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2.+Exemplos+de+Cadeia+de+Markov

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Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com 
 
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O tempo na cidade de Centerville pode mudar de maneira bastante rápida 
de um dia para o outro. Entretanto, as chances de termos tempo seco 
(sem chuvas) amanhã são ligeiramente maiores, caso esteja seco hoje do 
que se chover hoje. Particularmente, a probabilidade de termos tempo 
seco amanhã é de 0,8, caso hoje esteja seco, porém é de apenas 0,6 
caso chova hoje. Essas probabilidades não mudam, caso as informações 
sobre o tempo antes de hoje também forem levadas em consideração. A 
evolução do tempo, dia a dia, em Centerville é um processo estocástico. 
Começando em dado dia inicial (chamado aqui dia 0), o tempo é 
observado em cada dia t, para t = O, 1, 2, .... O estado do sistema no 
dia t pode ser: 
Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com 
 
 Estado O = Dia t é seco 
 ou então 
 Estado 1 = Dia t com chuva. 
Portanto, para t = O, 1, 2, ... , a variável aleatória X1 assume os 
seguintes valores, se o dia t estiver seco se no dia t estiver 
chovendo. O processo estocástico {Xt} = {X0 , X1, X2, .. . } fornece 
uma representação matemática de como o estado do tempo em 
Centerville evolui ao longo do tempo. 
Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com 
 
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No final de dado dia, o preço da ação é registrado. Se a ação subiu, a 
probabilidade de que ela subirá amanhã é de 0,7. Se a ação tiver caído, a 
probabilidade de que ela subirá amanhã é apenas 0,5. Para fins de 
simplificação, classificaremos o caso de a ação permanecer estável como 
uma queda. Trata-se, portanto, de uma cadeia de Markov, na qual os 
possíveis estados para cada dia são os seguintes: 
Estado 0: A ação subiu neste dia. 
Estado 1 : A ação desceu neste 
dia. 
 
Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com 
 
Suponha agora que o modelo de mercado de ações tenha mudado de modo que 
o fato de a ação subir amanhã depende de se ela aumentou hoje e ontem. 
Particularmente, se a ação tiver subido nos últimos dois dias, ela subirá amanhã 
com probabilidade 0,9. Se a ação subiu hoje mas caiu ontem, então ela subirá 
amanhã com probabilidade 0,6. Se a ação caiu hoje, porém subiu ontem, então 
ela subirá amanhã com probabilidade 0,5. Finalmente, se a ação caiu nos 
últimos dois dias, então ela subirá amanhã com probabilidade 0,3. Se definirmos 
o estado como representando se a ação sobe ou cai hoje, o sistema não será 
mais uma cadeia de Markov. Entretanto, podemos transformar o sistema em 
uma cadeia de Markov definindo os estados como se segue: 
Estado O: A ação subiu tanto hoje quanto ontem. 
Estado 1: A ação subiu hoje e caiu ontem. 
Estado 2: A ação caiu hoje e subiu ontem. 
Estado 3: A ação caiu tanto hoje quanto ontem. 
Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com 
 
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Suponha que um jogador tenha US$ 1 e a cada 
rodada do jogo ganhe US$ 1 com probabilidade r > 0 
ou perca US$ 1 com probabilidade 1 - r. O jogo 
termina quando o jogador acumular US$ 3 ou então 
quando ele quebrar. Esse jogo é uma cadeia de 
Markov com os estados representando a posse de 
dinheiro atual do jogador, isto é, 0, US$ 1, US$ 2 ou 
US$ 3. 
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A loja de câmeras de Dave apresenta o seguinte problema de estoque. A loja estoca 
determinado modelo de câmera que pode ser encomendado semanalmente. Façamos que 
D1, D2, ... representem a demanda por essa câmera (o número de unidades que seriam 
vendidas, caso o estoque não estivesse esgotado) durante a primeira semana, a segunda 
semana, ... , respectivamente, de modo que a variável aleatória Dt (para t = 1, 2, ... ) seja 
Dt = número de câmeras que seriam vendidas na semana t, caso o estoque não estivesse 
esgotado. Esse número inclui vendas perdidas quando o estoque estiver esgotado. 
Supõe-se que os Dt sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas 
com uma distribuição de Poisson com média igual a 1. Façamos que X0 represente o número 
de câmeras disponíveis no princípio, X1 o número de câmeras disponíveis no final da 
semana 1, X2 o número de câmeras disponíveis no final da semana 2, e assim por diante, de 
modo que a variável aleatória Xt (para t = O, 1, 2, ... ) seja 
Xt = número de câmeras disponíveis no final da semana t. 
Suponha que X0 = 3, de modo que a semana 1 comece com três câmeras disponíveis. 
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𝑋𝑡 = 𝑋0, 𝑋1, 𝑋2, … . 
é um processo estocástico no qual a variável aleatória Xt representa o estado do sistema no 
instante t, isto é, Estado no instante t = número de câmeras disponíveis no final da semana t. 
Como dono da loja, Dave gostaria de saber mais sobre como o estado desse processo estocástico 
evolui ao longo do tempo usando a política de encomenda atual descrita a seguir: 
No final de cada semana t (sábado à noite), a loja faz um pedido que é entregue a tempo quando da 
próxima abertura da loja na segunda-feira. A loja usa a seguinte política de encomendas: 
Se Xt = 0, encomendar três câmeras. 
Se Xt > 0, não encomendar nenhuma câmera. 
Portanto, o nível de estoque flutua entre um mínimo de nenhuma câmera e um máximo de três 
câmeras, de modo que os estados possíveis do sistema no instante t (o final de semana t) sejam 
Estados possíveis = 0, 1, 2 ou 3 câmeras disponíveis. 
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Já que cada variável aleatória X1t (t = 0, 1, 2, ... ) representa o estado do sistema no final da 
semana t, seus únicos valores possíveis são 0, 1, 2 ou 3. As variáveis aleatórias Xt são 
dependentes e poderiam ser avaliadas iterativamente pela expressão: 
𝑋𝑡+1 = 
𝑚á𝑥 3 − 𝐷𝑡+1, 0 𝑠𝑒 𝑋𝑡 = 0
𝑚á𝑥 𝑋𝑡 − 𝐷𝑡+1, 0 𝑠𝑒 𝑋𝑡 > 0
 
para t = 0, 1, 2, .... 
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