1ª lista do ano - Limites

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IME 2009 CÁLCULOI 
LISTA DE EXERCÍCIOS I
Nenhum dos limites desta lista deve ser calculado usando a regra de L´Hospital. Só é permitido o 
uso dos limites fundamentais e das propriedades básicas de limites.
1. Exercícios de limites: Tom Apostol, volume I.
 Seção 3.6: todos
 Seção 3.8: todos
2. Calcule os limites:
2.1. lim
x0
1−cos x
x
 2.17. lim
x0
x cotg3 x 2.33. lim
n∞
n ln n
1
n 
 2.2. lim
x0
tg x
x
 2.18. lim
x0
sen 2 x
3 x²x
 2.34. lim
n∞  ln nn 
1
n 
2.3. lim
x0
sen 3x
x
 2.19. lim
x0
x cosec3 x 2.35. lim
n∞  nen 
1
n
 
2.4. lim
x0
tg x
sen x
 2.20. lim
n∞
n1− n  2.36. lim
x0
e x−1
x
2.5. lim
x0
sen 3x
sen 5x
 2.21. lim
x∞ 1an 
n
,∀ a 2.37. lim
x0
eax−1
x
 
2.6. lim
x0
tg 3xcosec 3x 2.22. lim
n∞ 1 12n 
2n
 2.38. lim
x0
eax−e−ax
x
 
2.7. lim
x0
1−cos x
x2
 2.23. lim
n∞ 1 1n2 
n2
 2.39. lim
x0
1ax
1
x
2.8. lim
x∞
x sen 1
x
 2.24. lim
n∞ 11n 
2n
 2.40. lim
x0
ln 1ax 
x
 
2.9. lim
x∞
3x tg 
x
 2.25. lim
n∞ 1 12n 
n
 2.41. lim
x0
ax−1
x
2.10. lim
x0
2x22x
sen 2x
 2.26. lim
n∞ 1 14n2 
4n9
 2.42. lim
x0
ax−a−x
x
 
2.11. lim
x0
tg3 x
x2
 2.27. lim
∞ 11n 
n−2
 2.43. lim
n∞
n  n a−1
 
2.12. lim
x0
senx
2x
 2.28. lim
n∞ 11n 
3n
 2.44. lim
n∞
 n  na− n
2.13. lim
x
senx
− x
 2.29. lim
n∞ 1 13n 
n
 2.45. lim
n∞
n [a1n 
4
−a4] 
2.14. lim
x0
sen2 x
x
 2.30. lim
n∞ 1 12n2 
2n
 2.46. lim
n∞
 8n21− 4n1 
2.15. lim
x0
xtg x
sen x
 2.31. lim
n∞
n
1
n 2.47. lim
n∞
an−bn
anbn
2.16. lim
x0
tg3 x
4 x
 2.32. lim
n∞
 ln n
1
n
Thalles
Realce
Thalles
Realce
Thalles
Realce
Thalles
Realce
IME 2009 CÁLCULOI
3. Se 0ab , mostre que lim
n∞
n anbn=b .
4. Se a0, a seqüência  a ,  a a ,  a a a , … pode ser definida pela seguinte regra de 
recorrência:
x1= a ; xn1= ax n , para n1. Mostre que lim
n∞
xn=
114a
2
5. Sejam x1=1 e xn1=1 xn , para n1 . Mostre que a seqüência {xn} é limitada e calcule seu 
limite.
6. Mostre que se lim
n∞
xn= x , então a seqüência das médias aritméticas de xn também converge para x , 
isto é:
 lim
n∞
xn= x , onde xn=
x1 x2...xn
n
.
 
 Use esses resultados para calcular os limites abaixo:
6.1 lim
n∞
11
2
...1
n
n 6.2. 
lim
n∞
1 23 3... n n
n
7. Mostre que se {xn} é uma seqüência tal que lim
n∞
xn1
xn
=r , então lim
n∞
n xn=r. Use esse resultado para 
mostrar que lim
n∞
n n!
n
=1
e
.
8. A seqüência dos números de Fibonacci é definida pela seguinte regra de recorrência:
F 0=0 ; F1=1
F n2=F n1Fn , para n0.
 Mostre que lim
n∞
Fn1
F n
=
1 5
2
.
9. Dados 0a1b1, definimos an1= anbn e bn1=
anbn
2
, para n1. Mostre que as seqüência 
{an} e {bn} convergem e têm o mesmo limite.
10. Seja f : [ 0,∞ ℝ uma função limitada em cada intervalo limitado. Se lim
x∞
[ f  x1− f x ]=L
então mostre que lim
x∞
f x 
x
=L.
Obs.: São considerados limites fundamentais os seguintes:
1. lim
x0
sen x
x
=1 3. lim
x∞
11
x

x
=e 5. lim
x∞
 ln xa
xb
=0,∀ a ,b0 
 
2. lim
x0
ln 1x 
x
=1 4. lim
x0
1 x
1
x=e 6. lim
x∞
x a
ebx
=0,∀ a ,b0