Prova 2 Álgebra Linear

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UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL - CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
ÁREA DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA – DISCIPLINA: Álgebra Linear 
 Prova 2 – VALOR: 10,0 
PERÍODO LETIVO: 14.2 – PROFESSORA: Vânia Maria Pinheiro Slaviero 
 Data: _________ Turma: __________ 
NOME: 
O desenvolvimento pode ser feito a lápis e as respostas devem ser destacadas com caneta no final de 
cada questão. Não rasure. Sistemas só podem ser resolvidos por escalonamento. Boa prova! 
 
1. a) Defina a equação (na origem) do subconjunto gerado pelos vetores (0, 0, 0) e (-1, -1, -3) em 3. 
Geometricamente, que subconjunto foi gerado? 
Como os vetores são múltiplos eles geram uma reta em R3. Equações reduzidas: y = x e z = 3x. 
 
b) Defina a equação (na origem) do subconjunto gerado pelos vetores (-2, -1, 1) e (2, -1, -1) em 3. 
Geometricamente, que subconjunto foi gerado? 
Como os vetores não são múltiplos eles geram um plano. A equação do plano pode ser obtida pela condição 
de que o produto misto é igual 0 (V = 0). Desenvolvendo o determinante, temos a equação do plano: 
x + 2z = 0. 
 
2. O conjunto W de todos os vetores da forma ൦ 2ݔ + ݕ7ݔ − ݕ−3ݔ − ݕ3ݔ − 3ݕ൪ é um subespaço vetorial de 4. 
a) Encontre um conjunto de vetores l.i. que gera o subespaço W. 
{(2, 7, -3, 3), (1, -1, -1, -3)} 
 
b) O conjunto encontrado na letra a) é uma base de W? Explique. 
 
Sim, pois os vetores geram W e são l.i. 
 
c) Qual é a dimensão do subespaço W? Explique. 
dimW = 2, pois é o número de vetores de uma base de W. 
 
d) Verifique se 
3
6
4
0
W
 
 
  
 
 
 
v . 
 
Verificando, através de sistema linear, se v é combinação linear dos vetores de W, chegamos a um SPD. Assim, vW. 
 
 
3. Escreva: (mostre que tua resposta atende as condições solicitadas) 
a) Dois vetores em 3 que geram a reta y = 2x e z = -x: 
Basta dar 2 valores quaisquer para x para encontrar os vetores solicitados. Por exemplo: (1, 2, -1) e (2, 4, -2) 
 
b) Três vetores que formam uma base para o 3 sem componentes nulas: 
Aqui cada um terá um resultado. O importante é que sejam 3 vetores l.i. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Os vetores abaixo são u e v, sendo u o maior em módulo e v o menor. Cada quadradinho tem 1 unidade de lado. 
a) Represente geometricamente, pela regra do paralelogramo, o vetor w = -1,5u + 2v; 
 
b) Determine as coordenadas dos vetores u, v e w, sabendo que são vetores do plano cartesiano, com origem na 
origem (0, 0) do sistema. 
 
 
 
u = (-2, 3); v = (2, 2); w = (7, -1/2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Verifique que as colunas da matriz dada formam um conjunto de vetores {a1, a2, a3} l.d. e escreva um dos vetores 
do conjunto como combinação linear dos demais (tentativas não serão aceitas). 
቎
3 4 9
−2 −7 −191 2 50 2 6 ቏ 
Basta mostrar que o vetor a3 é combinação linear de a1 e a2 (logo são l.d) e extrair os valores da combinação linear do 
sistema SPD. 
a3 = - a1 + 3a2 
 
 
 
 
 
 w