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10.+Modelagem+de+Sistemas+Discretos +Exemplos+de+Filas

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Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com
Modelagem de 
Sistemas Discretos
Baseado em:
• Introdução à Pesquisa Operacional. Hillier e 
Lieberman. 2013.
Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com
Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com
Dicas para Problemas 
Numéricos de Teoria das Filas
1. Verifique se com as fórmulas gerais é possível 
resolver. Se sim, proceder desta forma. Se não, 
verificar próximo item.
2. Determine qual o tipo de fila é M/M/1; M/M/2; 
M/M/s; M/G/1; M/D/1; M/Ek/1; M/Ek/2; D/M/s; 
Ek/M/1; Ek/M/2, etc. 
3. Calcule ρ. Se ρ≥1, então o sistema de filas é 
instável, mal dimensionado, não é possível calcular 
as características da fila.
4. Se ρ<1, então utilizar as equações ou os gráficos 
correspondentes para efetuar os cálculos.
Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com
Exemplo Fórmulas Gerais
q João e José são dois barbeiros em uma barbearia que eles 
possuem e dirigem. Eles têm duas cadeiras de barbear para 
clientes que estão esperando por um corte de cabelo e, 
portanto, o número de clientes na barbearia varia entre 0 e 4. 
Para n = 0, 1, 2, 3, 4, a probabilidade Pn de que exatamente n 
clientes se encontrem na barbearia é P0 = 1/16, P1 = 4/16 , P2 = 
6/16 , P3 = 4/16, P4 -=1/16:
a. Calcule L. Como você descreveria o significado de L para João e José?
b. Para cada um dos possíveis valores do número de clientes no sistema 
de filas, especifique quantos clientes se encontram na fila. Calcule 
então Lq. Como você descreveria o significado de Lq para João e 
José?
c. Dado que chegue uma média de quatro clientes por hora e 
permaneçam para cortar o cabelo, determine W e Wq. Descreva esses 
dois valores em termos significativos para João e José.
d. Dado que João e José são igualmente rápidos nos cortes de cabelo, 
qual é a duração média de um corte de cabelo?
Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com
M/M/1 – Primeiro Exemplo
´Clientes chegam em um sistema de filas com 
um único atendente de acordo com um 
processo de Poisson em uma taxa média de 
10 por hora. Se o atendente trabalhar 
continuamente, o número de clientes que 
podem ser atendidos em uma hora tem uma 
distribuição de Poisson com média 15. 
a. Determine a proporção de tempo durante o 
qual ninguém está esperando para ser 
atendido.
b. Qual a probabilidade de um cliente chegar 
sem precisar esperar na fila?
Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com
M/M/1 – Segundo Exemplo
´ O balcão de uma choperia é servida por um 
atendente. Os fregueses chegam de acordo com um 
processo de Poisson, a uma taxa média de 15 por 
hora. Eles são atendidos em uma base FIFO e, por 
causa da qualidade do chope , esperam se 
necessário. O tempo de atendimento de cada 
freguês é distribuído segundo uma exponencial , com 
média 45 segundos.
a. número médio de fregueses esperando para serem 
atendidos.
b. tempo que um freguês deve esperar para ser 
atendido
c. probabilidade de um freguês gastar mais de 15 
minutos
d. probabilidade de o atendente estar 
desocupado
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Exemplo M/M/s – Hospital 
Municipal
´ Para o problema da sala de emergências do Hospital Municipal, o 
administrador concluiu que os casos de emergência chegam, em sua 
maioria, de forma aleatória (um processo de entrada de Poisson), de 
modo que os tempos entre atendimentos possuem uma distribuição 
exponencial. Ele também concluiu que o tempo gasto por um médico 
tratando os casos segue, aproximadamente, uma distribuição 
exponencial. Assim, ele optou pelo modelo M/M/s para um estudo 
preliminar desse sistema de filas. 
Projetando para o ano que vem os dados disponíveis para o turno do 
início da noite, ele estima que os pacientes chegarão em uma taxa média 
de 1 a cada 1/2 hora. Um médico precisa em média de 20 minutos para 
atender cada paciente. Portanto, com uma hora sendo a unidade de 
tempo: !" = !$	 e !& = !'	
Logo: 𝜆 = 2 e 𝜇 = 3
As duas alternativas consideradas são para continuar a ter apenas um 
médico durante esse turno (s=1) ou então disponibilizar um segundo 
médico (s =2). Em ambos os casos, 𝜌 = "-.& < 1,
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Exemplo M/M/s – Hospital 
Municipal
´ de forma que o sistema deveria aproximar-se de uma condição de 
estado estável. Na verdade, como 𝜆 é ligeiramente distinto durante 
outros turnos, o sistema jamais atingirá realmente uma condição de 
estado estável, porém o administrador acha que os resultados de 
estado estável fornecerão uma boa aproximação.
´ Com base nestes resultados, avaliar quantos médicos são 
necessários.
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Exemplo M/G/1 e M/D/1
´Maria opera uma banquinha de café expresso. 
Os clientes chegam de acordo com um 
processo de Poisson a uma taxa média de 30 
por hora. O tempo necessário para Maria servir 
um cliente tem uma distribuição normal com 
média de 75 segundos e desvio padrão 60 
segundos.
a) Use o modelo M/G/1 para encontrar L, Lq, W e Wq. 
b) Suponha que Maria seja substituída por uma 
máquina automática de café expresso que precise 
exatamente de 75 segundos para cada cliente 
operar. Encontre L, Lq, W e Wq.
c) A que se deve a diferença entre Lq nas letras a e b?
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Fórmulas Gerais Fórmulas M/M/1
Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com
Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com
Fórmulas M/M/2
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𝜇1 = 2. 𝜇					∀	𝑛 > 2𝜇1 = 𝑛. 𝜇					∀	𝑛 ≤ 2𝜌 = 𝜆2. 𝜇
𝑃7 = 11 + 𝜆𝜇 + 𝜆 𝜇9 $2 − 𝜆 𝜇9𝑃! = " &⁄ . 𝑃7𝑃1 = < =9 >$ >?@ . 𝑃7										∀	𝑛 ≥ 2𝐿C = 𝑃7. 𝜆 𝜇9 $𝜌2. 1 − 𝜌 $
𝑊C = 𝐿C𝜆𝑊 = 𝑊C + 1𝜇𝐿 = 𝜆. 𝑊C + 1𝜇 = 	𝐿C + 𝜆𝜇
𝑃 EFG7 = 𝑃7 + 𝑃!𝑃 EFHI = 	 1 − 𝑃 EFG7 . 𝑒 K$& !KL I
𝑃 EHI = 𝑒K&I. 1 + 𝑃7. 𝜆 𝜇9 $2 1 − 𝜌 . 1 − 𝑒K&I !K" &91 − 𝜆 𝜇9 				∀	𝜆 𝜇9 ≠ 1
𝑃 EHI = 𝑒K&I. 1 + 𝑃7. 𝜆 𝜇9 $2 1 − 𝜌 . 𝜇𝑡 				∀	𝜆 𝜇9 = 1
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Prof Dsc Paulo Ribas – prof.paulo.ribas@gmail.com

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