Apostila de RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Lista de exercícios sobre barras submetidas a força normal

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Lista de exercícios sobre barras submetidas a força normal
1) O cabo e a barra formam a estrutura ABC (ver a figura), que suporta uma carga vertical P=
12 kN. O cabo tem a área da seção transversal Ac = 160 mm2, e a barra tem área Ab = 340
mm2.
a) Calcular as tensões normais σAB e σBC no cabo e na barra, respectivamente, e indicar
se são de tração ou compressão.
b) Qual será a deformação do cabo se ele se alongar de 1,1 mm?
c) Qual será a deformação da barra se ela se encurtar de 0,37 mm?
2) Uma placa (ou laje) quadrada de concreto armado, de lado 2,44 m e espessura de 22,9 cm,
é suspensa por cabos em seus vértices, como mostrado na figura. Os cabos são presos por um
gancho em um ponto a 1,52 m da face superior da placa (laje). Os cabos têm área da seção
transversal A = 77,4 mm2. Determine a tensão normal σ nos cabos. (Peso específico do
concreto armado = 24 kN/m3).
3) Três materiais diferentes A, B e C são ensaiados à tração usando corpos de prova com
12mm de diâmetro, medindo-se a distância entre dois pontos que inicialmente era 50 mm (ver
a figura).
Quando ocorre a ruptura, a distância entre os pontos de referência são 54,1 mm, 63,0 mm e
70,6 mm, respectivamente. Além disto, os diâmetros são 11,5 mm, 9,46 mm e 6,01 mm,
respectivamente, quando a peça se parte.
Determine os percentuais de deformação na direção longitudinal e de redução das áreas dos
corpos de prova, e classifique os materiais como dúcteis ou frágeis.
4) Uma treliça simétrica composta por três barras rotuladas é submetida a uma força P (ver a
figura). As barras inclinadas fazem um ângulo de 50° com a direção horizontal. A
deformação axial (εx) medida na barra do meio é de 0,0025. Determine a tensão normal nas
outras barras se elas são feitas de uma liga de alumínio com módulo da elasticidade de 70
GPa.
5) Um corpo de prova de um tipo de plástico é ensaiado à tração à temperatura ambiente
(veja a figura), tendo-se para tensão normal e correspondente deformação os valores dados
abaixo, pede-se:
a) Plotar a curva de tensão –
deformação.
b) Determinar o limite de
proporcionalidade e o módulo de
elasticidade.
c) Fornecer a tensão de escoamento
(tensão que corresponde à
deformação permanente de 0,2%).
d) Classificar o material como dúctil
ou frágil.
Tensão
(MPa)
Deformação
8,0 0,0032
17,5 0,0073
25,6 0,0111
31,1 0,0129
39,8 0,0163
44,0 0,0184
48,2 0,0209
53,9 0,0260
58,1 0,0331
62,0 0,0429
62,1 ruptura
6) Um poste tubular de diâmetro externo de = 90 mm e diâmetro interno di = 78 mm é preso
por dois cabos ajustáveis por esticadores. Quando os cabos são esticados, é produzida
tração nos mesmos e compressão no poste. Ambos os cabos fazem um ângulo de 60° com
a direção horizontal. A tensão admissível de compressão no poste (para evitar flambagem)
é 10,0 MPa. Os cabos são capazes de resistir a uma força de 29 kN, e é adotado para eles
um coeficiente de segurança igual a 3. Qual é a carga máxima que pode ser imposta pelos
cabos ao poste, para satisfazer as condições do problema?
7) Uma placa metálica onde são colocados equipamentos pesados é apoiada em 4 pilaretes
de seção circular vazada feitos de ferro fundido. Cada um desses pilaretes deve ser
projetado para resistir a uma força de 280 kN. Se a tensão de ruptura do ferro fundido é
350 MPa, o coeficiente de segurança com relação à ruptura é 4, e a espessura da parede dos
pilaretes é 10mm, qual o diâmetro externo mínimo que os pilaretes devem ter? (ver a
figura abaixo).
8) Um tubo de alumínio funciona como uma escora na fuselagem de um pequeno avião
(ver a figura), e deve resistir a uma força de compressão P = 2580 N. Para prevenir o efeito
de flambagem local nas paredes do tubo, a razão entre o diâmetro externo d e a espessura t
da parede não deve exceder 10.
Além disto, para manter o peso da escora o menor possível, é preciso que sua área seja
também a menor possível, o que significa que a tensão de compressão deve ser igual à
admissível de 13,8 MPa. Qual é o maior diâmetro externo permitido?
9) Uma coluna de aço com seção transversal circular vazada é suportada por uma placa de
aço circular e por um bloco de concreto (ver a figura). A coluna tem diâmetro externo de =
250 mm e suporta uma carga P = 750 kN.
a) Se a tensão admissível da coluna é 55 MPa, qual é a espessura t mínima necessária?
Baseado em seu resultado, escolha uma espessura para a coluna que seja um número
inteiro e par em milímetros.
b) Se a tensão admissível no bloco de concreto é 11,5 MPa, qual é o diâmetro mínimo da
placa de aço? Baseado em seu resultado, escolha um diâmetro inteiro em milímetros.
10) Uma barra de aço AD (ver a figura), com área de seção transversal igual a 260 mm2, é
carregada com as forças P1 = 12 kN, P2 = 8 kN e P3 = 6 kN. Os comprimentos dos
segmentos da barra são a = 1,5 m, b = 0,6 m e c = 0,9 m.
a) Assumindo que o módulo da elasticidade é 210 GPa, calcular a variação do
comprimento total da barra. A barra sofre encurtamento ou alongamento?
b) De qual valor P a carga P3 pode ser aumentada para que o ponto D da barra não se
mova quando as cargas forem aplicadas?
11) Um tubo de aço com módulo de elasticidade de 207 GPa é carregado com as forças P1,
P2 e P3 (ver a figura do exercício anterior). O tubo tem 3657 mm de comprimento e as
distâncias entre os pontos de aplicação de carga são a = b = 914 mm e c = 1829 mm. As
cargas são P1 = 18 kN, P2 = 13 kN e P3 = 13 kN, e a área da seção transversal é A = 1810
mm2.
a) Calcular os deslocamentos δB, δC e δD das seções onde são aplicadas as cargas.
b) Determinar a distância X a partir do apoio esquerdo da seção transversal cujo
deslocamento é nulo.
12) A barra ABC é composta de dois materiais, tem comprimento total igual a 1 m e
diâmetro de 50 mm (ver a figura). O trecho AB é de aço (Ea=210 GPa) e o trecho BC é de
alumínio (Eal = 70 GPa). A barra está sujeita a uma força de tração F = 110 kN.
Determine os comprimentos L1 e L2 para os segmentos de aço e de alumínio,
respectivamente, para que os dois tenham as mesmas variações de comprimento.
13) Uma barra de aço (E = 200 GPa) tem comprimento L = 2440 mm, seção transversal
com diâmetro d1 = 19 mm até a metade e diâmetro d2 = 13 mm na outra metade (ver a
figura).
a) Quanto a barra alongará se tracionada por uma carga P = 22,2 kN?
b) Se o mesmo volume de material constituir uma barra de seção constante de diâmetro d e
comprimento L = 2440 mm, qual será a variação do comprimento para a mesma carga
P?
14) A barra ABC de comprimento L é composta de duas partes de mesmo comprimento e
diâmetros diferentes (ver a figura).
O segmento AB tem diâmetro d1 = 100 mm e o segmento BC tem diâmetro d2 = 60mm.
Ambos os segmentos tem comprimento L/2 = 0,6 m.
Um furo cilíndrico com diâmetro d é feito no segmento AB em metade de seu comprimento
L/4 = 0,3 m. A barra é feita de um plástico com módulo de elasticidade de 4,0 GPa. Uma
carga de compressão P = 110 kN atua na barra. Se o encurtamento da barra é limitado a 8,0
mm, qual é o diâmetro máximo d que o furo do segmento AB pode ter?
15) Uma estaca de aço cravada no solo suporta uma carga P unicamente pelo atrito na sua
superfície lateral.
A força de atrito f por unidade de comprimento é considerada uniformemente distribuída.
A estaca tem comprimento L, área da seção transversal A e módulo da elasticidade E.
a) Deduzir a fórmula para a variação de comprimento δ da estaca em função de P, L, E e
A.
b) Fazer o diagrama de tensão de compressão ao longo do comprimento da estaca.
16) Um longo cabo de aço AB é usado para transportar materiais de uma mina por meio de
uma cesta, onde é colocada uma carga P = 22 kN (ver a figura). O comprimento do caboé
L= 45m e ele pesa 6,1 N/m. Se a deformação no meio do cabo tem valor εx = 0,00223,
a) Qual é a deformação εx,A na seção superior do cabo? Qual é a deformação ε x,B na seção
inferior do cabo?
b) Qual é a variação de comprimento δ do cabo?
17) A barra prismática AB vista no esquema abaixo tem comprimento L, área da seção
transversal A, módulo de elasticidade E e peso próprio W.
a) Deduza a fórmula para o deslocamento δc do ponto C, localizado a uma distância c da
seção inferior da barra.
b) Qual é o deslocamento δB da seção na extremidade inferior da barra?
c) Qual é a razão entre as variações de comprimento das metades superior e inferior da
barra?
18) A estrutura mostrada na figura é constituída por um cilindro de latão na parte interior,
com diâmetro d1 = 6,0 mm, e por um tubo de aço exterior com diâmetro interno d2 = 7,0
mm e diâmetro externo d3 = 9 mm. Uma carga P comprime a estrutura, que tem um
comprimento L= 85 mm. O módulo da elasticidade do latão e do aço são 100 GPa e 200
GPa, respectivamente.
a) Qual é o valor da carga P que deformará a estrutura na direção longitudinal de 0,1 mm?
b) Se a tensão admissível do aço é 180 MPa e a do latão é 140 MPa, qual será a maior
carga que a estrutura pode suportar?
19) Um pilar de concreto armado de seção transversal circular e comprimento L = 3658
mm é comprimido por uma carga P = 890 kN (ver figura). O pilar tem oito barras de aço
longitudinais com diâmetro da = 25,4mm. As barras são contidas lateralmente por estribos
circulares para evitar o efeito de flambagem. A área efetiva de concreto tem diâmetro dc =
330 mm, como mostrado na figura (a parte exterior à armadura é considerada só como
cobrimento e não como estrutural).
Admitindo que o módulo da elasticidade do aço e do concreto são 200 GPa e 25 GPa,
respectivamente,
a) Calcular as tensões normais no aço e no concreto.
b) Calcular a variação de comprimento δ do pilar.
20) Três barras prismáticas, duas de material A e uma de material B, suportam uma força P
(ver a figura). As duas barras externas (material A) são idênticas.
A área da seção transversal da barra do meio (material B) é 50% maior que a área de uma
das barras externas. No entanto, o módulo de elasticidade do material A é o dobro do
material B.
a) Que fração da carga P é suportada pela barra do meio?
b) Qual a razão entre a tensão normal na barra do meio e a tensão normal nas barras
externas?
c) Qual a razão entre as deformações εx na barra do meio e nas barras externas?
21) A barra ABCD, carregada axialmente como mostra a figura, tem engastes nas suas
extremidades. A barra tem área da seção transversal A0 de A até C e 2A0 de C até D.
a) Obter as fórmulas das reações RA e RD nas extremidades da barra.
b) Determinar os deslocamentos δB e δC nos pontos B e C respectivamente.
c) Desenhar o diagrama no qual a abscissa é a distância x de cada seção à extremidade
esquerda e a ordenada é o deslocamento horizontal desta seção.
22) Uma barra feita com três materiais metálicos é comprimida uniformemente por uma
força axial P aplicada por meio de uma placa rígida (ver a figura). A barra é composta por
um núcleo circular de aço, um tubo de latão e um tubo de cobre. O núcleo de aço tem
diâmetro da= 10mm, o tubo de latão tem diâmetro externo db = 15 mm e o tubo de cobre
tem diâmetro externo dc = 20mm. Os módulos de elasticidade dos materiais são Ea = 210
GPa, Eb = 100 GPa e Ec = 120 GPa, respectivamente.
Pede-se calcular as tensões normais no aço, latão e cobre, quando a força P for igual a 12
kN.
23) Um duto para passagem de vapor, com diâmetro de 150 mm, é posicionado a uma
temperatura de 13oC. Quando o vapor passa pelo duto, sua temperatura passa a ser 120oC.
O duto é de aço, com módulo de elasticidade 200 GPa e coeficiente de dilatação térmica α
= 12x10-6/ oC.
a) Qual será o aumento do diâmetro do duto se este for livre para se expandir em todas as
direções?
b) Qual será a tensão normal σx no duto se a vala onde for posicionado restringir seu
alongamento a 1/3 do que ele alongaria se pudesse se expandir livremente?
24) Um cilindro de aço (S) é colocado dentro de um tubo de cobre (C) de mesmo
comprimento (ver figura). O coeficiente de dilatação térmica do cobre é maior que o do
aço. Se o cilindro e o tubo forem comprimidos entre placas rígidas por uma força P, qual a
variação de temperatura que fará com que toda a carga P seja resistida pelo tubo de cobre?