Lista 3 prof. Walter MAT 147 2016 I

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Terceira Lista - Mat 147
Resolver as seguintes EDO’s
1. y
′′
= x2
Rpta: y = x
4
12 + c1t+ c2
2. y
′′
= xex, y(0) = 1 e y
′
(0) = 0
Rpta: y = (x+ 2)e−x + x− 1
3. y
′′′
= xsen(x), y(0) = 0 e y
′
(0) = 0
Rpta: y = xcos(x)− 3sen(x) + x2 + 2x
4. y
′′
= 2sen(x)cos2(x)− sen3(x)
Rpta: y = sen
3(x)
3 + c1x+ c2
5. 1 + (y
′
)2 = yy
′′
Rpta: y = kcosh(x+ck )
6. yy
′′ − (y′)2 = y2ln(y)
Rpta: Ln(y) = c1ex + c2e−x
7. (1− x2)y′′ − xy′ = 2
Rpta: y = (arcsen(x))2 + c1arcsen(x) + c2
8. (1 + x2)y
′′
+ 1 + (y
′
)2 = 0
Rpta: y(1 + 1
c21
)Ln(1 + c1x)− xc1 + c2
9. 2yy
′′ − 3(y′)2 = 4y2
Rpta:
10. xy
′
(yy
′′ − (y′)2)− y(y′)2 = x4y3
Rpta:
11. y
′′
= a+bx
x2
Rpta:
12. xy
′′
= 1 + x2
Rpta:
13. y
′′
Rpta:
14. y
′′′
= x+ cos(x)
Rpta:
2
15. y
′′
= aex
Rpta:
16. y
′′
= a
y3
Rpta:
17. 2y
′′
= ey
Rpta:
18. y
′′
= −1
2y3
Rpta:
19. y
′′
+ y3 = 1
Rpta:
20. y
′′
= sen(y)cos(y) com y(0) = pi2 e y
′
(0) = −1
Rpta:
21. yy
′′ − (y′)2 = y2y′
Rpta:
22. y
′′′
= xe−x2
Rpta:
23. cos3(y)y
′′
= sen(y)
Rpta:
Resolver as seguintes EDO’s
1. y
′′ − y′ = x2
Rpta: y = c1 + c2ex − x33 − x2 − 2x
2. y
′′ − 4y′ − 5y = 5x =
Rpta: y = c1e−x + c2e5x − x+ 45
3. y
′′′ − y′ = x+ 1
Rpta: y = c1 + c2ex − c3e−x − x22 − x
4. y
′′ − 4y′ + 4y = 4(x− 1)
Rpta: y = e2x(c1x+ c2) + x
5. y
′′′
+ y
′′
+ y
′
+ y = x2 + 2x− 2
Rpta: y = c1e−x + c2cos(x) + c3sen(x) + x2 − 4
6. y
′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = (2 + x)(2− x)
Rpta: y = ex(c1x2 + c2x+ c3) + x2 + 6x+ 8
3
7. 2y
′′ − 9y′ + 4y = 18x− 4x2
Rpta: y = c1e
x
2 + c2e
4x + 1− x2
8. y
′′ − 2y′ + 5y = 25x2 + 12
Rpta: y = ex(c1cos(2x) + c2sen(2x)) + 2 + 4x+ 5x2
9. y
′′
+ y
′ − 2y = 2x, y(0) = 0, y′(0) = 1
Rpta: y = ex − e−2x2 − x− 12
10. y
′′
+ 2y
′
+ 3y = 9x
Rpta: y = c1e−xcos(
√
2x) + c2e
−xsen(
√
2x) + 3x− 2
11. y
′′
+ y
′
+ y = x4 + 4x3 + 12x2
Rpta:
12. y
′′ − 6y′ + 9y = 2x2 − x+ 3
Rpta:
13. y
′′
+ 4y
′ − 5y = 1
Rpta:
14. y
′′ − 2y′ + y = −2
Rpta: y =
15. y
′′
+ 9y = 9
Rpta: y =
16. y
′′
+ 2y
′
+ 2y = 1 + x
Rpta: y =
17. 7y
′′ − y′ = 14x
Rpta: y =
18. y
′′ − 4y′ + 4y = x2
Rpta: y =
19. y
′′
+ 8y
′
= 8x
Rpta: y =
20. y
′′ − 2y′ + y = x3
Rpta: y =
21. y
′′ − 4y′ + 4y = x2
Rpta: y =
22. y
′′ − y′ + y = x3 + 6
Rpta: y =
4
23. y
′′ − 7y′ + 12y = −e4x
Rpta: y =
24. y
′′ − 4y′ + 4y = xe2x
Rpta: y =
25. y
′′ − 6y′ + 9y = ex
Rpta: y =
Transformada de Laplace
1. Determinar quais das seguintes func¸o˜es e´ contı´nua por partes:
(a)
f(t) =
{
2 se 0 ≤ t < 3
4 se 3 ≤ t
(b)
f(t) =
{
t+ 2 se 0 < t < 1
t
2 se 1 < t < 8
(c)
f(t) = et
2
2. Determinar quais das seguintes func¸o˜es e´ de ordem exponencial:
(a) f(t) = sen(5t)
(b) f(t) = t5
(c) f(t) = senh(t)
3. Determinar
L{cos2(αt)}
4. Provar que
L{tcosh(at)} = s
2 + a2
(s2 − a2)2
5. Determinar
L{senh(t)
t
}
6. Determinar
L{tncos(at)}
7. Provar que
L{sen
2(t)
t
} = 1
4
Ln(
s2 + 4
s2
)
8. Determinar
L{e
t − cos(t)
t
}
5
9. Provar que
L{e−ax
∫ t
0
eaxF (x)dx} = f(s)
s+ a
Onde L{F (x)} = f(s)
10. Provar que
L{cos(at)− cos(bt)
t
} = 1
2
Ln(
s2 + b2
s2 + a2
)
11. Determinar, em func¸a˜o de L{f(t)},
L{te2tf ′(t)}
12. Determinar
L{e
t(cos(t)− 1)
t
}
13. Determinar
L{ 1
(1− e−t)2 }
14. Determinar
L{
∫ t
0
sen(u)
u
du}
15. Provar que
L{
∫ 3t
t
sen(x)
x
dx} = 1
s
arctg(
2s
s2 + 3
)
16. Determinar
L{
∫ t
0
x2cos(x) + e−xsen(x)
x
dx}
17. Provar que
L{
∫ t
0
1− e−u
u
du} = 1
s
Ln(1 +
1
s
)
18. Determinar
L{
∫ ∞
t
sen(u)
u
du}
19. Determinar
L{
∫ ∞
t
cos(u)
u
du}
20. Determinar
L{
∫ ∞
t
e−x
x
dx}
21. Provar que ∫ ∞
0
e−tsen(t)
t
dt =
pi
4
22. Provar que ∫ ∞
0
e−3t − e−6t
t
dt = Ln(2)
6
Transformada de Laplace Inversa
1. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{3s− 12
s2 + 8
}
2. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{ 1
2s− 5}
3. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{ s
s2 − 2pis+ 2pi2 }
4. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{3s− 8
s2 + 4
− 4s− 24
s2 − 16}
5. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{ 2
(s+ 1)5
}
6. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{2s− 6
s3 − s }
7. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{ 3s+ 2
4s2 + 12s+ 9
}
8. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{ s
2 − 2s+ 2
(s+ 3)(s2 + 2s+ 2)
}
9. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{ s
2 − 2s+ 3
(s− 1)2(s+ 1)}
10. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{ 1
s3 + a3
}
11. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{1− 2
√
3s
4s2 + 1
}
7
12. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{2s
3 + 10s2 + 8s+ 40
s2(s2 + 9)
}
13. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{ 2s
2 − 9s+ 19
(s+ 1)2(s+ 3)
}
14. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{ s
2 + 2s+ 3
(s2 + 2s+ 2)(s2 + 2s+ 5)
}
15. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{ 1
s5 + 4s4 + 13s3 + 62s2 + 149s+ 130
}
16. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{ 2s
2 − 4
(s+ 1)(s− 2)(s− 3)}
17. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{ 19s+ 37
(s− 2)(s+ 1)(s+ 3)}
18. Dado a > 0 e L−1{f(s)} = F (t), provar que:
L−1{f(as)} = 1
a
F (
t
a
)
19. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{Ln( s
2 + 1
s(s+ 3)
)}
20. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{Ln(1 + k
2
s2
)}
21. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{Ln(1 + k
2
s3
)}
22. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{1
s
Ln(
s2 + a2
s2 + b2
)}
8
23. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{Ln((s+ a)(s
2 + c2)
(s+ b)(s− c)2 )}
24. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{ e
−4s
(s+ 2)2
}
25. Calcular a transformada de Lagrange inversa:
L−1{ 1
s3(1− e−2s)}
EDO’s Usando Transformada de Laplace Inversa
1. Resolver a EDO:
y
′′
+ y = 9t
Com y(0) = 0 e y
′
(0) = 7
2. Resolver a EDO:
y
′′ − 3y′ + 2y = 4t+ 12e−t
Com y(0) = 6 e y
′
(0) = −1
3. Resolver a EDO:
y
′′ − 4y′ + 5y = 125t2
Com y(0) = 0 e y
′
(0) = 0
4. Resolver a EDO:
y
′′
+ 9y = 18t
Com y(pi2 ) = 6 e y
′
(0) = 0
5. Resolver a EDO:
y
′′ − 4y′ + 3y = F (t)
Com y(0) = 1 e y
′
(0) = 0
6. Resolver a EDO:
ty
′′ − (4t+ 1)y′ + 2(2t+ 1)y = 0
Com y(0) = 0
7. Resolver o sistema de EDO’s: {
x
′′
+ y
′
+ 3x = 15e−t
y
′′ − 4x′ + 3y = 15sen(2t)
Tal que x(0) = 35, x
′
(0) = −48, y(0) = 27 e y′(0) = −55
9
8. Resolver o sistema de EDO’s: {
2x
′
+ 2x+ y
′ − y = 3t
x
′
+ x+ y
′
+ y = 1
Tal que x(0) = 0 e y(0) = 3
9. Resolver o sistema de EDO’s: {
x
′′ − x′ + 5y′ = t
y
′′ − 4y′ − 2x′ = −2
Tal que x(0) = 0, x
′
(0) = 0, y(0) = 0 e y
′
(0) = 0
10. Resolver o sistema de EDO’s:{
x
′′ − 3x′ − y′ + 2y = 14t+ 3
x
′ − 3x+ y′ = 1
Tal que x
′
(0) = 0 e y
′
(0) = 6, 5
Setembro de 2015-Vic¸osa
Walter