fisica 3 ufrj P2 2015 2

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Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2015/2 – Segunda Prova: 17/02/2016
Versa˜o: A
Formula´rio
~Fm = q~v × ~B , d ~Fm = Id~`× ~B ,
∮
S
~B · d ~A = 0 , d ~B = µ0
4pi
Id~`× Rˆ
R2
, 1 + tan2 θ = sec2 θ , d(tan θ) = sec2 θdθ
∮
C
~B·d~`= µ0Ienc+µ0�0dΦE
dt
, Eind = −dΦB
dt
, B = µ0nI , ΦB = LI , uB =
1
2
B2
µ0
,
∫
dx
(x2 + u2)3/2
=
1
u2
x√
x2 + u2
,
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. Um fio cil´ındrico de ouro, com resistividade ρ, compri-
mento L e a´rea da sec¸a˜o transversal A = pir2, e´ usado
em um circuito fechado submetido a uma d.d.p. fixa V .
Um fabricante de componentes eletroˆnicos deseja quadru-
plicar a corrente neste circuito, mantendo L constante e
variando apenas o raio r. Qual das opc¸o˜es abaixo resolve
este problema?
(a) reduzir o raio por 1/4
(b) reduzir o raio por 1/2
(c) reduzir o raio por 1/
√
2
(d) aumentar o raio em
√
2
(e) aumentar o raio em 2
(f) aumentar o raio em 4
2. Usando a lei de Ampe`re, calcule a circulac¸a˜o, ΓCiB , do
campo magne´tico, ~B, gerado pelos 12 (doze) fios infini-
tos mostrados na figura, ao longo de cada uma das curvas,
Ci=1,2,3,4, ou C1, C2, C3, C4. Cada fio carrega uma cor-
rente uniforme e estaciona´ria, I, sendo 6 (seis) na direc¸a˜o
e sentido de kˆ, representados por um ponto, enquanto os
outros 6 (seis) esta˜o no sentido oposto, sentido de −kˆ,
representados por um X.
(a) ΓC1B = 10µ0I, Γ
C2
B = 3µ0I, Γ
C3
B = 3µ0I, Γ
C4
B =
2µ0I
(b) ΓC1B = 0, Γ
C2
B = −3µ0I, ΓC3B = −µ0I, ΓC4B = 2µ0I
(c) ΓC1B = 0, Γ
C2
B = 3µ0I, Γ
C3
B = µ0I, Γ
C4
B = −2µ0I
(d) ΓC1B = 0, Γ
C2
B = −3µ0I, ΓC3B = −µ0I, ΓC4B = 0
(e) ΓC1B = 0, Γ
C2
B = −3µ0I, ΓC3B = µ0I, ΓC4B = −2µ0I
1
3. Considere os treˆs fios, I, II e III, mostrados
na figura, na presenc¸a de um campo magne´tico
uniforme pore´m na˜o estacionaa´rio, ~B(t) = B(t)kˆ. Os fios
I e II sa˜o feitos de cobre (um condutor), sendo que o fio
I e´ uma espira fechada e o fio II e´ uma espira aberta (ver
figura), enquanto que o fio III e´ uma espira fechada feita
de fibra de vidro (um isolante). Indique a u´nica afirmativa
correta sobre a F.E.M., ε, e corrente, I, induzidas.
OBS: despreze qualquer efeito de capacitaˆncia e auto-
indutaˆncia nessa questa˜o.
(a) εI 6= 0 e II 6= 0, εII 6= 0 e III 6= 0, εIII 6= 0 e
IIII 6= 0
(b) εI 6= 0 e II 6= 0, εII 6= 0 e III = 0, εIII 6= 0 e
IIII 6= 0
(c) εI 6= 0 e II 6= 0, εII 6= 0 e III = 0, εIII 6= 0 e
IIII = 0
(d) εI 6= 0 e II 6= 0, εII = 0 e III = 0, εIII = 0 e
IIII = 0
(e) εI 6= 0 e II = 0, εII 6= 0 e III = 0, εIII 6= 0 e
IIII = 0
(f) εI = 0 e II = 0, εII = 0 e III = 0, εIII = 0 e
IIII = 0
4. A figura mostra dois fios condutores retil´ıneos, muito lon-
gos, paralelos entre si e separados por uma distaˆncia d.
Eles conduzem correntes I1 e I2, respectivamente. Qual a
forc¸a magne´tica por unidade de comprimento ~f12 que o fio
1 exerce sobre o fio 2?
z
x
y
I1
I2
(a) ~f12 =
µ0 I1 I2
2pi d xˆ.
(b) ~f12 = −µ0 I1 I22pi d xˆ.
(c) ~f12 = −µ0 I
2
1
2pi d xˆ.
(d) ~f12 =
µ0 I1 I2
2pi d yˆ.
(e) ~f12 =
µ0 I21
2pi d yˆ.
5. Em um alternador (uma espira retangular que gira em
torno de um de seus eixos de simetria), o fluxo magne´tico
como func¸a˜o do tempo t e´ dado por ΦB(t) = Φ0 cos(ω t),
onde ω e´ a velocidade angular do alternador e Φ0 e´ um
fluxo positivo e constante. Qual sera´ a fem mı´nima Emin
induzida no alternador e para que tempos tmin esta sera´
atingida?
(a) Emin = −ωΦ0 e ωtmin = pi, 3pi, 5pi . . .
(b) Emin = ωΦ0 e ωtmin = 32pi, 72pi, 112 pi . . ..
(c) Emin = −ωΦ0 e ωtmin = 32pi, 72pi, 112 pi . . ..
(d) Emin = −Φ0 e ωtmin = pi, 3pi, 5pi . . ..
(e) Emin = −Φ0 e ωtmin = 32pi, 72pi, 112 pi . . ..
6. Uma corrente I, uniforme e estaciona´ria, atravessa um
solenoide de comprimento L, muito grande, e com n vol-
tas por unidade de comprimento. Este solenoide e´ enta˜o
comprimido para um novo comprimento L/2, ainda con-
siderado muito grande, de modo que o nu´mero de voltas
por unidade de comprimento dobra. Qual o mo´dulo do
campo magne´tico, ~B, no interior do solenoide?
(a) |~B| = µ0nI2
(b) |~B| = µ0nI
(c) |~B| = 2µ0nI
(d) |~B| = 4µ0n2I
(e) |~B| = µ0n2I4
(f) |~B| = 0
2
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2,4 + 3,4 = 5,8 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,4 pontos]
(a) Considere um segmento de fio retil´ıneo de comprimento L, percorrido por uma corrente I; veja a Fig.1 a). Mostre que
o campo magne´tico, ~B, em um ponto P situado a uma distaˆncia s, perpendicular a seu ponto me´dio, e´ dado por
~B =
µ0I
2pi
L
s
√
L2 + 4s2
ϕˆ,
onde ϕˆ e´ o vetor unita´rio tangente aos c´ırculos conceˆntricos com o eixo do fio, orientados de modo que o sentido de zˆ
coincida com o da corrente. [1,2 pontos]
(b) Uma espira quadrada de lado a e´ percorrida por uma corrente I, como indica a Fig.1 b). Determine o campo magne´tico
~B no ponto Q, situado no eixo que passa pelo centro da espira, O, a uma distaˆncia z deste centro; veja a Fig. 1.
OBS: voceˆ pode usar o resultado anterior, mesmo que na˜o tenha conseguido demonstra´-lo no ı´tem (a). [0,8 ponto]
(c) Para a espira do item anterior, considere o caso em que z � a. Encontre o campo ~B nesse limite e o expresse em termos
de uma relac¸a˜o vetorial com o momento magne´tico da espira, ~µ. [0.4 ponto]
P
s
I
L
Fig. 1 a)
Q
z
I
a
Fig. 1 b)
O
2. [3,4 pontos] Um longo cabo coaxial consiste de um fio condutor interno de raio a, por onde flui uma corrente I; veja a Fig.2.
Conceˆntrico com este condutor ha´ uma casca condutora, de raio b e espessura desprez´ıvel, que conduz a mesma corrente
I, no sentido oposto ao do fio interno. Suponha inicialmente que a corrente no condutor interno esteja uniformemente
distribu´ıda pela a´rea de sua sec¸a˜o reta. Seja s a distaˆncia medida perpendicularmente ao eixo dos cilindros.
OBS: Ao responder aos itens abaixo, os argumentos de simetria devem ser cuidadosamente explicitados, assim como a
aplicac¸a˜o da(s) lei(s) necessa´ria(s). Saiba ainda que caso voceˆ use o mesmo argumento de simetria mais de uma vez, na˜o e´
necessa´rio explica´-lo novamente.
b
Fig. 2
I
I
Fig. 2 (visão em perspectiva)
(a) Determine o campo magne´tico ~B na regia˜o s < a. [1,2 pontos].
(b) Determine o campo magne´tico ~B na regia˜o a < s < b. [0,4 ponto]
(c) Determine o campo magne´tico ~B na regia˜o s > b. [0,4 ponto]
3
(d) Fac¸a um esboc¸o qualitativo de B(s) (i.e., do mo´dulo de ~B como func¸a˜o de s) que va´ desde s = 0 ate´ s > b. As
descontinuidades de B, se ocorrerem, devem ser realc¸adas. [0,8 ponto]
(e) Suponha agora que a densidade de corrente no condutor interno na˜o seja uniforme, mas que seja dada por j = j0s/a.
Qual a relac¸a˜o entre j0 e I? [0,6 pontos]
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. (e)
2. (d)
3. (c)
4. (a)
5. (c)
6. (c)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2,4 + 3,4 = 5,8 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
a) A Lei de Biot-Savart e´
d~B =
µ0I
4pi
d~`× rˆ
r2
(1)
onde, no caso em questa˜o, Id~`, r = |~r| e rˆ ≡ r/r esta˜o assinalados na figura.
P
s
L
z
R
dlIθ
Assim, com θ assinalado na figura,
d~`= dz zˆ ⇒ d~`× rˆ = dz sin θ ϕˆ, (2)
z = −s cot θ ⇒ dz = s csc2 θ dθ (3)
r2 = s2 + z2 = s2 csc2 θ. (4)
Com isto,
dB =
µ0I
4pi
s csc2 θ
s2 csc2 θ
sin θ =
µ0I
4pis
sin θ, (5)
de modo que
B =
µ0I
4pis
∫ pi−θ0
θ0
sin θ dθ =
µ0I
4pis
(2 cos θ0), (6)
com
cos θ0 =
L/2√
s2 + L2/4
. (7)
Finalmente,
~B =
µ0I
2pi
L/2
s
√
s2 + L2/4
ϕˆ ⇒ ~B = µ0I
2pi
L
s
√
L2 + 4s2
ϕˆ . (8)
b) Lados opostos geram campos magne´ticos cuja soma aponta na direc¸a˜o z; logo, basta trabalhar com a projec¸a˜oB1z para
cada fio. Do item anterior (fazendo L = a), tem-se
B1z =
µ0I
2pi
a
s
√
s2 + (a2/4)
cosα︸ ︷︷ ︸
=a/2s
=
µ0I
4pi
a2
2s2
√
s2 + (a2/4)
. (9)
Notando que s2 = z2 + a2/4 e que B = 4B1z, tem-se, finalmente,
~B =
4µ0Ia
2
pi(4z2 + a2)
√
4z2 + 2a2
zˆ . (10)
2
c) Tomando z � a, vem
~B ≈ µ0Ia
2
2piz3
zˆ =
µ0
2pi
~µ
z3
, (11)
correspondendo ao campo ao longo do eixo de um dipolo magne´tico de momento ~µ = Ia2zˆ.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Seja ~B = Bssˆ+Bϕϕˆ+Bz zˆ. Neste problema temos uma distribuic¸a˜o de corrente com simetria cil´ındrica, donde conclu´ımos
que ~B = Bs(s)sˆ+Bϕ(s)ϕˆ+Bz(s)zˆ, ou seja, que as componentes do campo magne´tico so´ dependem da coordenada radial.
Podemos mostrar que Bs = 0 trac¸ando uma superf´ıcie gaussiana cil´ındrica, coaxial ao cabo e de r < a, e usando o fato de
que
∫
S
~B · d~A = 0. Por simetria de translac¸a˜o no eixo Z, vemos que o fluxo nas 2 tampas se compensam, ou seja, o fluxo
na superf´ıcie lateral tem de se anular por si so´. Mas, pela simetria cil´ındrica, esse fluxo so´ e´ zero se o fluxo infinitesimal em
todos os pontos da superf´ıcie se anula, donde conclu´ımos que Bs = 0. Podemos ainda mostrar que Bz = 0 a partir da lei
de Biot-Savart: como toda a densidade de corrente do problema e´ paralela ao eixo Z, temos ~j × Rˆ ⊥ zˆ em toda a regia˜o de
integrac¸a˜o , e portanto Bz = 0.
Ficamos enta˜o com ~B = B(s)ϕˆ, donde prosseguiremos. Em vista da simetria cil´ındrica, e´ mais simples usar a Lei de Ampe`re
para calcularmos ~B. Em todas as regio˜es a circulac¸a˜o de ~B ao longo de c´ırculos de raio s, conceˆntricos com o eixo de simetria
(de modo que d~`= d` ϕˆ, e a projec¸a˜o B(s) e´ constante ao longo do c´ırculo), e´ dada por
ΓC ≡
∮
C
~B · d~`=
∮
C
Bd` = B
∮
d` = B2pis, (12)
(Esta expressa˜o para a circulac¸a˜o de ~B sera´ usada em todas as regio˜es.)
Na regia˜o 0 < s < a, a corrente [uniformemente distribu´ıda, com j = I/(pia2)] interna a` curva C e´
Iint = jpis
2 = I
s2
a2
, (13)
de modo que a Lei de Ampe`re fornece
ΓC = B2pis = µ0Iint = µ0I
s2
a2
⇒ ~B = µ0I
2pi
s
a2
ϕˆ . (14)
(b) Na regia˜o a < s < b, Iint = I, de modo que a Lei de Ampe`re fornece
ΓC = B2pis = µ0Iint = µ0i⇒ ~B = µ0I
2pis
ϕˆ . (15)
(c) Na regia˜o s > b, Iint = 0, de modo que a Lei de Ampe`re fornece
ΓC = B2pis = µ0Iint = 0⇒ ~B = 0 . (16)
B
sa b
0I
2 a
0I
2 b
Descontinuidade
 na casca
d)
3
Verifica-se a presenc¸a de uma descontinuidade, que ocorre sempre que a distribuic¸a˜o de correntes e´ superficial.
(e) Agora a corrente esta´ distribu´ıda na˜o uniformemente, pore´m ainda preservando a simetria cil´ındrica e a corrente total
I. O v´ınculo entre a corrente total e a densidade ~j = (j0s/a) zˆ e´
I =
∫
S
~j · d ~A︸︷︷︸
=2pisds zˆ
=
∫ a
0
j0
s
a
2pisds = 2pij0
a2
3
⇒ I = j0 2
3
pia2 . (17)
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2015/2 – Segunda Prova: 17/02/2016
Versa˜o: B
Formula´rio
~Fm = q~v × ~B , d ~Fm = Id~`× ~B ,
∮
S
~B · d ~A = 0 , d ~B = µ0
4pi
Id~`× Rˆ
R2
, 1 + tan2 θ = sec2 θ , d(tan θ) = sec2 θdθ
∮
C
~B·d~`= µ0Ienc+µ0�0dΦE
dt
, Eind = −dΦB
dt
, B = µ0nI , ΦB = LI , uB =
1
2
B2
µ0
,
∫
dx
(x2 + u2)3/2
=
1
u2
x√
x2 + u2
,
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. Em um alternador (uma espira retangular que gira em
torno de um de seus eixos de simetria), o fluxo magne´tico
como func¸a˜o do tempo t e´ dado por ΦB(t) = Φ0 cos(ω t),
onde ω e´ a velocidade angular do alternador e Φ0 e´ um
fluxo positivo e constante. Qual sera´ a fem mı´nima Emin
induzida no alternador e para que tempos tmin esta sera´
atingida?
(a) Emin = −ωΦ0 e ωtmin = pi, 3pi, 5pi . . .
(b) Emin = ωΦ0 e ωtmin = 32pi, 72pi, 112 pi . . ..
(c) Emin = −ωΦ0 e ωtmin = 32pi, 72pi, 112 pi . . ..
(d) Emin = −Φ0 e ωtmin = pi, 3pi, 5pi . . ..
(e) Emin = −Φ0 e ωtmin = 32pi, 72pi, 112 pi . . ..
2. Um fio cil´ındrico de ouro, com resistividade ρ, compri-
mento L e a´rea da sec¸a˜o transversal A = pir2, e´ usado
em um circuito fechado submetido a uma d.d.p. fixa V .
Um fabricante de componentes eletroˆnicos deseja quadru-
plicar a corrente neste circuito, mantendo L constante e
variando apenas o raio r. Qual das opc¸o˜es abaixo resolve
este problema?
(a) reduzir o raio por 1/4
(b) reduzir o raio por 1/2
(c) reduzir o raio por 1/
√
2
(d) aumentar o raio em
√
2
(e) aumentar o raio em 2
(f) aumentar o raio em 4
3. A figura mostra dois fios condutores retil´ıneos, muito lon-
gos, paralelos entre si e separados por uma distaˆncia d.
Eles conduzem correntes I1 e I2, respectivamente. Qual a
forc¸a magne´tica por unidade de comprimento ~f12 que o fio
1 exerce sobre o fio 2?
z
x
y
I1
I2
(a) ~f12 =
µ0 I1 I2
2pi d xˆ.
(b) ~f12 = −µ0 I1 I22pi d xˆ.
(c) ~f12 = −µ0 I
2
1
2pi d xˆ.
(d) ~f12 =
µ0 I1 I2
2pi d yˆ.
(e) ~f12 =
µ0 I21
2pi d yˆ.
1
4. Considere os treˆs fios, I, II e III, mostrados
na figura, na presenc¸a de um campo magne´tico
uniforme pore´m na˜o estacionaa´rio, ~B(t) = B(t)kˆ. Os fios
I e II sa˜o feitos de cobre (um condutor), sendo que o fio
I e´ uma espira fechada e o fio II e´ uma espira aberta (ver
figura), enquanto que o fio III e´ uma espira fechada feita
de fibra de vidro (um isolante). Indique a u´nica afirmativa
correta sobre a F.E.M., ε, e corrente, I, induzidas.
OBS: despreze qualquer efeito de capacitaˆncia e auto-
indutaˆncia nessa questa˜o.
(a) εI 6= 0 e II 6= 0, εII 6= 0 e III 6= 0, εIII 6= 0 e
IIII 6= 0
(b) εI 6= 0 e II 6= 0, εII 6= 0 e III = 0, εIII 6= 0 e
IIII 6= 0
(c) εI 6= 0 e II 6= 0, εII 6= 0 e III = 0, εIII 6= 0 e
IIII = 0
(d) εI 6= 0 e II 6= 0, εII = 0 e III = 0, εIII = 0 e
IIII = 0
(e) εI 6= 0 e II = 0, εII 6= 0 e III = 0, εIII 6= 0 e
IIII = 0
(f) εI = 0 e II = 0, εII = 0 e III = 0, εIII = 0 e
IIII = 0
5. Usando a lei de Ampe`re, calcule a circulac¸a˜o, ΓCiB , do
campo magne´tico, ~B, gerado pelos 12 (doze) fios infini-
tos mostrados na figura, ao longo de cada uma das curvas,
Ci=1,2,3,4, ou C1, C2, C3, C4. Cada fio carrega uma cor-
rente uniforme e estaciona´ria, I, sendo 6 (seis) na direc¸a˜o
e sentido de kˆ, representados por um ponto, enquanto os
outros 6 (seis) esta˜o no sentido oposto, sentido de −kˆ,
representados por um X.
(a) ΓC1B = 10µ0I, Γ
C2
B = 3µ0I, Γ
C3
B = 3µ0I, Γ
C4
B =
2µ0I
(b) ΓC1B = 0, Γ
C2
B = −3µ0I, ΓC3B = −µ0I, ΓC4B = 2µ0I
(c) ΓC1B = 0, Γ
C2
B = 3µ0I, Γ
C3
B = µ0I, Γ
C4
B = −2µ0I
(d) ΓC1B = 0, Γ
C2
B = −3µ0I, ΓC3B = −µ0I, ΓC4B = 0
(e) ΓC1B = 0, Γ
C2
B = −3µ0I, ΓC3B = µ0I, ΓC4B = −2µ0I
6. Uma corrente I, uniforme e estaciona´ria, atravessa um
solenoide de comprimento L, muito grande, e com n vol-
tas por unidade de comprimento. Este solenoide e´ enta˜o
comprimido para um novo comprimento L/2, ainda con-
siderado muito grande, de modo que o nu´mero de voltas
por unidade de comprimento dobra. Qual o mo´dulo do
campo magne´tico, ~B, no interior do solenoide?
(a) |~B| = µ0nI2
(b) |~B| = µ0nI
(c) |~B| = 2µ0nI
(d) |~B| = 4µ0n2I
(e) |~B| = µ0n2I4
(f) |~B| = 0
2
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2,4 + 3,4 = 5,8 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,4 pontos]
(a) Considere um segmento de fio retil´ıneo de comprimento L, percorrido por uma corrente I; veja a Fig.1 a). Mostre que
o campo magne´tico, ~B, em um ponto P situado a uma distaˆncia s, perpendicular a seu ponto me´dio, e´ dado por
~B =
µ0I
2pi
L
s
√
L2 + 4s2
ϕˆ,
onde ϕˆ e´ o vetor unita´rio tangente aos c´ırculos conceˆntricos com o eixo do fio, orientados de modo que o sentido de zˆ
coincida com o da corrente. [1,2 pontos]
(b) Uma espira quadrada de lado a e´ percorrida por uma correnteI, como indica a Fig.1 b). Determine o campo magne´tico
~B no ponto Q, situado no eixo que passa pelo centro da espira, O, a uma distaˆncia z deste centro; veja a Fig. 1.
OBS: voceˆ pode usar o resultado anterior, mesmo que na˜o tenha conseguido demonstra´-lo no ı´tem (a). [0,8 ponto]
(c) Para a espira do item anterior, considere o caso em que z � a. Encontre o campo ~B nesse limite e o expresse em termos
de uma relac¸a˜o vetorial com o momento magne´tico da espira, ~µ. [0.4 ponto]
P
s
I
L
Fig. 1 a)
Q
z
I
a
Fig. 1 b)
O
2. [3,4 pontos] Um longo cabo coaxial consiste de um fio condutor interno de raio a, por onde flui uma corrente I; veja a Fig.2.
Conceˆntrico com este condutor ha´ uma casca condutora, de raio b e espessura desprez´ıvel, que conduz a mesma corrente
I, no sentido oposto ao do fio interno. Suponha inicialmente que a corrente no condutor interno esteja uniformemente
distribu´ıda pela a´rea de sua sec¸a˜o reta. Seja s a distaˆncia medida perpendicularmente ao eixo dos cilindros.
OBS: Ao responder aos itens abaixo, os argumentos de simetria devem ser cuidadosamente explicitados, assim como a
aplicac¸a˜o da(s) lei(s) necessa´ria(s). Saiba ainda que caso voceˆ use o mesmo argumento de simetria mais de uma vez, na˜o e´
necessa´rio explica´-lo novamente.
b
Fig. 2
I
I
Fig. 2 (visão em perspectiva)
(a) Determine o campo magne´tico ~B na regia˜o s < a. [1,2 pontos].
(b) Determine o campo magne´tico ~B na regia˜o a < s < b. [0,4 ponto]
(c) Determine o campo magne´tico ~B na regia˜o s > b. [0,4 ponto]
3
(d) Fac¸a um esboc¸o qualitativo de B(s) (i.e., do mo´dulo de ~B como func¸a˜o de s) que va´ desde s = 0 ate´ s > b. As
descontinuidades de B, se ocorrerem, devem ser realc¸adas. [0,8 ponto]
(e) Suponha agora que a densidade de corrente no condutor interno na˜o seja uniforme, mas que seja dada por j = j0s/a.
Qual a relac¸a˜o entre j0 e I? [0,6 pontos]
4
Gabarito para Versa˜o B
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. (c)
2. (e)
3. (a)
4. (c)
5. (d)
6. (c)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2,4 + 3,4 = 5,8 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
a) A Lei de Biot-Savart e´
d~B =
µ0I
4pi
d~`× rˆ
r2
(1)
onde, no caso em questa˜o, Id~`, r = |~r| e rˆ ≡ r/r esta˜o assinalados na figura.
P
s
L
z
R
dlIθ
Assim, com θ assinalado na figura,
d~`= dz zˆ ⇒ d~`× rˆ = dz sin θ ϕˆ, (2)
z = −s cot θ ⇒ dz = s csc2 θ dθ (3)
r2 = s2 + z2 = s2 csc2 θ. (4)
Com isto,
dB =
µ0I
4pi
s csc2 θ
s2 csc2 θ
sin θ =
µ0I
4pis
sin θ, (5)
de modo que
B =
µ0I
4pis
∫ pi−θ0
θ0
sin θ dθ =
µ0I
4pis
(2 cos θ0), (6)
com
cos θ0 =
L/2√
s2 + L2/4
. (7)
Finalmente,
~B =
µ0I
2pi
L/2
s
√
s2 + L2/4
ϕˆ ⇒ ~B = µ0I
2pi
L
s
√
L2 + 4s2
ϕˆ . (8)
b) Lados opostos geram campos magne´ticos cuja soma aponta na direc¸a˜o z; logo, basta trabalhar com a projec¸a˜o B1z para
cada fio. Do item anterior (fazendo L = a), tem-se
B1z =
µ0I
2pi
a
s
√
s2 + (a2/4)
cosα︸ ︷︷ ︸
=a/2s
=
µ0I
4pi
a2
2s2
√
s2 + (a2/4)
. (9)
Notando que s2 = z2 + a2/4 e que B = 4B1z, tem-se, finalmente,
~B =
4µ0Ia
2
pi(4z2 + a2)
√
4z2 + 2a2
zˆ . (10)
2
c) Tomando z � a, vem
~B ≈ µ0Ia
2
2piz3
zˆ =
µ0
2pi
~µ
z3
, (11)
correspondendo ao campo ao longo do eixo de um dipolo magne´tico de momento ~µ = Ia2zˆ.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Seja ~B = Bssˆ+Bϕϕˆ+Bz zˆ. Neste problema temos uma distribuic¸a˜o de corrente com simetria cil´ındrica, donde conclu´ımos
que ~B = Bs(s)sˆ+Bϕ(s)ϕˆ+Bz(s)zˆ, ou seja, que as componentes do campo magne´tico so´ dependem da coordenada radial.
Podemos mostrar que Bs = 0 trac¸ando uma superf´ıcie gaussiana cil´ındrica, coaxial ao cabo e de r < a, e usando o fato de
que
∫
S
~B · d~A = 0. Por simetria de translac¸a˜o no eixo Z, vemos que o fluxo nas 2 tampas se compensam, ou seja, o fluxo
na superf´ıcie lateral tem de se anular por si so´. Mas, pela simetria cil´ındrica, esse fluxo so´ e´ zero se o fluxo infinitesimal em
todos os pontos da superf´ıcie se anula, donde conclu´ımos que Bs = 0. Podemos ainda mostrar que Bz = 0 a partir da lei
de Biot-Savart: como toda a densidade de corrente do problema e´ paralela ao eixo Z, temos ~j × Rˆ ⊥ zˆ em toda a regia˜o de
integrac¸a˜o , e portanto Bz = 0.
Ficamos enta˜o com ~B = B(s)ϕˆ, donde prosseguiremos. Em vista da simetria cil´ındrica, e´ mais simples usar a Lei de Ampe`re
para calcularmos ~B. Em todas as regio˜es a circulac¸a˜o de ~B ao longo de c´ırculos de raio s, conceˆntricos com o eixo de simetria
(de modo que d~`= d` ϕˆ, e a projec¸a˜o B(s) e´ constante ao longo do c´ırculo), e´ dada por
ΓC ≡
∮
C
~B · d~`=
∮
C
Bd` = B
∮
d` = B2pis, (12)
(Esta expressa˜o para a circulac¸a˜o de ~B sera´ usada em todas as regio˜es.)
Na regia˜o 0 < s < a, a corrente [uniformemente distribu´ıda, com j = I/(pia2)] interna a` curva C e´
Iint = jpis
2 = I
s2
a2
, (13)
de modo que a Lei de Ampe`re fornece
ΓC = B2pis = µ0Iint = µ0I
s2
a2
⇒ ~B = µ0I
2pi
s
a2
ϕˆ . (14)
(b) Na regia˜o a < s < b, Iint = I, de modo que a Lei de Ampe`re fornece
ΓC = B2pis = µ0Iint = µ0i⇒ ~B = µ0I
2pis
ϕˆ . (15)
(c) Na regia˜o s > b, Iint = 0, de modo que a Lei de Ampe`re fornece
ΓC = B2pis = µ0Iint = 0⇒ ~B = 0 . (16)
B
sa b
0I
2 a
0I
2 b
Descontinuidade
 na casca
d)
3
Verifica-se a presenc¸a de uma descontinuidade, que ocorre sempre que a distribuic¸a˜o de correntes e´ superficial.
(e) Agora a corrente esta´ distribu´ıda na˜o uniformemente, pore´m ainda preservando a simetria cil´ındrica e a corrente total
I. O v´ınculo entre a corrente total e a densidade ~j = (j0s/a) zˆ e´
I =
∫
S
~j · d ~A︸︷︷︸
=2pisds zˆ
=
∫ a
0
j0
s
a
2pisds = 2pij0
a2
3
⇒ I = j0 2
3
pia2 . (17)
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2015/2 – Segunda Prova: 17/02/2016
Versa˜o: C
Formula´rio
~Fm = q~v × ~B , d ~Fm = Id~`× ~B ,
∮
S
~B · d ~A = 0 , d ~B = µ0
4pi
Id~`× Rˆ
R2
, 1 + tan2 θ = sec2 θ , d(tan θ) = sec2 θdθ
∮
C
~B·d~`= µ0Ienc+µ0�0dΦE
dt
, Eind = −dΦB
dt
, B = µ0nI , ΦB = LI , uB =
1
2
B2
µ0
,
∫
dx
(x2 + u2)3/2
=
1
u2
x√
x2 + u2
,
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. Considere os treˆs fios, I, II e III, mostrados
na figura, na presenc¸a de um campo magne´tico
uniforme pore´m na˜o estacionaa´rio, ~B(t) = B(t)kˆ. Os fios
I e II sa˜o feitos de cobre (um condutor), sendo que o fio
I e´ uma espira fechada e o fio II e´ uma espira aberta (ver
figura), enquanto que o fio III e´ uma espira fechada feita
de fibra de vidro (um isolante). Indique a u´nica afirmativa
correta sobre a F.E.M., ε, e corrente, I, induzidas.
OBS: despreze qualquer efeito de capacitaˆncia e auto-
indutaˆncia nessa questa˜o.
(a) εI 6= 0 e II 6= 0, εII 6= 0 e III 6= 0, εIII 6= 0 e
IIII 6= 0
(b) εI 6= 0 e II 6= 0, εII 6= 0 e III = 0, εIII 6= 0 e
IIII 6= 0
(c) εI 6= 0 e II 6= 0, εII 6= 0 e III = 0, εIII 6= 0 e
IIII = 0
(d) εI 6= 0 e II 6= 0, εII = 0 e III = 0, εIII = 0 e
IIII = 0
(e) εI 6= 0 e II = 0, εII 6= 0 e III = 0, εIII 6= 0 e
IIII = 0
(f) εI = 0 e II = 0, εII = 0 e III = 0, εIII = 0 e
IIII = 0
2. Em um alternador (uma espira retangular que gira em
torno de um de seus eixos de simetria), o fluxo magne´tico
como func¸a˜o do tempo t e´ dado por ΦB(t) = Φ0 cos(ω t),
onde ω e´ a velocidade angular do alternador e Φ0 e´ um
fluxo positivo e constante. Qual sera´ a fem mı´nima Emin
induzida no alternador e para que tempos tmin esta sera´
atingida?
(a) Emin = −ωΦ0 e ωtmin = pi, 3pi, 5pi . . .
(b) Emin = ωΦ0 e ωtmin = 32pi, 72pi, 112 pi . . ..
(c) Emin = −ωΦ0 e ωtmin = 32pi, 72pi, 112 pi . . ..
(d) Emin = −Φ0 e ωtmin = pi, 3pi, 5pi . . ..
(e)Emin = −Φ0 e ωtmin = 32pi, 72pi, 112 pi . . ..
3. Um fio cil´ındrico de ouro, com resistividade ρ, compri-
mento L e a´rea da sec¸a˜o transversal A = pir2, e´ usado
em um circuito fechado submetido a uma d.d.p. fixa V .
Um fabricante de componentes eletroˆnicos deseja quadru-
plicar a corrente neste circuito, mantendo L constante e
variando apenas o raio r. Qual das opc¸o˜es abaixo resolve
este problema?
(a) reduzir o raio por 1/4
(b) reduzir o raio por 1/2
(c) reduzir o raio por 1/
√
2
(d) aumentar o raio em
√
2
(e) aumentar o raio em 2
(f) aumentar o raio em 4
1
4. A figura mostra dois fios condutores retil´ıneos, muito lon-
gos, paralelos entre si e separados por uma distaˆncia d.
Eles conduzem correntes I1 e I2, respectivamente. Qual a
forc¸a magne´tica por unidade de comprimento ~f12 que o fio
1 exerce sobre o fio 2?
z
x
y
I1
I2
(a) ~f12 =
µ0 I1 I2
2pi d xˆ.
(b) ~f12 = −µ0 I1 I22pi d xˆ.
(c) ~f12 = −µ0 I
2
1
2pi d xˆ.
(d) ~f12 =
µ0 I1 I2
2pi d yˆ.
(e) ~f12 =
µ0 I21
2pi d yˆ.
5. Usando a lei de Ampe`re, calcule a circulac¸a˜o, ΓCiB , do
campo magne´tico, ~B, gerado pelos 12 (doze) fios infini-
tos mostrados na figura, ao longo de cada uma das curvas,
Ci=1,2,3,4, ou C1, C2, C3, C4. Cada fio carrega uma cor-
rente uniforme e estaciona´ria, I, sendo 6 (seis) na direc¸a˜o
e sentido de kˆ, representados por um ponto, enquanto os
outros 6 (seis) esta˜o no sentido oposto, sentido de −kˆ,
representados por um X.
(a) ΓC1B = 10µ0I, Γ
C2
B = 3µ0I, Γ
C3
B = 3µ0I, Γ
C4
B =
2µ0I
(b) ΓC1B = 0, Γ
C2
B = −3µ0I, ΓC3B = −µ0I, ΓC4B = 2µ0I
(c) ΓC1B = 0, Γ
C2
B = 3µ0I, Γ
C3
B = µ0I, Γ
C4
B = −2µ0I
(d) ΓC1B = 0, Γ
C2
B = −3µ0I, ΓC3B = −µ0I, ΓC4B = 0
(e) ΓC1B = 0, Γ
C2
B = −3µ0I, ΓC3B = µ0I, ΓC4B = −2µ0I
6. Uma corrente I, uniforme e estaciona´ria, atravessa um
solenoide de comprimento L, muito grande, e com n vol-
tas por unidade de comprimento. Este solenoide e´ enta˜o
comprimido para um novo comprimento L/2, ainda con-
siderado muito grande, de modo que o nu´mero de voltas
por unidade de comprimento dobra. Qual o mo´dulo do
campo magne´tico, ~B, no interior do solenoide?
(a) |~B| = µ0nI2
(b) |~B| = µ0nI
(c) |~B| = 2µ0nI
(d) |~B| = 4µ0n2I
(e) |~B| = µ0n2I4
(f) |~B| = 0
2
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2,4 + 3,4 = 5,8 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,4 pontos]
(a) Considere um segmento de fio retil´ıneo de comprimento L, percorrido por uma corrente I; veja a Fig.1 a). Mostre que
o campo magne´tico, ~B, em um ponto P situado a uma distaˆncia s, perpendicular a seu ponto me´dio, e´ dado por
~B =
µ0I
2pi
L
s
√
L2 + 4s2
ϕˆ,
onde ϕˆ e´ o vetor unita´rio tangente aos c´ırculos conceˆntricos com o eixo do fio, orientados de modo que o sentido de zˆ
coincida com o da corrente. [1,2 pontos]
(b) Uma espira quadrada de lado a e´ percorrida por uma corrente I, como indica a Fig.1 b). Determine o campo magne´tico
~B no ponto Q, situado no eixo que passa pelo centro da espira, O, a uma distaˆncia z deste centro; veja a Fig. 1.
OBS: voceˆ pode usar o resultado anterior, mesmo que na˜o tenha conseguido demonstra´-lo no ı´tem (a). [0,8 ponto]
(c) Para a espira do item anterior, considere o caso em que z � a. Encontre o campo ~B nesse limite e o expresse em termos
de uma relac¸a˜o vetorial com o momento magne´tico da espira, ~µ. [0.4 ponto]
P
s
I
L
Fig. 1 a)
Q
z
I
a
Fig. 1 b)
O
2. [3,4 pontos] Um longo cabo coaxial consiste de um fio condutor interno de raio a, por onde flui uma corrente I; veja a Fig.2.
Conceˆntrico com este condutor ha´ uma casca condutora, de raio b e espessura desprez´ıvel, que conduz a mesma corrente
I, no sentido oposto ao do fio interno. Suponha inicialmente que a corrente no condutor interno esteja uniformemente
distribu´ıda pela a´rea de sua sec¸a˜o reta. Seja s a distaˆncia medida perpendicularmente ao eixo dos cilindros.
OBS: Ao responder aos itens abaixo, os argumentos de simetria devem ser cuidadosamente explicitados, assim como a
aplicac¸a˜o da(s) lei(s) necessa´ria(s). Saiba ainda que caso voceˆ use o mesmo argumento de simetria mais de uma vez, na˜o e´
necessa´rio explica´-lo novamente.
b
Fig. 2
I
I
Fig. 2 (visão em perspectiva)
(a) Determine o campo magne´tico ~B na regia˜o s < a. [1,2 pontos].
(b) Determine o campo magne´tico ~B na regia˜o a < s < b. [0,4 ponto]
(c) Determine o campo magne´tico ~B na regia˜o s > b. [0,4 ponto]
3
(d) Fac¸a um esboc¸o qualitativo de B(s) (i.e., do mo´dulo de ~B como func¸a˜o de s) que va´ desde s = 0 ate´ s > b. As
descontinuidades de B, se ocorrerem, devem ser realc¸adas. [0,8 ponto]
(e) Suponha agora que a densidade de corrente no condutor interno na˜o seja uniforme, mas que seja dada por j = j0s/a.
Qual a relac¸a˜o entre j0 e I? [0,6 pontos]
4
Gabarito para Versa˜o C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. (c)
2. (c)
3. (e)
4. (a)
5. (d)
6. (c)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2,4 + 3,4 = 5,8 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
a) A Lei de Biot-Savart e´
d~B =
µ0I
4pi
d~`× rˆ
r2
(1)
onde, no caso em questa˜o, Id~`, r = |~r| e rˆ ≡ r/r esta˜o assinalados na figura.
P
s
L
z
R
dlIθ
Assim, com θ assinalado na figura,
d~`= dz zˆ ⇒ d~`× rˆ = dz sin θ ϕˆ, (2)
z = −s cot θ ⇒ dz = s csc2 θ dθ (3)
r2 = s2 + z2 = s2 csc2 θ. (4)
Com isto,
dB =
µ0I
4pi
s csc2 θ
s2 csc2 θ
sin θ =
µ0I
4pis
sin θ, (5)
de modo que
B =
µ0I
4pis
∫ pi−θ0
θ0
sin θ dθ =
µ0I
4pis
(2 cos θ0), (6)
com
cos θ0 =
L/2√
s2 + L2/4
. (7)
Finalmente,
~B =
µ0I
2pi
L/2
s
√
s2 + L2/4
ϕˆ ⇒ ~B = µ0I
2pi
L
s
√
L2 + 4s2
ϕˆ . (8)
b) Lados opostos geram campos magne´ticos cuja soma aponta na direc¸a˜o z; logo, basta trabalhar com a projec¸a˜o B1z para
cada fio. Do item anterior (fazendo L = a), tem-se
B1z =
µ0I
2pi
a
s
√
s2 + (a2/4)
cosα︸ ︷︷ ︸
=a/2s
=
µ0I
4pi
a2
2s2
√
s2 + (a2/4)
. (9)
Notando que s2 = z2 + a2/4 e que B = 4B1z, tem-se, finalmente,
~B =
4µ0Ia
2
pi(4z2 + a2)
√
4z2 + 2a2
zˆ . (10)
2
c) Tomando z � a, vem
~B ≈ µ0Ia
2
2piz3
zˆ =
µ0
2pi
~µ
z3
, (11)
correspondendo ao campo ao longo do eixo de um dipolo magne´tico de momento ~µ = Ia2zˆ.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Seja ~B = Bssˆ+Bϕϕˆ+Bz zˆ. Neste problema temos uma distribuic¸a˜o de corrente com simetria cil´ındrica, donde conclu´ımos
que ~B = Bs(s)sˆ+Bϕ(s)ϕˆ+Bz(s)zˆ, ou seja, que as componentes do campo magne´tico so´ dependem da coordenada radial.
Podemos mostrar que Bs = 0 trac¸ando uma superf´ıcie gaussiana cil´ındrica, coaxial ao cabo e de r < a, e usando o fato de
que
∫
S
~B · d~A = 0. Por simetria de translac¸a˜o no eixo Z, vemos que o fluxo nas 2 tampas se compensam, ou seja, o fluxo
na superf´ıcie lateral tem de se anular por si so´. Mas, pela simetria cil´ındrica, esse fluxo so´ e´ zero se o fluxo infinitesimal em
todos os pontos da superf´ıcie se anula, donde conclu´ımos que Bs = 0. Podemos ainda mostrar que Bz = 0 a partir da lei
de Biot-Savart: como toda a densidade de corrente do problema e´ paralela ao eixo Z, temos ~j × Rˆ ⊥ zˆ em toda a regia˜o de
integrac¸a˜o , e portanto Bz = 0.
Ficamos enta˜o com ~B = B(s)ϕˆ, donde prosseguiremos. Em vista da simetria cil´ındrica, e´ mais simples usar a Lei de Ampe`re
para calcularmos ~B. Em todas as regio˜es a circulac¸a˜o de ~B ao longo de c´ırculos de raio s, conceˆntricos com o eixo de simetria
(de modo que d~`= d` ϕˆ, e a projec¸a˜o B(s) e´ constante ao longo do c´ırculo), e´ dada por
ΓC ≡
∮
C
~B · d~`=
∮
C
Bd` = B
∮
d` = B2pis, (12)
(Esta expressa˜o para a circulac¸a˜o de ~B sera´ usada em todas as regio˜es.)
Na regia˜o 0 < s < a, a corrente [uniformemente distribu´ıda, com j= I/(pia2)] interna a` curva C e´
Iint = jpis
2 = I
s2
a2
, (13)
de modo que a Lei de Ampe`re fornece
ΓC = B2pis = µ0Iint = µ0I
s2
a2
⇒ ~B = µ0I
2pi
s
a2
ϕˆ . (14)
(b) Na regia˜o a < s < b, Iint = I, de modo que a Lei de Ampe`re fornece
ΓC = B2pis = µ0Iint = µ0i⇒ ~B = µ0I
2pis
ϕˆ . (15)
(c) Na regia˜o s > b, Iint = 0, de modo que a Lei de Ampe`re fornece
ΓC = B2pis = µ0Iint = 0⇒ ~B = 0 . (16)
B
sa b
0I
2 a
0I
2 b
Descontinuidade
 na casca
d)
3
Verifica-se a presenc¸a de uma descontinuidade, que ocorre sempre que a distribuic¸a˜o de correntes e´ superficial.
(e) Agora a corrente esta´ distribu´ıda na˜o uniformemente, pore´m ainda preservando a simetria cil´ındrica e a corrente total
I. O v´ınculo entre a corrente total e a densidade ~j = (j0s/a) zˆ e´
I =
∫
S
~j · d ~A︸︷︷︸
=2pisds zˆ
=
∫ a
0
j0
s
a
2pisds = 2pij0
a2
3
⇒ I = j0 2
3
pia2 . (17)
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2015/2 – Segunda Prova: 17/02/2016
Versa˜o: D
Formula´rio
~Fm = q~v × ~B , d ~Fm = Id~`× ~B ,
∮
S
~B · d ~A = 0 , d ~B = µ0
4pi
Id~`× Rˆ
R2
, 1 + tan2 θ = sec2 θ , d(tan θ) = sec2 θdθ
∮
C
~B·d~`= µ0Ienc+µ0�0dΦE
dt
, Eind = −dΦB
dt
, B = µ0nI , ΦB = LI , uB =
1
2
B2
µ0
,
∫
dx
(x2 + u2)3/2
=
1
u2
x√
x2 + u2
,
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. Considere os treˆs fios, I, II e III, mostrados
na figura, na presenc¸a de um campo magne´tico
uniforme pore´m na˜o estacionaa´rio, ~B(t) = B(t)kˆ. Os fios
I e II sa˜o feitos de cobre (um condutor), sendo que o fio
I e´ uma espira fechada e o fio II e´ uma espira aberta (ver
figura), enquanto que o fio III e´ uma espira fechada feita
de fibra de vidro (um isolante). Indique a u´nica afirmativa
correta sobre a F.E.M., ε, e corrente, I, induzidas.
OBS: despreze qualquer efeito de capacitaˆncia e auto-
indutaˆncia nessa questa˜o.
(a) εI 6= 0 e II 6= 0, εII 6= 0 e III 6= 0, εIII 6= 0 e
IIII 6= 0
(b) εI 6= 0 e II 6= 0, εII 6= 0 e III = 0, εIII 6= 0 e
IIII 6= 0
(c) εI 6= 0 e II 6= 0, εII 6= 0 e III = 0, εIII 6= 0 e
IIII = 0
(d) εI 6= 0 e II 6= 0, εII = 0 e III = 0, εIII = 0 e
IIII = 0
(e) εI 6= 0 e II = 0, εII 6= 0 e III = 0, εIII 6= 0 e
IIII = 0
(f) εI = 0 e II = 0, εII = 0 e III = 0, εIII = 0 e
IIII = 0
2. Usando a lei de Ampe`re, calcule a circulac¸a˜o, ΓCiB , do
campo magne´tico, ~B, gerado pelos 12 (doze) fios infini-
tos mostrados na figura, ao longo de cada uma das curvas,
Ci=1,2,3,4, ou C1, C2, C3, C4. Cada fio carrega uma cor-
rente uniforme e estaciona´ria, I, sendo 6 (seis) na direc¸a˜o
e sentido de kˆ, representados por um ponto, enquanto os
outros 6 (seis) esta˜o no sentido oposto, sentido de −kˆ,
representados por um X.
(a) ΓC1B = 10µ0I, Γ
C2
B = 3µ0I, Γ
C3
B = 3µ0I, Γ
C4
B =
2µ0I
(b) ΓC1B = 0, Γ
C2
B = −3µ0I, ΓC3B = −µ0I, ΓC4B = 2µ0I
(c) ΓC1B = 0, Γ
C2
B = 3µ0I, Γ
C3
B = µ0I, Γ
C4
B = −2µ0I
(d) ΓC1B = 0, Γ
C2
B = −3µ0I, ΓC3B = −µ0I, ΓC4B = 0
(e) ΓC1B = 0, Γ
C2
B = −3µ0I, ΓC3B = µ0I, ΓC4B = −2µ0I
1
3. Uma corrente I, uniforme e estaciona´ria, atravessa um
solenoide de comprimento L, muito grande, e com n vol-
tas por unidade de comprimento. Este solenoide e´ enta˜o
comprimido para um novo comprimento L/2, ainda con-
siderado muito grande, de modo que o nu´mero de voltas
por unidade de comprimento dobra. Qual o mo´dulo do
campo magne´tico, ~B, no interior do solenoide?
(a) |~B| = µ0nI2
(b) |~B| = µ0nI
(c) |~B| = 2µ0nI
(d) |~B| = 4µ0n2I
(e) |~B| = µ0n2I4
(f) |~B| = 0
4. Um fio cil´ındrico de ouro, com resistividade ρ, compri-
mento L e a´rea da sec¸a˜o transversal A = pir2, e´ usado
em um circuito fechado submetido a uma d.d.p. fixa V .
Um fabricante de componentes eletroˆnicos deseja quadru-
plicar a corrente neste circuito, mantendo L constante e
variando apenas o raio r. Qual das opc¸o˜es abaixo resolve
este problema?
(a) reduzir o raio por 1/4
(b) reduzir o raio por 1/2
(c) reduzir o raio por 1/
√
2
(d) aumentar o raio em
√
2
(e) aumentar o raio em 2
(f) aumentar o raio em 4
5. A figura mostra dois fios condutores retil´ıneos, muito lon-
gos, paralelos entre si e separados por uma distaˆncia d.
Eles conduzem correntes I1 e I2, respectivamente. Qual a
forc¸a magne´tica por unidade de comprimento ~f12 que o fio
1 exerce sobre o fio 2?
z
x
y
I1
I2
(a) ~f12 =
µ0 I1 I2
2pi d xˆ.
(b) ~f12 = −µ0 I1 I22pi d xˆ.
(c) ~f12 = −µ0 I
2
1
2pi d xˆ.
(d) ~f12 =
µ0 I1 I2
2pi d yˆ.
(e) ~f12 =
µ0 I21
2pi d yˆ.
6. Em um alternador (uma espira retangular que gira em
torno de um de seus eixos de simetria), o fluxo magne´tico
como func¸a˜o do tempo t e´ dado por ΦB(t) = Φ0 cos(ω t),
onde ω e´ a velocidade angular do alternador e Φ0 e´ um
fluxo positivo e constante. Qual sera´ a fem mı´nima Emin
induzida no alternador e para que tempos tmin esta sera´
atingida?
(a) Emin = −ωΦ0 e ωtmin = pi, 3pi, 5pi . . .
(b) Emin = ωΦ0 e ωtmin = 32pi, 72pi, 112 pi . . ..
(c) Emin = −ωΦ0 e ωtmin = 32pi, 72pi, 112 pi . . ..
(d) Emin = −Φ0 e ωtmin = pi, 3pi, 5pi . . ..
(e) Emin = −Φ0 e ωtmin = 32pi, 72pi, 112 pi . . ..
2
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2,4 + 3,4 = 5,8 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,4 pontos]
(a) Considere um segmento de fio retil´ıneo de comprimento L, percorrido por uma corrente I; veja a Fig.1 a). Mostre que
o campo magne´tico, ~B, em um ponto P situado a uma distaˆncia s, perpendicular a seu ponto me´dio, e´ dado por
~B =
µ0I
2pi
L
s
√
L2 + 4s2
ϕˆ,
onde ϕˆ e´ o vetor unita´rio tangente aos c´ırculos conceˆntricos com o eixo do fio, orientados de modo que o sentido de zˆ
coincida com o da corrente. [1,2 pontos]
(b) Uma espira quadrada de lado a e´ percorrida por uma corrente I, como indica a Fig.1 b). Determine o campo magne´tico
~B no ponto Q, situado no eixo que passa pelo centro da espira, O, a uma distaˆncia z deste centro; veja a Fig. 1.
OBS: voceˆ pode usar o resultado anterior, mesmo que na˜o tenha conseguido demonstra´-lo no ı´tem (a). [0,8 ponto]
(c) Para a espira do item anterior, considere o caso em que z � a. Encontre o campo ~B nesse limite e o expresse em termos
de uma relac¸a˜o vetorial com o momento magne´tico da espira, ~µ. [0.4 ponto]
P
s
I
L
Fig. 1 a)
Q
z
I
a
Fig. 1 b)
O
2. [3,4 pontos] Um longo cabo coaxial consiste de um fio condutor interno de raio a, por onde flui uma corrente I; veja a Fig.2.
Conceˆntrico com este condutor ha´ uma casca condutora, de raio b e espessura desprez´ıvel, que conduz a mesma corrente
I, no sentido oposto ao do fio interno. Suponha inicialmente que a corrente no condutor interno esteja uniformemente
distribu´ıda pela a´rea de sua sec¸a˜o reta. Seja s a distaˆncia medida perpendicularmente ao eixo dos cilindros.
OBS: Ao responder aos itens abaixo, os argumentos de simetria devem ser cuidadosamente explicitados, assim como a
aplicac¸a˜o da(s) lei(s) necessa´ria(s). Saiba ainda que caso voceˆ use o mesmo argumento de simetria mais de uma vez, na˜o e´
necessa´rio explica´-lo novamente.
b
Fig. 2
I
I
Fig. 2 (visão em perspectiva)
(a) Determine o campo magne´tico ~B na regia˜o s < a. [1,2 pontos].
(b) Determine o campo magne´tico ~B na regia˜o a < s < b. [0,4 ponto]
(c) Determine o campo magne´tico ~B na regia˜o s > b. [0,4 ponto]
3
(d) Fac¸a um esboc¸o qualitativo de B(s) (i.e., do mo´dulo de ~B como func¸a˜o de s) que va´ desde s = 0 ate´ s > b. As
descontinuidades de B, se ocorrerem, devem ser realc¸adas. [0,8 ponto]
(e) Suponha agora que a densidade de corrente no condutor interno na˜o seja uniforme, mas que seja dada por j = j0s/a.
Qual a relac¸a˜o entre j0 e I? [0,6 pontos]
4
Gabarito para Versa˜o D
Sec¸a˜o1. Mu´ltipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. (c)
2. (d)
3. (c)
4. (e)
5. (a)
6. (c)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2,4 + 3,4 = 5,8 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
a) A Lei de Biot-Savart e´
d~B =
µ0I
4pi
d~`× rˆ
r2
(1)
onde, no caso em questa˜o, Id~`, r = |~r| e rˆ ≡ r/r esta˜o assinalados na figura.
P
s
L
z
R
dlIθ
Assim, com θ assinalado na figura,
d~`= dz zˆ ⇒ d~`× rˆ = dz sin θ ϕˆ, (2)
z = −s cot θ ⇒ dz = s csc2 θ dθ (3)
r2 = s2 + z2 = s2 csc2 θ. (4)
Com isto,
dB =
µ0I
4pi
s csc2 θ
s2 csc2 θ
sin θ =
µ0I
4pis
sin θ, (5)
de modo que
B =
µ0I
4pis
∫ pi−θ0
θ0
sin θ dθ =
µ0I
4pis
(2 cos θ0), (6)
com
cos θ0 =
L/2√
s2 + L2/4
. (7)
Finalmente,
~B =
µ0I
2pi
L/2
s
√
s2 + L2/4
ϕˆ ⇒ ~B = µ0I
2pi
L
s
√
L2 + 4s2
ϕˆ . (8)
b) Lados opostos geram campos magne´ticos cuja soma aponta na direc¸a˜o z; logo, basta trabalhar com a projec¸a˜o B1z para
cada fio. Do item anterior (fazendo L = a), tem-se
B1z =
µ0I
2pi
a
s
√
s2 + (a2/4)
cosα︸ ︷︷ ︸
=a/2s
=
µ0I
4pi
a2
2s2
√
s2 + (a2/4)
. (9)
Notando que s2 = z2 + a2/4 e que B = 4B1z, tem-se, finalmente,
~B =
4µ0Ia
2
pi(4z2 + a2)
√
4z2 + 2a2
zˆ . (10)
2
c) Tomando z � a, vem
~B ≈ µ0Ia
2
2piz3
zˆ =
µ0
2pi
~µ
z3
, (11)
correspondendo ao campo ao longo do eixo de um dipolo magne´tico de momento ~µ = Ia2zˆ.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Seja ~B = Bssˆ+Bϕϕˆ+Bz zˆ. Neste problema temos uma distribuic¸a˜o de corrente com simetria cil´ındrica, donde conclu´ımos
que ~B = Bs(s)sˆ+Bϕ(s)ϕˆ+Bz(s)zˆ, ou seja, que as componentes do campo magne´tico so´ dependem da coordenada radial.
Podemos mostrar que Bs = 0 trac¸ando uma superf´ıcie gaussiana cil´ındrica, coaxial ao cabo e de r < a, e usando o fato de
que
∫
S
~B · d~A = 0. Por simetria de translac¸a˜o no eixo Z, vemos que o fluxo nas 2 tampas se compensam, ou seja, o fluxo
na superf´ıcie lateral tem de se anular por si so´. Mas, pela simetria cil´ındrica, esse fluxo so´ e´ zero se o fluxo infinitesimal em
todos os pontos da superf´ıcie se anula, donde conclu´ımos que Bs = 0. Podemos ainda mostrar que Bz = 0 a partir da lei
de Biot-Savart: como toda a densidade de corrente do problema e´ paralela ao eixo Z, temos ~j × Rˆ ⊥ zˆ em toda a regia˜o de
integrac¸a˜o , e portanto Bz = 0.
Ficamos enta˜o com ~B = B(s)ϕˆ, donde prosseguiremos. Em vista da simetria cil´ındrica, e´ mais simples usar a Lei de Ampe`re
para calcularmos ~B. Em todas as regio˜es a circulac¸a˜o de ~B ao longo de c´ırculos de raio s, conceˆntricos com o eixo de simetria
(de modo que d~`= d` ϕˆ, e a projec¸a˜o B(s) e´ constante ao longo do c´ırculo), e´ dada por
ΓC ≡
∮
C
~B · d~`=
∮
C
Bd` = B
∮
d` = B2pis, (12)
(Esta expressa˜o para a circulac¸a˜o de ~B sera´ usada em todas as regio˜es.)
Na regia˜o 0 < s < a, a corrente [uniformemente distribu´ıda, com j = I/(pia2)] interna a` curva C e´
Iint = jpis
2 = I
s2
a2
, (13)
de modo que a Lei de Ampe`re fornece
ΓC = B2pis = µ0Iint = µ0I
s2
a2
⇒ ~B = µ0I
2pi
s
a2
ϕˆ . (14)
(b) Na regia˜o a < s < b, Iint = I, de modo que a Lei de Ampe`re fornece
ΓC = B2pis = µ0Iint = µ0i⇒ ~B = µ0I
2pis
ϕˆ . (15)
(c) Na regia˜o s > b, Iint = 0, de modo que a Lei de Ampe`re fornece
ΓC = B2pis = µ0Iint = 0⇒ ~B = 0 . (16)
B
sa b
0I
2 a
0I
2 b
Descontinuidade
 na casca
d)
3
Verifica-se a presenc¸a de uma descontinuidade, que ocorre sempre que a distribuic¸a˜o de correntes e´ superficial.
(e) Agora a corrente esta´ distribu´ıda na˜o uniformemente, pore´m ainda preservando a simetria cil´ındrica e a corrente total
I. O v´ınculo entre a corrente total e a densidade ~j = (j0s/a) zˆ e´
I =
∫
S
~j · d ~A︸︷︷︸
=2pisds zˆ
=
∫ a
0
j0
s
a
2pisds = 2pij0
a2
3
⇒ I = j0 2
3
pia2 . (17)
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2015/2 – Segunda Prova: 17/02/2016
Versa˜o: E
Formula´rio
~Fm = q~v × ~B , d ~Fm = Id~`× ~B ,
∮
S
~B · d ~A = 0 , d ~B = µ0
4pi
Id~`× Rˆ
R2
, 1 + tan2 θ = sec2 θ , d(tan θ) = sec2 θdθ
∮
C
~B·d~`= µ0Ienc+µ0�0dΦE
dt
, Eind = −dΦB
dt
, B = µ0nI , ΦB = LI , uB =
1
2
B2
µ0
,
∫
dx
(x2 + u2)3/2
=
1
u2
x√
x2 + u2
,
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. Em um alternador (uma espira retangular que gira em
torno de um de seus eixos de simetria), o fluxo magne´tico
como func¸a˜o do tempo t e´ dado por ΦB(t) = Φ0 cos(ω t),
onde ω e´ a velocidade angular do alternador e Φ0 e´ um
fluxo positivo e constante. Qual sera´ a fem mı´nima Emin
induzida no alternador e para que tempos tmin esta sera´
atingida?
(a) Emin = −ωΦ0 e ωtmin = pi, 3pi, 5pi . . .
(b) Emin = ωΦ0 e ωtmin = 32pi, 72pi, 112 pi . . ..
(c) Emin = −ωΦ0 e ωtmin = 32pi, 72pi, 112 pi . . ..
(d) Emin = −Φ0 e ωtmin = pi, 3pi, 5pi . . ..
(e) Emin = −Φ0 e ωtmin = 32pi, 72pi, 112 pi . . ..
2. Usando a lei de Ampe`re, calcule a circulac¸a˜o, ΓCiB , do
campo magne´tico, ~B, gerado pelos 12 (doze) fios infini-
tos mostrados na figura, ao longo de cada uma das curvas,
Ci=1,2,3,4, ou C1, C2, C3, C4. Cada fio carrega uma cor-
rente uniforme e estaciona´ria, I, sendo 6 (seis) na direc¸a˜o
e sentido de kˆ, representados por um ponto, enquanto os
outros 6 (seis) esta˜o no sentido oposto, sentido de −kˆ,
representados por um X.
(a) ΓC1B = 10µ0I, Γ
C2
B = 3µ0I, Γ
C3
B = 3µ0I, Γ
C4
B =
2µ0I
(b) ΓC1B = 0, Γ
C2
B = −3µ0I, ΓC3B = −µ0I, ΓC4B = 2µ0I
(c) ΓC1B = 0, Γ
C2
B = 3µ0I, Γ
C3
B = µ0I, Γ
C4
B = −2µ0I
(d) ΓC1B = 0, Γ
C2
B = −3µ0I, ΓC3B = −µ0I, ΓC4B = 0
(e) ΓC1B = 0, Γ
C2
B = −3µ0I, ΓC3B = µ0I, ΓC4B = −2µ0I
1
3. Considere os treˆs fios, I, II e III, mostrados
na figura, na presenc¸a de um campo magne´tico
uniforme pore´m na˜o estacionaa´rio, ~B(t) = B(t)kˆ. Os fios
I e II sa˜o feitos de cobre (um condutor), sendo que o fio
I e´ uma espira fechada e o fio II e´ uma espira aberta (ver
figura), enquanto que o fio III e´ uma espira fechada feita
de fibra de vidro (um isolante). Indique a u´nica afirmativa
correta sobre a F.E.M., ε, e corrente, I, induzidas.
OBS: despreze qualquer efeito de capacitaˆncia e auto-
indutaˆncia nessa questa˜o.
(a) εI 6= 0 e II 6= 0, εII 6= 0 e III 6= 0, εIII 6= 0 e
IIII 6= 0
(b) εI 6= 0 e II 6= 0, εII 6= 0 e III = 0, εIII 6= 0 e
IIII 6= 0
(c) εI 6= 0 e II 6= 0, εII 6= 0 e III = 0, εIII 6= 0 e
IIII = 0
(d) εI 6= 0 e II 6= 0, εII = 0 e III = 0, εIII = 0 e
IIII = 0
(e) εI 6= 0 e II = 0, εII 6= 0 e III = 0, εIII 6= 0 e
IIII = 0
(f) εI = 0 e II = 0, εII = 0 e III = 0, εIII = 0 e
IIII = 0
4. A figura mostra dois fios condutores retil´ıneos, muito lon-
gos, paralelos entre si e separados por uma distaˆncia d.
Eles conduzem correntes I1 e I2, respectivamente. Qual a
forc¸a magne´tica por unidade de comprimento ~f12 que o fio
1 exerce sobre o fio 2?
z
x
y
I1
I2
(a) ~f12 =
µ0 I1 I2
2pi d xˆ.
(b) ~f12 = −µ0 I1 I22pi d xˆ.
(c) ~f12 = −µ0 I
2
1
2pi d xˆ.
(d) ~f12 =
µ0 I1 I2
2pi d yˆ.
(e) ~f12 =
µ0 I21
2pi d yˆ.
5. Uma corrente I, uniforme e estaciona´ria, atravessa um
solenoide de comprimento L, muito grande, e com n vol-
tas por unidade de comprimento. Este solenoide e´ enta˜o
comprimido para um novo comprimento L/2, ainda con-
siderado muito grande, de modo que o nu´mero de voltas
por unidade de comprimento dobra. Qual o mo´dulo do
campo magne´tico, ~B, no interior do solenoide?
(a) |~B| = µ0nI2
(b) |~B| = µ0nI
(c) |~B| = 2µ0nI
(d) |~B| = 4µ0n2I
(e) |~B| = µ0n2I4
(f) |~B| = 0
6. Um fio cil´ındrico de ouro, com resistividade ρ, compri-
mento L e a´rea da sec¸a˜o transversal A = pir2, e´ usado
em um circuito fechado submetido a uma d.d.p. fixa V .
Um fabricante de componentes eletroˆnicos desejaquadru-
plicar a corrente neste circuito, mantendo L constante e
variando apenas o raio r. Qual das opc¸o˜es abaixo resolve
este problema?
(a) reduzir o raio por 1/4
(b) reduzir o raio por 1/2
(c) reduzir o raio por 1/
√
2
(d) aumentar o raio em
√
2
(e) aumentar o raio em 2
(f) aumentar o raio em 4
2
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2,4 + 3,4 = 5,8 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,4 pontos]
(a) Considere um segmento de fio retil´ıneo de comprimento L, percorrido por uma corrente I; veja a Fig.1 a). Mostre que
o campo magne´tico, ~B, em um ponto P situado a uma distaˆncia s, perpendicular a seu ponto me´dio, e´ dado por
~B =
µ0I
2pi
L
s
√
L2 + 4s2
ϕˆ,
onde ϕˆ e´ o vetor unita´rio tangente aos c´ırculos conceˆntricos com o eixo do fio, orientados de modo que o sentido de zˆ
coincida com o da corrente. [1,2 pontos]
(b) Uma espira quadrada de lado a e´ percorrida por uma corrente I, como indica a Fig.1 b). Determine o campo magne´tico
~B no ponto Q, situado no eixo que passa pelo centro da espira, O, a uma distaˆncia z deste centro; veja a Fig. 1.
OBS: voceˆ pode usar o resultado anterior, mesmo que na˜o tenha conseguido demonstra´-lo no ı´tem (a). [0,8 ponto]
(c) Para a espira do item anterior, considere o caso em que z � a. Encontre o campo ~B nesse limite e o expresse em termos
de uma relac¸a˜o vetorial com o momento magne´tico da espira, ~µ. [0.4 ponto]
P
s
I
L
Fig. 1 a)
Q
z
I
a
Fig. 1 b)
O
2. [3,4 pontos] Um longo cabo coaxial consiste de um fio condutor interno de raio a, por onde flui uma corrente I; veja a Fig.2.
Conceˆntrico com este condutor ha´ uma casca condutora, de raio b e espessura desprez´ıvel, que conduz a mesma corrente
I, no sentido oposto ao do fio interno. Suponha inicialmente que a corrente no condutor interno esteja uniformemente
distribu´ıda pela a´rea de sua sec¸a˜o reta. Seja s a distaˆncia medida perpendicularmente ao eixo dos cilindros.
OBS: Ao responder aos itens abaixo, os argumentos de simetria devem ser cuidadosamente explicitados, assim como a
aplicac¸a˜o da(s) lei(s) necessa´ria(s). Saiba ainda que caso voceˆ use o mesmo argumento de simetria mais de uma vez, na˜o e´
necessa´rio explica´-lo novamente.
b
Fig. 2
I
I
Fig. 2 (visão em perspectiva)
(a) Determine o campo magne´tico ~B na regia˜o s < a. [1,2 pontos].
(b) Determine o campo magne´tico ~B na regia˜o a < s < b. [0,4 ponto]
(c) Determine o campo magne´tico ~B na regia˜o s > b. [0,4 ponto]
3
(d) Fac¸a um esboc¸o qualitativo de B(s) (i.e., do mo´dulo de ~B como func¸a˜o de s) que va´ desde s = 0 ate´ s > b. As
descontinuidades de B, se ocorrerem, devem ser realc¸adas. [0,8 ponto]
(e) Suponha agora que a densidade de corrente no condutor interno na˜o seja uniforme, mas que seja dada por j = j0s/a.
Qual a relac¸a˜o entre j0 e I? [0,6 pontos]
4
Gabarito para Versa˜o E
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. (c)
2. (d)
3. (c)
4. (a)
5. (c)
6. (e)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2,4 + 3,4 = 5,8 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
a) A Lei de Biot-Savart e´
d~B =
µ0I
4pi
d~`× rˆ
r2
(1)
onde, no caso em questa˜o, Id~`, r = |~r| e rˆ ≡ r/r esta˜o assinalados na figura.
P
s
L
z
R
dlIθ
Assim, com θ assinalado na figura,
d~`= dz zˆ ⇒ d~`× rˆ = dz sin θ ϕˆ, (2)
z = −s cot θ ⇒ dz = s csc2 θ dθ (3)
r2 = s2 + z2 = s2 csc2 θ. (4)
Com isto,
dB =
µ0I
4pi
s csc2 θ
s2 csc2 θ
sin θ =
µ0I
4pis
sin θ, (5)
de modo que
B =
µ0I
4pis
∫ pi−θ0
θ0
sin θ dθ =
µ0I
4pis
(2 cos θ0), (6)
com
cos θ0 =
L/2√
s2 + L2/4
. (7)
Finalmente,
~B =
µ0I
2pi
L/2
s
√
s2 + L2/4
ϕˆ ⇒ ~B = µ0I
2pi
L
s
√
L2 + 4s2
ϕˆ . (8)
b) Lados opostos geram campos magne´ticos cuja soma aponta na direc¸a˜o z; logo, basta trabalhar com a projec¸a˜o B1z para
cada fio. Do item anterior (fazendo L = a), tem-se
B1z =
µ0I
2pi
a
s
√
s2 + (a2/4)
cosα︸ ︷︷ ︸
=a/2s
=
µ0I
4pi
a2
2s2
√
s2 + (a2/4)
. (9)
Notando que s2 = z2 + a2/4 e que B = 4B1z, tem-se, finalmente,
~B =
4µ0Ia
2
pi(4z2 + a2)
√
4z2 + 2a2
zˆ . (10)
2
c) Tomando z � a, vem
~B ≈ µ0Ia
2
2piz3
zˆ =
µ0
2pi
~µ
z3
, (11)
correspondendo ao campo ao longo do eixo de um dipolo magne´tico de momento ~µ = Ia2zˆ.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Seja ~B = Bssˆ+Bϕϕˆ+Bz zˆ. Neste problema temos uma distribuic¸a˜o de corrente com simetria cil´ındrica, donde conclu´ımos
que ~B = Bs(s)sˆ+Bϕ(s)ϕˆ+Bz(s)zˆ, ou seja, que as componentes do campo magne´tico so´ dependem da coordenada radial.
Podemos mostrar que Bs = 0 trac¸ando uma superf´ıcie gaussiana cil´ındrica, coaxial ao cabo e de r < a, e usando o fato de
que
∫
S
~B · d~A = 0. Por simetria de translac¸a˜o no eixo Z, vemos que o fluxo nas 2 tampas se compensam, ou seja, o fluxo
na superf´ıcie lateral tem de se anular por si so´. Mas, pela simetria cil´ındrica, esse fluxo so´ e´ zero se o fluxo infinitesimal em
todos os pontos da superf´ıcie se anula, donde conclu´ımos que Bs = 0. Podemos ainda mostrar que Bz = 0 a partir da lei
de Biot-Savart: como toda a densidade de corrente do problema e´ paralela ao eixo Z, temos ~j × Rˆ ⊥ zˆ em toda a regia˜o de
integrac¸a˜o , e portanto Bz = 0.
Ficamos enta˜o com ~B = B(s)ϕˆ, donde prosseguiremos. Em vista da simetria cil´ındrica, e´ mais simples usar a Lei de Ampe`re
para calcularmos ~B. Em todas as regio˜es a circulac¸a˜o de ~B ao longo de c´ırculos de raio s, conceˆntricos com o eixo de simetria
(de modo que d~`= d` ϕˆ, e a projec¸a˜o B(s) e´ constante ao longo do c´ırculo), e´ dada por
ΓC ≡
∮
C
~B · d~`=
∮
C
Bd` = B
∮
d` = B2pis, (12)
(Esta expressa˜o para a circulac¸a˜o de ~B sera´ usada em todas as regio˜es.)
Na regia˜o 0 < s < a, a corrente [uniformemente distribu´ıda, com j = I/(pia2)] interna a` curva C e´
Iint = jpis
2 = I
s2
a2
, (13)
de modo que a Lei de Ampe`re fornece
ΓC = B2pis = µ0Iint = µ0I
s2
a2
⇒ ~B = µ0I
2pi
s
a2
ϕˆ . (14)
(b) Na regia˜o a < s < b, Iint = I, de modo que a Lei de Ampe`re fornece
ΓC = B2pis = µ0Iint = µ0i⇒ ~B = µ0I
2pis
ϕˆ . (15)
(c) Na regia˜o s > b, Iint = 0, de modo que a Lei de Ampe`re fornece
ΓC = B2pis = µ0Iint = 0⇒ ~B = 0 . (16)
B
sa b
0I
2 a
0I
2 b
Descontinuidade
 na casca
d)
3
Verifica-se a presenc¸a de uma descontinuidade, que ocorre sempre que a distribuic¸a˜o de correntes e´ superficial.
(e) Agora a corrente esta´ distribu´ıda na˜o uniformemente, pore´m ainda preservando a simetria cil´ındrica e a corrente total
I. O v´ınculo entre a corrente total e a densidade ~j = (j0s/a) zˆ e´
I =
∫
S
~j · d ~A︸︷︷︸
=2pisds zˆ
=
∫ a
0
j0
s
a
2pisds = 2pij0
a2
3
⇒ I = j0 2
3
pia2 . (17)
�
4