VE_1_2008 - Calculo I - Prova

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VE CÁLCULO I – 08/ABRIL/2008
QUESTÃO 1 (1,5 ponto)
Provar, por indução, que a igualdade abaixo é válida para qualquer n inteiro
positivo.
nnnnn 2
1
12
1...3
1
2
112
1...2
1
1
1 
QUESTÃO 2 (5 pontos)
Letra a) Calcule o limite 1...21lim 
 p
ppp
n n
nL
Letra b) Mostre que 


n
k
kkkk
1
2 )!1(!)1(
Letra c) Calcule os limites abaixo.
(i) x
x
senx cos
1
2
)(lim (ii) x
arctgx
x 0lim (iii) xx arctgx
1
0 )1(lim 
QUESTÃO 3 (1,5 ponto)
Seja uma função f contínua. Determinar todas as f tal que   1,0:f e
  12
1)()(
1
0
 dxxfxxf .
QUESTÃO 4 (1 ponto)
São dadas as equações de duas curvas polares.
senrc 3:1  e senrc  22:2
Determinar as áreas das regiões interior e exterior às curvas e esboçar o gráfico
delas.
QUESTÃO 5 (1 ponto)
Uma função f é estritamente crescente e contínua, com 0)0( f . Mostrar que
   a b abdxxfdxxf
0 0
1 )()(
e que a igualdade ocorre quando )(afb  .