infinito, tomando a forma 
indeterminada ou então: 
 
desde que o último limite exista quando se aproxima de por 
um dos lados ou por ambos. 
Exemplo 2 - Determine o limite 
9
6
lim
2
2


 x
xx
x 
Solução 
Uso da Regra de L’Hospital 
Se substituirmos o valor 
x
 na expressão teremos 


 que é indeterminado, logo podemos aplicar a 
regra de L’Hospital 
x
x
x
xx
xx 2
12
lim
')9(
')6(
lim
2
2 




 
se substituirmos agora valor 
x
 na expressão teremos novamente 


 que é indeterminado, logo 
devemos aplicar novamente a regra de L’Hospital 
1
2
2
lim
')2(
')12(
lim 

 xx x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADES 
 
1. Calcular )(' xf , onde 
a) 2
)(
2


x
x
xf
 
b) 
2
)(
2
3


x
x
xf
 
c) 
2
1
)(
x
xf 
 
d) 
7)(  xxf
 
e) 
5)( xxf 
 
f) 
7 5)( xxf  
g) 
42 )3()(  xxf
 
h) 
x
x
xf
23
23
)(



 
i) 
36)( 2  xxxf
 
j) 
23)( xxxf 
 
k) 
23)12()( xxxf 
 
l)
2
2
4
)(
x
x
xf


GABARITO 
a) 2
2
)2(
4
)('



x
xx
xf
 
(b) 
22
22
)2(
)6(
)('



x
xx
xf
 
(c) 
3
1
)('
x
xf 
 
(d) 
87)('  xxf
 
(e) 
5 45
1
)('
x
xf 
 
(f) 
7 27
5
)('
x
xf  
(g) 
32 )3(8)('  xxxf
 
(h) 
2)23(
12
)('
x
xf


 
(i) 
36
3
)('
2 


xx
x
xf
 
(j) 
23
2
2
23
)('
xx
xx
xf



 
(k) 
2
2
3
3
32)('
x
x
xxf


 
(l) 
22
3
4)4(
29
)('
xx
xx
xf



 
 
 
 
 
4. Determine os limites utilizando a regra de L’HOSPITAL
a) 
3
9
lim
2
4 

 x
x
x
 
b) 
4
6
lim
2
2
2 

 x
xx
x
 
c) 
4
86
lim
2
2
2 

 x
xx
x
 
d) 
25
158
lim
2
2
5 

 x
xx
x
 
e) 
233
2
lim
23
23


 xxx
xxx
x
 
f) 
xxx
xx
x 

 23
2
2
1
lim
 
g) 
xx
xxx
x 

 2
23
2
1
lim
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÕES 
 
1. Um estudo ambiental realizado em um bairro sugere que a concentração média de monóxido de 
carbono no ar é 𝑐(𝑝) = √0,5𝑝2 + 17 partes por milhão quando a população é p milhares de residentes. 
Estima-se que daqui a t anos a população do bairro será 𝑝(𝑡) = 3,1 + 0,1𝑡2 mil residentes. Qual será a 
taxa de variação com o tempo de concentração de monóxido de carbono daqui a 3 anos? 
 
2. Um modelo biológico sugere que a reação do organismo humano a uma dosagem de um medicamento 
pode ser modelada por uma função na forma 𝐹 =
1
3
(𝐾𝑀2 − 𝑀3), onde k é uma constante positiva e M é 
a quantidade de medicamento presente no sangue. A derivada 𝑆 =
𝑑𝐹
𝑑𝑀
 pode ser considerada uma medida 
da sensibilidade do organismo ao medicamento. 
 
a) Determine a sensibilidade S. 
 
b) Calcule 
𝑑𝐹
𝑑𝑀
=
𝑑2𝐹
𝑑𝑀2
 
 
3. Um biólogo modela o efeito da introdução de uma toxina em uma colônia de bactérias através da 
função 𝑐(𝑡) =
𝑡+1
𝑡2+𝑡+4
 , onde P é a população da colônia (em milhões) t horas após a toxina ser 
introduzida. Com que taxa a população está variando no momento em que a toxina é introduzida?. A 
população esta aumentando ou diminuindo nesta ocasião?. 
 
4. Uma cidade X e atingida por uma molestiaepidemica. Os setores de saúde calculam que o numero de 
pessoas atingidas pela molestia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da 
epidemia) e, aproximadamente, dado por 𝐹 = 64𝑡 −
𝑡3
3
 . 
(a) Qual a razao da expansao da epidemia no tempo t = 4? 
(b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8? 
(c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5° dia? 
 
5. A temperatura de um gás é mantida constante e sua pressão p em kgf/cm³ e volume v em 
cm³ estão relacionadas pela igualdade vp = c , onde c é constante. Achar a razão de variação do volume 
em relação à pressão quando esta vale 10 kgf/cm³. 
 
6. A concentração de álcool no sangue t horas após a ingestão de uma dose de uma certa bebida alcoólica 
é dada por 𝑐(𝑡)0,12𝑡𝑒
−𝑡
2 . Qual é a taxa de variação da concentração de álcool no sangue no instante 
t=30s? 
 
7. Em pesquisas para a cura do câncer, um cientista esta estudando um tumor canceroso que é modelado 
por uma esfera com R centímetros de raio. Qual é a taxa de variação do volume 𝑉 =
4
3
𝜋𝑅3 do tumor de 
raio R, se o cientista tumor encontrar R=0,75cm? 
 
8. Se a posição de um corpo que está se movendo em linha reta é dada por 𝑠(𝑡) = 𝑡3 − 3𝑡2 + 4𝑡 no 
instante t, calcule a velocidade e a aceleração do corpo para t=2s. 
 
9 Um móvel se desloca segundo a equação horária 𝑆 = ln (3𝑡2 + 2𝑡 − 2) S em metros e t em segundos. 
Qual será a velocidade do móvel no instante t=2s ? 
 
10 Uma estação de rádio fez um levantamento dos hábitos dos ouvintes entre 17h e meia-noite. A 
pesquisa mostra que a porcentagem de adultos sintonizados na estação x horas após as 17h é: 
3 21f (x) ( 2x 27x 108x 240)
8
     
 
a) Em que instante, entre 17h e meia-noite, existem mais ouvintes sintonizados na estação? 
b) Em que instante, entre 17h e meia-noite, existem menos ouvintes sintonizados na estação? 
 
11. A população de uma colônia de bactérias é dada por P(t) = 
24t + 10
t² + 1
 mil t horas após a introdução de 
uma toxina. Use os métodos do cálculo para determinar o instante em que a população é máxima e 
determine qual é a população nesse instante. R: t = 0,67 h (40 min); 18.000 bactérias. 
 
12. Calcula-se que daqui a x meses a população de certa cidade será P(x) = 3
22x 4x 5000 
. Qual será a 
taxa de variação da população com o tempo daqui a 9 meses? R: 20 
 
13. Um estudo ambiental realizado em certo município revela que daqui a t anos a concentração de 
monóxido de carbono no ar será Q(t) = 0,05t² + 0,1t + 3,4 partes por milhão. Qual será a variação da 
concentração de monóxido de carbono nos próximos 6 meses? 
 
14. A concentração de um remédio t horas após ter sido injetado no braço de um paciente é dada por 
0,15t
C(t)
t² 0,81


. Para que valor de t a concentração é máxima? R: 0,9 h ou 54 min 
 
15. Determine a velocidade de uma partícula no instante t = 10s, sabendo que a sua equação horária é 
dada por S = 3t
2
 - 4t + 8 (Unidade: SI). R: 56 m/s.