Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL - CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA ÁREA DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA – DISCIPLINA: Álgebra Linear Prova 3 – VALOR: 10,0 PERÍODO LETIVO: 14.2 – PROFESSORA: Vânia Maria Pinheiro Slaviero Data: _________ Turma: __________ NOME: O desenvolvimento pode ser feito a lápis e as respostas devem ser destacadas com caneta no final de cada questão. Não rasure. Sistemas só podem ser resolvidos por escalonamento. Boa prova! 1) (3,0) Considere a transformação linear f : R5→R3 dada por f (x, y, z, s, t) = (x + 2y + z – 3s + 4t, 2x + 5y + 4z – 5s + 5t, x + 4y + 5z – s – 2t) Chamamos de Núcleo de uma transformação linear f (Nu(f)) ao conjunto de todos os vetores do domínio que tem imagem nula. a) Qual é o domínio e o contradomínio da f ? D(f) = R5 e CD(f) = R3 b) O vetor u = (3, 2, 1, 0, -1) pertence ao Nu(f) ? Não, pois f(u) = f(3, 2, 1, 0, -1) = (8, 15, 18) ≠ (0, 0, 0) c) O vetor (-1, 2, 1) pertence ao conjunto Imagem de f ? A imagem é gerada pelo conjunto de vetores {(1, 2, 1), (2, 5, 4), (1, 4, 5), (-3, -5, -1), (4, 5, -2)} Este vetor pertence à Im(f) se for uma combinação linear dos vetores que geram a imagem. Então, vamos resolver o sistema : �1 2 12 5 41 4 5 −3 4 −1−5 5 2−1 −2 1 ≈ � 1 2 10 1 20 0 0 −3 4 −11 −3 40 0 −6 Sistema impossível. O vetor dado não pertence à Imagem de f. Daqui já podemos concluir que Im(f) ≠ R3, o que facilita no item e). d) Determine o Nu(f ), uma base e sua dimensão. f (x, y, z, s, t) = (0, 0, 0) � (x + 2y + z – 3s + 4t, 2x + 5y + 4z – 5s + 5t, x + 4y + 5z – s – 2t) = (0, 0, 0) Resolvendo o sistema : �1 2 12 5 41 4 5 −3 4 0−5 5 0−1 −2 0 ≈ � 1 2 10 1 20 0 0 −3 4 01 −3 00 0 0 SPI, onde x = 3z+5s-10t e y = -2z –s+3t Nu(f) = {(3z+5s-10t, -2z –s+3t, z, s, t)} Achando geradores : (3z+5s-10t, -2z –s+3t, z, s, t) = z(3, -2, 1, 0, 0) + s (5, -1, 0, 1, 0) + t(-10, 3, 0, 0, 1) Os vetores encontrados são l.i (verifique). Como geram e são l.i formam uma base do Nu(f). Assim, uma base de Nu(f) = {(3, -2, 1, 0, 0), (5, -1, 0, 1, 0), (-10, 3, 0, 0, 1)} e dim Nu(f) = 3. e) Determine a Im(f ), uma base e sua dimensão. Pelo item d) vemos que a imagem contém apenas 2 vetores l.i (vejam elementos líderes assinalados). Então, a imagem é um plano em R3. A equação do plano pode ser encontrada fazendo �1 2 12 5 4 � �� = 0. Assim, Im(f) = ((x, y, z)/ 3x -2y + z = 0}. Uma base da Im(f) = {(1, 2, 1), (2, 5, 4)} e dim Im(f) = 2. 2) (1,0 + 1,0 + 0,5) Uma transformação linear T: R2→R2 é obtida através da seguinte sequência de transformações sobre vetores do seu domínio: T1: dilatação de fator 2 na direção do vetor; T2: reflexão em torno da reta y = -x; T3: cisalhamento vertical de fator -2. Encontre: a) A matriz [Ti] de cada uma das transformações da sequência; [T1] = �� �� ��; [T2] = � � −�−� � �; [T3] = � � �−� �� b) A matriz [T] que representa a sequência das transformações; [T] = [T3][T2][T1] = � � −�−� � � c) A imagem do vetor u = �−52 � pela T. � 0 −2−2 4 � �−52 � = �−418� 3) (2,5) Considere o operador linear T: R3→R3, definido por: T(x, y, z) = (x + y + z, 2y + z, 2y + 3z). a) Encontre os autovalores e um representante dos autovetores associados a cada autovalor; Autovalores: λλλλ1 = λλλλ2 = 1 e λλλλ3 = 4; v12 = (x, -z, z) = x(1, 0, 0) + z(0, -1, 1) e v3 = (y, y, 2y) = y( 1, 1, 2). Autovetores: v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, -1, 1) e v3 = (1, 1, 2). b) O operador é diagonalizável? Justifique. Sim, pois existe uma base ββββ ={(1, 0, 0), (0, -1, 1), (1, 1, 2)} de R3, formada pelos autovetores de T. 4) (2,0) Os pontos A(2, -1), B(6, 1) são vértices de um triângulo equilátero. Calcule as coordenadas do vértice C. Se houver duas possibilidades, calcule as duas. Faça o gráfico do(s) triângulo(s). AB = B – A = (4, 2); AC = C – A = (x - 2, y + 1); AC’ = C’ – A = (x’ - 2, y’ + 1); 1) R600 (AB) = AC ���� � �� − √��√�� �� � � 42� = � − 2� + 1� � C(4 - √�, 2√�) 2) R3000 (AB) = AC’ ���� � �� √�� √�� �� � � 42� = � ′ − 2�′ + 1� � C’(4 + √�, -2√�) Transformações no plano Reflexões: em relação ao eixo dos xx: (x, y)a (x, – y) em relação ao eixo dos yy: (x, y)a (– x, y) em relação à reta y = x: (x, y)a (y, x) em relação à reta y = – x: (x, y)a (– y, – x) Projeções: sobre o eixo dos xx: (x, y)a (x, 0) sobre o eixo dos yy: (x, y)a (0, y) Dilatações ou Contrações: na direção do vetor (α ∈ R*): (x, y)a (αx, αy) na direção do eixo dos xx : (x, y)a (αx, y) na direção do eixo dos yy : (x, y)a (x, αy) Cisalhamentos: na direção do eixo dos xx: (x, y)a (x + αy, y) na direção do eixo dos yy: (x, y)a (x, αx + y) Rotação de um ângulo θθθθ no sentido anti-horário: Rθ(x, y) = (x cos θ – y sen θ, x sen θ + y cos θ )
Compartilhar