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UFV - Universidade Federal de Vic¸osa CCE - Departamento de Matema´tica 1a Lista de exerc´ıcios de MAT 147 - Ca´lculo II 2016-II 1. Determine os limites se existirem: (a) lim x→+∞ ( 1 + 1 2x )x2 (b) lim x→0 senx 2x (c) lim x→+∞ ( x+ 1 x− 1 )x (d) lim x→+∞ arctanx√ x (e) lim x→0 ax − 1 x , (0 < a 6= 1) (f) lim x→0 ( 1 x2 − cot2 x ) (g) lim x→5 √ x− 1− 2 x2 − 25 (h) lim x→−3 x2 + 2x− 3 2x2 + 3x− 9 (i) lim x→2 x2 − 5x+ 6 2x2 − x− 7 (j) lim x→0 senx− x tanx− x (k) lim x→+∞ x2 lnx (l) lim x→0 e5x − 1 3x (m) lim x→+∞ x2 + 4 8x (n) lim x→0 x 1 lnx (o) lim x→+∞ ( 1 + a x )x , a 6= 0 (p) lim x→+∞ ( 1 + 1 x )ax , a 6= 0 (q) lim x→0 x e1/x (r) lim x→0 cot 2x cot (pi 2 − x ) (s) lim x→ pi 2 (secx− tanx) 2. Calcule as seguintes integrais: (a) ∫ +∞ 0 e−x dx, (b) ∫ +∞ 0 x e−x 2 dx (c) ∫ +∞ 0 1 1 + x2 dx (d) ∫ +∞ 0 e−t sen t dt (e) ∫ +∞ 2 1 x2 − 1 dx (f) ∫ −1 −∞ 1 x5 dx (g) ∫ 0 −∞ x e−x 2 dx (h) ∫ ∞ −∞ 1 4 + x2 dx 3. Responda se e´ convergente ou divergente as seguintes integrais impro´prias, e justifique. (a) ∫ +∞ 1 1 x5 + 3x+ 1 dx (b) ∫ +∞ 1 2x− 3 x3 − 32 + 1 dx (c) ∫ +∞ 1 cos 3x x3 dx (d) ∫ +∞ 1 x2 + 1 x3 + 1 dx (e) ∫ +∞ 0 arctanx x2 + 1 dx (f) ∫ 4 3 1√ x− 3 dx (g) ∫ a 0 1√ x(a− x) dx *(h) ∫ +∞ 0 e−st dt *(i) ∫ +∞ 0 e−stt2 dt *(j) ∫ +∞ 0 e−st sen(at) dt *(k) ∫ +∞ 0 e−st cos(at) dt * Veremos, mais no final do curso, que os itens h, i, j, j sa˜o as transformadas de Laplace das func¸o˜es 1, t2, sin(at), cos(at), respectivamente. 4. Calcule, se existir, a are´a das regio˜es abaixo, limitas pelas curvas y, e pelos intervalos indicados: 1 (a) y = 1 (x− 1)2 , de 0 ≤ x < 1 (b) y = 1√ 3− x , de 0 ≤ x < 3 (c) y = 1 x , de 0 < x ≤ 1 (d) y = sec2 x, de 0 ≤ x < pi 2 (e) y = x√ 4− x2 , de −2 < x ≤ 0 (f) y = 1 (x+ 1)2/3 , de −2 ≤ x ≤ 7 (g) y = 1 (x− 3)2 , de 0 ≤ x < 4 (h) y = x− 2 x2 − 5x+ 4, de 2 ≤ x < 4 (i) y = 1 x2 − x− 2 , de 0 ≤ x ≤ 4 (j) y = 1 1− cosx , de 0 ≤ x < pi 2 (k) y = x−4/3, de −1 ≤ x ≤ 1 5. Estude a convergeˆncia da integral impro´pria ∫ +∞ 1 1 xp dx, onde p e´ um nu´mero real qualquer. 6. Determine uma func¸a˜o f tal que lim t→+∞ ∫ t −t f(x)dx exista e ∫ +∞ −∞ f(x)dx seja divergente. 7. Um circuito ele´trico tem uma resisteˆncia de R ohms, uma indutaˆncia de L henrys e uma forc¸a eletromotriz de E volts, onde R, L e E sa˜o positivos. Se i ampe`res for a corrente passando no circuito t segundos depois que foi ligado, enta˜o i = E R (1− e−Rt/L). Se t, E e L sa˜o constantes, ache lim R→0+ i 8. Numa progressa˜o geome´trica, se a for o primeiro termo, r for a raza˜o comum a dois termos sucessivos e S for a soma dos n primeiros termos, enta˜o se r 6= 1, S = a(r n − 1) r − 1 . Ache o limr→1S. O resultado sera´ consistente com a soma dos n primeiros termos se r = 1? 9. Deˆ o termo de ordem n das sequ¨eˆncias abaixo e verifique quais sequ¨eˆncias convergem. As convergentes, deˆ o limite. Escreva tambe´m o termo de ordem (n+ 1). (a) (1, 4, 7, 10, ...) (b) ( 1 + 1 2 , 1 + 3 4 , 1 + 7 8 , · · · ) (c) ( 1, 1 1 · 3 , 1 1 · 3 · 5 , 1 1 · 3 · 5 · 7 , · · · ) (d) ( 1,−1 2 , 1 3 ,−1 4 , 1 5 , · · · ) (e) (√ 1 3 , √ 3 4 , √ 5 5 , √ 7 6 , √ 9 7 , · · · ) (f) ( 2, 22 1 · 2 , 23 1 · 2 · 3 , 24 1 · 2 · 3 · 4 , 25 1 · 2 · 3 · 4 · 5 , · · · ) 10. Verifique se as sequeˆncias abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite: (a) an = n sen2 n n5 + 1 ; (b) an = n √ n; (c) an = 3 1n − 4 3n+ 1n − 1 ; (d) an = √ 2n+ 3−√2n− 3; (e) an = (−1)n n 3 1 + 2n4 ; (f) an = 1 n sen ( 3pi n2 + 1 ) ; (g) an = ln √ n3 − n2; (h) an = (−1)n n n+ 1 ; (i) an = n 2 ( 1− cos a n ) , para a > 0; (j) an = an n! , para a ∈ R. 11. Considere a sequeˆncia an = ∫ n 1 1 xp dx. (a) Mostre que (an) na˜o e´ limitada se p ≤ 1. (b) Mostre que an −→ 1 p− 1 se p > 1. 2 12. Use o teorema da convergeˆncia mono´tona para mostrar que a sequeˆncia ( n! nn ) e´ convergente. Em seguida, determine o limite desta sequeˆncia. 13. Considere a sequeˆncia de termo geral dado por an = 1 · 3 · 5 · 7 · · · (2n− 1) 2 · 4 · 6 · · · 2n . Fac¸a o que se pede: (a) Exprima an+1 em func¸a˜o de an; (b) Mostre que (an) e´ estritamente decrescente; (c) Mostre que (an) e´ convergente. 14. Considere a sequeˆncia dada por a1 = 2 e an+1 = 1 2 (an + 4), n ≥ 1. (a) Determine os cinco primeiros termos desta sequeˆncia e o 101o termo. (b) A sequeˆncia e´ mono´tona? Justifique! (c) A sequeˆncia e´ convergente? Justifique! 15. Considere a se´rie +∞∑ n=1 1− n 2n+1 para resolver os itens abaixo. (a) Encontre os treˆs primeiros termos da sequeˆncia das somas parciais. (b) Determine os nu´meros reais A,B que nos permite escrever 1− n 2n+1 = n+A 2n+1 + B n 2n . (c) Ache uma fo´rmula para a sequeˆncia das somas parciais {Sn}. (d) Calcule lim n→∞Sn. (e) A se´rie converge? Justifique. Caso afirmativo, qual e´ a sua soma? 16. Fac¸a o que se pede: (a) A sequeˆncia { (−1)n+1 lnn } n≥2 e´ convergente ou divergente. Caso seja convergente, determine seu limite. (b) A se´rie +∞∑ n=2 (−1)n+1 lnn e´ absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente? 17. Justifique as seguintes igualdades: (a) +∞∑ n=1 1 n(n+ 1) = 1 (b) +∞∑ n=1 2n+ 1 n2(n+ 1)2 = 1 (c) +∞∑ n=2 1 n2 − 1 = 3 4 18. Escreva as frac¸o˜es decimais 0, 412412412 · · · e 0, 021343434343 · · · como: (a) uma se´rie infinita; (b) encontre a soma da se´rie e a escreva como o quoci- ente de dois inteiros. 19. Determine se a se´rie dada converge ou diverge: (a) +∞∑ n=1 2 + sen3n n ; (b) +∞∑ n=1 n √ n!; 3 (c) +∞∑ n=1 3 n2 + n . 20. Assinale V ou F, justificando suas respostas: ( ) Se +∞∑ n=1 an converge e an > 0, ∀n ∈ N, enta˜o +∞∑ n=1 √ an converge. ( ) Se +∞∑ n=1 an e +∞∑ n=1 bn sa˜o divergentes, enta˜o +∞∑ n=1 (anbn) e´ divergente. ( ) Seja (Sn) a sequeˆncia de somas parciais de an. Se (Sn) e´ convergente, enta˜o lim n→+∞ an = 0. ( ) Suponha que an > 0, ∀n ∈ N e que lim n→+∞ an = 1 , enta˜o +∞∑ n=1 an diverge. ( ) Sejam p(x) e q(x) polinoˆmios com coeficientes inteiros em x, com q(n) 6= 0. Se o grau de p for menor que de q, enta˜o +∞∑ n=1 p(n) q(n) converge. 21. Considere a se´rie +∞∑ n=1 an, sendo que: a1 = 1 e an+1 = ( 1 + arctann n ) · an. Determine se a se´rie +∞∑ n=1 an converge ou diverge. 22. Mostre que, para qualquer valor de x, temos: senx− 1 2 sen2 x+ 1 4 sen3 x− 1 4 sen4 x+ · · ·+ (−1)n 1 2n senn+1 x+ · · · = 2 senx 2 + senx . 23. Para k > 1, determine se a se´rie +∞∑ n=1 (−1)n sen ( 1 nk ) n converge ou diverge. Justifique! 24. Seja (an) uma sequeˆncia infinita tal que lim n→+∞ an = L. Mostre que +∞∑ n=1 (an − an+1) = a1 − L. 25. Se +∞∑ n=1 an = S 6= 0, mostre que +∞∑ n=1 (an + an+1) = 2S − a1. 26. Verifique se sa˜o convergentes: (a) +∞∑ n=1 1 n √ n (b) +∞∑ n=1 1 3 √ n2 + 3 (c) +∞∑ n=1 1 n √ 10 (d) +∞∑ n=1 cosn+ 3 6n (e) +∞∑ n=1 1√ 2n3 + 3 (f) +∞∑ n=1 1 n5 + pi (g) +∞∑n=1 n lnn (h) +∞∑ n=1 senn (i) +∞∑ n=3 2−n + 5−n 4 (j) +∞∑ n=1 1√ 1 + n2 + n (k) +∞∑ n=1 ( 1 5n + n ) (l) +∞∑ n=1 n+ 1 n2 (m) +∞∑ n=1 3 + (−1)n 3n (n) +∞∑ n=1 1 n2n (o) +∞∑ n=1 sen 2 (pi n ) 27. Se f(n)→ L, enta˜o prove que +∞∑ n=1 [f(n)− f(n+ 1)] = f(1)− L. 28. Prove que: (a) +∞∑ k=1 3k + 5k 15k = 3 4 (b) 1 3 + 2 32 + 1 33 + 2 34 + 1 35 + 2 36 + · · · = 5 8 (c) +∞∑ k=1 √ k + 1−√k√ k2 + k = 1 (d) +∞∑ k=1 2k − 1 3k = 1 Sugesta˜o: 2k−1 = 3k−(k+1)⇒ 2k − 1 3k = k 3k−1 − k + 1 3k (e) +∞∑ n=2 1 2n = 1 2 (f) +∞∑ n=1 1 n(n+ 1)(n+ 2) = 1 4 (g) +∞∑ n=1 1 (2n− 1)(2n+ 1) = 1 2 29. Classifique as afirmac¸o˜es abaixo como verdadeira (V ) ou falsa (F ) dando uma demonstrac¸a˜o ou um contra- exemplo. (a) ( ) Toda sequeˆncia limitada e´ convergente; (b) ( ) Toda sequeˆncia limitada e´ mono´tona; (c) ( ) Toda sequeˆncia mono´tona e´ limitada; (d) ( ) Toda sequeˆncia divergente e´ na˜o mono´tona; (e) ( ) Toda sequ¨eˆncia convergente e´ mono´tona; (f) ( ) Toda sequeˆncia divergente e´ na˜o limitada; (g) ( ) Se (an) e (bn) sa˜o sequeˆncias tais que lim n→+∞ an = 0, enta˜o a (anbn) e´ convergente; (h) ( ) A sequeˆncia (an) definida por a1 = 1 e an+1 = nan n+ 1 e´ convergente; (i) ( ) Se an ≤ bn, ∀ n, tal que (bn) e´ convergente, enta˜o (an) e´ convergente; (j) ( ) Se (|an|) e´ convergente, enta˜o (an) e´ convergente; (k) ( ) Se +∞∑ n=1 an converge e an ≥ 0, ∀ n, enta˜o +∞∑ n=1 √ an converge; (l) ( ) Se +∞∑ n=1 an e +∞∑ n=1 bn divergem, enta˜o +∞∑ n=1 (an + bn) diverge; (m) ( ) Se +∞∑ n=1 an converge, enta˜o +∞∑ n=100 an converge; (n) ( ) Se +∞∑ n=1 an e +∞∑ n=1 bn divergem, enta˜o +∞∑ n=1 (anbn) converge; (o) ( ) Se +∞∑ n=1 an diverge, enta˜o lim n→+∞ an = L 6= 0; (p) ( ) Se +∞∑ n=1 an diverge, enta˜o +∞∑ n=1 an 2 diverege; (q) ( ) Se +∞∑ n=1 an diverge e an 6= 0,∀ n ≥ 1, enta˜o +∞∑ n=1 1 an converge; 5 (r) ( ) Se (an) e´ uma sequeˆncia constante, enta˜o +∞∑ n=1 an diverge; (s) ( ) Se lim n→+∞ an bn = 0 e +∞∑ n=1 bn diverge, enta˜o +∞∑ n=1 an diverge. (t) ( ) Se lim n→+∞ an bn = +∞ e +∞∑ n=1 bn converge, enta˜o +∞∑ n=1 an converge. 30. Seja (an) uma sequeˆncia de nu´meros reais e seja (sn) a sequeˆncia definida por sn = a1+a2+· · ·+an. Considere as afirmativas abaixo: I - se (sn) e´ convergente, enta˜o lim n→+∞ an = 0; II - se lim n→+∞ an = 0, enta˜o (sn) e´ convergente; III - +∞∑ n=1 an e´ convergente se, e somente se, +∞∑ n=p an e´ convergente para todo p ∈ N. A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) e´(sa˜o): (a) apenas I. (b) apenas I e III. (c) I, II e III. (d) apenas III. (e) apenas II e III. 6
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