Parte 15 - Formula de Taylor Mais Simples

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PARTE 15
POLINOˆMIO DE TAYLOR
15.1 Introduc¸a˜o
Dada uma func¸a˜o g : I(aberto) ⊆ R −→ R, n− 1 vezes diferencia´vel em I e dado um
ponto x0 ∈ I, lembre-se (Ca´lculo 1A) que o polinoˆmio
Pn−1(x) = g(x0) + g′(x1)(x− x0) + g
′′(x0)
2!
(x− x0)2 + ...+ g
(n−1)(x0)
(n− 1)! (x− x0)
n−1
e´ chamado de polinoˆmio de Taylor de ordem n − 1 de f em x0. Sabemos tambe´m
que o polinoˆmio de Taylor de ordem n − 1 e´ o melhor polinoˆmio de grau n − 1 que
aproxima g numa vizinhanc¸a do ponto x0. Ale´m disso, vimos que, dada uma func¸a˜o
g : I(aberto) ⊆ R −→ R, n vezes diferencia´vel no intervalo I e dados dois pontos, x0 e
x, em I. Enta˜o, existe x entre x0 e x, tal que
g(x) = g(x0) + g
′(x1)(x− x0) + g
′′(x0)
2!
(x− x0)2 + ...+ g
(n−1)(x0)
(n− 1)! (x− x0)
n−1
+
g(n)(x)
n!
(x− x0)n
Este resultado e´ conhecido como Teorema de Taylor com resto de Lagrange.
O objetivo desta aula e´ estender este teorema, i.e. o Teorema de Taylor com resto de
Lagrange, para func¸o˜es reais de va´rias varia´veis reais.
15.2 Teorema de Taylor
Considere a func¸a˜o f : Dom(f) ⊆ Rm −→ R e um pontoX0 ∈ D (aberto) ⊆ Dom(f).
Seja J um intervalo aberto na reta, contendo o intervalo [0, 1] e seja H ∈ Rm, tal que
X0 + tH ∈ D para todo t ∈ J . Seja ainda G : J ⊆ R −→ Rn a func¸a˜o dada por
G(t) = X0 + tH, t ∈ J.
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Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011.1208
Defina agora a func¸a˜o g : J ⊆ R −→ R como
g(t) = (f ◦G)(t) = f(X0 + tH), t ∈ J.
Observe que
f(X0 +H)− f(X0) = g(1)− g(0).
Assim definido, se f e´ n vezes diferencia´vel em D, como G e´ infinitamente diferencia´vel
em J , segue que g e´ n vezes diferencia´vel em J . Desta forma, podemos aplicar o
Teorema de Taylor a` func¸a˜o g. Sendo assim, para x = 1 e x0 = 0, temos que existe
0 < t < 1 tal que
f(X0 +H)− f(X0) = g(1)− g(0)
= g′(0) +
g′′(0)
2!
+ ...+
g(n−1)(0)
(n− 1)! +
g(n)(t)
n!
.
Resta agora escrever as derivadas da func¸a˜o g em func¸a˜o das derivadas da func¸a˜o f .
Para isto, lembre-se que se f e´ diferencia´vel em Dom(f), como g(t) = f(X0 + tH),
∀t ∈ J , pela regra da cadeia, temos que
g′(t) = ∇f(X0 + tH) ·H, t ∈ J. (1)
Como f e´ diferencia´vel, lembre-se que (Teorema 12.4.1)
∂f
∂~u
(X0 + λ~u) = ∇f(X0 + λ~u) · ~u, (2)
para todo vetor unita´rio ~u e λ real. Observe que X0+ tH = X0+ t||H|| H||H|| , de modo
que se fizermos ~u =
H
||H|| (note que ~u e´ unita´rio) e λ = t||H||, temos que
X0 + tH = X0 + t||H|| H||H|| = X0 + λ~u. (3)
Portanto, aplicando (3) em (2), segue que
∂f
∂~u
(X0 + tH) =
∂f
∂~u
(
X0 + t||H|| H||H||
)
=
∂f
∂~u
(X0 + λ~u)
= ∇f(X0 + λ~u) · ~u
= ∇f (X0 + λ~u) · H||H||
= ∇f(X0 + tH) · H||H|| ,
=⇒ ∇f(X0 + tH) ·H = ||H||∂f
∂~u
(X0 + tH), (4)
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011.1209
onde ~u =
H
||H|| . Portanto, substituindo (4) em (1), temos que
g′(t) = ||H||∂f
∂~u
(X0 + tH), t ∈ J, (5)
onde ~u =
H
||H|| (~u e´ o vetor unita´rio com mesma direc¸a˜o e sentido de H).
Suponha agora que
∂f
∂~u
: D(aberto) ⊆ Rn −→ R seja ela tambe´m uma func¸a˜o diferen-
cia´vel em D. Neste caso, de (5), temos que g′ e´ diferencia´vel e, derivando (5) com o
aux´ılio da regra da cadeia, temos que
g′′(t) =
(
||H||∂f
∂~u
(X0 + tH)
)′
= ||H||
(
∂f
∂~u
(X0 + tH)
)′
= ||H||
(
∇∂f
∂~u
(X0 + tH) ·H
)
(6)
De (4), com
∂f
∂~u
no lugar de f , temos que
=⇒ ∇∂f
∂~u
(X0 + tH) ·H = ||H||
(
∂
∂~u
(
∂f
∂~u
))
(X0 + tH) (7)
Portanto, substituindo (7) em (6), encontramos que
g′′(t) = ||H||
(
∇∂f
∂~u
(X0 + tH) ·H
)
= ||H|| 2 ∂
∂~u
(
∂f
∂~u
)
(X0 + tH)
= ||H|| 2∂
2f
∂~u 2
(X0 + tH), t ∈ J.
Por induc¸a˜o temos que, se f ,
∂f
∂~u
,
∂ 2f
∂~u 2
, ... ,
∂ n−1f
∂~un−1
sa˜o diferencia´veis, enta˜o g e´ n vezes
diferencia´vel e
g(k)(t) = ||H||k ∂
kf
∂~u k
(X0 + tH), t ∈ J, k = 1, ..., n.
Agora estamos em condic¸o˜es de enunciar a extensa˜o do Teorema de Taylor visto em
Ca´lculo 1A.
TEOREMA 15.2.1: Seja f : D(aberto) ⊆ Rm −→ R uma func¸a˜o tal que, para algum
n ∈ N, as func¸o˜es
f,
∂f
∂~u
,
∂ 2f
∂~u 2
, ... ,
∂ n−1f
∂~un−1
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011.1210
sa˜o todas diferencia´veis em D. Considere dois pontos distintos, X0 ⊆ D e X0 +
H ⊆ D, tais que o segmento de extremidades X0 e X0+H esta´ contido em D. Enta˜o,
existe 0 < t < 1 , tal que
f(X0 +H) = f(X0) + ||H||∂f
∂~u
(X0) +
||H||2
2!
∂ 2f
∂~u 2
(X0) + ...
= +
||H||n−1
(n− 1)!
∂ n−1f
∂~un−1
(X0) +
||H||n
(n)!
∂ nf
∂~un
(X0 + tH).
No Teorema a seguir, vamos fornecer expresso˜es para as derivadas direcionais de ordens
superiores em func¸a˜o das derivadas parciais de ordens superiores para reescrevermos
o Teorema de Taylor apenas em func¸a˜o das derivadas parciais de f . Antes, pore´m,
observe que se f : D(aberto) ⊆ Rm −→ R e´ uma func¸a˜o diferencia´vel em D e ~u e´ vetor
unita´rio ~u em Rm, enta˜o (Teorema 12.4.1),
∂f
∂~u
= ∇f · ~u
=
(
u1
∂f
∂x1
+ ...+ un
∂f
∂xm
)
.
Portanto, podemos encarar o processo de formar a func¸a˜o
∂f
∂~u
: D(aberto) ⊆ Rm −→ R
a partir da func¸a˜o diferencia´vel f : D(aberto) ⊆ Rm −→ R, como uma aplicac¸a˜o do
“operador”
∂
∂~u
, definido por
∂
∂~u
= u1
∂
∂x1
+ ...+ un
∂
∂xm
.
Desta forma, se a func¸a˜o
∂f
∂~u
: D(aberto) ⊆ Rm −→ R tambe´m e´ uma func¸a˜o diferen-
cia´vel em D, temos que(
∂2f
∂~u2
)
=
∂
∂~u
(
∂f
∂~u
)
=
(
u1
∂
∂x1
+ ...+ un
∂
∂xm
)
∂f
∂~u
=
(
u1
∂
∂x1
+ ...+ un
∂
∂xm
)(
u1
∂f
∂x1
+ ...+ un
∂f
∂xm
)
=
∑
j,i
ujui
∂ 2f
∂xj∂xi
.
Por exemplo, se f : D(aberto) ⊆ R2 −→ R e´ uma func¸a˜o de classe C2 em D e
~u = (u1, u2) e´ vetor unita´rio ~u em R2, enta˜o
∂f
∂~u
= ∇f · ~u
=
(
u1
∂f
∂x
+ u2
∂f
∂y
)
.
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e, como a func¸a˜o
∂f
∂~u
: D(aberto) ⊆ R2 −→ R, neste caso, tambe´m e´ uma func¸a˜o
diferencia´vel em D, temos que(
∂2f
∂~u2
)
=
∂
∂~u
(
∂f
∂~u
)
=
(
u1
∂
∂x
+ u2
∂
∂y
)
∂f
∂~u
=
(
u1
∂
∂x
+ u2
∂
∂y
)(
u1
∂f
∂x
+ u2
∂f
∂y
)
= u21
∂ 2f
∂x2
+ u1u2
∂ 2f
∂x∂y
+ u2u1
∂ 2f
∂y∂x
+ u22
∂ 2f
∂y2
= u21
∂ 2f
∂x2
+ 2u1u2
∂ 2f
∂x∂y
+ u22
∂ 2f
∂y2
Da mesma forma, se a func¸a˜o
∂2f
∂~u2
: D(aberto) ⊆ Rm −→ R tambe´m e´ uma func¸a˜o
diferencia´vel em D, temos que(
∂3f
∂~u3
)
=
∂
∂~u
(
∂2f
∂~u2
)
=
(
u1
∂
∂x1
+ ...+ un
∂
∂xm
)
∂2f
∂~u2
=
(
u1
∂
∂x1
+ ...+ un
∂
∂xm
)(
u1
∂
∂x1
+ ...+ un
∂
∂xm
)(
u1
∂f
∂x1
+ ...+ un
∂f
∂xm
)
=
∑
k,j,i
ukujui
∂ 3f
∂xk∂xj∂xi
.
Por exemplo, se f : D(aberto) ⊆ R2 −→ R e´ uma func¸a˜o de classe C3 em D e
~u = (u1, u2) e´ vetor unita´rio ~u em R2, como a func¸a˜o
∂2f
∂~u2
: D(aberto) ⊆ R2 −→ R,
neste caso, tambe´m e´ uma func¸a˜o diferencia´vel em D, temos que(
∂3f
∂~u3
)
=
∂
∂~u
(
∂2f
∂~u2
)
=
(
u1
∂
∂x
+ u2
∂
∂y
)
∂2f
∂~u2
=
(
u1
∂
∂x
+ u2
∂
∂y
)(
u1
∂
∂x
+ u2
∂
∂y
)(
u1
∂f
∂x
+ u2
∂f
∂y
)
=
(
u1
∂
∂x
+ u2
∂
∂y
)(
u21
∂ 2f
∂x2
+ 2u1u2
∂ 2f
∂x∂y
+ u22
∂ 2f
∂y2
)
= u31
∂ 3f
∂x3
+ 2u21u2
∂ 3f
∂x2∂y
+ u1u
2
2
∂ 3f
∂x∂y2
+ u21u2
∂ 3f
∂y∂x2
+ 2u1u
2
2
∂ 3f
∂y∂x∂y
+ u32
∂ 3f
∂y3
= u31
∂ 3f
∂x3
+ 3u21u2
∂ 3f
∂x2∂y
+ 3u1u
2
2
∂ 3f
∂x∂y2
+ u32
∂ 3f
∂y3
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Vamos agora enunciar o resultado.
TEOREMA 15.2.2: Seja f : D(aberto) ⊆ Rm −→ R uma func¸a˜o de classe Cn, e
seja ~u um vetor unita´rio em Rm. Enta˜o, as func¸o˜es
f,
∂f
∂~u
,
∂ 2f
∂~u 2
, ... ,
∂ n−1f
∂~un−1
sa˜o todas diferencia´veis em D,
∂ nf
∂~un
e´ cont´ınua e, para k = 1, ..., n,
∂ kf
∂~u k
(X0) =
(
u1
∂
∂x1
+ ...+ un
∂
∂xm
)k
f
=
∑
ik,...,i1
uik · · · ui1
∂ k
∂xik · · · ∂xi1
.
Observac¸a˜o 15.2.3: A notac¸a˜o
(
u1
∂
∂x1
+ ...+ un
∂
∂xm
)k
f , utilizada no teorema
acima, indica k − 1 aplicac¸o˜es do “operador” ∂
∂~u
= u1
∂
∂x1
+ ... + un
∂
∂xm
em
∂f
∂~u
=
u1
∂f
∂x1
+ ...+ un
∂
∂xm
.
Observac¸a˜o 15.2.: Observe que para ~u =
H
||H|| , ui =
hi
||H|| , i = 1, ..., n, onde
~u = (u1, ..., un) e ~H = (h1, ..., hn), de modo que(
u1
∂
∂x1
+ ...+ un
∂
∂xm
)k
f =
1
||H||k
(
h1
∂
∂x1
+ ...+ hn
∂
∂xm
)k
f.
Vamos agora apresentar a fo´rmula de Taylor em termos das derivadas parciais. Para
utilizar as expresso˜es obtidas no Teorema 15.2.2 acima, vamos fortalecer as hipo´teses
do Teorema 15.2.1 e gerar o Teorema 15.2.3 abaixo.
TEOREMA 15.2.3: Seja f : D(aberto) ⊆ Rm −→ R uma func¸a˜o tal que, para
algum n ∈ N, f e´ de classe Cn em D. Considere dois pontos distintos X0 ⊆ D e
X0 +H ⊆ D, tais que o segmento de extremidades X0 e X0 +H esta´ contido em D.
Enta˜o, existe 0 < t < 1 , tal que
f(X0 +H) = f(X0) +
n−1∑
k=1
1
k!
[(
h1
∂
∂x1
+ ...+ hm
∂
∂xm
)k
f
]
(X0) +Rn, (8)
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onde Rn =
1
(n)!
[(
h1
∂
∂x1
+ ...+ hm
∂
∂xm
)n
f
]
(X0 + tH).
DEFINIC¸A˜O 15.2.1: Seja f : D(aberto) ⊆ Rm −→ R uma func¸a˜o de classe Cn
em D e seja X0 ∈ D. Dado X ∈ Rm, defina H como H = X − X0. O polinoˆmio
Pn : Rm −→ R definido por
Pn(X) = Pn(X0 +H) = f(X0) +
n∑
k=1
[(
h1
∂
∂x1
+ ...+ hn
∂
∂xn
)k
f
]
(X0) ∀X ∈ Rm (9)
e´ chamado de polinoˆmio de Taylor de ordem n de f em X0.
Exemplo 15.2.1: Considere a func¸a˜o f : R2 −→ R definida por f(x, y) = x2y. Deter-
mine o polinoˆmio Taylor de grau 2 de f no ponto (10,20). Utilize este polinoˆmio para
fornecer uma aproximac¸a˜o para f(10.1, 20.2).
Resposta:
P2(10 + h1, 20 + h2) = f(10, 20) +
2∑
k=1
[(
h1
∂
∂x
+ h2
∂
∂y
)k
f
]
(10, 20)
= f(10, 20) + h1
∂f
∂x
(10, 20) + h2
∂f
∂y
(10, 20) + h21
∂ 2f
∂x2
(10, 20)
+2h1h2
∂ 2f
∂x∂y
(10, 20) + h22
∂ 2f
∂y2
(10, 20)
= 2000 + 400h1 + 100h2 +
1
2
(
40h21 + 2× 20h1h2 + 0× h22
)
= 2000 + 400h1 + 100h2 + 20h
2
1 + 20h1h2
P2(10.1, 20.2) = P2(10 + 0.1, 20 + 0.2)
= 2000 + 400.0, 1 + 100.0, 2 +
1
2
(
40.0, 12 + 2.20.0, 1.0, 2 + 0.0, 22
)
= 2060, 6
Conforme visto no exemplo acima, o polinoˆmio de Taylor pode ser usado para estimar
o valor da func¸a˜o numa vizinhanc¸a do ponto X0. De fato, temos que o polinoˆmio de
Taylor de grau n de f em X0 e´ o polinoˆmio de grau n que melhor aproxima a func¸a˜o
f numa vizinhanc¸a de X0. Verifique o teorema a seguir.
TEOREMA 15.2.4: Seja f : D(aberto) ⊆ Rm −→ R uma func¸a˜o n vezes diferencia´-
vel no ponto X0 ∈ D. Dado X ∈ Rm, defina H como H = X −X0. Enta˜o, para todo
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X ∈ D, tem-se que
f(X) = f(X0 +H) = f(X0) +
n−1∑
k=1
[(
h1
∂
∂x1
+ ...+ hn
∂
∂xn
)k
f
]
(X0) + En(H) (10)
onde limH→0
En(H)
||H||n = 0. Ale´m disso,
Pn(X) = Pn(X0 +H) = f(X0) +
n−1∑
k=1
[(
h1
∂
∂x1
+ ...+ hn
∂
∂xn
)k
f
]
(X0)
e´ o u´nico polinoˆmio de grau menor ou igual a n tal que
f(X) = f(X0 +H) = Pn(X0 +H) + En(H) = Pn(X) + En(X −X0),
com limX→X0
En(X −X0)
||X −X0||n = 0.
Exemplo 15.2.2: Encontre o polinoˆmio de segundo grau que melhor aproxima a
func¸a˜o f(x, y) = ex cos y numa vizinhanc¸a do ponto (0, 0).
Resposta: ex cos y ≈ 1 + x+ 1
2
x2 − 1
2
y2
Observac¸a˜o 15.2.4: Observe que, devido a` unicidade do polinoˆmio referida no Teo-
rema de Taylor, temos que um polinoˆmio de grau n e´ seu pro´prio polinoˆmio de Taylor
de ordem n em torno de um ponto arbitra´rio X0, com o detalhe de que ele esta´ ex-
pandido.
Exemplo 15.2.3: Escreva o polinoˆmio x2y+x3+y3 como um polinoˆmio nas varia´veis
(x− 1) e (y + 1).
Resposta: Utilizando o fato de o polinoˆmio x2y + x3 + y3 e´ o pro´prio polinoˆmio de
Taylo de ordem 3, em torno de um ponto (x0, y0) expandido, temos que ele e´ igual ao
polinoˆmio de Taylor de ordem 3 em torno do ponto (1,−1).
x2y + x3 + y3 = −1 + 1
1!
((x− 1) + 4(y + 1)) +
+
1
2!
(
4(x− 1)2 + 4(x− 1)(y + 1)− 6(y + 1)2)+
+
1
3!
(
6(x− 1)3 + 6(x− 1)2(y + 1) + 6(y + 1)3)