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Influência da Velocidade de Deformação na Tenacidade à Fractura do Chumbo Tecnicamente-Puro Carlos Manuel Alves da Silva Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Mecânica Júri Presidente: Prof. Pedro Miguel dos Santos Vilaça da Silva Orientador: Prof. Pedro Alexandre Rodrigues Rosa Vogal: Prof. Paulo António Firme Martins Outubro de 2007 “Human progress has gone step by step with the discovery of better materials of which to make cutting tools, and the history of man is therefore broadly divisible into the Stone Age, the Bronze Age, the Iron Age and the Steel Age” Kenneth P. Oakley 3 Agradecimentos A todos aqueles que contribuíram para a realização da presente dissertação, apresento os meus melhores agradecimentos. Em especial: Ao meu orientador cientifico, Professor Pedro Alexandre Rodrigues Rosa, apresento os meus sinceros agradecimentos pelo seu encorajamento e apoio, bem como pelos conhecimentos transmitidos. Ao Professor Paulo António Firme Martins apresento os meus sinceros agradecimentos pela sua disponibilidade e preciosa colaboração prestada na clarificação de conhecimentos e organização da presente tese. Ao Mestre Valentino Anok Melo Cristino pela sua ajuda perante as mais diversas dificuldades que foram surgindo durante o desenvolvimento deste trabalho Ao Professor Luís Alves, apresento um agradecimento muito especial pela sua incansável colaboração. Ao Mestre. Telmo Jorge Gomes dos Santos agradeço as sugestões e colaborações em tarefas concretas do trabalho. À Secção de Tecnologia Mecânica do Instituto Superior Técnico, agradeço todas as facilidades e meios concedidos que tornaram possível a realização desta dissertação. I II Resumo O conhecimento da física por detrás da separação do material, junto à aresta de corte, é de grande importância para a compreensão dos mecanismos de formação da apara. No entanto, o modo como esta separação ocorre, na formação da apara e da superfície maquinada, ainda não está totalmente compreendido. Esta é uma questão relevante para a compreensão e a modelação dos processos de corte por arranque de apara. A modelação teórica dos processos de corte por arranque de apara pode basear-se em dois pontos de vista diferentes. Por um lado, a visão tradicional que considera o mecanismo de formação de apara um problema meramente do domínio da teoria da plasticidade, argumentando que a energia necessária para a abertura de novas superfícies é desprezável. Pelo outro lado, o ponto de vista não tradicional e controverso [1], apresenta a abertura de fissuras junto da aresta de corte como um fenómeno fundamental para a compreensão do mecanismo de formação de apara. Onde a energia consumida na abertura de novas superfícies é função dos materiais e das condições de corte utilizados. Este trabalho de investigação procura desenvolver uma metodologia experimental para a quantificação da energia necessária à abertura de novas superfícies, tenacidade à fractura, em função dos principais parâmetros operativos. Os ensaios experimentais de fractura dúctil foram conduzidos em provetes de chumbo tecnicamente-puro, projectados com o objectivo de reproduzir o estado de tensão e de deformação junto da aresta de corte. Para o devido efeito, foi desenvolvida e instalada uma máquina de ensaios no Laboratório de Tecnologia Mecânica do Instituto Superior Técnico, capaz de reproduzir as condições da velocidade de deformação típicas do processo de maquinagem. A componente teórica da tese consistiu na realização da simulação numérica dos ensaios de fractura dúctil. Tendo este trabalho servido de base à avaliação da capacidade preditiva do método dos elementos finitos, exclusivamente baseado na teoria da plasticidade, quando aplicado a casos de estudo onde a formação de fissuras é parte integrante do processo (processos de corte por arranque de apara ou corte por arrombamento). O trabalho desenvolvido no âmbito desta tese resultou numa análise compreensiva do comportamento à fractura do chumbo tecnicamente puro, tendo sido quantificada a influência da velocidade de deformação na tenacidade à fractura. A correlação dos valores teóricos com os resultados experimentais mostrou a importância que a energia de formação de novas superfícies tem na modelação de processos onde ocorre a separação de material. III IV Abstract The knowledge of the physics behind the separation of material at the tool tip of is of great importance for understanding the mechanisms of chip formation. How material separates along the parting line to form the chip and cut surface is still not well understood. This is a relevant question in the comprehension for the modelling of the metal cutting processes. The theoretical modelling of the cutting process is based on two are two different points of view [1]. The traditional vision considers that the chip formation mechanism is a problem based simply on the plasticity theory and any energy required for the formation of new surfaces is negligible. The non- traditional and controversial view of metal cutting states the presence of crack next to the tool tip as a fundamental phenomenon for the comprehension of the process, where the energy to form new surfaces depends on the material and the imposed cutting conditions. This thesis proposes to develop an experimental methodology for the quantification of the energy consumed for the generation of new surfaces next to the tool tip, also known as ductile fracture toughness, as a function of the main operative parameters. The experimental work was carried out with technically-pure lead, with the intention of recreating the stress/strain conditions next to the tool tip. The experimental apparatus was designed and built in the installations of Manufacturing and Process Technology Laboratory (MPT lab) of Instituto Superior Técnico (IST), capable to reproduce the typical strain rate conditions at metal cutting. The theoretical component of this thesis was supported by the numerical simulation of the ductile fracture characterization. The results serve as basis to evaluate the Finite Element Method (FEM) predictions, based simply on the plasticity theory, when applied on processes where the energy required for the formation of new surfaces has an important role (metal cutting and/or blanking). The present dissertation aims to be a comprehensive analysis of the fracture behaviour of technically- pure lead by quantifying influence of the strain rate on the ductile fracture toughness. The correlation of the theoretical and the experimental values demonstrated the essential role of the energy required for the formation of new surfaces on the modelling of manufacturing processes with material separation. V VI Palavras-Chave Corte por arranque de apara Ensaios de Impacto Método dos elementos finitos Mecânica da fractura dúctil Experimentação Keywords Metal cutting Impact Test Finite element method Ductile fracture mechanics Experimentation VII VIII Índice Agradecimentos I Resumo III Abstract V Palavras-Chave VII Keywords VII Índice IX Lista de Figuras XI Lista de Tabelas XV Nomenclatura XVII Abreviaturas.XIX Organizações XIX 1 Introdução 1 2 Fundamentos Teóricos 5 2.1 Teoria da Plasticidade 5 2.1.1 Tensão, Extensão e Velocidade de Deformação 5 2.1.2 Critérios de Plasticidade 7 2.1.3 Equações Constitutivas 9 2.2 Mecânica da Fractura 11 2.2.1 Mecânica da Fractura Linear Elástica (MFLE) 11 2.2.2 Extensão da Mecânica da Fractura Linear Elástica à Plasticidade 15 2.3 Método dos Elementos Finitos Aplicado à Deformação Plástica 17 2.3.1 Analise dos Fundamentos da Formulação 17 2.3.2 Discretização 18 2.3.3 Técnicas Numéricas 19 2.3.4 Sistema de Elementos Finitos I-FORM2 21 2.3.5 Modelo de Elementos Finitos Utilizado 22 3 Mecanismo de Formação de Apara 25 3.1 Fundamentos do Corte por Arranque de Apara 25 3.1.1 Avaliação dos Modelos Teóricos 27 3.2 Comportamento Mecânico de Materiais Metálicos para Grandes Deformações Plásticas 28 3.3 Novas Estratégias para o Corte por Arranque de Apara 37 4 Desenvolvimento experimental 39 4.1 Matéria-prima 39 4.1.1 Provetes de caracterização mecânica e de fractura 40 4.2 Caracterização mecânica do material 41 4.3 Aparato experimental 44 4.3.1 Calibrações 49 IX 4.4 Plano de ensaios 53 5 Resultados e Discussão 55 5.1 Tenacidade à Fractura do Chumbo Tecnicamente-Puro 56 5.1.1 Curvas Força-Deslocamento 56 5.1.2 Evolução da Tenacidade á fractura R 58 5.2 Análise da aplicabilidade dos programas de elementos finitos 62 5.2.1 Conceito de Energia por Unidade de Volume 65 6 Conclusões e Perspectivas de Trabalho Futuro 71 7 Referencias 75 X Lista de Figuras Figura 1.1 – Comparação dos modelos teóricos do corte por arranque de apara com os ensaios experimentais, onde se apresenta a evolução do ângulo do plano de corte (φ) em função da direcção da força resultante (β-α) [11]. .................................................................................................................. 2 Figura 2.1– Representação gráfica no espaço tridimensional de Haigh-Westergaard das superfícies limites de deformação elástica de Tresca e de von Mises de um material isotrópico. ........................... 8 Figura 2.2 – Três modos de fractura e as respectivas zonas plásticas típicas..................................... 12 Figura 2.3 – Problema de fractura de Griffith, pequena fenda elíptica numa placa infinita, carregada nos seus limites; b) Diagrama carga-deslocamento do problema de fractura de Griffith. .................... 13 Figura 2.4 – Geometria dos provetes entalhados carregados ao corte................................................ 15 Figura 2.5 – Estrutura do sistema de elementos finitos I-FORM2. ....................................................... 22 Figura 2.6 – Modelo de elementos finitos utilizado na simulação numérica dos provetes entalhados (c = 1 mm) com uma velocidade de ensaio de 0,001 m/s; a) Estágio inicial; b) Depois da compressão equivalente a um deslocamento de 0.6 mm, correspondente ao pico de carga máximo experimental. ............................................................................................................................................................... 23 Figura 3.1 – Representação do mecanismo de formação de apara, no qual a ferramenta se desloca da direita para a esquerda; a) Equilíbrio de forças transmitidas ao longo da interface apara/ferramenta e do plano de corte; b) modelo de Ernst-Merchant, o qual descreve o comportamento da apara como um corpo rígido...................................................................................................................................... 26 Figura 3.2 – Ensaios de corte ortogonal conduzidos em aço SAE 9445; a) Tensão de corte em função da tensão normal no plano de corte; b) Observações experimentais e previsões teóricas para o ângulo do plano de corteφ em função da direcção da força resultante ( )α− . [39]......................... 26 β Figura 3.3– Provete entalhado utilizado por Bridgman nos ensaios torção e compressão axial combinada. ............................................................................................................................................ 29 Figura 3.4 – Efeito da trefilagem na curva tensão-extensão uniaxial (corrigida à estricção) através de ensaios realizados a baixa velocidade e à temperatura ambiente. [41] ............................................... 29 Figura 3.5 – Provete utilizado para reproduzir o corte em deformação plana combinado com carga axial controlada [45]. ............................................................................................................................. 30 Figura 3.6 – Evolução da tensão de corte em função da distorção para diferentes valores de tensão normal ao plano de corte para um aço de baixo carbono [15].............................................................. 31 Figura 3.7 – a) Ensaio de corte realizado por Usui e colab. ;b) Fotomicrografia de provete para um deslocamento da ferramenta superior ao comprimento da secção de corte [16]. ................................ 32 Figura 3.8 – Evolução da tensão de corte em função da tensão normal ao plano de corte; a) Várias observações experimentais para o mesmo material em diferentes condições operativas; b) Valores médios da totalidade das observações experimentais [49]. ................................................................. 33 Figura 3.9 – Evolução da tensão de corte em função do volume de material em deformação plástica no plano de corte; a) Várias observações experimentais para o mesmo material em diferentes condições operativas; b) Valores médios da totalidade das observações experimentais [49]............. 33 XI Figura 3.10- Evolução da tensão de corte em função da distorção medida no plano de corte. a) Várias observações experimentais para o mesmo material em diferentes condições operativas; b) Valores médios da totalidade das observações experimentais. [49] ................................................................. 34 Figura 3.11 – Fases da abertura de fissuras em metais dúcteis: nucleação, crescimento e coalescimento de defeitos [52]. ............................................................................................................. 35 Figura 3.12 – Estimativa da evolução da tensão média, mσ , obtida com base no método de elementos finitos através do software I-CUT2, para diferentes instantes do mecanismo de formação da apara ( º10=α e ) [53]. .................................................................................................... 35 mmt 5.00 = Figura 3.13 – Observação SEM da raiz da apara mostrando uma fissura sendo formada por tensões de corte; a) Ampliação da superfície maquinada (figura anexa mostra a secção metalográfica); b) Observação do modo de abertura de fissura II (escorregamento) [53]. ............................................... 36 Figura 4.1 – Representação dos provetes cilíndricos utilizados nos ensaios de compressão; a) representação esquemática; b) provete de chumbo utilizado na caracterização mecânica do chumbo tecnicamente-puro................................................................................................................................. 40 Figura 4.2– Provetes cilíndricos duplamente entalhados utilizados nos ensaios de compressão; a) provete de fractura; b) esquema do provete; c) ferramenta especial utilizada no fabrico dos provetes. ............................................................................................................................................................... 41 Figura 4.3 – Ajuste das curvas de tensão-extensão dependentes da velocidade de deformação recorrendo à equação de Voce. ............................................................................................................ 42 Figura 4.4 – Prensahidráulica utilizada na caracterização da fractura do chumbo tecnicamente puro; a) Punção e matriz utilizada nos ensaios.............................................................................................. 44 Figura 4.5 – Instrumentação utilizada nos ensaios de fractura; a) Esquema do aparato experimental b) Amplificador de sinal Kistler 5011B; c) Piezoelectrico Kistler 9257B; c) Transdutor Linear Balluff BTL5.-A11-M0600-P-S32. ..................................................................................................................... 45 Figura 4.6 – Elementos constitutivos do martelo de queda; a) Estrutura do martelo de queda; b) Sistema de elevação do martelo de queda; c) Carro de elevação; d) Carro de impacto; e) Ferramenta (punção/matriz)...................................................................................................................................... 46 Figura 4.7 – Ferramenta do martelo de queda para ensaios de fractura; a) Ferramenta dos ensaios de fractura; b) Punção/matriz; c) Sistema de incorporação de LVDT; d) Célula de carga. ....................... 46 Figura 4.8 – Aparato experimental utilizado nos ensaios de fractura; a) Esquema da instrumentação utilizada na caracterização da fractura; b) LVDT Solartron; c) Célula de carga; d) Amplificador de sinal; e) Encoder Balluff......................................................................................................................... 47 Figura 4.9 – Célula de carga com tecnologia de extensómetria em ponte de Wheatstone; a) Produtos e utensílios utilizados na elaboração da célula de carga; b) Colagem e soldam dos extensómetros; c) Esquema de ponte de Wheatstone; ...................................................................................................... 48 Figura 4.10- Calibração da célula de carga a partir de uma célula C9B 20 KN e do Piezoeléctrico Kistler..................................................................................................................................................... 49 Figura 4.11– Valores de pico a pico (Voltagem) do LVDT em função do deslocamento do micrómetro digital; a) Sinal de saída do LVDT em função de deslocamento do núcleo móvel; b) Esquema de funcionamento do LVDT........................................................................................................................ 50 XII Figura 4.12 – Valor de impulsos do “encoder” em função do deslocamento percorrido pelo carro de elevação. ............................................................................................................................................... 51 Figura 4.13 – Sistema de aquisição de dados consiste em: a) Software MK06 desenvolvido pelo autor (Painel frontal); b) Placa DAQ NI-PCI-6070E (M10-16E-1) 16 entradas analógicas a 1.25 MS/s, resolução de 12bits e escala de entrada de ± 10V; c) Terminal de blocos CB-68LP com 68 terminais. ............................................................................................................................................................... 52 Figura 5.1 – Comparação entre a zona de deformação plástica do provete de fractura cilíndrico duplamente entalhado e a zona em deformação plástica do plano de corte durante o mecanismo de formação de apara [61]. ................................................................................................................... 55 s Figura 5.2 – Geometria dos provetes utilizados na caracterização da tenacidade á fractura ( ; ; ). O lado direito da figura representa um provete deformado após o ensaio. ................................................................................................................................................... 56 5.8=ar 3.12=H 15=extr Figura 5.3 – Evolução experimental da carga vs deslocamento para diferentes valores de utilizados no ensaio de corte sob condições de diferentes velocidades de corte: a) 0,001 m/s; b) 4 m/s; c) 10 m/s. ........................................................................................................................................................ 57 c Figura 5.4 – Evolução das forças máximas em função da espessura de ligação para as diversas velocidades em que se efectuaram os ensaios. ................................................................................... 58 Figura 5.5 – Evolução da energia W em função da espessura de ligação para as diversas velocidades em que se efectuaram os ensaios. ................................................................................... 59 Figura 5.6 – Evolução da tenacidade á fractura em função da espessura de ligação para as diversas velocidades em que se efectuaram os ensaios...................................................................... 60 c Figura 5.7– Evolução em termos médios da tenacidade á fractura em função da velocidade de corte referente aos diferentes valores de espessuras de ligação correspondente aos provetes de fractura utilizados nos ensaios de fractura. ........................................................................................................ 60 c Figura 5.8– Evolução da tenacidade á fractura R em função da espessura de ligação e da velocidade de ensaio ......................................................................................................................... 61 c v Figura 5.9- Simulação numérica do ensaio de fractura dúctil a 10 m/s em provetes cilíndricos com no programa de elementos finitos I-FORM2; a) campo da extensão efectiva, após um incremento de deformação de 0.01mm; b) campo da extensão efectiva correspondente ao deslocamento verificado experimentalmente no início da fractura. ...................................................... 62 5.1=c Figura 5.10 – Simulação numérica da carga vs deslocamento para os diferentes valores de utilizados no ensaio de corte a) “quasi-estático” (0.001 m/s) b) 4 m/s c) 10 m/s. ............................. 63 c Figura 5.11 – Evolução das forças máximas em função da espessura de ligação para as diversas velocidades em que se efectuaram as modelações em elementos finitos através do programa de simulação numérica. I-FORM2.............................................................................................................. 64 Figura 5.12 – Comparação das cargas máximas obtidas nos ensaios experimentais de fractura com as verificadas na simulação numérica, sob condições de várias velocidades de corte: a)0,001; m/s; b) 1 m/s; c) 2 m/s; d) 4, 6 e 10 m/s. ........................................................................................................... 65 XIII Figura 5.13. – Simulação numérica da evolução do valor da largura da zona de deformação plástica com o aumento da velocidade de corte b v , para um provete com espessura de ligação entre entalhes de =1,5. a) 0,001 m/s; b) 4 m/s; c) 10 m/s........................................................................... 66 c Figura 5.14 – Evolução da tenacidade à fractura R , da espessura da zona de deformação plástica e da energia por unidade de volume U em função da espessura de ligação para uma velocidade de corte de a) 0,001 m/s b) 4 m/s c) 10 m/s............................................................................................... 67 b Figura 5.15 – Largura da zona de deformação plástica b das simulações em modelos com diversas espessuras de ligação, para uma extensão efectiva de 0,02, em função da velocidade de ensaio. ... 68 Figura 5.16 – Evolução da energia por unidade de volume U em função da velocidade de corte, correspondente ás diversas espessuras de ligação dos modelos utilizados na simulação numérica. 68 Figura 5.17– Simulação numérica da evolução da velocidade de deformação com o aumento da velocidade de corte,para um provete com espessura de ligação entre entalhes de c=1.5. a) 0.001 m/s; b) 4 m/s; c) 10 m/s. ........................................................................................................................ 69 XIV Lista de Tabelas Tabela 4.1 – Propriedades físicas e metalúrgicas do chumbo tecnicamente puro............................... 39 Tabela 4.2 – Valores das dimensões dos provetes cilíndricos utilizados nos ensaios de caracterização mecânica do chumbo tecnicamente puro.............................................................................................. 40 Tabela 4.3 – Valor das dimensões dos provetes cilíndricos utilizados nos ensaios de caracterização de fractura do chumbo tecnicamente puro............................................................................................ 41 Tabela 4.4 – Parâmetros da equação de Voce para ajuste do comportamento mecânico do chumbo sob condições de diferentes velocidades de deformação. ................................................................... 43 Tabela 4.5 – Propriedades do martelo de queda desenvolvido para caracterizar a fractura do chumbo tecnicamente puro. ................................................................................................................................ 47 Tabela 4.6 – Valores das espessuras de ligação dos provetes utilizados nos ensaios de fractura e das respectivas velocidades de ensaio........................................................................................................ 53 XV XVI Nomenclatura Apresentam-se de seguida os principais símbolos utilizados nesta dissertação e o seu significado A – Área da fissura a – Comprimento da fissura b – Largura da zona de deformação plástica B – Matriz das velocidades de deformação C – Representação matricial do símbolo de Kronecker C – Constante de maquinagem – Espessura de ligação dos provetes de fractura c D – Matriz que relaciona a tensão desviadora com a velocidade de deformação E – Módulo de Young )( ijF σ – Função limite de elasticidade F – Força de corte wF – Trabalho exercido pela força aplicada G – Parâmetro energético H – Altura dos provetes de fractura 0H – Altura inicial dos provetes de compressão iI – Invariante do tensor das tensões iJ – Invariante do tensor desviador das tensões k – Tensão limite de elasticidade em corte puro K – Constante associada aos critérios de plasticidade sk – Pressão especifica de corte n – Índice de trabalho de dureza N – Matriz das funções interpoladoras Q – Factor de correcção de atrito R – Tenacidade á fractura S – Constante do material U – Energia elástica v – Velocidade de ensaio W – Energia requerida para o avanço da fissura XVII Símbolos gregos ijδ – Delta de Kronecker ε – Extensão verdadeira ijε – Tensor das extensões ε – Extensão efectiva fε – Extensão efectiva na fractura ijε& – Tensor das velocidades de deformação ε& – Velocidade de deformação ε& – Velocidade de deformação efectiva λd – Constante de proporcionalidade das equações de Lévy Mises μ – Coeficiente de atrito ν – Coeficiente de Poisson σ – Tensão verdadeira ou de Cauchy eσ – Tensão limite de elasticidade no ensaio de tracção uniaxial iσ – Tensão principal jσ – Tensor das tensões ijσ ′ – Tensor desviador das tensões σ – Tensão efectiva mσ – Tensão média ou hidrostática τ – Tensão de corte yτ – Tensão de cedência rígido-plástica γ – Distorção vΔ – Termo de correcção da velocidade XVIII Abreviaturas. CAD Computer Aided Design CAM Computer Aided Manufacturing CNC Computer Numerical Control CTOD Crack Tip Opening Displacement DAQ Data Acquisition CFC Cúbica de Faces Centradas MFLE Mecânica da Fractura Linear Elástica FEM Finite Element Method LVDT Linear Variable Differential Transformer MFEP Mecânica da Fractura Elasto-Plástica MFNLE Mecânica da Fractura não Linear Elástica PFO Plasticity and Friction Only analysis Organizações UTL Universidade Técnica de Lisboa (Technical University of Lisbon) IST Instituto Superior Técnico STM Secção de Tecnologia Mecânica DEM Departamento de Engenharia Mecânica ASME American Society of Mechanical Engineers DIN Deutsches Institut für Normung ISO International Organization of Standardization NI National Instruments XIX XX 1 Introdução Existem dois pontos de vista diferentes sobre os fundamentos do corte por arranque de apara e sobre a forma como as aparas são formadas [1]. A visão tradicional considera que o mecanismo de formação de apara é um problema meramente do domínio da teoria da plasticidade, considerando desprezável a energia necessária para a abertura de novas superfícies [2]. Esta aproximação está inerente aos trabalhos pioneiros de Piispanen [3], Ernst e Merchant [4], Lee e Shaffer [5] e está implícita nas principais contribuições para a compreensão do processo conduzidas por Zorev [6], Shaw [2], Oxley [7] e muitos outros investigadores, aparecendo como primeira opção nos cursos leccionados na maioria das universidades e escolas politécnicas. O outro ponto de vista, não tradicional e controverso, apresenta a abertura de fissuras junto da aresta de corte como um fenómeno fundamental para a compreensão do mecanismo de formação de apara. A energia consumida na abertura das novas superfícies é considerada significativa, alcançando valores na ordem dos 2mkJ , contrariamente aos 2mJ derivados da tensão superficial [2], considerados no conceito anterior. Este conceito foi apresentado por Atkins [8], fundamentado pela elevada deformação plástica que se verifica na vizinhança da fissura junto da aresta de corte. A aceitação de um mecanismo de formação de apara exclusivamente baseado na teoria da plasticidade pareceria à primeira vista a opção mais segura tendo em conta o elevado numero de trabalhos científicos realizados neste domínio, assim como, os autores de renome que o apoiam. No entanto, será de estranhar um conjunto de relatos ao longo da história da investigação neste domínio, os quais referem problemas na utilização preditiva dos seus modelos teóricos. São exemplo disso Watkins and Wilkinson [9], Chisholm and McDougall [10], Pugh [11], Creveling, Jordan and Thomsen [12], ou Astakov [13]. O resultado de todos estes trabalhos de investigação, onde se procurou avaliar a qualidade dos modelos analíticos do corte por arranque de apara, encontram-se sumarizados na Figura 1.1. Muitos outros investigadores indicaram o complexo escoamento do material da apara como a principal razão para esta diferença. Outros indicaram ainda a caracterização mecânica e/ou tribologica como possível causa. No entanto, a simulação dos escoamentos complexos obtida através dos programas de elementos finitos apontaram para as mesmas dificuldades encontradas nos modelos analíticos [14]. Nesse trabalho, baseado numa caracterização independente das principais variáveis, Tekkaya [14] afirma que só é possível aproximar os valores teóricos aos experimentais sobrestimando o valor do coeficiente de atrito e/ou do comportamento mecânico do material. Esta é provavelmente a razão pela qual Astakhov [13], após analisar o trabalho de diversos investigadores, concluiu que os resultados da modelação numérica parecem ter sempre uma boa correlação com os resultados experimentais, apesar dos valores particulares do coeficiente de atrito seleccionado para a modelação. Astakov também observou que as simulações numéricas reportadas na literaturapareciam estar limitadas a casos onde a experimentação havia sido realizada previamente, nunca sendo utilizados de forma preditiva. 1 Figura 1.1 – Comparação dos modelos teóricos do corte por arranque de apara com os ensaios experimentais, onde se apresenta a evolução do ângulo do plano de corte (φ) em função da direcção da força resultante (β-α) [11]. Recentemente foi demonstrado por Rosa [15] que quando a energia de abertura de novas superfícies junto da aresta de corte é devidamente contabilizada nos modelos teóricos, as suas estimativas reproduzem de forma ajustada as observações experimentais. Este autor realizou ensaios de corte ortogonal em condições laboratoriais bem controladas. Os ensaios foram realizados em condições “quasi-estáticas”, minimizando efeitos derivados da temperatura e da velocidade de deformação. A simulação numérica foi realizada com base numa caracterização independente, tanto do material, como da tribologia na interface de contacto material/ferramenta, através de ensaios conduzidos em condições similares aos ensaios experimentais de corte. A energia necessária à formação de novas superfícies foi contabilizada desacopladamente na simulação numérica através de trabalhos desenvolvidos por Atkins et al.[16]. No entanto, a quantificação desta energia foi obtida em condições particulares, “quasi-estáticas”, longe dos parâmetros operativos praticados na indústria. Esta tese está focada na avaliação da energia consumida na abertura de novas superfícies junto da aresta de corte, designada por tenacidade à fractura R. O conhecimento deste valor e da sua evolução em função da velocidade de deformação é imprescindível para uma correcta previsão das forças de corte e do campo de tensões/deformações. Onde a sua contabilização na modelação teórica do corte por arranque de apara, à semelhança da lei do material e da lei de atrito, permitirá resolver algumas das questões em aberto na modelação do processo. A existência da separação de material nos processos de corte por arranque de apara (também nos processo de corte por arrombamento), distingue este processo dos que são exclusivamente baseados na teoria da deformação plástica, como os processos de forjamento, de extrusão ou estampagem. Neste âmbito, esta tese procurará desenvolver uma metodologia experimental para avaliação da tenacidade à 2 fractura de materiais submetidos a elevadas velocidades de deformação, bem como avaliar a capacidade de previsão do método de elementos finitos quando aplicado na modelação de processos onde ocorra a formação de novas superfícies, tais como o processo de maquinagem e o processo de corte por arrombamento. A tese está organizada em seis capítulos, incluindo esta introdução e as conclusões onde se resumem as principais contribuições deste trabalho de mestrado. O capítulo 2 começa com uma breve revisão da teoria da plasticidade, de forma a permitir introduzir as bases para a utilização do programa de elementos finitos. Introduz uma breve descrição da extensão da teoria da mecânica da fractura linear elástica à plasticidade, apresentando os principais conceitos teóricos utilizados na análise dos resultados experimentais e na determinação da tenacidade à fractura do material. Por último, mas não menos importante, são apresentadas as equações básicas do programa de elementos finitos utilizado ao longo da dissertação, o programa I_FORM2. O capítulo 3 fornece uma descrição sumária dos fundamentos do corte ortogonal enquadrados na visão da mecânica das grandes deformações plásticas. Apresenta ainda uma breve descrição das novas estratégias utilizadas na modelação do mecanismo de formação de apara. O capítulo 4 apresenta o desenvolvimento experimental realizado no âmbito desta tese de mestrado. Descreve o desenvolvimento e a instalação de um martelo de queda no laboratório da Secção de Tecnologia Mecânica, concebido especificamente para a caracterização mecânica de materiais a alta velocidade. Apresenta o plano de ensaios conduzido na avaliação da tenacidade à fractura, tendo sido realizado no equipamento anteriormente referido e numa prensa hidráulica existente no mesmo laboratório. Neste capítulo, apresenta-se ainda o trabalho realizado para permitir a medição e aquisição das principais grandezas envolvidas nas experiências laboratoriais. O capítulo 5 apresenta de uma forma compreensiva o comportamento à fractura do chumbo tecnicamente puro, quantificando o seu valor em função do regime de deformação plástica imposto. Compara os resultados obtidos experimentalmente com as previsões teóricas obtidas pelo método dos elementos finitos, onde foi introduzido o comportamento mecânico do material para regimes de deformação similares. Esta tese termina com a apresentação das conclusões e perspectivas de trabalhos futuros no capítulo 6. Esperando-se ter contribuído para uma melhor compreensão da mecânica de abertura de fissuras junto da aresta de corte em regimes de deformação mais próximos dos utilizados na prática industrial. 3 4 2 Fundamentos Teóricos O novo conceito apresentado por Atkins [16] para o mecanismo de formação de apara considera um valor da energia de formação de novas superfícies, junto da aresta de corte, comparável à energia consumida tanto na deformação plástica da apara, como por atrito na face de ataque da ferramenta. O presente capítulo começa por apresentar os fundamentos da teoria da plasticidade que servirão de base à compreensão da componente teórica do trabalho, focando a sua aplicação através do método dos elementos finitos. Neste capítulo é ainda concedida uma especial ênfase à extensão da teoria da mecânica da fractura linear elástica às grandes deformações da plasticidade. 2.1 Teoria da Plasticidade A teoria matemática infinitesimal da plasticidade descreve a mecânica da deformação de corpos sólidos, que por acção de solicitações exteriores sofrem deformações permanentes (deformações plásticas). De acordo com esta teoria, a quantificação das deformações num meio contínuo é realizada utilizando como variáveis independentes as coordenadas no estado deformado. Este facto leva a que as tensões, extensões e velocidades de deformação, devam ser expressas relativamente a um sistema de coordenadas fixo ao material no estado deformado. 2.1.1 Tensão, Extensão e Velocidade de Deformação O conceito de tensão, está associado à noção de força aplicada por unidade de superfície. É um conceito puramente matemático, uma vez que não é mensurável, como são, por exemplo, as forças ou os deslocamentos. A generalização do conceito de tensão ao domínio tridimensional dá origem à noção de estado de tensão num ponto, P , que se define através do seguinte tensor das tensões, ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = zzzyzx yzyyyx xzxyxx ij σττ τστ ττσ σ onde jiij ττ = (2.1) O tensor das tensões pode ser decomposto num tensor hidrostático ou de tensões médias, kkσ , envolvendo somente estados puros de tracção ou de compressão, e num tensor desviador, ijσ ′ , onde as componentes normais são o remanescente da tensão hidrostática para a total. 5 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′ ′ ′ + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =′+= zzyzx yzyyx xzxyx m m m ijkkijij σττ τστ ττσ σ σ σ σσδσ 00 00 00 3 1 (2.2) em que ijδ é o delta de Kronecker e mσ representa a tensão média, 3 zyx m σσσσ ++= (2.3) A extensão é igualmente um conceito matemático que é introduzido para descrever as deformações dos corpos. No caso de se tratar de grandes deformações,é habitual utilizar-se a extensão verdadeira ou logarítmica, ε , ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=∫=ε 0 ln 0 l l l dll l (2.4) a qual considera em cada instante o incremento de deslocamento, , relativamente ao comprimento instantâneo de referência, dl l . A generalização deste conceito ao caso tridimensional leva a que sempre que os incrementos de deslocamento sejam pequenos se possa determinar o acréscimo de deformação num elemento de volume arbitrário através do tensor das extensões, ijε ( jiij εε = ), ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂= ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = i j j i zzyzx yzyyx xzxyx ij x u x u 2 1 z w y w z v 2 1 x w z u 2 1 y w z v 2 1 y v x v y u 2 1 x w z u 2 1 x v y u 2 1 x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ εεε εεε εεε ε (2.5) O conceito de velocidade de deformação pode ser introduzido de uma forma perfeitamente análoga ao conceito de extensão. De facto, tal como as extensões foram expressas em função do campo de deslocamentos , também as velocidades de deformação podem ser relacionadas com o campo de velocidades , obtendo-se, iu iv ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂= i j j i ij x v x v 2 1ε& (2.6) 6 2.1.2 Critérios de Plasticidade A generalidade dos processos tecnológicos de deformação plástica envolve estados de tensão à tracção e/ou compressão de natureza bi ou triaxial. Um dos aspectos mais relevantes da teoria da plasticidade é o estabelecimento de relações entre as tensões que permite definir o limite de elasticidade, isto é, determinar as condições para as quais o material sai do domínio elástico e entra em domínio plástico, independentemente do estado de tensão a que está sujeito. Estas relações são conhecidas por critérios de plasticidade. Genericamente, qualquer critério de plasticidade pode escrever-se na forma: F Kij( )σ = (2.7) em que F ij( )σ é uma função conhecida do estado de tensão, também designada por função limite de elasticidade, e K é uma constante do material determinada experimentalmente. Como para os materiais isotrópicos, a entrada em domínio plástico deve ser independente do sistema de eixos considerados, os critérios de plasticidade podem ser escritos em função dos três invariantes do tensor das tensões I I I1 2 3, e como: F I I I K( , , )1 2 3 = (2.8) sendo os três invariantes do tensor das tensões obtidos a partir do estado de tensão σ ij : iiI σ=1 ijijI σσ2 1 2 = kljkijI σσσ3 1 3 = (2.9) No caso dos materiais metálicos, que apresentam um comportamento incompressível, Bridgman [17] concluiu a partir de trabalho experimental, que a deformação plástica é independente da tensão hidrostática, ou média: σ δm ij= 13 σij (2.10) em que δij representa o símbolo de Kronecker. Assim, para estes materiais a função limite de elasticidade pode ser escrita na forma: F J J K( , )2 3 = (2.11) em que J J2 e 3, representam respectivamente o segundo e terceiro invariantes do tensor desviador das tensões: '' 2 2 1 ijijJ σσ= σσσ ''3 3 1 jkijJ = (2.12) 7 os quais podem ser obtidos a partir do tensor das tensões: σ σ δ σij jk ij ij' = − 13 (2.13) Os critérios de plasticidade mais utilizados no estudo dos materiais metálicos são os critérios de Tresca [18] e de von Mises [19]. O primeiro admite que o início de deformação plástica ocorre quando a tensão de corte máxima atingir um valor crítico k , enquanto que o segundo admite que o início de deformação plástica se verifica quando a energia elástica de distorção atingir um valor crítico, igual à energia elástica de distorção no ponto correspondente ao limite de elasticidade em tracção uniaxial. Matematicamente estes dois critérios de plasticidade podem ser escritos pelas equações (2.14) e (2.15). 4 27 36 96 642 3 3 2 2 2 4 2 6J J J k J− − + = k (2.14) J k2 2= (2.15) em que k representa a tensão limite de elasticidade em corte puro, que se relaciona com a tensão limite de elasticidade no ensaio de tracção uniaxial, σe, por 2/k eσ= , no caso do critério de Tresca e por 3/k eσ= no caso do critério de von Mises. A representação gráfica destas equações no espaço tridimensional de Haigh-Westergaard (Figura 2.1), ou espaço das tensões principais, permite definir as superfícies limite de elasticidade de Tresca e von Mises de acordo com um prisma hexagonal e um cilindro, ambos centrados no eixo σ σ σ1 2 3= = . O critério de plasticidade de von Mises é mais adequado à reprodução dos resultados experimentais na generalidade dos materiais metálicos [20]. No plano numérico/computacional o critério de von Mises também apresenta a vantagem de ser definido por intermédio de uma função de derivada contínua. von Mises Tresca σ1=σ2=σ3σ1 σ2 σ3 Figura 2.1– Representação gráfica no espaço tridimensional de Haigh-Westergaard das superfícies limites de deformação elástica de Tresca e de von Mises de um material isotrópico. 8 A definição de critérios de plasticidade, permite introduzir dois novos conceitos, o de tensão efectiva e o de extensão efectiva. A tensão efectiva, σ , é uma quantidade função da tensão aplicada que permite comparar os estados de tensão biaxiais e triaxiais a que estão sujeitos os materiais, com estados equivalentes de tensão uniaxiais. A tensão efectiva para o critério de plasticidade de von Mises é dada por: σ σ= 3 2 ij ij σ (2.16) A extensão efectiva, ε , é definida de modo a ser uma quantidade conjugada da tensão relativamente ao trabalho incremento de unidade de volume dw : dw d dij ij= =σ ε σ ε (2.17) Considerando o critério de plasticidade de von Mises, pode demonstrar-se que o incremento de extensão efectiva dε , é dado por: d d dij ijε ε= 32 ε (2.18) A extensão efectiva, obtém-se por integração da equação anterior ao longo do caminho de deformação: ε ε= ∫ d (2.19) 2.1.3 Equações Constitutivas O principal objectivo da teoria matemática da plasticidade é o estabelecimento de relações entre a tensão e a extensão para os materiais no domínio plástico. No domínio elástico, a relação entre a tensão e a extensão é linear (Lei de Hooke) e depende somente dos estados inicial e final de tensão e de deformação. No domínio plástico, os ensaios de tracção uniaxial demonstram que esta relação não é linear. Por outro lado, em plasticidade as extensões deixam de ser univocamente determinadas pelas tensões, pois dependem da história do carregamento, ou seja da forma como o estado de tensões foi obtido. Em plasticidade é necessário determinar os incrementos de deformação plástica ao longo da história do carregamento, (ou seja, à medida que o carregamento prossegue), para depois obter a deformação total por integração entre os estados inicial e final. As relações entre os incrementos de extensão e tensão em domínio plástico denominam-se leis de escoamento plástico (equações constitutivas). As primeiras leis foram obtidas independentemente por Lévy em 1871 [23] e por von Mises em 1913 [19], ficando por isso conhecidas como equações constitutivas de Lévy- Mises, e permitem relacionar os incrementos de extensão total com o valor da tensão desviadora do seguinte modo: 9 d dij p ij ε σ λ' = (2.20) Nesta equação e são respectivamente a tensão desviadora e o incremento de extensãoplástica, e σ ij' d ijpε dλ é uma constante de proporcionalidade que depende da história do carregamento. A determinação desta constante é possível recorrendo à conjugação deste critério com a noção de trabalho plástico por unidade de volume [24], obtendo-se: d dλ εσ= 3 2 (2.21) Onde dε σ e são respectivamente o incremento de extensão plástico efectivo e a tensão efectiva. Substituindo (2.21)em (2.20) as equações de Lévy-Mises podem ser apresentadas na forma a seguir indicada. d d ij p ijε εσ σ= 3 2 ' (2.22) Estas equações ignoram a componente elástica da deformação, pois fazem coincidir os incrementos de extensão total com os de extensão plástica, sendo por isso unicamente válidas em regime plástico. São particularmente indicadas para o estudo de processos tecnológicos de deformação plástica onde as extensões plásticas atingidas pelas peças sejam relativamente elevadas, e as extensões elásticas possam ser desprezadas sem prejuízo dos resultados. Embora o estudo efectuado no âmbito desta dissertação permita desprezar a componente elástica das deformações, apresenta-se a título complementar a generalização das equações de Lévy-Mises indispensáveis para incluir a componente elástica da deformação (Prandtl em 1925 [25] e Reuss em 1930 [26]). Estas equações, conhecidas por equações constitutivas de Prandtl-Reuss, estabelecem que os incrementos de extensão total são obtidos pela soma dos incrementos elástico d e plástico d . ijeε ijpε d d dij ij e ij pε ε= + ε (2.23) O incremento de extensão plástico é obtido por intermédio da Equação (2.22) e o incremento de extensão elástico é calculado a partir das relações tensão-extensão em domínio elástico (leis de Hooke [20]): d E d E d ij e ij ij ijε υ σ υ σ δ= + + −1 1 2 3 ' ( ) (2.24) E , ,e G υ , são respectivamente, o módulo de Young, o módulo de elasticidade transversal e o coeficiente de Poisson. 10 2.2 Mecânica da Fractura A mecânica da fractura descreve os diferentes modos de ruína dos materiais causada pela acção de solicitações exteriores. De acordo com esta teoria, para o coalescimento e a propagação de uma fissura (geração de novas superfícies) é necessário fornecer uma determinada quantidade de energia. Este facto leva a que o valor dessa energia seja expresso relativamente à área das novas superfícies, ou à variação da secção resistente. Esse valor é uma característica do tipo de material e das condições de carregamento. Tipos de Fractura A ruína dos materiais metálicos pode ocorrer de três maneiras distintas: 1) na ausência de deformação plástica; 2) na presença de deformação plástica ou 3) de modo combinado. Quando essa ruína do material ocorre na presença de uma elevada deformação plástica na vizinhança da fenda, é denominada por fractura dúctil. Estes casos são geralmente caracterizados por uma progressão lenta e controlada da fissura. É estável, e não progride a menos que haja um aumento da tensão aplicada. É causada normalmente por sobrecargas simples ou pela aplicação de tensões demasiado elevadas no material, exibindo uma superfície característica de fractura com aspecto irregular, fibroso. Ocorre, normalmente, de uma forma granular nos metais de elevada ductilidade e tenacidade. Frequentemente, uma quantidade considerável de deformação plástica, incluindo estiramento, é observada no componente fracturado, deformação esta que ocorre antes da fractura final. Por outro lado, a (quase) ausência de deformação plástica na vizinhança da fissura promove o aparecimento da fractura frágil, as fendas propagam-se muito rapidamente, e é tão instável que a propagação de fenda ocorre sem gradual aumento da tensão imposta. Ocorre nos metais com elevada dureza, nos metais com ductilidade e tenacidade baixas, e nos cerâmicos. Mesmo os metais que são normalmente dúcteis, podem fracturar de forma frágil, por exemplo, quando sujeitos a temperaturas baixas, em secções densas, com elevadas taxas de tensão (tais como no impacto), ou quando as falhas representam um papel importante na fractura do material. As fracturas frágeis são observadas frequentemente quando uma sobrecarga de impacto causa a fractura [27]. 2.2.1 Mecânica da Fractura Linear Elástica (MFLE) Os resultados dos ensaios de Charpy e de Izod [28] revelam essencialmente o comportamento frágil/dúctil do material aquando da sua fractura, permitindo avaliar o efeito da temperatura, sendo que outros parâmetros de fractura não podem ser obtidos através destes ensaios. Atendendo a estas limitações e às exigências após a segunda guerra mundial, a mecânica da fractura nasce para desenvolver parâmetros novos e alternativos aos testes de impacto tradicionais. No final dos anos 70, os ensaios mecânicos de fractura foram desenvolvidos essencialmente para a determinação da 11 tenacidade à fractura do material. A tenacidade à fractura pode ser determinada em circunstâncias elásticas lineares ou em circunstâncias elasto-plásticas, dependendo do material e das condições de funcionamento. A Mecânica da Fractura Linear Elástica (MFLE) aplica-se quando a deformação não linear do material é confinada a uma pequena região junto da ponta da fissura. Para materiais frágeis, estabelecem-se com precisão os critérios para falha catastrófica. Contudo, levantam-se sérias limitações quando elevadas regiões do material são sujeitas a deformação plástica antes da propagação de uma fenda. Onde a mecânica da fractura elasto-plástica (MFEP) é geralmente a primeira opção considerada. Uma fenda num determinado corpo pode ocorrer de três modos diferentes, como mostrado na Figura 2.2. Figura 2.2 – Três modos de fractura e as respectivas zonas plásticas típicas. Tensões normais provocam o “modo de abertura” denotado como modo I (abertura das faces da fenda por tensões normais), em que o deslocamento das superfícies é perpendicular ao plano da fenda. Num plano de corte resulta o modo II ou “modo de escorregamento” (tensão de corte no plano da fenda). Os deslocamentos das superfícies da fenda são no plano desta e perpendiculares ao bordo principal da fissura. O “modo de rasgar” ou o modo III é causado pelo corte fora do plano. Os deslocamentos das superfícies da fenda são no plano desta e paralelos ao bordo principal da fissura. A sobreposição dos três modos descreve os casos mais gerais de fractura. Critério de Griffith O primeiro problema a ser solucionado na mecânica da fractura era o chamado problema de fissuração de Griffith, o qual envolvia uma pequena fenda elíptica, de comprimento numa placa muito grande (infinita) carregada nos limites com uma tensão de tracção a2 σ . A Figura 2.3 mostra a geometria e os termos usados na seguinte análise. 12 2a fissura A O C D E B Carga deslocamento comprimento da fissura a + da comprimento da fissura a a) b) Figura 2.3 – Problema de fractura de Griffith, pequena fenda elíptica numa placa infinita, carregada nos seus limites; b) Diagrama carga-deslocamento do problema de fractura de Griffith. A energia elástica contida na placa é representada pela área OAB . Se a fissura aumentar num comprimento a rigidez da placa irá cair (linha ), o que significa que alguma carga será libertada a partir do momento em que as extremidades da placa são fixas. Consequentemente, o índice de energia elástica irá cair a um valor representado pela área OCB . Na propagação da fissura de para irá resultar uma libertação de energia elástica igual em valor à área . Submetendo a placa a uma carga mais elevada, haveria uma libertação maior de energia se a fenda crescesse uma quantidade. Griffith estabeleceu que a propagação da fenda ocorrerá se a energia disponibilizada for suficiente para o crescimento desta. Se não for o caso, a tensão terá que aumentar. O triângulo representa a quantidade de energia disponível se a fissura crescer. da OC a daa + OAC da da dW da dU = (2.25) Onde é a energia elástica e W a energia requerida para o avanço da fenda. Baseado nos arquivos de tensões e cálculos para uma falha elíptica de Inglis U [29]. Cálculo de Griffith para : dadU / E a da dU 22πσ= ou E aG 2πσ= (2.26) por unidade de espessura da placa, onde E é o modulo de Young. a EG cI crack πσ = 2 ou a EG cI crack πσ = (2.27) 13 A equação (2.27) é a equação de Griffith para fractura frágil. Nas experiências de Griffith, no fim da primeira grande guerra, a força medida em hastes de vidro foi correlacionada com falhas de tamanhos diferentes na superfície. Para um pequeno , a σ era muito elevado e em quase todos os filamentos de vidro com muito pequeno, a σ aproximava-se do valor teórico da tensão do vidro (aproximadamente ). De notar que a equação geral forma-se da equação de Griffith; a fractura depende da tensão aplicada e do comprimento da fenda, e não meramente da tensão de cedência. A expressão sugere que a tensão ou carga crítica deve ser alcançada antes que o avanço da fenda se inicie. O valor crítico varia directamente com o módulo de Young e com a resistência, e inversamente com o comprimento da fenda. Sugere também um comprimento crítico abaixo do qual a fissura não se propague para determinada carga aplicada. Equivalentemente, a tensão que faz com que uma fenda se propague num objecto é uma medida de força do objecto fissurado. 10/E Parâmetro Energético G Considerando a mesma geometria de carregamento da secção anterior (problema da fenda de Griffith), é possível demonstrar que uma fenda só se propaga se existir disponível uma quantidade de energia suficiente para realizar todo o trabalho de rotura no material, ou seja, a condição necessária para o crescimento da fenda pode ser escrita na forma: ( ) da dW da UFd w =− (2.28) Onde U é a energia elástica contida no corpo, o trabalho exercido pela força aplicada e W a energia necessária para o avanço da fenda. wF O primeiro termo da equação é conhecido como G “taxa de libertação de energia elástica” na ponta da fenda ou “força disponível para provocar o avanço da fenda”. Estas dimensões de energia são por unidade de espessura da placa e por unidade de extensão da fenda, sendo também as dimensões da força por unidade de extensão da fenda. O segundo termo representa a energia consumida na propagação da fenda e é representado por dadWR /= , “resistência á fissuração”. Numa primeira aproximação pode-se supor que a energia requerida para produzir uma fissura é a mesma para cada incremento . Isto significa que da R é uma constante. A condição de energia da equação (2.25) mostra que deve ser pelo menos igual a G R antes que ocorra o avanço da fenda. RG = (2.29) Onde o parâmetro G depende da força aplicada e R é uma resistência interna do material, ambos os parâmetros são valores específicos, referidos a espessuras unitárias. 14 2.2.2 Extensão da Mecânica da Fractura Linear Elástica à Plasticidade No corte e em operações similares em barras lisas, não é suficientemente claro se a “força de corte” do material é a tensão na qual se inicia a cedência, a que causa a fractura do material ou aquela na qual ocorre o corte causado por uma instabilidade de carga. De forma a permitir clarificar esta questão, Atkins [30] determinou experimentalmente R . Os ensaios consistiram em aplicar uma carga em barras entalhadas. A geometria dos provetes é a mostrada na Figura 2.4: H F, d a c Figura 2.4 – Geometria dos provetes entalhados carregados ao corte Para o corte dos provetes entalhados mostrados na Figura 2.4, é considerado que antes de ocorrer a fissuração, a cargaF é dada por: n o HH aFF ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= δ21 (2.30) Onde corresponde ao encruamento quando . Nas seguintes análises ignora-se os componentes de deslocamento elástico, energia e taxa de variação de energia elástica. Analiticamente é possível comprovar que contribuem relativamente pouco nos ensaios descritos. O parâmetro n nεσσ 0= δ corresponde ao deslocamento plástico verificado na ponta da fissura segundo a direcção perpendicular ao eixo desta, conhecido também como parâmetro CTOD [31]. O trabalho realizado no corte antes de fissurar é dado por: 1 0 21 )1( + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+== ∫ n cH a n HFFdU δδ (2.31) 15 Com a suposição usual, de que, antes de fissurar, a deformação total de plasticidade de Hencky coincide com a elasticidade não linear, em termos da MFNLE básica [32] 1 0 )1(24 + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=∂ ∂−= n cBn HF aB UR δ (2.32) Onde é a área da fissura (quatro fendas) , aBA 4= B a largura do provete eR a tenacidade á fractura. De acordo com a Equação (2.32), R é independente de ( )Ha / e a fissuração começa no mesmo δ independentemente do comprimento inicial da fenda ( )Ha / . Assim, a tenacidade é constante para a solução da MFNLE, correspondendo a linhas verticais no diagrama δ−F . Uma expressão alternativa para R no começo da fissuração é dada por 0/ BbUR initη= (2.33) Onde é o trabalho aplicado no instante inicial de crescimento da fenda e é o ligamento restante entre as fendas (entalhes) iniciais de comprimento , o qual é dado por ( initU 0b 0a ( )00 2.2 aWb −= Figura 2.4). O Factor Turner’s η [33] no caso presente tem valor 1=η , usado nas Equações (2.31) e (2.32). 16 2.3 Método dos Elementos Finitos Aplicado à Deformação Plástica No início dos anos 70, Lee e Kobayashi, Cornfield e Johnson, e Zienkiewicz e Godbole, desenvolveram uma formulação de elementos finitos, denominada formulação de escoamento plástico (“flow formulation” na terminologia inglesa), que caracteriza o escoamento dos materiais metálicos em deformação plástica de uma forma análoga ao escoamento de fluidos viscosos incompressíveis. As extensões elásticas são desprezadas, o que é admissível em face das elevadas deformações plásticas que as peças sofrem durante as operações de fabrico por deformação plástica, os materiais são descritos através de leis de comportamento rígido-plásticas/viscoplásticas e as relações entre a tensão e a velocidade de deformação baseiam-se nas equações constitutivas de Levy-Mises. A formulação de escoamento plástico tem sido muitas vezes utilizada na análise de processos de deformação plástica na massa bidimensionais e tridimensionais e serve de base a alguns programas de elementos finitos, nomeadamente ao programa I-FORM2 utilizado no âmbito desta dissertação. 2.3.1 Analise dos Fundamentos da Formulação O trabalho realizado por Cornfield e Johnson [34] aparece como a primeira publicação que emprega a analogia entre escoamento viscoso e plasticidade infinitesimal, permitindo solucionar problemas de deformação plástica. Subsequentemente, em trabalhos realizados por Lee e Kobayashi [35] recorreu- se à mistura de uma formulação de velocidade-pressão rígido plástica em conjunto com elementos lineares sob condições de tensão hidrostática constante (redução na integração), possibilitando a resolução de simples problemas de forjamento e tracção. A utilização de integrações reduzidas para tensões hidrostáticas é devida ao facto da formulaçãode escoamento ser baseada numa aproximação de volume de controlo, e desta forma, o constrangimento de incompreensibilidade do escoamento do material não é automaticamente satisfeita através das equações de movimento. Zienkiewicz [36] desenvolveu mais tarde uma formulação de escoamento na qual introduziu um método que recorria a uma função de penalidade com o intuito de forçar o constrangimento de incompreensibilidade. Esta técnica (também conhecida como a formulação de escoamento irredutível), tem a vantagem de reduzir o número de variáveis independentes devido à ausência de tensões hidrostáticas variáveis. A formulação irredutível do escoamento começa com a forma variacional fraca expressa em termos da variação arbitrária da velocidade [37], 17 0=−+=Π ∫∫∫ dSuFdVKdV i S i V VV V F δεδεεδσδ &&& (2.34) Onde é o volume de controlo limitado pelas superfícies e nas quais são prescritas a velocidade e a pressão respectivamente. A constante V uS fS K corresponde a um valor positivo elevado, e tem como objectivo penalizar a componente volumétrica da velocidade de deformação, , forçando assim a incompressibilidade. v ∗ε A utilização da formulação irredutível de escoamento tem a vantagem de preservar o número de variáveis independentes, uma vez que a tensão média pode ser implementada computacionalmente por: Vm K εσ &= (2.35) 2.3.2 Discretização Uma questão importante que se coloca durante o desenvolvimento/utilização de programas de computação bidimensionais para deformação plástica, está directamente relacionada com a discretização da equação (2.34) através de elementos finitos. Vários programas computacionais fazem uso da primeira ordem modificada e/ou da segunda ordem de elementos triangulares devido às vantagens nas operações de fabrico e refinamento de malhas. Testes numéricos, focalizados no desempenho relativo entre os elementos triangulares e quadriláteros de primeira ordem modificada, comprovam que os elementos triangulares para garantirem a mesma precisão dos elementos quadriláteros necessitam de maior amplitude. Por outras palavras, a discretização de uma peça com elementos quadriláteros requer menos nós (ou graus de liberdade) e assegura tempos de computação mais rápidos. A elevada disponibilidade, nos dias de hoje, de geradores de malhas automáticas para discretização de geometrias bidimensionais arbitrárias através de elementos quadriláteros, reforça este tipo de elementos como a escolha indicada para a discretização bidimensional em casos de deformação plástica. Ao nível elementar, a discretização da equação (2.34) por meio de M elementos quadriláteros ligados por pontos nodais resulta nas seguintes equações não lineares: N 18 ∑ ∫∫∫ = = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −+ M m S m V mTTmm V mT mm dSdVKdV 1 0TNBBvCCvKε σ & (2.36) As equações anteriores também podem ser escritas na seguinte forma simplificada, [ ] { } { }∑ = ⎭ ⎬⎫⎩⎨ ⎧ =+ M m nnnmK 1 FvQPσ (2.37) Com, BDBK T= m V n dV m ∫ −= KP 11ε& ∫= mV mTT dVBBCCQ ∫= m TS mdSTNF (2.38) onde N é a matriz que contém as funções de forma do elemento (matriz interpoladora); B é a matriz das velocidades de deformação; C é a representação matricial do símbolo de Kronecker; e D é a matriz que relaciona a tensão desviadora com a velocidade de deformação de acordo com as equações constitutivas de Levy-Mises. A avaliação numérica dos integrais de volume incluídos na Equação (2.38) é necessária para assegurar a incompressibilidade. Tais exigências da deformação plástica em metais, requerem a utilização de ambos os esquemas de integração de Gauss, reduzido e completo. A partir da forma simplificada do conjunto de equações não lineares (2.37) é possível definir a discretização da forma do vector de força residual como [ ] { } { }{ }∑ = −−− −+σ= M m nn i n i mn i K 1 111 FvQPR (2.39) O qual é a base do esquema de integração implícita. 2.3.3 Técnicas Numéricas 19 O conjunto de equações não lineares (2.37) deriva da formulação de elementos finitos de escoamento irredutível, podendo ser resolvidas a partir de diferentes técnicas numéricas, nomeadamente por iterações directas ou pelo método de Newton-Raphson. O método de iterações directas baseia-se nas equações constitutivas de Levy-Mises tornando-se linear (constante) ao longo cada iteração, reduzindo assim a Equação (3.24) a um conjunto de equações lineares. O método é iterativo e converge rapidamente para a solução nos estágios iniciais do procedimento de iteração, mas torna-se muito lento quando se aproxima da solução. Deste modo, a sua utilização é limitada na geração da suposição inicial do campo de velocidade para refinamento adicional pelo método de Newton-Raphson. O método Newton-Raphson normal é um método iterativo baseado na expansão linear de Taylor do resíduo (equação )(vR (2.39)) próxima da velocidade estimada na iteração anterior , 1−i ( ) 0v v RRRvR =Δ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+=≅ − − i i iii 1 1 (2.40) onde v é a correcção de primeira ordem do campo de velocidade, { } { } { } ] ]1,01 ∈βΔβ+= − iii vvv (2.41) O método de Newton-Raphson é capaz de obter a solução do conjunto de soluções não lineares (Equação (2.37)) a partir de um número reduzido de iterações. Porém, durante a modelação numérica das elevadas não linearidades na geometria e nas propriedades do material, podem surgir situações onde é necessário melhorar a estabilidade e a taxa de convergência do processo de iteração, através da selecção de uma valor adequado para o parâmetro β . Uma boa escolha é controlar a amplitude do termo de correcção da velocidade , através de procedimentos de ajuste vΔ [38]. De acordo com este procedimento, é obtido pela equação vΔ (2.40), considerando que sinaliza a direcção óptima de avanço para obtenção da solução. Em termos matemáticos, isto é equivalente a afirmar que o resíduo R , até ao fim de cada iteração deve ser ortogonal ao termo de correcção da velocidade , vΔ ( ) 0)( 1 =Δβ+⋅Δ=β − iiTir vvRv (2.42) Uma vez que o esforço computacional requerido na resolução de grandes sistemas de equações (Equação (2.37)) e no armazenamento a associação das matrizes de rigidez, tem tendência a consumir a maioria da memória e recursos do CPU. É então esperado que se dê atenção a esses 20 aspectos computacionais durante o desenvolvimento de programas de computação de elementos finitos. 2.3.4 Sistema de Elementos Finitos I-FORM2 O sistema de elementos finitos I-Form2, utilizado nesta dissertação, foi desenvolvido no Instituto Superior Técnico e destina-se à simulação numérica dos principais processos de enformação plástica.Este programa baseia-se na formulação de escoamento plástico e considera o comportamento rígido-visco/plástico dos materiais, de acordo com relações tensão- extensão/velocidade de deformação do tipo: ( )εεσ &,f= (2.43) A utilização do sistema I-Form2 permite obter um largo espectro de resultados, dos quais se destacam pela sua importância a geometria da peça após e durante o processo de enformação, e a evolução da carga com o deslocamento das ferramentas. O sistema de elementos finitos I-FORM2 está estruturado segundo um conjunto de módulos fundamentais ao seu funcionamento (Figura 2.5). Para alem dos módulos fundamentais existem ainda um conjunto de módulos auxiliares destinados quer às operações de pré e pós processamento, quer às operações de regeneração de malha indispensáveis durante a simulação degrandes deformações plásticas. Estes módulos estão escritos em Fortran e AutoLisp, encontrando-se integrados no sistema AutoCAD. O módulo “Pre” (Figura 2.5) destina-se ao pré processamento, compreende a geração automática da malha do modelo de elementos finitos e a discretização dos contornos geométricos da ferramenta. Efectua a leitura de dados, gerados no pré-processador, necessários à definição do modelo e respectiva geometria, à caracterização do tipo de material, à introdução das propriedades mecânicas e ao estabelecimento das principais variáveis de controlo do programa, nomeadamente as que são directamente responsáveis pela convergência do processo iterativo. O pós-processamento (módulo ´POST`) (Figura 2.5) consiste no tratamento e representação gráfica dos resultados obtidos através dos programas de elementos finitos. As principais tarefas por esta unidade são as seguintes, a representação da malha de elementos finitos e da discretização utilizada 21 nas ferramentas, a representação através de isolinhas ou esbatido colorido dos valores das principais variáveis de campo, e a representação da evolução da carga com o deslocamento da ferramenta. O módulo de animação (ANIMATION) (Figura 2.5) permite efectuar a animação computacional dos resultados provenientes das simulações numéricas com o objectivo de auxiliar na compreensão do escoamento do material. raw material AutoCAD MESH.INI DIE.DAT heating up the billet MESH.INI DIE.DAT PRE FEM.DAT DIE.DAT MAT.DAT FEM0.DXF FEM.RS2 DIE.RS2 BILLET_THERMAL FEM.DAT DIE.DAT MAT.DAT FEM.RST DIE.RST HEAT*.NEU HEAT.DXF (1) transfer from the furnace to the die (1) resting on the die before and after deformation forming machines MACHINE_TOOLS MCH.DATMCH.NFO finite element engine I-FORM 2 FEM.OUT FEM.INI MCH.DAT FEM.RST DIE.RST FEM.RS1 DIE.RS1 FEM*.GPH FEM*.NEU DIE*.NEU FEM1.GPH DIE.NEU(1) (1) (1) coupling with boundary elements FEM.RST MAT.DAT DIE.RST FEM.DAT DIE.DAT (1) to be used when material is not available in database DIE.DAT FEM*.NEU FEM.DAT ANIMATION POST FEM*.DXF FEM.ASC DIE DIE_THERMAL DIE*.NEUDIE.RS2 FEM9999.NEU FEM_RST.DXF FEM.RS2DIE.RST FEM.RST (1) REMESH (1) to be renamed as FEM.DAT and DIE.DAT before restarting i-form2 input output input output MAT.DAT FEM.INI internal default file located at C:\i_form\pre outputinput HEAT.ASC(1) HEAT.OUT outputinput database located at C:\i_form\machine_tools MCH.NFO NOTE : forming machine must be assigned to die no. 1 input output restart outputinput (1) remeshing input output output FEM.DAT FEM*.NEU DIE.DAT input input output FEM*.DXF FEM*.NEU FEM.DAT DIE.DAT input FEM.DAT DIE.DAT output FEM*.DXF FEM*.NEU NOTE : only available for combined finite element-boundary element (2) to be renamed as FEM.DAT and DIE.DAT before starting i-form2 (2) (2) numerical analysis Figura 2.5 – Estrutura do sistema de elementos finitos I-FORM2. Os módulos restantes permitem efectuar a operação de regeneração de malha (REMESH), calculo elástico das ferramentas (DIE), calculo térmico de matrizes (DIE-THERMAL), incoporação de características de máquinas-ferramenta (MACHINE-TOOLS) e incorporação de efeitos térmicos relacionados com o aquecimento de matéria-prima (BILLET-THERMAL). Estes módulos, são apenas sumariamente referidos na medida em que não foram utilizados no âmbito deste trabalho. 2.3.5 Modelo de Elementos Finitos Utilizado Devido á simetria rotacional, o modelo de elementos finitos utilizado é formado apenas por uma secção de revolução do provete, do punção e da matriz (Figura 2.6). Os provetes foram modelados a partir de uma malha estruturada de elementos quadriláteros, onde elementos de maior dimensão foram utilizados para modelar as regiões livres dos provetes, considerando que as zonas de elevada 22 deformação plástica se encontram no ligamento (onde é esperado que exista um maior número de variáveis) sendo a malha composta por elementos mais pequenos de modo a obterem-se resultados mais precisos e uma descrição mais detalhada do mecanismo de escoamento plástico. O contorno do punção e da matriz foi modelado por meio de elementos de contacto-atrito. Figura 2.6 – Modelo de elementos finitos utilizado na simulação numérica dos provetes entalhados ( c = 1 mm) com uma velocidade de ensaio de 0,001 m/s; a) Estágio inicial; b) Depois da compressão equivalente a um deslocamento de 0.6 mm, correspondente ao pico de carga máximo experimental. 23 24 3 Mecanismo de Formação de Apara Neste capítulo é conduzida uma análise compreensiva do mecanismo de formação de apara, com especial enfoque na física da separação de material junto da aresta de corte. Começa com uma apresentação dos fundamentos estabelecidos, orientada para a avaliação dos seus modelos teóricos. Observada a falha dos modelos teóricos tradicionais, procura-se encontrar resposta para as questões em aberto através de uma extensa pesquisa bibliográfica. Em resultado deste trabalho, a restante parte do capítulo é conduzida através da teoria da plasticidade para grande deformação e da mecânica da fractura dúctil. Por último, abordam-se as novas estratégias de modelação do corte por arranque de apara. 3.1 Fundamentos do Corte por Arranque de Apara Desde o final do século XIX que têm sido realizadas diversas tentativas notáveis para encontrar uma solução completa para o mecanismo de formação de apara. Destaca-se pelo seu pioneirismo a primeira análise quantitativa do ângulo do plano de corte (φ ) para o corte ortogonal obtida por Ernst e Merchant [4]: 2 2 παβφ =−+ (3.1) onde β é o ângulo de atrito e α é o ângulo de ataque da ferramenta de corte. A Equação (3.1) não está de acordo com os resultados experimentais. A análise foi feita assumindo que o comportamento da apara era idêntico a um corpo rígido em equilíbrio sob acção de forças transmitidas através da interface apara/ferramenta e no plano de corte (Figura 3.1 a)). Este modelo é baseado numa representação relativamente simples do sistema de tensões existente no processo de corto ortogonal real. Esta teoria supõe que a apara se encontra em equilíbrio devido à força de atrito e à força normal na interface apara/ferramenta, a qual possui uma resultante , estabelecida a partir da força normal, , e da força de corte, , no plano de corte. A decomposição vectorial da força resultante, de acordo com o sentido de corte, resulta na força de corte e na força de penetração . A fF nF RF σF τF cF pF Figura 3.1 b), mostra as forças que actuam na apara, deslocadas por conveniência para a extremidade de corte da ferramenta. 25 F F' E A C B D Vc Peça Ferramenta φ Ft Fcβ Ff Fσ A B Fnα Fτ FR α a) b) Figura 3.1 – Representação do mecanismo de formação de apara, no qual a ferramenta se desloca da direita para a esquerda; a) Equilíbrio de forças transmitidas ao longo da interface apara/ferramenta e do plano de corte; b) modelo de Ernst-Merchant, o qual descreve o comportamento da apara como um corpo rígido. Uma expressão idêntica á expressão (3.1) foi obtida assumindo que a tensão de corte τ deve ser influenciada directamente pela tensão normal ao plano de corte σ , como se segue: σττ S+= 0 (3.2) onde S é uma constante do material, de onde prosseguiu por sua segunda análise, como se segue. Da Figura 3.2 observa-se que: C=−+ αβφ2 (3.3) onde Merchant designou C
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