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Prova 3 Álgebra Linear

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UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL - CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
ÁREA DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA – DISCIPLINA: Álgebra Linear 
 Prova 3 – VALOR: 10,0 
PERÍODO LETIVO: 14.2 – PROFESSORA: Vânia Maria Pinheiro Slaviero 
 Data: _________ Turma: __________ 
NOME: 
O desenvolvimento pode ser feito a lápis e as respostas devem ser destacadas com caneta no final de 
cada questão. Não rasure. Sistemas só podem ser resolvidos por escalonamento. Boa prova! 
 
1) (3,0) Considere a transformação linear f : R5→R3 dada por 
 f (x, y, z, s, t) = (x + 2y + z – 3s + 4t, 2x + 5y + 4z – 5s + 5t, x + 4y + 5z – s – 2t) 
Chamamos de Núcleo de uma transformação linear f (Nu(f)) ao conjunto de todos os vetores do domínio que 
tem imagem nula. 
a) Qual é o domínio e o contradomínio da f ? D(f) = R5 e CD(f) = R3 
b) O vetor u = (3, 2, 1, 0, -1) pertence ao Nu(f) ? 
Não, pois f(u) = f(3, 2, 1, 0, -1) = (8, 15, 18) ≠ (0, 0, 0) 
c) O vetor (-1, 2, 1) pertence ao conjunto Imagem de f ? 
A imagem é gerada pelo conjunto de vetores {(1, 2, 1), (2, 5, 4), (1, 4, 5), (-3, -5, -1), (4, 5, -2)} Este vetor 
pertence à Im(f) se for uma combinação linear dos vetores que geram a imagem. Então, vamos resolver o 
sistema : �1 2 12 5 41 4 5			
−3 4 −1−5 5 2−1 −2 1 	 ≈ �
1 2 10 1 20 0 0			
−3 4 −11 −3 40 0 −6	 Sistema impossível. O vetor dado não 
pertence à Imagem de f. Daqui já podemos concluir que Im(f) ≠ R3, o que facilita no item e). 
d) Determine o Nu(f ), uma base e sua dimensão. 
f (x, y, z, s, t) = (0, 0, 0) � (x + 2y + z – 3s + 4t, 2x + 5y + 4z – 5s + 5t, x + 4y + 5z – s – 2t) = (0, 0, 0) 
Resolvendo o sistema : 
�1 2 12 5 41 4 5			
−3 4 0−5 5 0−1 −2 0	≈ �
1 2 10 1 20 0 0			
−3 4 01 −3 00 0 0	 SPI, onde x = 3z+5s-10t e y = -2z –s+3t 
Nu(f) = {(3z+5s-10t, -2z –s+3t, z, s, t)} 
Achando geradores : (3z+5s-10t, -2z –s+3t, z, s, t) = z(3, -2, 1, 0, 0) + s (5, -1, 0, 1, 0) + t(-10, 3, 0, 0, 1) 
Os vetores encontrados são l.i (verifique). Como geram e são l.i formam uma base do Nu(f). Assim, uma 
base de Nu(f) = {(3, -2, 1, 0, 0), (5, -1, 0, 1, 0), (-10, 3, 0, 0, 1)} e dim Nu(f) = 3. 
e) Determine a Im(f ), uma base e sua dimensão. 
Pelo item d) vemos que a imagem contém apenas 2 vetores l.i (vejam elementos líderes assinalados). Então, 
a imagem é um plano em R3. A equação do plano pode ser encontrada fazendo �1 2 12 5 4
 � �� = 0. Assim, 
Im(f) = ((x, y, z)/ 3x -2y + z = 0}. Uma base da Im(f) = {(1, 2, 1), (2, 5, 4)} e dim Im(f) = 2. 
 
2) (1,0 + 1,0 + 0,5) Uma transformação linear T: R2→R2 é obtida através da seguinte sequência 
de transformações sobre vetores do seu domínio: T1: dilatação de fator 2 na direção do vetor; T2: reflexão 
em torno da reta y = -x; T3: cisalhamento vertical de fator -2. Encontre: 
a) A matriz [Ti] de cada uma das transformações da sequência; 
[T1] = �� �� ��; [T2] = � � −�−� � �; [T3] = � � �−� �� 
b) A matriz [T] que representa a sequência das transformações; 
[T] = [T3][T2][T1] = � � −�−� � � 
c) A imagem do vetor u = �−52 � pela T. � 0 −2−2 4 � �−52 � = �−418� 
 
 
3) (2,5) Considere o operador linear T: R3→R3, definido por: 
T(x, y, z) = (x + y + z, 2y + z, 2y + 3z). 
a) Encontre os autovalores e um representante dos autovetores associados a cada autovalor; 
Autovalores: λλλλ1 = λλλλ2 = 1 e λλλλ3 = 4; v12 = (x, -z, z) = x(1, 0, 0) + z(0, -1, 1) e v3 = (y, y, 2y) = y( 1, 1, 2). 
Autovetores: v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, -1, 1) e v3 = (1, 1, 2). 
b) O operador é diagonalizável? Justifique. 
Sim, pois existe uma base ββββ ={(1, 0, 0), (0, -1, 1), (1, 1, 2)} de R3, formada pelos autovetores de T. 
 
4) (2,0) Os pontos A(2, -1), B(6, 1) são vértices de um triângulo equilátero. Calcule as 
coordenadas do vértice C. Se houver duas possibilidades, calcule as duas. Faça o gráfico do(s) triângulo(s). 
 
 
 
AB = B – A = (4, 2); AC = C – A = (x - 2, y + 1); AC’ = C’ – A = (x’ - 2, y’ + 1); 
1) R600 (AB) = AC ���� � �� − √��√�� �� � �
42� = �
 − 2� + 1� � C(4 - √�, 2√�) 
2) R3000 (AB) = AC’ ���� � �� √�� √�� �� � �
42� = �
′ − 2�′ + 1� � C’(4 + √�, -2√�) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformações no plano 
Reflexões: 
em relação ao eixo dos xx: (x, y)a (x, – y) em relação ao eixo dos yy: (x, y)a (– x, y) 
em relação à reta y = x: (x, y)a (y, x) em relação à reta y = – x: (x, y)a (– y, – x) 
Projeções: 
sobre o eixo dos xx: (x, y)a (x, 0) sobre o eixo dos yy: (x, y)a (0, y) 
Dilatações ou Contrações: 
na direção do vetor (α ∈ R*): (x, y)a (αx, αy) 
na direção do eixo dos xx : (x, y)a (αx, y) na direção do eixo dos yy : (x, y)a (x, αy) 
Cisalhamentos: 
na direção do eixo dos xx: (x, y)a (x + αy, y) na direção do eixo dos yy: (x, y)a (x, αx + y) 
Rotação de um ângulo θθθθ no sentido anti-horário: Rθ(x, y) = (x cos θ – y sen θ, x sen θ + y cos θ )

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