capitulo 2 secao 2.3

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2.3 Relações de tempo e frequência
Denotam-se as transformadas de Fourier direta e inversa, respectivamente, por:
e
Teorema da superposição:
Se a1 e a2 são constantes independentes de t, e
então
Este resultado pode ser generalizado para a soma de um número arbitrário de parcelas:
Ou seja, a uma combinação linear no domínio do tempo corresponde uma combinação linear no 
domínio da frequência.
Prova: exercício para casa.
Teorema do retardo (delay) no tempo (ou translação no tempo): (vide demonstração no livro)
Se , então 
Assim, um retardo (delay) no tempo corresponde a um deslocamento de fase (−2πftd) no domínio da 
frequência. 
Corolário: como um retardo no tempo não muda o formato do sinal, não há mudança no espectro de 
amplitudes, só no de fases. Prova: |V(f) exp(j2πftd)| = |V(f)| |exp(j2πftd)| = |V(f)|.
Teorema da mudança de escala (ou dilatação/ contração no tempo): (vide demonstração no livro)
Se , então 
Este resultado reflete a propriedade de “espalhamento recíproco” discutido anteriormente, ou seja, a 
compressão de um sinal temporal causa expansão do espectro, e vice-versa.
Corolário: Se α = −1, então
(ou seja, o sinal e o espectro são revertidos.)
Exemplo 2.3-1: Superposição e retardo no tempo
Sendo v(t)=A Π(t/τ) um pulso retangular, considere-se o sinal za(t) constituído a partir de dois pulsos 
como mostrado na Figura 2.3-1a.
Aplicando-se os teoremas da superposição e de retardo no tempo:
onde V(f)=Aτ sinc fτ.
t0= td+T/2
T. retardo:
(continua...)
________________________________________________________
O termo entre colchetes é um caso particular de: . 
Fatorando a identidade de Euler:
__________________________________________________
No problema: e , tal que
e onde (como mostrado na Figura 2.3-1a). 
Após substituir V(f)=Aτ sinc fτ, se obtém: 
Nota-se que Za(f=0) = 0, concordando com o fato que za(t) tem área líquida nula.
(sinal de +)
(sinal de −)
(continua...)
t0= td+T/2V(f)=Aτ sinc fτ
________________________________________
Se t0 = 0 e T = τ (ou T/2 = τ/2), então, za(t) degenera para a forma de onda zb(t) da Figura 2.3-1b, 
onde
Como t0 = td+T/2 = 0, ocorre: exp (−j2πft0) = exp (0) = 1. 
Portanto,
um espectro puramente imaginário [pois zb(t) tem simetria ímpar]. #
(multiplicar e dividir por πfτ)
t0= td+T/2
Exercício 2.3-1: Seja v(t) um sinal de energia real, porém, arbitrário. 
Mostrar que, se
então:
onde Ve(f) e Vo(f) são as partes real e imaginária de V(f).
Teorema da Translação em Frequência:
O teorema da translação em frequência ou teorema da modulação complexa é o dual do teorema 
do retardo no tempo:
Prova: exercício para casa.
A multiplicação de uma função temporal v(t) por exp(jωct) provoca uma translação do espectro de um 
valor +fc, como mostrado na Figura 2.3-2, para fc>W:
Discussão:
i) As componentes significativas do espectro de V(f− fc) estão concentradas em torno da frequência fc.
ii) Embora V(f) esteja limitado à banda W, o espectro V(f−fc) tem largura espectral 2W (a porção de 
frequências negativas de V(f) agora aparece em frequências positivas)
iii) V(f− fc) não é hermitiano [pois v(t).exp(jωct) não é real], porém, exibe simetria em torno da 
frequência fc.
________________________________________________
Teorema da modulação real:
Dado que:
então:
Prova: Exercício para casa.
)(2
1)(2
1cos)( ccc ffVffVttv ++−↔ω
)(2)(2)2/cos()(sen)(
2/2/
c
j
c
j
cc ffV
effVettvttv ++−↔−=
− ππ
πωω
Exemplo: Dado
então:
e
)( cV ωω −
)(arg cV ωω −
)( cV ωω −
2)(arg
π
ωω −− cV
mensagem
sinais
modulados
em DSB
__________________________________________________________
Exemplo 2.3-2: Pulso de RF
Trata-se de uma senóide, z(t), na frequência fc e com duração finita τ ( para fc >> 1/τ):
Obs: Dado 
então z(t)=v(t) cosωct ↔ Z(f) = ??
Como
então, de (2.3-7), com φ = 0:
)(sinc)()/()( τττ fAfVtAtv =↔Π=
A
= v(t) cosωct
Sinal de duração finita.
Espectro ilimitado.
Discussão:
i) Como a senóide na frequência fc tem duração finita (não é eterna), seu espectro é contínuo e 
apresenta mais frequências do que simplesmente f = ±fc.
ii) Quanto menor for τ, maior será o alargamento do espectro em torno de ±fc (espalhamento 
recíproco).
iii) Se a senóide fosse eterna, τ→∞, o alargamento espectral diminuiria e o espectro conteria apenas 
duas linhas discretas nas frequências ±fc .
_________________________
Pergunta: dado que
e também:
como calcular ℑ{cosωct}, sendo v(t)=1 em (2.3-7)?? Neste caso, tem-se que calcular V(f) = ℑ{1}!!
____________________________________________________
Teorema da Diferenciação no Tempo: (vide demonstração no livro)
Dado um sinal v(t), e verificando-se que dv(t)/dt é um sinal de energia, mostra-se que, se , 
então:
Generalizando:
Teorema da Integração no Tempo: (vide demonstração no livro)
Considere-se a integral de v(t) ao longo de todos os tempos passados: . 
O teorema da integração estabelece que, se
então
A condição de área líquida nula em (2.3-9a) assegura que o sinal v(t) integrado em (2.3-9b) vai a zero quando t→∞.
(área sob a curva = 0)
Obs:
Exemplo 2.3-3: Pulso triangular
Já foi visto que:
Integrando-se o sinal zb(t), e dividindo o resultado por τ, gera-se a função triangular w(t) abaixo:
Aplica-se o teorema da integração para calcular W(f), dado que o sinal zb(t) tem área nula [Zb(0)=0] .
(continua...)
integrar zb(t) e 
dividir por τ
Área total nula ↔
Qual a TF do pulso triangular?
τττπ fAfjfZb
2sinc)2()( =
se obtém:
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
Notação: Função ou pulso triangular de amplitude unitária e largura 2τ :
Então, a função triangular de amplitude A e largura 2τ é: w(t) = AΛ(t/τ) . #
)(2
11)( fZ
fj
fW bπτ
=↔Como
_______________________________________________
w(t)=AΛ(t/τ)
ττ fAfW 2sinc)( =↔
)sinc()( ττ
τ
fAfVtA =↔

Π
Comparação: pulsos com mesma área
Pulso triangular 
de amplitude A e largura 2τ: 
Pulso retangular
de amplitude A e largura τ:
O pulso triangular (altura A e largura 2τ) apresenta menos conteúdo de alta frequência que o pulso 
retangular de altura A e largura τ, embora ambos tenham a mesma área, Aτ. 
ττ
τ
fAtA 2sinc↔

Λ
variações temporais 
mais abruptas
maior conteúdo 
espectral
∝ integral
Discussão: teoremas da diferenciação e da integração
A diferenciação acentua as componentes de alta frequência de um sinal, pois 
| j2πf V(f)| > |V(f)| para |f |>1/2π (ou seja, para |2π f | > 1).
Por outro lado, a integração reduz o conteúdo de alta frequência do espectro. 
Estes resultados concordam com a observação temporal de que a diferenciação acentua as variações 
temporais, enquanto a integração as suavizam.
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Exemplo: Pulso triangular ∝ integral do pulso retangular
O pulso triangular (altura A e largura 2τ) apresenta menos conteúdo de alta frequência que o pulso 
retangular (altura A e largura τ), embora tenham a mesma área, Aτ. 
A diferença é que o pulso triangular se estende por 2τ e não apresenta as variações temporais 
repentinas/abruptas do pulso retangular.
(8)
alta frequência
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Exercício2.3-2: O dual do teorema da diferenciação é
também conhecido como teorema da diferenciação em frequência.
Deduzir esta relação para n=1, diferenciando a integral da transformada em relação ao 
tempo.
Teorema da diferenciação no tempo: )()2( fVfj nnπ=