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Influência da Velocidade de Deformação na Tenacidade à Fractura do Chumbo Tecnicamente-Puro

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Influência da Velocidade de Deformação na Tenacidade à 
Fractura do Chumbo Tecnicamente-Puro 
 
 
 
 
 
 
 
 
Carlos Manuel Alves da Silva 
 
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em 
Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
 
 
Júri 
 
Presidente: Prof. Pedro Miguel dos Santos Vilaça da Silva 
Orientador: Prof. Pedro Alexandre Rodrigues Rosa 
Vogal: Prof. Paulo António Firme Martins 
 
 
 
 
Outubro de 2007 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Human progress has gone step by step with the discovery of better materials of which to 
make cutting tools, and the history of man is therefore broadly divisible into the Stone Age, 
the Bronze Age, the Iron Age and the Steel Age” 
 
Kenneth P. Oakley 
 
 3
Agradecimentos 
 
A todos aqueles que contribuíram para a realização da presente dissertação, apresento os meus 
melhores agradecimentos. Em especial: 
 
Ao meu orientador cientifico, Professor Pedro Alexandre Rodrigues Rosa, apresento os meus 
sinceros agradecimentos pelo seu encorajamento e apoio, bem como pelos conhecimentos 
transmitidos. 
 
Ao Professor Paulo António Firme Martins apresento os meus sinceros agradecimentos pela sua 
disponibilidade e preciosa colaboração prestada na clarificação de conhecimentos e organização da 
presente tese. 
 
Ao Mestre Valentino Anok Melo Cristino pela sua ajuda perante as mais diversas dificuldades que 
foram surgindo durante o desenvolvimento deste trabalho 
 
Ao Professor Luís Alves, apresento um agradecimento muito especial pela sua incansável 
colaboração. 
 
Ao Mestre. Telmo Jorge Gomes dos Santos agradeço as sugestões e colaborações em tarefas 
concretas do trabalho. 
 
À Secção de Tecnologia Mecânica do Instituto Superior Técnico, agradeço todas as facilidades e 
meios concedidos que tornaram possível a realização desta dissertação. 
 
 
 I
 II
 
Resumo 
 
O conhecimento da física por detrás da separação do material, junto à aresta de corte, é de grande 
importância para a compreensão dos mecanismos de formação da apara. No entanto, o modo como 
esta separação ocorre, na formação da apara e da superfície maquinada, ainda não está totalmente 
compreendido. Esta é uma questão relevante para a compreensão e a modelação dos processos de 
corte por arranque de apara. 
 
A modelação teórica dos processos de corte por arranque de apara pode basear-se em dois pontos 
de vista diferentes. Por um lado, a visão tradicional que considera o mecanismo de formação de 
apara um problema meramente do domínio da teoria da plasticidade, argumentando que a energia 
necessária para a abertura de novas superfícies é desprezável. Pelo outro lado, o ponto de vista não 
tradicional e controverso [1], apresenta a abertura de fissuras junto da aresta de corte como um 
fenómeno fundamental para a compreensão do mecanismo de formação de apara. Onde a energia 
consumida na abertura de novas superfícies é função dos materiais e das condições de corte 
utilizados. 
 
Este trabalho de investigação procura desenvolver uma metodologia experimental para a 
quantificação da energia necessária à abertura de novas superfícies, tenacidade à fractura, em 
função dos principais parâmetros operativos. Os ensaios experimentais de fractura dúctil foram 
conduzidos em provetes de chumbo tecnicamente-puro, projectados com o objectivo de reproduzir o 
estado de tensão e de deformação junto da aresta de corte. Para o devido efeito, foi desenvolvida e 
instalada uma máquina de ensaios no Laboratório de Tecnologia Mecânica do Instituto Superior 
Técnico, capaz de reproduzir as condições da velocidade de deformação típicas do processo de 
maquinagem. A componente teórica da tese consistiu na realização da simulação numérica dos 
ensaios de fractura dúctil. Tendo este trabalho servido de base à avaliação da capacidade preditiva 
do método dos elementos finitos, exclusivamente baseado na teoria da plasticidade, quando aplicado 
a casos de estudo onde a formação de fissuras é parte integrante do processo (processos de corte 
por arranque de apara ou corte por arrombamento). 
 
O trabalho desenvolvido no âmbito desta tese resultou numa análise compreensiva do 
comportamento à fractura do chumbo tecnicamente puro, tendo sido quantificada a influência da 
velocidade de deformação na tenacidade à fractura. A correlação dos valores teóricos com os 
resultados experimentais mostrou a importância que a energia de formação de novas superfícies tem 
na modelação de processos onde ocorre a separação de material. 
 
 
 
 
 III
 IV
 
Abstract 
 
The knowledge of the physics behind the separation of material at the tool tip of is of great importance 
for understanding the mechanisms of chip formation. How material separates along the parting line to 
form the chip and cut surface is still not well understood. This is a relevant question in the 
comprehension for the modelling of the metal cutting processes. 
 
The theoretical modelling of the cutting process is based on two are two different points of view [1]. 
The traditional vision considers that the chip formation mechanism is a problem based simply on the 
plasticity theory and any energy required for the formation of new surfaces is negligible. The non-
traditional and controversial view of metal cutting states the presence of crack next to the tool tip as a 
fundamental phenomenon for the comprehension of the process, where the energy to form new 
surfaces depends on the material and the imposed cutting conditions. 
 
This thesis proposes to develop an experimental methodology for the quantification of the energy 
consumed for the generation of new surfaces next to the tool tip, also known as ductile fracture 
toughness, as a function of the main operative parameters. The experimental work was carried out 
with technically-pure lead, with the intention of recreating the stress/strain conditions next to the tool 
tip. The experimental apparatus was designed and built in the installations of Manufacturing and 
Process Technology Laboratory (MPT lab) of Instituto Superior Técnico (IST), capable to reproduce 
the typical strain rate conditions at metal cutting. The theoretical component of this thesis was 
supported by the numerical simulation of the ductile fracture characterization. The results serve as 
basis to evaluate the Finite Element Method (FEM) predictions, based simply on the plasticity theory, 
when applied on processes where the energy required for the formation of new surfaces has an 
important role (metal cutting and/or blanking). 
 
The present dissertation aims to be a comprehensive analysis of the fracture behaviour of technically-
pure lead by quantifying influence of the strain rate on the ductile fracture toughness. The correlation 
of the theoretical and the experimental values demonstrated the essential role of the energy required 
for the formation of new surfaces on the modelling of manufacturing processes with material 
separation. 
 
 
 
 
 
 V
 VI
 
Palavras-Chave 
 
Corte por arranque de apara 
Ensaios de Impacto 
Método dos elementos finitos 
Mecânica da fractura dúctil 
Experimentação 
 
 
 
 
 
Keywords 
 
Metal cutting 
Impact Test 
Finite element method 
Ductile fracture mechanics 
Experimentation 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 VII
 VIII
 
Índice 
 
Agradecimentos I 
Resumo III 
Abstract V 
Palavras-Chave VII 
Keywords VII 
Índice IX 
Lista de Figuras XI 
Lista de Tabelas XV 
Nomenclatura XVII 
Abreviaturas.XIX 
Organizações XIX 
1 Introdução 1 
2 Fundamentos Teóricos 5 
2.1 Teoria da Plasticidade 5 
2.1.1 Tensão, Extensão e Velocidade de Deformação 5 
2.1.2 Critérios de Plasticidade 7 
2.1.3 Equações Constitutivas 9 
2.2 Mecânica da Fractura 11 
2.2.1 Mecânica da Fractura Linear Elástica (MFLE) 11 
2.2.2 Extensão da Mecânica da Fractura Linear Elástica à Plasticidade 15 
2.3 Método dos Elementos Finitos Aplicado à Deformação Plástica 17 
2.3.1 Analise dos Fundamentos da Formulação 17 
2.3.2 Discretização 18 
2.3.3 Técnicas Numéricas 19 
2.3.4 Sistema de Elementos Finitos I-FORM2 21 
2.3.5 Modelo de Elementos Finitos Utilizado 22 
3 Mecanismo de Formação de Apara 25 
3.1 Fundamentos do Corte por Arranque de Apara 25 
3.1.1 Avaliação dos Modelos Teóricos 27 
3.2 Comportamento Mecânico de Materiais Metálicos para Grandes Deformações Plásticas 28 
3.3 Novas Estratégias para o Corte por Arranque de Apara 37 
4 Desenvolvimento experimental 39 
4.1 Matéria-prima 39 
4.1.1 Provetes de caracterização mecânica e de fractura 40 
4.2 Caracterização mecânica do material 41 
4.3 Aparato experimental 44 
4.3.1 Calibrações 49 
 IX
4.4 Plano de ensaios 53 
5 Resultados e Discussão 55 
5.1 Tenacidade à Fractura do Chumbo Tecnicamente-Puro 56 
5.1.1 Curvas Força-Deslocamento 56 
5.1.2 Evolução da Tenacidade á fractura R 58 
5.2 Análise da aplicabilidade dos programas de elementos finitos 62 
5.2.1 Conceito de Energia por Unidade de Volume 65 
6 Conclusões e Perspectivas de Trabalho Futuro 71 
7 Referencias 75 
 
 
 
 
 
 X
 
Lista de Figuras 
 
Figura 1.1 – Comparação dos modelos teóricos do corte por arranque de apara com os ensaios 
experimentais, onde se apresenta a evolução do ângulo do plano de corte (φ) em função da direcção 
da força resultante (β-α) [11]. .................................................................................................................. 2 
Figura 2.1– Representação gráfica no espaço tridimensional de Haigh-Westergaard das superfícies 
limites de deformação elástica de Tresca e de von Mises de um material isotrópico. ........................... 8 
Figura 2.2 – Três modos de fractura e as respectivas zonas plásticas típicas..................................... 12 
Figura 2.3 – Problema de fractura de Griffith, pequena fenda elíptica numa placa infinita, carregada 
nos seus limites; b) Diagrama carga-deslocamento do problema de fractura de Griffith. .................... 13 
Figura 2.4 – Geometria dos provetes entalhados carregados ao corte................................................ 15 
Figura 2.5 – Estrutura do sistema de elementos finitos I-FORM2. ....................................................... 22 
Figura 2.6 – Modelo de elementos finitos utilizado na simulação numérica dos provetes entalhados 
(c = 1 mm) com uma velocidade de ensaio de 0,001 m/s; a) Estágio inicial; b) Depois da compressão 
equivalente a um deslocamento de 0.6 mm, correspondente ao pico de carga máximo experimental.
............................................................................................................................................................... 23 
Figura 3.1 – Representação do mecanismo de formação de apara, no qual a ferramenta se desloca 
da direita para a esquerda; a) Equilíbrio de forças transmitidas ao longo da interface apara/ferramenta 
e do plano de corte; b) modelo de Ernst-Merchant, o qual descreve o comportamento da apara como 
um corpo rígido...................................................................................................................................... 26 
Figura 3.2 – Ensaios de corte ortogonal conduzidos em aço SAE 9445; a) Tensão de corte em função 
da tensão normal no plano de corte; b) Observações experimentais e previsões teóricas para o 
ângulo do plano de corteφ em função da direcção da força resultante ( )α− . [39]......................... 26 β
Figura 3.3– Provete entalhado utilizado por Bridgman nos ensaios torção e compressão axial 
combinada. ............................................................................................................................................ 29 
Figura 3.4 – Efeito da trefilagem na curva tensão-extensão uniaxial (corrigida à estricção) através de 
ensaios realizados a baixa velocidade e à temperatura ambiente. [41] ............................................... 29 
Figura 3.5 – Provete utilizado para reproduzir o corte em deformação plana combinado com carga 
axial controlada [45]. ............................................................................................................................. 30 
Figura 3.6 – Evolução da tensão de corte em função da distorção para diferentes valores de tensão 
normal ao plano de corte para um aço de baixo carbono [15].............................................................. 31 
Figura 3.7 – a) Ensaio de corte realizado por Usui e colab. ;b) Fotomicrografia de provete para um 
deslocamento da ferramenta superior ao comprimento da secção de corte [16]. ................................ 32 
Figura 3.8 – Evolução da tensão de corte em função da tensão normal ao plano de corte; a) Várias 
observações experimentais para o mesmo material em diferentes condições operativas; b) Valores 
médios da totalidade das observações experimentais [49]. ................................................................. 33 
Figura 3.9 – Evolução da tensão de corte em função do volume de material em deformação plástica 
no plano de corte; a) Várias observações experimentais para o mesmo material em diferentes 
condições operativas; b) Valores médios da totalidade das observações experimentais [49]............. 33 
 XI
Figura 3.10- Evolução da tensão de corte em função da distorção medida no plano de corte. a) Várias 
observações experimentais para o mesmo material em diferentes condições operativas; b) Valores 
médios da totalidade das observações experimentais. [49] ................................................................. 34 
Figura 3.11 – Fases da abertura de fissuras em metais dúcteis: nucleação, crescimento e 
coalescimento de defeitos [52]. ............................................................................................................. 35 
Figura 3.12 – Estimativa da evolução da tensão média, mσ , obtida com base no método de 
elementos finitos através do software I-CUT2, para diferentes instantes do mecanismo de formação 
da apara ( º10=α e ) [53]. .................................................................................................... 35 mmt 5.00 =
Figura 3.13 – Observação SEM da raiz da apara mostrando uma fissura sendo formada por tensões 
de corte; a) Ampliação da superfície maquinada (figura anexa mostra a secção metalográfica); b) 
Observação do modo de abertura de fissura II (escorregamento) [53]. ............................................... 36 
Figura 4.1 – Representação dos provetes cilíndricos utilizados nos ensaios de compressão; a) 
representação esquemática; b) provete de chumbo utilizado na caracterização mecânica do chumbo 
tecnicamente-puro................................................................................................................................. 40 
Figura 4.2– Provetes cilíndricos duplamente entalhados utilizados nos ensaios de compressão; a) 
provete de fractura; b) esquema do provete; c) ferramenta especial utilizada no fabrico dos provetes.
............................................................................................................................................................... 41 
Figura 4.3 – Ajuste das curvas de tensão-extensão dependentes da velocidade de deformação 
recorrendo à equação de Voce. ............................................................................................................ 42 
Figura 4.4 – Prensahidráulica utilizada na caracterização da fractura do chumbo tecnicamente puro; 
a) Punção e matriz utilizada nos ensaios.............................................................................................. 44 
Figura 4.5 – Instrumentação utilizada nos ensaios de fractura; a) Esquema do aparato experimental b) 
Amplificador de sinal Kistler 5011B; c) Piezoelectrico Kistler 9257B; c) Transdutor Linear Balluff 
BTL5.-A11-M0600-P-S32. ..................................................................................................................... 45 
Figura 4.6 – Elementos constitutivos do martelo de queda; a) Estrutura do martelo de queda; b) 
Sistema de elevação do martelo de queda; c) Carro de elevação; d) Carro de impacto; e) Ferramenta 
(punção/matriz)...................................................................................................................................... 46 
Figura 4.7 – Ferramenta do martelo de queda para ensaios de fractura; a) Ferramenta dos ensaios de 
fractura; b) Punção/matriz; c) Sistema de incorporação de LVDT; d) Célula de carga. ....................... 46 
Figura 4.8 – Aparato experimental utilizado nos ensaios de fractura; a) Esquema da instrumentação 
utilizada na caracterização da fractura; b) LVDT Solartron; c) Célula de carga; d) Amplificador de 
sinal; e) Encoder Balluff......................................................................................................................... 47 
Figura 4.9 – Célula de carga com tecnologia de extensómetria em ponte de Wheatstone; a) Produtos 
e utensílios utilizados na elaboração da célula de carga; b) Colagem e soldam dos extensómetros; c) 
Esquema de ponte de Wheatstone; ...................................................................................................... 48 
Figura 4.10- Calibração da célula de carga a partir de uma célula C9B 20 KN e do Piezoeléctrico 
Kistler..................................................................................................................................................... 49 
Figura 4.11– Valores de pico a pico (Voltagem) do LVDT em função do deslocamento do micrómetro 
digital; a) Sinal de saída do LVDT em função de deslocamento do núcleo móvel; b) Esquema de 
funcionamento do LVDT........................................................................................................................ 50 
 XII
Figura 4.12 – Valor de impulsos do “encoder” em função do deslocamento percorrido pelo carro de 
elevação. ............................................................................................................................................... 51 
Figura 4.13 – Sistema de aquisição de dados consiste em: a) Software MK06 desenvolvido pelo autor 
(Painel frontal); b) Placa DAQ NI-PCI-6070E (M10-16E-1) 16 entradas analógicas a 1.25 MS/s, 
resolução de 12bits e escala de entrada de ± 10V; c) Terminal de blocos CB-68LP com 68 terminais.
............................................................................................................................................................... 52 
Figura 5.1 – Comparação entre a zona de deformação plástica do provete de fractura cilíndrico 
duplamente entalhado e a zona em deformação plástica do plano de corte durante o mecanismo 
de formação de apara [61]. ................................................................................................................... 55 
s
Figura 5.2 – Geometria dos provetes utilizados na caracterização da tenacidade á fractura 
( ; ; ). O lado direito da figura representa um provete deformado após o 
ensaio. ................................................................................................................................................... 56 
5.8=ar 3.12=H 15=extr
Figura 5.3 – Evolução experimental da carga vs deslocamento para diferentes valores de utilizados 
no ensaio de corte sob condições de diferentes velocidades de corte: a) 0,001 m/s; b) 4 m/s; c) 10 
m/s. ........................................................................................................................................................ 57 
c
Figura 5.4 – Evolução das forças máximas em função da espessura de ligação para as diversas 
velocidades em que se efectuaram os ensaios. ................................................................................... 58 
Figura 5.5 – Evolução da energia W em função da espessura de ligação para as diversas 
velocidades em que se efectuaram os ensaios. ................................................................................... 59 
Figura 5.6 – Evolução da tenacidade á fractura em função da espessura de ligação para as 
diversas velocidades em que se efectuaram os ensaios...................................................................... 60 
c
Figura 5.7– Evolução em termos médios da tenacidade á fractura em função da velocidade de corte 
referente aos diferentes valores de espessuras de ligação correspondente aos provetes de fractura 
utilizados nos ensaios de fractura. ........................................................................................................ 60 
c
Figura 5.8– Evolução da tenacidade á fractura R em função da espessura de ligação e da 
velocidade de ensaio ......................................................................................................................... 61 
c
v
Figura 5.9- Simulação numérica do ensaio de fractura dúctil a 10 m/s em provetes cilíndricos com 
 no programa de elementos finitos I-FORM2; a) campo da extensão efectiva, após um 
incremento de deformação de 0.01mm; b) campo da extensão efectiva correspondente ao 
deslocamento verificado experimentalmente no início da fractura. ...................................................... 62 
5.1=c
Figura 5.10 – Simulação numérica da carga vs deslocamento para os diferentes valores de 
utilizados no ensaio de corte a) “quasi-estático” (0.001 m/s) b) 4 m/s c) 10 m/s. ............................. 63 c
Figura 5.11 – Evolução das forças máximas em função da espessura de ligação para as diversas 
velocidades em que se efectuaram as modelações em elementos finitos através do programa de 
simulação numérica. I-FORM2.............................................................................................................. 64 
Figura 5.12 – Comparação das cargas máximas obtidas nos ensaios experimentais de fractura com 
as verificadas na simulação numérica, sob condições de várias velocidades de corte: a)0,001; m/s; b) 
1 m/s; c) 2 m/s; d) 4, 6 e 10 m/s. ........................................................................................................... 65 
 XIII
Figura 5.13. – Simulação numérica da evolução do valor da largura da zona de deformação plástica 
 com o aumento da velocidade de corte b v , para um provete com espessura de ligação entre 
entalhes de =1,5. a) 0,001 m/s; b) 4 m/s; c) 10 m/s........................................................................... 66 c
Figura 5.14 – Evolução da tenacidade à fractura R , da espessura da zona de deformação plástica 
e da energia por unidade de volume U em função da espessura de ligação para uma velocidade de 
corte de a) 0,001 m/s b) 4 m/s c) 10 m/s............................................................................................... 67 
b
Figura 5.15 – Largura da zona de deformação plástica b das simulações em modelos com diversas 
espessuras de ligação, para uma extensão efectiva de 0,02, em função da velocidade de ensaio. ... 68 
Figura 5.16 – Evolução da energia por unidade de volume U em função da velocidade de corte, 
correspondente ás diversas espessuras de ligação dos modelos utilizados na simulação numérica. 68 
Figura 5.17– Simulação numérica da evolução da velocidade de deformação com o aumento da 
velocidade de corte,para um provete com espessura de ligação entre entalhes de c=1.5. a) 0.001 
m/s; b) 4 m/s; c) 10 m/s. ........................................................................................................................ 69 
 
 XIV
 
Lista de Tabelas 
 
Tabela 4.1 – Propriedades físicas e metalúrgicas do chumbo tecnicamente puro............................... 39 
Tabela 4.2 – Valores das dimensões dos provetes cilíndricos utilizados nos ensaios de caracterização 
mecânica do chumbo tecnicamente puro.............................................................................................. 40 
Tabela 4.3 – Valor das dimensões dos provetes cilíndricos utilizados nos ensaios de caracterização 
de fractura do chumbo tecnicamente puro............................................................................................ 41 
Tabela 4.4 – Parâmetros da equação de Voce para ajuste do comportamento mecânico do chumbo 
sob condições de diferentes velocidades de deformação. ................................................................... 43 
Tabela 4.5 – Propriedades do martelo de queda desenvolvido para caracterizar a fractura do chumbo 
tecnicamente puro. ................................................................................................................................ 47 
Tabela 4.6 – Valores das espessuras de ligação dos provetes utilizados nos ensaios de fractura e das 
respectivas velocidades de ensaio........................................................................................................ 53 
 
 XV
 XVI
 
Nomenclatura 
 
Apresentam-se de seguida os principais símbolos utilizados nesta dissertação e o seu significado 
A – Área da fissura 
a – Comprimento da fissura 
b – Largura da zona de deformação plástica 
 B – Matriz das velocidades de deformação 
 C – Representação matricial do símbolo de Kronecker 
C – Constante de maquinagem 
 – Espessura de ligação dos provetes de fractura c
 D – Matriz que relaciona a tensão desviadora com a velocidade de deformação 
E – Módulo de Young 
)( ijF σ – Função limite de elasticidade 
F – Força de corte 
wF – Trabalho exercido pela força aplicada 
G – Parâmetro energético 
H – Altura dos provetes de fractura 
0H – Altura inicial dos provetes de compressão 
iI – Invariante do tensor das tensões 
iJ – Invariante do tensor desviador das tensões 
k – Tensão limite de elasticidade em corte puro 
K – Constante associada aos critérios de plasticidade 
sk – Pressão especifica de corte 
n – Índice de trabalho de dureza 
 N – Matriz das funções interpoladoras 
Q – Factor de correcção de atrito 
R – Tenacidade á fractura 
S – Constante do material 
U – Energia elástica 
v – Velocidade de ensaio 
W – Energia requerida para o avanço da fissura 
 
 
 
 
 XVII
 
Símbolos gregos 
 
ijδ – Delta de Kronecker 
ε – Extensão verdadeira 
ijε – Tensor das extensões 
ε – Extensão efectiva 
fε – Extensão efectiva na fractura 
ijε& – Tensor das velocidades de deformação 
ε& – Velocidade de deformação 
ε& – Velocidade de deformação efectiva 
λd – Constante de proporcionalidade das equações de Lévy Mises 
μ – Coeficiente de atrito 
ν – Coeficiente de Poisson 
σ – Tensão verdadeira ou de Cauchy 
eσ – Tensão limite de elasticidade no ensaio de tracção uniaxial 
iσ – Tensão principal 
jσ – Tensor das tensões 
ijσ ′ – Tensor desviador das tensões 
σ – Tensão efectiva 
mσ – Tensão média ou hidrostática 
τ – Tensão de corte 
yτ – Tensão de cedência rígido-plástica 
γ – Distorção 
vΔ – Termo de correcção da velocidade 
 
 
 
 
 
 
 XVIII
 
Abreviaturas. 
 
CAD Computer Aided Design 
CAM Computer Aided Manufacturing 
CNC Computer Numerical Control 
CTOD Crack Tip Opening Displacement 
DAQ Data Acquisition 
CFC Cúbica de Faces Centradas 
MFLE Mecânica da Fractura Linear Elástica 
FEM Finite Element Method 
LVDT Linear Variable Differential Transformer 
MFEP Mecânica da Fractura Elasto-Plástica 
MFNLE Mecânica da Fractura não Linear Elástica 
PFO Plasticity and Friction Only analysis 
 
 
Organizações 
 
UTL Universidade Técnica de Lisboa (Technical University of Lisbon) 
IST Instituto Superior Técnico 
STM Secção de Tecnologia Mecânica 
DEM Departamento de Engenharia Mecânica 
ASME American Society of Mechanical Engineers 
DIN Deutsches Institut für Normung 
ISO International Organization of Standardization 
NI National Instruments 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 XIX
 
 XX
 
1 Introdução 
 
Existem dois pontos de vista diferentes sobre os fundamentos do corte por arranque de apara e sobre 
a forma como as aparas são formadas [1]. A visão tradicional considera que o mecanismo de 
formação de apara é um problema meramente do domínio da teoria da plasticidade, considerando 
desprezável a energia necessária para a abertura de novas superfícies [2]. Esta aproximação está 
inerente aos trabalhos pioneiros de Piispanen [3], Ernst e Merchant [4], Lee e Shaffer [5] e está 
implícita nas principais contribuições para a compreensão do processo conduzidas por Zorev [6], 
Shaw [2], Oxley [7] e muitos outros investigadores, aparecendo como primeira opção nos cursos 
leccionados na maioria das universidades e escolas politécnicas. 
 
O outro ponto de vista, não tradicional e controverso, apresenta a abertura de fissuras junto da aresta 
de corte como um fenómeno fundamental para a compreensão do mecanismo de formação de apara. 
A energia consumida na abertura das novas superfícies é considerada significativa, alcançando 
valores na ordem dos 2mkJ , contrariamente aos 2mJ derivados da tensão superficial [2], 
considerados no conceito anterior. Este conceito foi apresentado por Atkins [8], fundamentado pela 
elevada deformação plástica que se verifica na vizinhança da fissura junto da aresta de corte. 
 
A aceitação de um mecanismo de formação de apara exclusivamente baseado na teoria da 
plasticidade pareceria à primeira vista a opção mais segura tendo em conta o elevado numero de 
trabalhos científicos realizados neste domínio, assim como, os autores de renome que o apoiam. No 
entanto, será de estranhar um conjunto de relatos ao longo da história da investigação neste domínio, 
os quais referem problemas na utilização preditiva dos seus modelos teóricos. São exemplo disso 
Watkins and Wilkinson [9], Chisholm and McDougall [10], Pugh [11], Creveling, Jordan and Thomsen 
[12], ou Astakov [13]. O resultado de todos estes trabalhos de investigação, onde se procurou avaliar 
a qualidade dos modelos analíticos do corte por arranque de apara, encontram-se sumarizados na 
Figura 1.1. Muitos outros investigadores indicaram o complexo escoamento do material da apara 
como a principal razão para esta diferença. Outros indicaram ainda a caracterização mecânica e/ou 
tribologica como possível causa. No entanto, a simulação dos escoamentos complexos obtida através 
dos programas de elementos finitos apontaram para as mesmas dificuldades encontradas nos 
modelos analíticos [14]. Nesse trabalho, baseado numa caracterização independente das principais 
variáveis, Tekkaya [14] afirma que só é possível aproximar os valores teóricos aos experimentais 
sobrestimando o valor do coeficiente de atrito e/ou do comportamento mecânico do material. Esta é 
provavelmente a razão pela qual Astakhov [13], após analisar o trabalho de diversos investigadores, 
concluiu que os resultados da modelação numérica parecem ter sempre uma boa correlação com os 
resultados experimentais, apesar dos valores particulares do coeficiente de atrito seleccionado para a 
modelação. Astakov também observou que as simulações numéricas reportadas na literaturapareciam estar limitadas a casos onde a experimentação havia sido realizada previamente, nunca 
sendo utilizados de forma preditiva. 
 1
 
 
Figura 1.1 – Comparação dos modelos teóricos do corte por arranque de apara com os ensaios 
experimentais, onde se apresenta a evolução do ângulo do plano de corte (φ) em função da direcção 
da força resultante (β-α) [11]. 
 
Recentemente foi demonstrado por Rosa [15] que quando a energia de abertura de novas superfícies 
junto da aresta de corte é devidamente contabilizada nos modelos teóricos, as suas estimativas 
reproduzem de forma ajustada as observações experimentais. Este autor realizou ensaios de corte 
ortogonal em condições laboratoriais bem controladas. Os ensaios foram realizados em condições 
“quasi-estáticas”, minimizando efeitos derivados da temperatura e da velocidade de deformação. A 
simulação numérica foi realizada com base numa caracterização independente, tanto do material, 
como da tribologia na interface de contacto material/ferramenta, através de ensaios conduzidos em 
condições similares aos ensaios experimentais de corte. A energia necessária à formação de novas 
superfícies foi contabilizada desacopladamente na simulação numérica através de trabalhos 
desenvolvidos por Atkins et al.[16]. No entanto, a quantificação desta energia foi obtida em condições 
particulares, “quasi-estáticas”, longe dos parâmetros operativos praticados na indústria. 
 
Esta tese está focada na avaliação da energia consumida na abertura de novas superfícies junto da 
aresta de corte, designada por tenacidade à fractura R. O conhecimento deste valor e da sua 
evolução em função da velocidade de deformação é imprescindível para uma correcta previsão das 
forças de corte e do campo de tensões/deformações. Onde a sua contabilização na modelação 
teórica do corte por arranque de apara, à semelhança da lei do material e da lei de atrito, permitirá 
resolver algumas das questões em aberto na modelação do processo. A existência da separação de 
material nos processos de corte por arranque de apara (também nos processo de corte por 
arrombamento), distingue este processo dos que são exclusivamente baseados na teoria da 
deformação plástica, como os processos de forjamento, de extrusão ou estampagem. Neste âmbito, 
esta tese procurará desenvolver uma metodologia experimental para avaliação da tenacidade à 
 2
fractura de materiais submetidos a elevadas velocidades de deformação, bem como avaliar a 
capacidade de previsão do método de elementos finitos quando aplicado na modelação de processos 
onde ocorra a formação de novas superfícies, tais como o processo de maquinagem e o processo de 
corte por arrombamento. 
 
A tese está organizada em seis capítulos, incluindo esta introdução e as conclusões onde se 
resumem as principais contribuições deste trabalho de mestrado. 
 
O capítulo 2 começa com uma breve revisão da teoria da plasticidade, de forma a permitir introduzir 
as bases para a utilização do programa de elementos finitos. Introduz uma breve descrição da 
extensão da teoria da mecânica da fractura linear elástica à plasticidade, apresentando os principais 
conceitos teóricos utilizados na análise dos resultados experimentais e na determinação da 
tenacidade à fractura do material. Por último, mas não menos importante, são apresentadas as 
equações básicas do programa de elementos finitos utilizado ao longo da dissertação, o programa 
I_FORM2. 
 
O capítulo 3 fornece uma descrição sumária dos fundamentos do corte ortogonal enquadrados na 
visão da mecânica das grandes deformações plásticas. Apresenta ainda uma breve descrição das 
novas estratégias utilizadas na modelação do mecanismo de formação de apara. 
 
O capítulo 4 apresenta o desenvolvimento experimental realizado no âmbito desta tese de mestrado. 
Descreve o desenvolvimento e a instalação de um martelo de queda no laboratório da Secção de 
Tecnologia Mecânica, concebido especificamente para a caracterização mecânica de materiais a alta 
velocidade. Apresenta o plano de ensaios conduzido na avaliação da tenacidade à fractura, tendo 
sido realizado no equipamento anteriormente referido e numa prensa hidráulica existente no mesmo 
laboratório. Neste capítulo, apresenta-se ainda o trabalho realizado para permitir a medição e 
aquisição das principais grandezas envolvidas nas experiências laboratoriais. 
 
O capítulo 5 apresenta de uma forma compreensiva o comportamento à fractura do chumbo 
tecnicamente puro, quantificando o seu valor em função do regime de deformação plástica imposto. 
Compara os resultados obtidos experimentalmente com as previsões teóricas obtidas pelo método 
dos elementos finitos, onde foi introduzido o comportamento mecânico do material para regimes de 
deformação similares. 
 
Esta tese termina com a apresentação das conclusões e perspectivas de trabalhos futuros no capítulo 
6. Esperando-se ter contribuído para uma melhor compreensão da mecânica de abertura de fissuras 
junto da aresta de corte em regimes de deformação mais próximos dos utilizados na prática industrial. 
 
 
 
 3
 
 
 
 
 4
 
2 Fundamentos Teóricos 
 
O novo conceito apresentado por Atkins [16] para o mecanismo de formação de apara considera um 
valor da energia de formação de novas superfícies, junto da aresta de corte, comparável à energia 
consumida tanto na deformação plástica da apara, como por atrito na face de ataque da ferramenta. 
O presente capítulo começa por apresentar os fundamentos da teoria da plasticidade que servirão de 
base à compreensão da componente teórica do trabalho, focando a sua aplicação através do método 
dos elementos finitos. Neste capítulo é ainda concedida uma especial ênfase à extensão da teoria da 
mecânica da fractura linear elástica às grandes deformações da plasticidade. 
 
 
2.1 Teoria da Plasticidade 
 
A teoria matemática infinitesimal da plasticidade descreve a mecânica da deformação de corpos 
sólidos, que por acção de solicitações exteriores sofrem deformações permanentes (deformações 
plásticas). De acordo com esta teoria, a quantificação das deformações num meio contínuo é 
realizada utilizando como variáveis independentes as coordenadas no estado deformado. Este facto 
leva a que as tensões, extensões e velocidades de deformação, devam ser expressas relativamente 
a um sistema de coordenadas fixo ao material no estado deformado. 
 
2.1.1 Tensão, Extensão e Velocidade de Deformação 
 
O conceito de tensão, está associado à noção de força aplicada por unidade de superfície. É um 
conceito puramente matemático, uma vez que não é mensurável, como são, por exemplo, as forças 
ou os deslocamentos. A generalização do conceito de tensão ao domínio tridimensional dá origem à 
noção de estado de tensão num ponto, P , que se define através do seguinte tensor das tensões, 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
σττ
τστ
ττσ
σ onde jiij ττ = (2.1) 
 
O tensor das tensões pode ser decomposto num tensor hidrostático ou de tensões médias, kkσ , 
envolvendo somente estados puros de tracção ou de compressão, e num tensor desviador, ijσ ′ , onde 
as componentes normais são o remanescente da tensão hidrostática para a total. 
 
 
 
 5
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
′
′
′
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=′+=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
m
m
m
ijkkijij
σττ
τστ
ττσ
σ
σ
σ
σσδσ
00
00
00
3
1
 
(2.2) 
 
em que ijδ é o delta de Kronecker e mσ representa a tensão média, 
 
3
zyx
m
σσσσ ++= (2.3) 
 
A extensão é igualmente um conceito matemático que é introduzido para descrever as deformações 
dos corpos. No caso de se tratar de grandes deformações,é habitual utilizar-se a extensão 
verdadeira ou logarítmica, ε , 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=∫=ε
0
ln
0
l
l
l
dll
l
 (2.4) 
 
a qual considera em cada instante o incremento de deslocamento, , relativamente ao comprimento 
instantâneo de referência, 
dl
l . 
 
A generalização deste conceito ao caso tridimensional leva a que sempre que os incrementos de 
deslocamento sejam pequenos se possa determinar o acréscimo de deformação num elemento de 
volume arbitrário através do tensor das extensões, ijε ( jiij εε = ), 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
i
j
j
i
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ij x
u
x
u
2
1
z
w
y
w
z
v
2
1
x
w
z
u
2
1
y
w
z
v
2
1
y
v
x
v
y
u
2
1
x
w
z
u
2
1
x
v
y
u
2
1
x
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
εεε
εεε
εεε
ε (2.5) 
 
O conceito de velocidade de deformação pode ser introduzido de uma forma perfeitamente análoga 
ao conceito de extensão. De facto, tal como as extensões foram expressas em função do campo de 
deslocamentos , também as velocidades de deformação podem ser relacionadas com o campo de 
velocidades , obtendo-se, 
iu
iv
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂=
i
j
j
i
ij x
v
x
v
2
1ε& (2.6) 
 
 
 6
2.1.2 Critérios de Plasticidade 
 
A generalidade dos processos tecnológicos de deformação plástica envolve estados de tensão à 
tracção e/ou compressão de natureza bi ou triaxial. Um dos aspectos mais relevantes da teoria da 
plasticidade é o estabelecimento de relações entre as tensões que permite definir o limite de 
elasticidade, isto é, determinar as condições para as quais o material sai do domínio elástico e entra 
em domínio plástico, independentemente do estado de tensão a que está sujeito. Estas relações são 
conhecidas por critérios de plasticidade. Genericamente, qualquer critério de plasticidade pode 
escrever-se na forma: 
 
F Kij( )σ = (2.7) 
 
em que F ij( )σ é uma função conhecida do estado de tensão, também designada por função limite 
de elasticidade, e K é uma constante do material determinada experimentalmente. Como para os 
materiais isotrópicos, a entrada em domínio plástico deve ser independente do sistema de eixos 
considerados, os critérios de plasticidade podem ser escritos em função dos três invariantes do 
tensor das tensões I I I1 2 3, e como: 
 
F I I I K( , , )1 2 3 = (2.8) 
 
sendo os três invariantes do tensor das tensões obtidos a partir do estado de tensão σ ij : 
iiI σ=1 ijijI σσ2
1
2 = kljkijI σσσ3
1
3 = (2.9) 
 
No caso dos materiais metálicos, que apresentam um comportamento incompressível, Bridgman [17] 
concluiu a partir de trabalho experimental, que a deformação plástica é independente da tensão 
hidrostática, ou média: 
σ δm ij= 13 σij (2.10) 
 
em que δij representa o símbolo de Kronecker. Assim, para estes materiais a função limite de 
elasticidade pode ser escrita na forma: 
F J J K( , )2 3 = (2.11) 
 
em que J J2 e 3, representam respectivamente o segundo e terceiro invariantes do tensor desviador 
das tensões: 
''
2 2
1
ijijJ σσ= σσσ ''3 3
1
jkijJ = (2.12) 
 7
os quais podem ser obtidos a partir do tensor das tensões: 
σ σ δ σij jk ij ij' = − 13 (2.13) 
 
Os critérios de plasticidade mais utilizados no estudo dos materiais metálicos são os critérios de 
Tresca [18] e de von Mises [19]. O primeiro admite que o início de deformação plástica ocorre quando 
a tensão de corte máxima atingir um valor crítico k , enquanto que o segundo admite que o início de 
deformação plástica se verifica quando a energia elástica de distorção atingir um valor crítico, igual à 
energia elástica de distorção no ponto correspondente ao limite de elasticidade em tracção uniaxial. 
Matematicamente estes dois critérios de plasticidade podem ser escritos pelas equações (2.14) e 
(2.15). 
4 27 36 96 642
3
3
2
2
2 4
2
6J J J k J− − + = k (2.14) 
 
J k2
2= (2.15) 
 
em que k representa a tensão limite de elasticidade em corte puro, que se relaciona com a tensão 
limite de elasticidade no ensaio de tracção uniaxial, σe, por 2/k eσ= , no caso do critério de Tresca 
e por 3/k eσ= no caso do critério de von Mises. A representação gráfica destas equações no 
espaço tridimensional de Haigh-Westergaard (Figura 2.1), ou espaço das tensões principais, permite 
definir as superfícies limite de elasticidade de Tresca e von Mises de acordo com um prisma 
hexagonal e um cilindro, ambos centrados no eixo σ σ σ1 2 3= = . O critério de plasticidade de von 
Mises é mais adequado à reprodução dos resultados experimentais na generalidade dos materiais 
metálicos [20]. No plano numérico/computacional o critério de von Mises também apresenta a 
vantagem de ser definido por intermédio de uma função de derivada contínua. 
von Mises
Tresca
σ1=σ2=σ3σ1
σ2
σ3
 
 Figura 2.1– Representação gráfica no espaço tridimensional de Haigh-Westergaard das superfícies limites de 
deformação elástica de Tresca e de von Mises de um material isotrópico. 
 8
A definição de critérios de plasticidade, permite introduzir dois novos conceitos, o de tensão efectiva e 
o de extensão efectiva. A tensão efectiva, σ , é uma quantidade função da tensão aplicada que 
permite comparar os estados de tensão biaxiais e triaxiais a que estão sujeitos os materiais, com 
estados equivalentes de tensão uniaxiais. A tensão efectiva para o critério de plasticidade de von 
Mises é dada por: 
σ σ= 3
2 ij ij
σ (2.16) 
 
A extensão efectiva, ε , é definida de modo a ser uma quantidade conjugada da tensão relativamente 
ao trabalho incremento de unidade de volume dw : 
 
dw d dij ij= =σ ε σ ε (2.17) 
 
Considerando o critério de plasticidade de von Mises, pode demonstrar-se que o incremento de 
extensão efectiva dε , é dado por: 
d d dij ijε ε= 32 ε (2.18) 
 
A extensão efectiva, obtém-se por integração da equação anterior ao longo do caminho de 
deformação: 
ε ε= ∫ d (2.19) 
 
2.1.3 Equações Constitutivas 
 
O principal objectivo da teoria matemática da plasticidade é o estabelecimento de relações entre a 
tensão e a extensão para os materiais no domínio plástico. No domínio elástico, a relação entre a 
tensão e a extensão é linear (Lei de Hooke) e depende somente dos estados inicial e final de tensão 
e de deformação. No domínio plástico, os ensaios de tracção uniaxial demonstram que esta relação 
não é linear. Por outro lado, em plasticidade as extensões deixam de ser univocamente determinadas 
pelas tensões, pois dependem da história do carregamento, ou seja da forma como o estado de 
tensões foi obtido. Em plasticidade é necessário determinar os incrementos de deformação plástica 
ao longo da história do carregamento, (ou seja, à medida que o carregamento prossegue), para 
depois obter a deformação total por integração entre os estados inicial e final. As relações entre os 
incrementos de extensão e tensão em domínio plástico denominam-se leis de escoamento plástico 
(equações constitutivas). As primeiras leis foram obtidas independentemente por Lévy em 1871 [23] e 
por von Mises em 1913 [19], ficando por isso conhecidas como equações constitutivas de Lévy-
Mises, e permitem relacionar os incrementos de extensão total com o valor da tensão desviadora do 
seguinte modo: 
 9
d
dij
p
ij
ε
σ λ' = (2.20) 
 
Nesta equação e são respectivamente a tensão desviadora e o incremento de extensãoplástica, e 
σ ij' d ijpε
dλ é uma constante de proporcionalidade que depende da história do carregamento. A 
determinação desta constante é possível recorrendo à conjugação deste critério com a noção de 
trabalho plástico por unidade de volume [24], obtendo-se: 
 
d
dλ εσ=
3
2
 (2.21) 
 
Onde dε σ e são respectivamente o incremento de extensão plástico efectivo e a tensão efectiva. 
Substituindo (2.21)em (2.20) as equações de Lévy-Mises podem ser apresentadas na forma a seguir 
indicada. 
d
d
ij
p
ijε εσ σ=
3
2
' (2.22) 
 
Estas equações ignoram a componente elástica da deformação, pois fazem coincidir os incrementos 
de extensão total com os de extensão plástica, sendo por isso unicamente válidas em regime 
plástico. São particularmente indicadas para o estudo de processos tecnológicos de deformação 
plástica onde as extensões plásticas atingidas pelas peças sejam relativamente elevadas, e as 
extensões elásticas possam ser desprezadas sem prejuízo dos resultados. Embora o estudo 
efectuado no âmbito desta dissertação permita desprezar a componente elástica das deformações, 
apresenta-se a título complementar a generalização das equações de Lévy-Mises indispensáveis 
para incluir a componente elástica da deformação (Prandtl em 1925 [25] e Reuss em 1930 [26]). 
Estas equações, conhecidas por equações constitutivas de Prandtl-Reuss, estabelecem que os 
incrementos de extensão total são obtidos pela soma dos incrementos elástico d e plástico d . ijeε ijpε
 
d d dij ij
e
ij
pε ε= + ε (2.23) 
 
O incremento de extensão plástico é obtido por intermédio da Equação (2.22) e o incremento de 
extensão elástico é calculado a partir das relações tensão-extensão em domínio elástico (leis de 
Hooke [20]): 
d
E
d
E
d
ij
e
ij
ij
ijε υ σ υ σ δ= + + −1 1 2 3
' ( ) (2.24) 
E , ,e G υ , são respectivamente, o módulo de Young, o módulo de elasticidade transversal e o 
coeficiente de Poisson. 
 10
2.2 Mecânica da Fractura 
 
A mecânica da fractura descreve os diferentes modos de ruína dos materiais causada pela acção de 
solicitações exteriores. De acordo com esta teoria, para o coalescimento e a propagação de uma 
fissura (geração de novas superfícies) é necessário fornecer uma determinada quantidade de 
energia. Este facto leva a que o valor dessa energia seja expresso relativamente à área das novas 
superfícies, ou à variação da secção resistente. Esse valor é uma característica do tipo de material e 
das condições de carregamento. 
 
Tipos de Fractura 
 
A ruína dos materiais metálicos pode ocorrer de três maneiras distintas: 1) na ausência de 
deformação plástica; 2) na presença de deformação plástica ou 3) de modo combinado. Quando essa 
ruína do material ocorre na presença de uma elevada deformação plástica na vizinhança da fenda, é 
denominada por fractura dúctil. Estes casos são geralmente caracterizados por uma progressão lenta 
e controlada da fissura. É estável, e não progride a menos que haja um aumento da tensão aplicada. 
É causada normalmente por sobrecargas simples ou pela aplicação de tensões demasiado elevadas 
no material, exibindo uma superfície característica de fractura com aspecto irregular, fibroso. Ocorre, 
normalmente, de uma forma granular nos metais de elevada ductilidade e tenacidade. 
Frequentemente, uma quantidade considerável de deformação plástica, incluindo estiramento, é 
observada no componente fracturado, deformação esta que ocorre antes da fractura final. 
 
Por outro lado, a (quase) ausência de deformação plástica na vizinhança da fissura promove o 
aparecimento da fractura frágil, as fendas propagam-se muito rapidamente, e é tão instável que a 
propagação de fenda ocorre sem gradual aumento da tensão imposta. Ocorre nos metais com 
elevada dureza, nos metais com ductilidade e tenacidade baixas, e nos cerâmicos. Mesmo os metais 
que são normalmente dúcteis, podem fracturar de forma frágil, por exemplo, quando sujeitos a 
temperaturas baixas, em secções densas, com elevadas taxas de tensão (tais como no impacto), ou 
quando as falhas representam um papel importante na fractura do material. As fracturas frágeis são 
observadas frequentemente quando uma sobrecarga de impacto causa a fractura [27]. 
 
 
2.2.1 Mecânica da Fractura Linear Elástica (MFLE) 
 
Os resultados dos ensaios de Charpy e de Izod [28] revelam essencialmente o comportamento 
frágil/dúctil do material aquando da sua fractura, permitindo avaliar o efeito da temperatura, sendo 
que outros parâmetros de fractura não podem ser obtidos através destes ensaios. Atendendo a estas 
limitações e às exigências após a segunda guerra mundial, a mecânica da fractura nasce para 
desenvolver parâmetros novos e alternativos aos testes de impacto tradicionais. No final dos anos 70, 
os ensaios mecânicos de fractura foram desenvolvidos essencialmente para a determinação da 
 11
tenacidade à fractura do material. A tenacidade à fractura pode ser determinada em circunstâncias 
elásticas lineares ou em circunstâncias elasto-plásticas, dependendo do material e das condições de 
funcionamento. 
 
A Mecânica da Fractura Linear Elástica (MFLE) aplica-se quando a deformação não linear do material 
é confinada a uma pequena região junto da ponta da fissura. Para materiais frágeis, estabelecem-se 
com precisão os critérios para falha catastrófica. Contudo, levantam-se sérias limitações quando 
elevadas regiões do material são sujeitas a deformação plástica antes da propagação de uma fenda. 
Onde a mecânica da fractura elasto-plástica (MFEP) é geralmente a primeira opção considerada. 
Uma fenda num determinado corpo pode ocorrer de três modos diferentes, como mostrado na Figura 
2.2. 
 
Figura 2.2 – Três modos de fractura e as respectivas zonas plásticas típicas. 
 
Tensões normais provocam o “modo de abertura” denotado como modo I (abertura das faces da 
fenda por tensões normais), em que o deslocamento das superfícies é perpendicular ao plano da 
fenda. Num plano de corte resulta o modo II ou “modo de escorregamento” (tensão de corte no plano 
da fenda). Os deslocamentos das superfícies da fenda são no plano desta e perpendiculares ao 
bordo principal da fissura. O “modo de rasgar” ou o modo III é causado pelo corte fora do plano. Os 
deslocamentos das superfícies da fenda são no plano desta e paralelos ao bordo principal da fissura. 
A sobreposição dos três modos descreve os casos mais gerais de fractura. 
 
Critério de Griffith 
 
O primeiro problema a ser solucionado na mecânica da fractura era o chamado problema de 
fissuração de Griffith, o qual envolvia uma pequena fenda elíptica, de comprimento numa placa 
muito grande (infinita) carregada nos limites com uma tensão de tracção
a2
σ . A Figura 2.3 mostra a 
geometria e os termos usados na seguinte análise. 
 12
2a
fissura
 
A
O
C
D
E
B
Carga
deslocamento
comprimento da 
fissura a + da
comprimento da 
fissura a
 
a) b) 
Figura 2.3 – Problema de fractura de Griffith, pequena fenda elíptica numa placa infinita, carregada nos seus 
limites; b) Diagrama carga-deslocamento do problema de fractura de Griffith. 
 
A energia elástica contida na placa é representada pela área OAB . Se a fissura aumentar num 
comprimento a rigidez da placa irá cair (linha ), o que significa que alguma carga será 
libertada a partir do momento em que as extremidades da placa são fixas. Consequentemente, o 
índice de energia elástica irá cair a um valor representado pela área OCB . Na propagação da fissura 
de para irá resultar uma libertação de energia elástica igual em valor à área . 
Submetendo a placa a uma carga mais elevada, haveria uma libertação maior de energia se a fenda 
crescesse uma quantidade. Griffith estabeleceu que a propagação da fenda ocorrerá se a energia 
disponibilizada for suficiente para o crescimento desta. Se não for o caso, a tensão terá que 
aumentar. O triângulo representa a quantidade de energia disponível se a fissura crescer. 
da OC
a daa + OAC
da
 
da
dW
da
dU = (2.25) 
 
Onde é a energia elástica e W a energia requerida para o avanço da fenda. Baseado nos 
arquivos de tensões e cálculos para uma falha elíptica de Inglis 
U
[29]. 
 
Cálculo de Griffith para : dadU /
E
a
da
dU 22πσ= ou 
E
aG
2πσ= (2.26) 
por unidade de espessura da placa, onde E é o modulo de Young. 
 
a
EG cI
crack πσ =
2 ou 
a
EG cI
crack πσ = (2.27) 
 13
A equação (2.27) é a equação de Griffith para fractura frágil. Nas experiências de Griffith, no fim da 
primeira grande guerra, a força medida em hastes de vidro foi correlacionada com falhas de 
tamanhos diferentes na superfície. Para um pequeno , a σ era muito elevado e em quase todos os 
filamentos de vidro com muito pequeno, a σ aproximava-se do valor teórico da tensão do vidro 
(aproximadamente ). De notar que a equação geral forma-se da equação de Griffith; a fractura 
depende da tensão aplicada e do comprimento da fenda, e não meramente da tensão de cedência. A 
expressão sugere que a tensão ou carga crítica deve ser alcançada antes que o avanço da fenda se 
inicie. O valor crítico varia directamente com o módulo de Young e com a resistência, e inversamente 
com o comprimento da fenda. Sugere também um comprimento crítico abaixo do qual a fissura não 
se propague para determinada carga aplicada. Equivalentemente, a tensão que faz com que uma 
fenda se propague num objecto é uma medida de força do objecto fissurado. 
10/E
 
Parâmetro Energético G 
 
Considerando a mesma geometria de carregamento da secção anterior (problema da fenda de 
Griffith), é possível demonstrar que uma fenda só se propaga se existir disponível uma quantidade de 
energia suficiente para realizar todo o trabalho de rotura no material, ou seja, a condição necessária 
para o crescimento da fenda pode ser escrita na forma: 
 
( )
da
dW
da
UFd w =− (2.28) 
Onde U é a energia elástica contida no corpo, o trabalho exercido pela força aplicada e W a 
energia necessária para o avanço da fenda. 
wF
 
O primeiro termo da equação é conhecido como G “taxa de libertação de energia elástica” na ponta 
da fenda ou “força disponível para provocar o avanço da fenda”. Estas dimensões de energia são por 
unidade de espessura da placa e por unidade de extensão da fenda, sendo também as dimensões da 
força por unidade de extensão da fenda. O segundo termo representa a energia consumida na 
propagação da fenda e é representado por dadWR /= , “resistência á fissuração”. Numa primeira 
aproximação pode-se supor que a energia requerida para produzir uma fissura é a mesma para cada 
incremento . Isto significa que da R é uma constante. A condição de energia da equação (2.25) 
mostra que deve ser pelo menos igual a G R antes que ocorra o avanço da fenda. 
 
RG = (2.29) 
 
Onde o parâmetro G depende da força aplicada e R é uma resistência interna do material, ambos 
os parâmetros são valores específicos, referidos a espessuras unitárias. 
 
 
 14
2.2.2 Extensão da Mecânica da Fractura Linear Elástica à Plasticidade 
 
No corte e em operações similares em barras lisas, não é suficientemente claro se a “força de corte” 
do material é a tensão na qual se inicia a cedência, a que causa a fractura do material ou aquela na 
qual ocorre o corte causado por uma instabilidade de carga. De forma a permitir clarificar esta 
questão, Atkins [30] determinou experimentalmente R . Os ensaios consistiram em aplicar uma carga 
em barras entalhadas. A geometria dos provetes é a mostrada na Figura 2.4: 
H
F, d
a
c
 
Figura 2.4 – Geometria dos provetes entalhados carregados ao corte 
 
Para o corte dos provetes entalhados mostrados na Figura 2.4, é considerado que antes de ocorrer a 
fissuração, a cargaF é dada por: 
 
n
o HH
aFF ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= δ21 (2.30) 
 
Onde corresponde ao encruamento quando . Nas seguintes análises ignora-se os 
componentes de deslocamento elástico, energia e taxa de variação de energia elástica. 
Analiticamente é possível comprovar que contribuem relativamente pouco nos ensaios descritos. O 
parâmetro 
n nεσσ 0=
δ corresponde ao deslocamento plástico verificado na ponta da fissura segundo a 
direcção perpendicular ao eixo desta, conhecido também como parâmetro CTOD [31]. 
 
 O trabalho realizado no corte antes de fissurar é dado por: 
 
1
0 21
)1(
+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+== ∫
n
cH
a
n
HFFdU δδ (2.31) 
 
 15
Com a suposição usual, de que, antes de fissurar, a deformação total de plasticidade de Hencky 
coincide com a elasticidade não linear, em termos da MFNLE básica [32] 
 
1
0
)1(24
+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+=∂
∂−=
n
cBn
HF
aB
UR δ (2.32) 
 
Onde é a área da fissura (quatro fendas) , aBA 4= B a largura do provete eR a tenacidade á 
fractura. De acordo com a Equação (2.32), R é independente de ( )Ha / e a fissuração começa no 
mesmo δ independentemente do comprimento inicial da fenda ( )Ha / . Assim, a tenacidade é 
constante para a solução da MFNLE, correspondendo a linhas verticais no diagrama δ−F . Uma 
expressão alternativa para R no começo da fissuração é dada por 
 
0/ BbUR initη= (2.33) 
 
Onde é o trabalho aplicado no instante inicial de crescimento da fenda e é o ligamento 
restante entre as fendas (entalhes) iniciais de comprimento , o qual é dado por 
(
initU 0b
0a ( )00 2.2 aWb −=
Figura 2.4). O Factor Turner’s η [33] no caso presente tem valor 1=η , usado nas Equações (2.31) 
e (2.32). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16
 
2.3 Método dos Elementos Finitos Aplicado à Deformação Plástica 
 
No início dos anos 70, Lee e Kobayashi, Cornfield e Johnson, e Zienkiewicz e Godbole, 
desenvolveram uma formulação de elementos finitos, denominada formulação de escoamento 
plástico (“flow formulation” na terminologia inglesa), que caracteriza o escoamento dos materiais 
metálicos em deformação plástica de uma forma análoga ao escoamento de fluidos viscosos 
incompressíveis. As extensões elásticas são desprezadas, o que é admissível em face das elevadas 
deformações plásticas que as peças sofrem durante as operações de fabrico por deformação 
plástica, os materiais são descritos através de leis de comportamento rígido-plásticas/viscoplásticas e 
as relações entre a tensão e a velocidade de deformação baseiam-se nas equações constitutivas de 
Levy-Mises. 
 
A formulação de escoamento plástico tem sido muitas vezes utilizada na análise de processos de 
deformação plástica na massa bidimensionais e tridimensionais e serve de base a alguns programas 
de elementos finitos, nomeadamente ao programa I-FORM2 utilizado no âmbito desta dissertação. 
 
 
2.3.1 Analise dos Fundamentos da Formulação 
 
O trabalho realizado por Cornfield e Johnson [34] aparece como a primeira publicação que emprega a 
analogia entre escoamento viscoso e plasticidade infinitesimal, permitindo solucionar problemas de 
deformação plástica. Subsequentemente, em trabalhos realizados por Lee e Kobayashi [35] recorreu-
se à mistura de uma formulação de velocidade-pressão rígido plástica em conjunto com elementos 
lineares sob condições de tensão hidrostática constante (redução na integração), possibilitando a 
resolução de simples problemas de forjamento e tracção. A utilização de integrações reduzidas para 
tensões hidrostáticas é devida ao facto da formulaçãode escoamento ser baseada numa 
aproximação de volume de controlo, e desta forma, o constrangimento de incompreensibilidade do 
escoamento do material não é automaticamente satisfeita através das equações de movimento. 
Zienkiewicz [36] desenvolveu mais tarde uma formulação de escoamento na qual introduziu um 
método que recorria a uma função de penalidade com o intuito de forçar o constrangimento de 
incompreensibilidade. Esta técnica (também conhecida como a formulação de escoamento 
irredutível), tem a vantagem de reduzir o número de variáveis independentes devido à ausência de 
tensões hidrostáticas variáveis. 
 
A formulação irredutível do escoamento começa com a forma variacional fraca expressa em termos 
da variação arbitrária da velocidade [37], 
 17
0=−+=Π ∫∫∫ dSuFdVKdV i
S
i
V
VV
V F
δεδεεδσδ &&& (2.34) 
 
Onde é o volume de controlo limitado pelas superfícies e nas quais são prescritas a 
velocidade e a pressão respectivamente. A constante
V uS fS
K corresponde a um valor positivo elevado, e 
tem como objectivo penalizar a componente volumétrica da velocidade de deformação, , forçando 
assim a incompressibilidade. 
v
∗ε
 
A utilização da formulação irredutível de escoamento tem a vantagem de preservar o número de 
variáveis independentes, uma vez que a tensão média pode ser implementada computacionalmente 
por: 
 
Vm K εσ &= (2.35) 
 
2.3.2 Discretização 
 
Uma questão importante que se coloca durante o desenvolvimento/utilização de programas de 
computação bidimensionais para deformação plástica, está directamente relacionada com a 
discretização da equação (2.34) através de elementos finitos. Vários programas computacionais 
fazem uso da primeira ordem modificada e/ou da segunda ordem de elementos triangulares devido às 
vantagens nas operações de fabrico e refinamento de malhas. 
 
Testes numéricos, focalizados no desempenho relativo entre os elementos triangulares e 
quadriláteros de primeira ordem modificada, comprovam que os elementos triangulares para 
garantirem a mesma precisão dos elementos quadriláteros necessitam de maior amplitude. Por 
outras palavras, a discretização de uma peça com elementos quadriláteros requer menos nós (ou 
graus de liberdade) e assegura tempos de computação mais rápidos. A elevada disponibilidade, nos 
dias de hoje, de geradores de malhas automáticas para discretização de geometrias bidimensionais 
arbitrárias através de elementos quadriláteros, reforça este tipo de elementos como a escolha 
indicada para a discretização bidimensional em casos de deformação plástica. 
 
Ao nível elementar, a discretização da equação (2.34) por meio de M elementos quadriláteros 
ligados por pontos nodais resulta nas seguintes equações não lineares: N
 
 18
∑ ∫∫∫
=
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
M
m S
m
V
mTTmm
V mT
mm
dSdVKdV
1
0TNBBvCCvKε
σ
& (2.36) 
 
 
 
As equações anteriores também podem ser escritas na seguinte forma simplificada, 
[ ] { } { }∑
= ⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧ =+
M
m
nnnmK
1
FvQPσ (2.37) 
 
Com, 
BDBK T= m
V n
dV
m
∫ −= KP 11ε& 
∫=
mV
mTT dVBBCCQ ∫=
m
TS
mdSTNF
(2.38) 
 
onde N é a matriz que contém as funções de forma do elemento (matriz interpoladora); B é a matriz 
das velocidades de deformação; C é a representação matricial do símbolo de Kronecker; e D é a 
matriz que relaciona a tensão desviadora com a velocidade de deformação de acordo com as 
equações constitutivas de Levy-Mises. A avaliação numérica dos integrais de volume incluídos na 
Equação (2.38) é necessária para assegurar a incompressibilidade. Tais exigências da deformação 
plástica em metais, requerem a utilização de ambos os esquemas de integração de Gauss, reduzido 
e completo. 
 
A partir da forma simplificada do conjunto de equações não lineares (2.37) é possível definir a 
discretização da forma do vector de força residual como 
 
[ ] { } { }{ }∑
=
−−− −+σ=
M
m
nn
i
n
i
mn
i K
1
111 FvQPR (2.39) 
O qual é a base do esquema de integração implícita. 
 
 
2.3.3 Técnicas Numéricas 
 
 19
O conjunto de equações não lineares (2.37) deriva da formulação de elementos finitos de 
escoamento irredutível, podendo ser resolvidas a partir de diferentes técnicas numéricas, 
nomeadamente por iterações directas ou pelo método de Newton-Raphson. 
 
O método de iterações directas baseia-se nas equações constitutivas de Levy-Mises tornando-se 
linear (constante) ao longo cada iteração, reduzindo assim a Equação (3.24) a um conjunto de 
equações lineares. O método é iterativo e converge rapidamente para a solução nos estágios iniciais 
do procedimento de iteração, mas torna-se muito lento quando se aproxima da solução. Deste modo, 
a sua utilização é limitada na geração da suposição inicial do campo de velocidade para refinamento 
adicional pelo método de Newton-Raphson. 
 
O método Newton-Raphson normal é um método iterativo baseado na expansão linear de Taylor do 
resíduo (equação )(vR (2.39)) próxima da velocidade estimada na iteração anterior , 1−i
 
( ) 0v
v
RRRvR =Δ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+=≅
−
− i
i
iii
1
1 (2.40) 
onde v é a correcção de primeira ordem do campo de velocidade, 
 
{ } { } { } ] ]1,01 ∈βΔβ+= − iii vvv (2.41) 
 
O método de Newton-Raphson é capaz de obter a solução do conjunto de soluções não lineares 
(Equação (2.37)) a partir de um número reduzido de iterações. Porém, durante a modelação numérica 
das elevadas não linearidades na geometria e nas propriedades do material, podem surgir situações 
onde é necessário melhorar a estabilidade e a taxa de convergência do processo de iteração, através 
da selecção de uma valor adequado para o parâmetro β . Uma boa escolha é controlar a amplitude 
do termo de correcção da velocidade , através de procedimentos de ajuste vΔ [38]. De acordo com 
este procedimento, é obtido pela equação vΔ (2.40), considerando que sinaliza a direcção óptima de 
avanço para obtenção da solução. Em termos matemáticos, isto é equivalente a afirmar que o resíduo 
R , até ao fim de cada iteração deve ser ortogonal ao termo de correcção da velocidade , vΔ
 
( ) 0)( 1 =Δβ+⋅Δ=β − iiTir vvRv (2.42) 
 
Uma vez que o esforço computacional requerido na resolução de grandes sistemas de equações 
(Equação (2.37)) e no armazenamento a associação das matrizes de rigidez, tem tendência a 
consumir a maioria da memória e recursos do CPU. É então esperado que se dê atenção a esses 
 20
aspectos computacionais durante o desenvolvimento de programas de computação de elementos 
finitos. 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.4 Sistema de Elementos Finitos I-FORM2 
 
O sistema de elementos finitos I-Form2, utilizado nesta dissertação, foi desenvolvido no Instituto 
Superior Técnico e destina-se à simulação numérica dos principais processos de enformação 
plástica.Este programa baseia-se na formulação de escoamento plástico e considera o 
comportamento rígido-visco/plástico dos materiais, de acordo com relações tensão-
extensão/velocidade de deformação do tipo: 
 
( )εεσ &,f= (2.43) 
 
A utilização do sistema I-Form2 permite obter um largo espectro de resultados, dos quais se 
destacam pela sua importância a geometria da peça após e durante o processo de enformação, e a 
evolução da carga com o deslocamento das ferramentas. 
 
O sistema de elementos finitos I-FORM2 está estruturado segundo um conjunto de módulos 
fundamentais ao seu funcionamento (Figura 2.5). Para alem dos módulos fundamentais existem ainda 
um conjunto de módulos auxiliares destinados quer às operações de pré e pós processamento, quer 
às operações de regeneração de malha indispensáveis durante a simulação degrandes deformações 
plásticas. Estes módulos estão escritos em Fortran e AutoLisp, encontrando-se integrados no sistema 
AutoCAD. 
 
O módulo “Pre” (Figura 2.5) destina-se ao pré processamento, compreende a geração automática da 
malha do modelo de elementos finitos e a discretização dos contornos geométricos da ferramenta. 
Efectua a leitura de dados, gerados no pré-processador, necessários à definição do modelo e 
respectiva geometria, à caracterização do tipo de material, à introdução das propriedades mecânicas 
e ao estabelecimento das principais variáveis de controlo do programa, nomeadamente as que são 
directamente responsáveis pela convergência do processo iterativo. 
 
O pós-processamento (módulo ´POST`) (Figura 2.5) consiste no tratamento e representação gráfica 
dos resultados obtidos através dos programas de elementos finitos. As principais tarefas por esta 
unidade são as seguintes, a representação da malha de elementos finitos e da discretização utilizada 
 21
nas ferramentas, a representação através de isolinhas ou esbatido colorido dos valores das principais 
variáveis de campo, e a representação da evolução da carga com o deslocamento da ferramenta. 
 
O módulo de animação (ANIMATION) (Figura 2.5) permite efectuar a animação computacional dos 
resultados provenientes das simulações numéricas com o objectivo de auxiliar na compreensão do 
escoamento do material. 
 
raw material
AutoCAD
MESH.INI
DIE.DAT
heating up the billet
MESH.INI
DIE.DAT
PRE
FEM.DAT
DIE.DAT
MAT.DAT
FEM0.DXF
FEM.RS2
DIE.RS2
BILLET_THERMAL
FEM.DAT
DIE.DAT
MAT.DAT
FEM.RST
DIE.RST
HEAT*.NEU
HEAT.DXF
(1) transfer from the furnace to the die
(1) resting on the die before and after deformation
forming machines
MACHINE_TOOLS
MCH.DATMCH.NFO
finite element engine
I-FORM 2
FEM.OUT
FEM.INI
MCH.DAT FEM.RST
DIE.RST
FEM.RS1
DIE.RS1
FEM*.GPH
FEM*.NEU
DIE*.NEU
FEM1.GPH
DIE.NEU(1)
(1)
(1) coupling with boundary elements
FEM.RST
MAT.DAT
DIE.RST
FEM.DAT
DIE.DAT
(1)
to be used when material is not available in database
DIE.DAT
FEM*.NEU
FEM.DAT
ANIMATION
POST
FEM*.DXF
FEM.ASC
DIE
DIE_THERMAL
DIE*.NEUDIE.RS2
FEM9999.NEU
FEM_RST.DXF
FEM.RS2DIE.RST
FEM.RST
(1)
REMESH
(1) to be renamed as FEM.DAT and DIE.DAT before restarting i-form2
input output
input output
MAT.DAT
FEM.INI
internal default file located at C:\i_form\pre
outputinput
HEAT.ASC(1)
HEAT.OUT
outputinput
database located at C:\i_form\machine_tools
MCH.NFO
NOTE :
forming machine must be assigned to die no. 1
input output
restart
outputinput
(1)
remeshing
input output
output
FEM.DAT
FEM*.NEU
DIE.DAT
input
input output
FEM*.DXF
FEM*.NEU
FEM.DAT
DIE.DAT
input
FEM.DAT
DIE.DAT
output
FEM*.DXF
FEM*.NEU
NOTE :
only available for combined
finite element-boundary element
(2) to be renamed as FEM.DAT and DIE.DAT before starting i-form2
(2)
(2)
numerical analysis
 
Figura 2.5 – Estrutura do sistema de elementos finitos I-FORM2. 
 
Os módulos restantes permitem efectuar a operação de regeneração de malha (REMESH), calculo 
elástico das ferramentas (DIE), calculo térmico de matrizes (DIE-THERMAL), incoporação de 
características de máquinas-ferramenta (MACHINE-TOOLS) e incorporação de efeitos térmicos 
relacionados com o aquecimento de matéria-prima (BILLET-THERMAL). Estes módulos, são apenas 
sumariamente referidos na medida em que não foram utilizados no âmbito deste trabalho. 
 
 
 
2.3.5 Modelo de Elementos Finitos Utilizado 
 
Devido á simetria rotacional, o modelo de elementos finitos utilizado é formado apenas por uma 
secção de revolução do provete, do punção e da matriz (Figura 2.6). Os provetes foram modelados a 
partir de uma malha estruturada de elementos quadriláteros, onde elementos de maior dimensão 
foram utilizados para modelar as regiões livres dos provetes, considerando que as zonas de elevada 
 22
deformação plástica se encontram no ligamento (onde é esperado que exista um maior número de 
variáveis) sendo a malha composta por elementos mais pequenos de modo a obterem-se resultados 
mais precisos e uma descrição mais detalhada do mecanismo de escoamento plástico. O contorno do 
punção e da matriz foi modelado por meio de elementos de contacto-atrito. 
 
 
 
 
 Figura 2.6 – Modelo de elementos finitos utilizado na simulação numérica dos provetes entalhados ( c = 1 mm) 
com uma velocidade de ensaio de 0,001 m/s; a) Estágio inicial; b) Depois da compressão equivalente a um 
deslocamento de 0.6 mm, correspondente ao pico de carga máximo experimental. 
 
 23
 24
 
3 Mecanismo de Formação de Apara 
 
Neste capítulo é conduzida uma análise compreensiva do mecanismo de formação de apara, com 
especial enfoque na física da separação de material junto da aresta de corte. Começa com uma 
apresentação dos fundamentos estabelecidos, orientada para a avaliação dos seus modelos teóricos. 
Observada a falha dos modelos teóricos tradicionais, procura-se encontrar resposta para as questões 
em aberto através de uma extensa pesquisa bibliográfica. Em resultado deste trabalho, a restante 
parte do capítulo é conduzida através da teoria da plasticidade para grande deformação e da 
mecânica da fractura dúctil. Por último, abordam-se as novas estratégias de modelação do corte por 
arranque de apara. 
 
 
3.1 Fundamentos do Corte por Arranque de Apara 
 
Desde o final do século XIX que têm sido realizadas diversas tentativas notáveis para encontrar uma 
solução completa para o mecanismo de formação de apara. Destaca-se pelo seu pioneirismo a 
primeira análise quantitativa do ângulo do plano de corte (φ ) para o corte ortogonal obtida por Ernst e 
Merchant [4]: 
2
2 παβφ =−+ (3.1) 
 
onde β é o ângulo de atrito e α é o ângulo de ataque da ferramenta de corte. A Equação (3.1) não 
está de acordo com os resultados experimentais. 
 
A análise foi feita assumindo que o comportamento da apara era idêntico a um corpo rígido em 
equilíbrio sob acção de forças transmitidas através da interface apara/ferramenta e no plano de corte 
(Figura 3.1 a)). Este modelo é baseado numa representação relativamente simples do sistema de 
tensões existente no processo de corto ortogonal real. 
 
 Esta teoria supõe que a apara se encontra em equilíbrio devido à força de atrito e à força normal 
na interface apara/ferramenta, a qual possui uma resultante , estabelecida a partir da força 
normal, , e da força de corte, , no plano de corte. A decomposição vectorial da força resultante, 
de acordo com o sentido de corte, resulta na força de corte e na força de penetração . A 
fF
nF RF
σF τF
cF pF
Figura 3.1 b), mostra as forças que actuam na apara, deslocadas por conveniência para a 
extremidade de corte da ferramenta. 
 
 25
F
F'
E
A
C
B
D
Vc
Peça
Ferramenta
 
φ
Ft
Fcβ
Ff
Fσ
A
B
Fnα
Fτ
FR
α
 
a) b) 
Figura 3.1 – Representação do mecanismo de formação de apara, no qual a ferramenta se desloca da direita 
para a esquerda; a) Equilíbrio de forças transmitidas ao longo da interface apara/ferramenta e do plano de corte; 
b) modelo de Ernst-Merchant, o qual descreve o comportamento da apara como um corpo rígido. 
 
Uma expressão idêntica á expressão (3.1) foi obtida assumindo que a tensão de corte τ deve ser 
influenciada directamente pela tensão normal ao plano de corte σ , como se segue: 
 
σττ S+= 0 (3.2) 
onde S é uma constante do material, de onde prosseguiu por sua segunda análise, como se segue. 
 
Da Figura 3.2 observa-se que: 
C=−+ αβφ2 (3.3) 
onde Merchant designou C

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