aula 004 revarq algebra boole (1)

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR
Bacharelado em Engenharia Eletrônica
Prof. Paulo C. Gonçalves
paulogoncalves@utfpr.edu.br
Material desenvolvido pelo
Prof. Rogério A. Gonçalves
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 �� �� �� �	 �� ��LT34E - Arquitetura e Organização de Computadores
 2 
• Álgebra de Boole
• Teoremas de DeMorgan
• Expressões Booleanas
• Expressões a partir de Circuitos
• Circuitos a partir de Expressões
Aula 004
 3 
Álgebra de Boole
- Álgebra proposta pelo matemático George Boole em 1854
- Usada para simplificar circuitos lógicos
- Todas as variáveis têm valor 0 ou 1
- Tem 3 operadores: 
Fundamentos de Lógica
Lógica Booleana
Matemática (V,F)
Símbolo Lógica Booleana
Digital (0,1)
Símbolo
Conjunção OR (OU)
Disjunção AND (E)
Negação NOT (NÃO)
A∨B
A∧B
¬A
A+B
A .B
A
https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra - acessado em 16/08/2017
 4 
Álgebra de Boole
A Álgebra de Boole é baseada em um conjunto de regras que são derivadas de 
um pequeno número de Axiomas. 
Assumimos que:
➔ Álgebra Booleana envolve elementos com dois valores 0 e 1.
➔ Os axiomas são verdade:
Fundamentos de Lógica
1a. 0.0=0
1b . 1+1=1
2a. 1.1=1
2b . 0+0=0
3a. 0.1=1.0=0
3b . 1+0=0+1=1
4a . Se A=0,então A=1
4a . Se A=1,então A=0
 6 
Regras da Álgebra de Boole
1. Identidade (Zero e Um)
2. Idempotência
3. Complemento
4. Involução
Fundamentos de Lógica
5a . A .0=0
5b . A+1=1
6a . A .1=A
6b . A+0=A
7a . A . A=A
7b . A+A=A
8a . A . A=0
8b . A+A=1
9. A=A
 7 
Regras da Álgebra de Boole
1. Comutativa
2. Associativa
3. Distributiva
Fundamentos de Lógica
10a . A .B=B .A
10b . A+B=B+A
11a . A .(B .C)=(A .B).C=A .B .C
11b . A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C
12a . A .(B+C)=A .B+A .C
12b . A+(B .C)=(A+B).(A+C)
(A+B).(A+C)=A+(B .C)
 8 
Regras da Álgebra de Boole
1. Absorção
2. Adjacência lógica
3. Consenso
Fundamentos de Lógica
13a . A+A .B=A
13b . A .(A+B)=A
14a . A+A .B=A+B
14b . A .(A+B)=A.B
15a . A .B+A .B=A
15b . (A+B).(A+B)=A
16a . A .B+A .C+B .C=A .B+A.C
16b . (A+B).(A+C).(B+C)=(A+B).(A+C)
 9 
Regras da Álgebra de Boole
1. Absorção - Prova
Fundamentos de Lógica
13a . A+A .B=A
13a . A .1+A .B=A
13a . A .(1+B)=A
13a . A .1=A
13a . A=A
13b . A .(A+B)=A
13b . (A+0).(A+B)=A
13b . A+(0.B)=A
13b . A+0=A
13b . A=A
 10 
Regras da Álgebra de Boole
1. Absorção - Prova
Fundamentos de Lógica
14a . A+A .B=A+B
14a . (A+A).(A+B)=A+B
14a . 1.(A+B)=A+B
14a . A+B=A+B
14b . A .(A+B)=A.B
14b . A .A+A .B=A .B
14b . 0+A .B=A .B
14b . A .B=A.B
 11 
Regras da Álgebra de Boole
1. Adjacência lógica - Prova
Fundamentos de Lógica
15a . A .B+A .B=A
15a . A .(B+B)=A
15a . A .1=A
15a . A=A
15b . (A+B).(A+B)=A
15b . A+(B .B)=A
15b . A+0=A
15b . A=A
 12 
Regras da Álgebra de Boole
1. Consenso - Prova
Fundamentos de Lógica
16a . A .B+A .C+B .C=A .B+A.C
16a . A .B+A .C+B .C .(A+A)=A .B+A.C
16a . A .B+A .C+B .C .A+B .C .A=A.B+A .C
16a . A .B+A .B .C+A .C+A .C .B=A.B+A .C
16a . A .B .(1+C)+A.C .(1+B)=A .B+A .C
16a . A .B .1+A.C .1=A .B+A.C
16a . A .B+A .C=A.B+A.C
 13 
Regras da Álgebra de Boole
1. Consenso - Prova
Fundamentos de Lógica
16b . (A+B).(A+C).(B+C)=(A+B).(A+C)
16b . (A+B).(A+C).((B+C)+A. A)=(A+B).(A+C)
16b . (A+B).(A+C).(B+C+A).(B+C+A)=(A+B).(A+C)
16b . (A+B).(A+B+C).(A+C).(A+C+B)=(A+B).(A+C)
16b . ((A+B)+(0.C)).(A+C)+(0.B)=(A+B).(A+C)
16b . (A+B+0).(A+C+0)=(A+B).(A+C)
16b . (A+B).(A+C)=(A+B).(A+C)
 14 
Regras da Álgebra de Boole
1. Teorema de DeMorgan
Fundamentos de Lógica
17a . A .B=A+B
17b . A+B=A.B
 15 
Teoremas de De Morgan
Usados para simplificar expressões booleanas
0
1
0
1
B
0
0
1
1
A
0
1
1
1
A.B
011
101
110
100
A+BBA
Saídas Iguais
1o Teorema: 
Complemento do Produto é igual à Soma dos Complementos
Prova
Fundamentos de Lógica
A .B=AB
 16 
Teoremas de DeMorgan
Usados para simplificar expressões booleanas
Fundamentos de Lógica
2o Teorema: 
Complemento do Soma é igual ao Produto dos Complementos
AB=A .B
 17 
Prove o 2o Teorema de DeMorgan
Exercício
 18 
Prova do 2o Teorema:
0
0
0
1
A+B
0
1
0
1
B
0
0
1
1
A
1
1
1
0
A+B
011
001
010
100
A.BBA
Saídas Iguais
Prova
Solução
2o Teorema: 
Complemento do Soma é igual ao Produto dos Complementos
AB=A .B
 19 
Expressões Boolenas
Todo circuito lógico executa uma expressão booleana
Exemplo: Obter a expressão do circuito abaixo
S=(A.B)+C
S1=A.B
S=S1+C
A
B
C
S 1
S
Expressão Final
Fundamentos de Lógica
 20 
Expressões Boolenas
Obtenha a expressão booleana a partir do circuito lógico
A
B
C
D
S
Circuito 1:
Exercícios
 21 
Expressões Boolenas
Obtenha a expressão booleana a partir do circuito lógico
A
B
C
D
S
Circuito 2:
Exercícios
 22 
Expressões Boolenas
Obtenha a expressão booleana a partir do circuito lógico
Circuito 3:
A
B
C
D
S
Exercícios
 23 
Expressões Boolenas
Obtenha a expressão booleana a partir do circuito lógico
Circuito 4:
A
B
C
D
S
Exercícios
 24 
Expressões Boolenas
Obtenha a expressão booleana a partir do circuito lógico
A
B
C
D
S
Circuito 1:
A+B
C+D
S=(A+B).(C+D)
Expressão Final
Soluções
 25 
Expressões Boolenas
Obtenha a expressão booleana a partir do circuito lógico
A
B
C
D
S
Circuito 2:
A.B
C.D
C
S=(A.B)+C+(C.D)
Expressão Final
Soluções
 26 
Expressões Boolenas
Obtenha a expressão booleana a partir do circuito lógico
Circuito 3:
A
B
C
D
S
A.B
B.C
B+D
S= (A.B).(B.C).(B+D)
Expressão Final
Soluções
 27 
Expressões Boolenas
Obtenha a expressão booleana a partir do circuito lógico
Circuito 4:
A
B
C
D
S
A.B
A.B
C+D
A.B+A.B+C
S= [(A.B) +(A.B) +C].(C+D)
Expressão Final
Soluções
 28 
Até aqui: 
Obtemos a expressão booleana a partir do circuito
Próximos passos:
-Obter o circuito lógico a partir da expressão
-Obter a tabela verdade a partir da expressão
-Obter a expressão a partir da tabela verdade
Fundamentos de Lógica
 29 
Obter Circuito Lógico a partir da Expressão
Método: Identificar as portas lógicas na expressão e 
desenhá-las com as respectivas ligações
Exemplo: obter o circuito que executa a expressão 
S=(A+B).C.(B+D)
Fundamentos de Lógica
 30 
Obter Circuito Lógico a partir da Expressão
Solução:
S=(A+B).C.(B+D)
1
3
2
1
3
2
A
B S1
B
D S2
S1S2
C
S
Circuito Obtido
A
B
C
D
S
S 1
S 2
Fundamentos de Lógica
 31 
Obter os circuitos que executam as seguintes 
expressões booleanas:
1. S=A.B.C+(A+B).C
2. S=[(A+B)+(C.D)].D
3. S=[(A.B)+(C.D)].E+A.(A.D.E+C.D.E)
Exercícios
 32 
Obter os circuitos que executam as seguintes 
expressões booleanas:
1. S=A.B.C+(A+B).C
S 4
S 1
S 3
Circuito Obtido
A
B
C
S 2
S 3
S 1 S
A
B
C
S 1
A
B
C
B
A S 2
A
B
C
S 2
S 3
1 2
3
4
1
2
3
4
Soluções
 33 
Obter os circuitos que executam as seguintes 
expressões booleanas:
2. S=[(A+B)+(C.D)].D
A
B
S 1
C
D
S 2
S 1
S 2
S 3
1 2
3
4
1
2
3
4
D S 4
S 3
Soluções
 34 
Obter os circuitos que executam as seguintes 
expressões booleanas:
2. S=[(A+B)+(C.D)].D
Circuito Obtido
A A B B C C D D
S 1
S 2
S 3
S
Soluções
 35 
Obter os circuitos queexecutam as seguintes 
expressões booleanas:
3. S=[(A.B)+(C.D)].E+A.(A.D.E+C.D.E)
A
B
S 1
A
D
S 3
E
D S 2
C
S 4
C
D
E
S 1
S 2
S 5
S 3
S 4
S 6
1 2 3 4
5 6
1
2
3
4
5
6
Soluções
 36 
1 2 3 4
5 6
Obter os circuitos que executam as seguintes 
expressões booleanas:
3. S=[(A.B)+(C.D)].E+A.(A.D.E+C.D.E)
7
8
7
8
9
9
S 5
E S 7
S 6
A
S 8
S 7
S 8
S 9
Soluções
 37 
Obter os circuitos que executam as seguintes 
expressões booleanas:
3. S=[(A.B)+(C.D)].E+A.(A.D.E+C.D.E)
Circuito Obtido
A A B B C C D D E E
S 1
S 2
S 3
S 4
S 5
S 6
S 7
S 8
S
Soluções
 38 
• Obter circuito a partir da expressão: ExercíciosObter circuito a partir da expressão: Exercícios
• Obter a tabela verdade a partir da expressãoObter a tabela verdade a partir da expressão
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Resumo
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