Exemplo de analise multinivel

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Exemplo de análise multi-nível (2 níveis) no Stata
Francisco C. C. Cassuce
	Para desenvolver a análise multi-nível foi selecionado dados referentes à renda familiar média (renda) e média de anos de estudo para pessoas com 25 anos ou mais (ae) para os municípios brasileiros e Capital Humano (kh) para os estados brasileiros no ano de 1991. No caso específico, o nível é caracterizado pelos municípios e os estados caracterizam o segundo nível de agregação. É importante frisar que os dados referente a kh são apresentados apenas para os estados em nível agregado.
	Inicialmente será estimado o modelo nulo. O objetivo captar o percentual da variância na renda provocada apenas pelas diferenças entre os estados. O modelo contém apenas a variável dependente a constante, apresentando coeficientes aleatórios nos dois níveis. O modelo é apresentado a seguir:
										(1)
									(2)
									(3)
	Neste modelo i é o subscrito que representa as cidades brasileiras e k representa os estados do Brasil para o ano de 1991; representa a média da renda (yik) na k-ésima cidade; representa o valor esperados dos interceptos na população de estados; e o efeito aleatório do estado k no intercepto .
	O modelo assume as seguintes pressuposições:
 sendo a variância populacional dos interceptos
 de 
Perceba que a renda média estimada para as cidades brasileiras (modelo (3)) é decomposta em um componente determinístico, , e um componente aleatório, , sendo que representaria a participação da variância da renda média em torno de proveniente das diferenças entre os estados e representaria a variância da renda média estimada entre indivíduos de um mesmo estado. A soma das duas determinaria a variância da renda média das cidades brasileiras: .
O modelo também permite definir o coeficiente de correlação intra-classe, .
									(4)
	Se , indica que os municípios são semelhantes e o agrupamento deles em estados não é relevante, ou seja, a renda média observada nas cidades independe de qual estado da federação a cidade pertença. Se , indica que os estados aos quais as cidades pertencem são fundamentais para explicar as diferenças de renda média observada, ou seja, toda a variabilidade existente na renda média das cidade irá depender de qual estado a cidade pertence.
O modelo estimado é apresentado a seguir:
	Com a estimação é possível identificar os componentes em que a renda média das cidades brasileiras se decompõe.
	A equação (6) estimada seria:
A média do intercepto (ou o valor esperado para a renda média) na população de estados é de 0,6605241. A variância desse valor esperado é decomposta na variabilidade entre grupos e na variância intra-grupo . O coeficiente de correlação intra-grupo assume valor . Os resultados indicariam que aproximadamente 50% das diferenças da renda média entre as cidades brasileiras, no ano de 1991, se devem ao estado ao qual a cidade pertence.
	Além disso, pode-se verificar o LR test exposto na última linha da tabela de resultados. Este é um teste e tem como hipótese nula o fato dos efeitos aleatórios serem igual a zero. Percebe-se que é possível rejeitar essa hipótese a um nível de significância de 1%. Verifica-se que, considerando os erros padrão da constante e dos termos aleatório, todos os parâmetros estimados podem ser considerados estatisticamente diferentes de zero a 10% de significância. De forma geral os resultados apresentados justificariam a estimação de modelos com estrutura hierárquica.
	O próximo passo é estimar um modelo com o parâmetro de intercepto aleatório, mas contendo agora uma variável explicativa. O Modelo é apresentado a seguir:
								(5)
									(6)
								(7)
	A única alteração é que a variável renda agora depende da variável ae (representada na equação (7) por ). Os demais parâmetros apresentam a mesma interpretação. As pressuposições 1., 2., e 3. permanecem as mesmas. A variável explicativa ae pertence ao nível 1. O modelo estimado é apresentado a seguir: 
	Neste modelo com apenas intercepto aleatório, perceba que o parâmetro apresenta apenas componente determinístico. Os parâmetros estimados são apresentados a seguir:
 
 
 	A equação (7) estimada é apresentada a seguir:
 
 	Ao inserir uma variável explicativa do nível 1 (municípios) percebe-se que a parcela da variância renda explicada pelo estado ao qual a cidade pertence é consideravelmente reduzida. O coeficiente de correlação intra-grupo assume valor .
	Aproximadamente 30% da variação na renda podem ser explicada pela diferença que há entre os estados da federação. Novamente, pode-se verificar pelo LR test, exposto na última linha da tabela de resultados, é possível rejeitar a hipótese nula de que os efeitos aleatórios são iguais a zero a um nível de significância de 1%. Verifica-se que, considerando os erros padrão da constante e dos termos aleatório, todos os parâmetros estimados podem ser considerados estatisticamente diferentes de zero a 10% de significância. De forma geral os resultados apresentados novamente justificariam a estimação de modelos com estrutura hierárquica.
	Assim como os modelos multi-níveis possibilitam a estimação de parâmetros de interceptos aleatórios, é possível verificar se os parâmetros de inclinação também variam de acordo com a mudança de estado (grupo do nível 2). Neste caso o modelo seria chamado de modelo com intercepto e inclinação aleatórios. O modelo é apresentado a seguir:
								(8)
									(9)
										(10)
		
							(11)
	Seria acrescentada às pressuposições 1., 2., e 3. aa pressuposição 4.:
 , ou seja, 
 é o valor esperado das inclinações na população de estados (coeficiente de inclinação calculado para todos os estados); 
 é o efeito aleatório (desvio-padrão) do estado k na inclinação , ou seja, é a variação causada na influência da média de anos de estudo sobre a renda pelos estados; 
 é a variância populacional das inclinações.
	O modelo estimado é apresentado a seguir:
 	Note que, neste caso, tanto o intercepto quanto a inclinação apresentam um componente aleatório. A equação da renda estimada é , que representa o componente determinístico da renda. O componente aleatório é representado por com , e 
	Vamos agora acrescentar ao modelo uma variável explicativa do nível 2 (estados). A variável capital humano (kh) é definida para os estados da federação e entra na análise da seguinte forma:
								(12)
								(13)
								(14)
		
				(15)
	A renda familiar novamente é decomposta em um termo determinístico () e um termo aleatório (). O termo seria considerado a interação de nível cruzado, permitindo a inclinação relacionada à variável variar com a variável . Os resultados estimados são apresentados a seguir:
A renda estimada é apresentada a seguir:
	O componente aleatório da renda familiar é com , e . 
	
Análise pós estimação
	Iniciaremos comparando dois modelos. O procedimento compreende estimar os dois modelos e fazer um teste de razão de máxima verossimilhança. A hipótese nula é de que os modelos não apresentam diferenças significativas contra a hipótese alternativa de que eles são distintos. O procedimento é apresentado a seguir:
	Os resultados indica a rejeição da hipótese nula, admitindo que o modelo com inclinação aleatória fornece um melhor ajuste. Além do teste comparativo entre modelos é possível estima de forma direta a variância dos coeficientes facilitando o calculo coeficiente de correlação inter-classe. Na seqüência é apresentado o procedimento.
	O coeficiente de correlação inter-classe é definido como:
 
 
	É interessante estimar a matriz de correlação entre o intercepto e a variável explicativa ae. Após a estimaçãoda equação através do comando xtmixed, realize o seguinte procedimento para obter, respectivamente, as matrizes de covariância e de correlação entre o intercepto e ae.
	Para obter melhores previsões para os efeitos aleatórios (que mostram a variação do intercepto e do coeficiente de inclinação em relação aos estados) é importante estimar primeiro os efeitos fixos. Após realizar o comando xtmixed:
_n==1 seleciona o primeiro caso e cada grupo. Na seqüência são listados os primeiros casos dos 10 primeiros estados da federação.
	A equação para o primeiro caso (ou cidade) seria:
 
 
	Perceba que u1 se refere ao desvio da inclinação e u2 ao desvio do intercepto. Para gerar a o intercepto e a inclinação por estado faça:
	Podemos utilizar o intercepto e a inclinação para estimar os valores previstos para a renda familiar nos municípios brasileiros. Após o comando xtmixed:
	Na tabela acima se tem os valores observados e previstos para a renda familiar para a primeira cidade dos 10 primeiros estados. O gráfico com as regressões dos 27 estados também pode ser plotado.