J. C. Sussekind Análise Estrutural Vol.2

Prévia do material em texto

" 
2 
,r - 
. .. 
- ., .. . .-.- curso de 
anhlise estrutural 
CURSO DE 
ANÁLISE ESTRUTURAL 
Volume I I 
DeformaçZes em estruturas. Método das forças. 
I - Estruturas Isost8ticas 
II - Deforrnatóes em estruturas. Metoda das forcas 
111 - Wtodo das DeformaçÍks. Roasso de Croo 
FICHA CATALOGRAFICA 
[Preparada pelo Centro de Catalogaq50-nsFonte, 
Cimara Brasileira do Livra. SPI 
Süsrekind. Jose Carlos. 1947- 
S963c Curso de analise ertrutuial / Jose Carlos Si iwkind.- 
v. 1-2 4. ed. - Pona Alegre : Giabo. 1980. 
v. ilust. IEnciciopWia thcnica universal Globol 
Bibliografia. 
Cante8jdo. - v. 1. Estruturas isost6ticar. - v. 2. De- 
formações em estruturas. MBtado dar forças. 
1: Deformwões IMecinicaI 2. Estruturas - Andlire 
(Engenharia) 3. Forcas e Tensões. I. Titulo. II. Titu- 
I0 : Deformaç6es em estruturas. IiI. Estruturas isostiticar. 
inl ices paa málogo sinam6tica 
1. Análise estrutural : Engenharia 624.171 
2. Deformagaes : ~ ~ ~ ~ ~ h ~ ~ i ~ estrutural 624.176 
3. Ertruturar : Análise :.~ngenheria 624.171 
4. Forwr : Analise ettrutural : ~ngenharis 624.176 
-- - 
Enciclopédia Técnica Universal Globo 
CURSO DE 
ISE ESTRUTURAL 
Volume I 1 
Deformações em estruturas. Mbtodo das forças. 
EDITORA GLOBO 
Porto Alegre 
1980 
- .- 
copyright @ 1973 by José Carlos Surwkind 
Apresentacão 
Capa'. ~ u b m Herrmnn 
Planeiamento gr8fim:Tacnimtor Produçdn G d f i u ~ Ltda. 
l? Ediqão - abril de 1976 
2 Edi* -setembro de 1977 
3? Ediw-o - mmo de 1979 
. .- 
7 .- . 
,.g,S.f<., , \ ~ ~ $ C , 
1 I:;&;,:: -&&c\+\ , 
.. 1 ,: 
>-- r c . ~ . I 
h O r! . , ,i, .., . , :: C ~ ! L , j? 
--.-32E.2- 
Direitos excluiivor de edi*, em ttngua da Edftom Globo S. A. 
Porto Alegre - Rio Grande do Sul 
B m i l 
A idéia de escrever este Curso de Análise Estrutural nasceu da 
necessidade encontrada de um texto que nos servisse de suporte para o ensino 
da Isostática e da Hiperestática aos futuros engenheiros civis, idéia esta que 
cresceu com.0 estfmulo recebido da parte de diversos colegas de magisl6ri0, 
que se vèm deparando com o mesmo problema. e cuja concretização se tor- 
nou possível a partir do interesse demonstrado pela Editora Globo em 
edita-lo. 
O Curso de Análise Estrutural será dividido em très volumes. 
no primeiro dos quais estudaremos os esforços nas estruturas isostáticas. 
ficando o estudo dos esforços nas estruturas hiperestáticas e das deformações 
em estruturas em geral para ser feito nos segundo e terceiro volumes. Nestes 
últimos, incluiremos também, o estudo de alguns tópicos especiais, cujo 
conhecimento julgamos indispensavel ao engenheiro civil. 
Na apresentação deste Curso. é dever de gratidão mencionar o 
nome do extraordinário professor que é o Dr. Domicio Falcão Moreira e Silva, 
a quem devemos nossos conhecimentos de Mecânica Racional e de Mecãnica 
das Estruturas, e por iniciativa de quem fomos lançados no magistério supe- 
"01, na Pontificia Univenidade Católica do Rio de Janeiro. 
 gradec cem os antecipadamente aos nossos leitores e colegas 
quaisquer comentários, sugestóes ou críticas que nos venham a enviar 
através da Editora Globo, Pois, a partir deles, estaremos em condiçks de 
tentar sempre melhorar este trabalho, no sentido de torná-lo cada vez mais 
útil ao nosso estudante - objetivo final de nossos esforços. 
Ri0 de Janeiro, 1.0 de abril de 1974 
. 
José Carlos Susekind 
Sumario 
CAPITULO I - CALCULO DE DEFORMAÇ~ES EM ESTRUTURAS 
ISOSTATICAS 
I - Aplicaqão do teorenia dos trahallios virtuais aos corpos el6sticos I 
1.1 - O priiicípio de d'Aleniberl e os conceitos de deslocanieiito 
e traballio virtual I 
I.? - Cálculo de defornidfóes devidas 5 atuação de carregamento 
externo - F6rmula de Mohr 3 
I . . - Aplicaçtíes imeiiiatas 7 
1.2.2 - Uso de tabelas para calculo de /",J& 11 
1.23 - Aplicações As estruturas usuais da pr8tica I6 
1.2.4 - Casos de barras com inercia variável 24 
1.2.4.1 - Barras cuwas com inircia variando segundo a lei Jml~cos = 1 24 
1.2.4.2 - Inircia variando em mísula 26 'P 
1.2.4.3 - Caso de variação aleatória da in6rcia 45 
1.3 - Cáiculo de deformações devidas à variação de temperatura 47 L 
1.3.1 - Caso particular: variação uniforme de temperatura ( ~ ~ 5 0 ) 52 
1.4 - Cálcu!o de deformaçGes devidas a movimentos (recalques) 
dos amios 55 - . 
2 - Cálculc de deformações em vigas retas - Processo de Mohr 57 
2 1 - AplicqXo d o processo de Mohr is vigas hipereststieas 64 
3 - Cálculo de deformaçües em treliças planas - Processo de Williot 70 
4 - Teoremas complementares 78 
4.1 - Teorema de Betti 78 
4.2 - Teorema de Mêxwell 79 
4.3 - Teoremas de Castigliano 80 
i 4.4 - Regra de MüUer-Breslau 86 
5 - Problemas propostos 89 
6 - Respostas dos problemas propostos 100 
1 - Introdução - Determinação d o grau hiperestitico 104 
1.1 - Hiperestaticidade externa 104 
1.2 - Hiperestaticidade interna 104 
1.3 - Hiperestaticidade total 104 
1.4 - Aplicações 105 . 
2 - O mbtodo das forças 106 
2.1 - As bases d o método 106 
' - Obse~a$õcs 109 ... - 
2.3 - Roteiro p.ara o niétodo das forças 112 
2.4 - Aplicações 113 
2.5 - Artifícios hiperestáticos para estmtura elástica e geometri- 
camente simétrica 152 
2.5.1 - Artifício do arranio de careas 153 
1.5.1.2 - O artifício 157 
2.5.1.3 - Caso de existência de dupla simetria (elástica e geomktrica) 
na estrutura 166 
2.5.1.4 - Aplicai;áo i s grelhas 172 . 
7.5.2 - Artifício dos grupos de incógnitas (ou artifício das matrizes 
simE!ricas) 182 
3 - Estudo dos sistemas reticulados enrijecidos por vigas 196 
- Estudo das linhas de influência em estruturas hipereststicas 203 
4.1 -- Base teórica do método de resolução 203 
4.2 - Roteiro de cálculo 206 
4.3 - Aplicaqões 208 
5 - O teorema de Menabrea 220 
6 6 - Cálculo de deformação em estruturas hiperestáticas - Verificação de 
diagramas 222 
6.1 - Caso de carregamento externo 222 
6.2 - Caso de variação de temperatura 228 
6.3 - Caso de recalques de apoio 233 
7 - Problemas propostos 236 
8 - Respostas dos problemas propostos 253 
CAPITULO I11 - ESTRüTURAS SOBRE APOIOS ELASTICOS 
1 - Apoios elásticos discretos 264 
1.1 - Definição dos apoios elásticos 264 
1.2 - Trabalho virtual de deformação dos apoios elkticoS 266 
1.3 - C~lculo de deformações em estruturas isost6ticas 267 
1.4 - Resolução de estruturas hiperestáticas 269 
2 - Apoios elásticos contínuos 272 
2.1 - Introdução 272 
2.2 - Vigas de comprimento infinito 274 
2.2.1 - Atuaçáo de uma carga concentrada 274 
2 2 2 - Atuaçáo de uma carga-momento 282 
2.2.3 - Atuaçáo de carga uniformemente distribuída 284 
22.4 - Atuaçao de carregamento distribuido qualquer 286 
- Vigas semi-infinitas 287 
- Vigas semi-infinitas com bordo livre 287 
- Vigas semi-infinitas com bordo articulado 290 
- Vigas semi4nfinitas com bordo engastado 292 
- Viga finita - Processo de Hetenyi 294 
- Caso de bordos livres 294 
2.4.2 - Caso de bordos articulados 298 
2.4.3 - Caso de bordos engastados 299 
2.4.4 - Exemplo de aplicação 3M) 
2.4.5 - Observações 301 
3 - Problemas propostos 307 
4 - Respostas dos problemas pmpostos 3 11 
Introducáo - ao segundo volume 
O segundo volume de nosso Curso, onde são estudados os esforços 
eni estruturas hiperestáticas, as deformações em estruturas isostáticas e 
hiperestiiticas, e as estruturas sobre apoios elásticos, foi subdividido em três 
capftulos, comentados a seguir: 
O capítulo I estuda as deformações sofridas pelas estruturas 
isostáticas devidas a cada um dos agentes deformantes a que podem estar 
submetidas, quais sejam: carregamento externo, variação de temperatura, 
movimentos (recalques) de seus apoios e modificações de comprimento 
impostas durante a sua montagem. Todo esse estudo é feito utilizandese o 
teorema dos trabalhos virtuais.Enfase especial mereceram, devido A sua grande incidência na 
prática, os casos de vigas e treliças, para os quais apresentamos, além do 
processo geral de c&lculo (baseado no teorema dos trabalhos virtuais), os 
processos particulares de Mohr e Williot. 
Finalmente, são estudados diversos teoremas clásicos na Mecâ- 
nica das Estruturas, que encontram aplicação neste capítulo ou nos capítulos 
subsequentes de nosso Curso. 
O capítulo I1 estuda a resolução das estruturas hiperestáticas 
 elo primeiro dos dois grandes métodos da Hiperestática, que é o método das 
forças. São feitas aplicações para Os tipos estruturais usuais, sendo apresen- 
tados, a seguir, os artifícios visando i simplificação d o trabalho de resolução 
das estruturas elástica e geometricamente simétricas (que são as que ocorrem 
com maior frequência). 
Ainda neste capítulo, são estudadas as linhas de influência e é 
apresentado o cálculo de deformações para as estruturas hiperestáticas. 
O capítulo 111 estuda os esforços e deformações de estruturas 
(isostáticas ou hiperestáticas) sobre apoios elásticos discretos e introduz o 
estudo dos mesmos problemas para o caso de apoios elásticos contínuos, 
sendo abordadas, neste caso, as vigas de inércia constante sobre base elástica 
com coeficiente de recalque constante (que é o caso de esttutura sobre 
apoio elástico continuo que mais @corre na prática). 
Repetindo o que fizemos na introdução ao Volume I, queremos 
chamar a atenção do leitor para a necessidade do trabalho individual de reso- 
lução das Listas de problemas propostos ao fim de cada capítulo, como única 
forma de realmente sedimentar os conceitos apresentados durante a exposi- 
ção do capitulo. 
Na oportunidade, queremos deixar registrados nossos agradcci- 
mentos ao amigo José de Moura Villas Boas, pelo trabalho de revisão deste \ 
volume, e aos demais amigos que, com suas sugestões e estimulo, colabo- 
raram na preparação deste trabalho. 
Rio de Janeiro, 8 de agosto de 1974 
José Carlos Sussekind 
CAPTTULO I - CALCULO DE DEFORMAÇÕES EM 
ESTRUTURAS ISOSTATICAS 
1 - ApIieaq.50 do teorema dos trabalhos Wtuais aos corpos elãstim 
1.1 - O de d'brlembert e os conceitos de deslocamento 
e trabalho Wtual 
i; ]ean d'Alembert introduziu na Mecânica Racional os conceitos 
de deslocamento e trabalho virtual, estudando o seguinte caso: 
P. I p2 
Seja um ponto material m em equilibrio, isto é, submetido a um conjunto 
de forgas Pi tais'qiiè sua resuitante $ 6 nula, conforme indica a Fig. 1-1. 
Imaginemos seja dado a este ponto um deslocamento 8 sem a introdução 
de nenhuma nova força no sistema, isto é, mantendo = O. Este desloca- 
mento não pode ser atribuído a nenhuma causa física real, pois, para haver 
deslocamento real do ponto, seria necessária a introdução de uma nova 
força ao sistema, que possibilitasse este deslocamento (real) do ponto m. 
Tratemos, entáo, este deslocamento ,), dado nestas condicões. (isto é. 
. . . 
= O), como uma entidade puramente matemática, â qual chamaremos 
deslocamento virtyl: 
O trabalho virtual W realizado pelo conjunto de forças Pi ( r e e ) 
que amam s$re 0 ponto m quando ele sofre o deslocamento virtual 6 
vale W = 2. 6 =O. Dizemos, então. que, "pm um ponto material em equilí- 
brio (2 = 01. O nobalho wml r ~ l i r a d o pelo sistemn de forcas reais em 
equilíbrio que atua sobre o,yn*o, w n d o este sofre um deslouimento wtuol 
arbih$rio quaiquer, 6 nulo , o que constitui o princfpio de d'Alembeh 
Isso garante a aeitaçzo do novo conceito (trabalho virtual), 
pois preserva, para O ponto que sofreu um deslocamento virtual, as suas 
duas condições de equilíbrio: a estática (traduzida pela resultante nula) e a 
energhtica (traduzida pelo trabaiho virtual realizado nulo). 
A pariir destas consideraçóes, poderemos extrapojar os teoremas 
I 
gerais da Mecânica sobre trabalhos reais para teoremas sobre trabalhos 
Cálculo de deformações em estruturas isostáticas 3 
virtuais, senão vejamos: 
Para um ponto material em equilíbrio, sabemos que o "trabalho 
real realizado pelo sistema de forças que atua sobre ele é nulo"; para este 
mesmo ponto, o princípio de d'Aiembert nos diz que "o trabalho virtual 
realizado pelo sistema de forças que atua sobre ele 6 nulo para um desloca- 
mento virtual arbitrário qualquer que ihe imponhamos". Bastou, portanto, 
substituir a palavra "real" do enunciado da proposição da Mecinica sobre 
trabalho (real) realizado por um ponto em equilíbrio, por "virtual" para 
obtermos a proposição sobre trabalho virtual realizado por um ponto material 
em equilíbrio, quando ele sofre um deslocamento virtual arbitrário qualquer. 
Como os corpos rígidos e elásticos nada mais são que um 
somatbrio ao infinito de pontos materiais, podemos, imediatamente, enun- 
ciar os teoremas sobre trabalhos virtuais a eles aplicáveis, substituindo a 
palavra "real" dos enunciados dos teoremas de trabalhos reais relativos a 
estes dois tipos de corpos pela palavra "virtual" e, então, teremos: 
a) Corpos rígidos: 
"Para um corpo rígido em equilíbrio, a soma algébrica dos 
trabalhos virtuais de todas as forças (reais) que sobre ele a t u m é nula, para 
todos os deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos 
do corpo) que lhe imponhamos." 
b) Corpos elásticos: 
"Para um corpo elástico, que atingiu sua configuração de 
equilíbrio, o trabalho virtual total das forças externas que sobre ele a t u m é 
igual ao trabalho virtual das forças internas (esforços simples) nele atuantes, 
para todos os deslocamentos virtuais' arbitrários (compatíveis com os 
vínculos do corpo) que lhe imponhamos" 
Obsmagões: 
a) Diversos autores costumam intitular de princípios aos teoremas de tia- 
balhos virtuais relativos a corpos rígidos e elásticos, por estarem eles baseados 
no princípio de d'Aiembert. Como, a partir deste principio, podem ser 
demonstrados estes teoremas de trabalhos virtuais, em tudo que se seguir 
manteremos a denominação de teorema dos trabalhos virtuais. 
b) Diversos livros, também, apresentam deduções muito mais sofisticadas 
e elegantes, sob o ponto de vista matemático, para os teoremas dos traba- 
lhos virtuais; não o fizemos, neste trabalho, por ser nosso objetivo aPre.Sen- 
ti-10s sob a feição mais eminentemente física e ~rát ica possível, que facilite 
ao leitor a compreensão do conceito de trabalho virtual, a partir qual 
resolveremos o problema do cálculo de deformações nas estruturas (corpos 
elásticos), o que está feito nos itens a seguir. 
c) Não somos pioneiros nesta forma de apresentação do assunto; adotamos, 
I Os dedacamentor virtuais arbitrários quaisquer devem ser Pequenos dedocamentos, 
pela razão expasta na abrerva@og do item 1.2 deste capitulo. 
neste caso, a metodologia utilizada pelo prof. Leopoldo de Castro Moreira 
em seu trabalho "Curso de Estática das Construçóes" publicado pelo Dire- 
tório Acadèmico da Pontificia Universidade Católica do Rio de Janeiro no 
ano de 1953, por nos parecer a ideal, didaticamente falando. 
1.2 - Cálculo de deformaçóes devidas à atuaeo de carregamento 
externo - Fórmula de Mohr 
Seja a estrutura da Fig. 1-2, submetida ao carregamento indicado. 
Em se tratando de um corpo elástico, ela se deformará devido a estas 
cargas, adquirindo a configuraçáo esquematizada em pontilhado na Fig. 1-2. 
Fig. 1-2 Fig. 1-3 
6 evidente que duas seções vizinhas, distantes de ds, terão deformações 
relativas devidas aos esforços simples M, N, Q nelas atuantes, deformaçks 
estas que denominamnos d9 (rotação relativa de duas seções distantes de ds, 
devida a M),A ds (deslocamento axial relativo de duas seçóes distantes de 
ds. devido a N), dh (deslizamento relativo de duas seçoes distantes de ds. 
devido a Q). Os valores destas defonnaçóes relativas sáo objeto de estudo 
na Resisténcia de Materiais, e são dados por: 
Mds d,# = - - Nds x Qds , A d s= - . < ~ h = - ES ' CS ' 
sendo E: módulo de elasticidade longitudinal do material; 
G: módulo de elasticidade transversal; 
J: momento de inercia de seção transversal em relação a seu eixo 
neutro; 
S: área de seção transversal: 
X: coeficiente de redução, resultante da distribuição não uniforme 
das tensões cisalhantes, cujo valor varia com o tipo de seçao. 
>I 
~uponhamos, para fms de raciocínio, que queiramos cdcuiar 
o deslocamento do ponto rn na direção A , ao qual chamaremos o : 
Seja, agora, a Fig. E3, onde a configuraçáo da estrutura, apbs a 
4 Curso de análise estrutural 
- 
aplicação do carga P = I , 6 a indicada em traço cheio e quc coincidc com o 
eixo da estrutura da Fig. 1-2 quando descarregada. Dandc-se a todos os 
pontos da estrutura com o carregamento indicado em 1.3 deslocamentos 
virtuais exatamente iguais aos provocados pelo carregamento indicado em 
1-2, esta assumirá a configuração deformada (virtual) indicada em pontilhado 
(idêntica à configuração deformada real indicada em 7-2). 
Apliquemos, então, à estrutura com as cargas e esforqos indicados 
em 1-3, e sob os deslocamentos virtuais impostos, o teorema de trabalhos 
virtuais aplicado aos corpos el5sticos. que diz ser o trabalho virtual das 
forças externas igual ao trabalho virtual das forças internas, para quaisquer 
deslocamentos virtuais compatíveis com os vínculos da estrutura. Temos: 
Trabalho virtual das forças externas (cargas e reações): 
Wext = P 6 (as reações não dão trabalho) 
Trabalho virtual das forças internas (Wint): 
Será igual à soma dos trabalhos virtuais de deformação de todos 
os elementos de comprimento ds ao longo da estrutura e, como estamos 
no regime linear e vale o princípio da superposição de efeitos, será a soma 
dos trabalhos virtuais de deformação devidos a cada um dos esforços 
simples atuantes na estrutura. 
Teremos, então, no caso: 
Wint = @dP + 1, FMS + Il ~ d h , ou, levandoem conta as 
expressões da Resistência dos Materiais: 
Igualandese, obtemos 
expressão esta que resolve o problema. 
a) Chegand*se à expressão final, verificamos que, para fm de cáiculo dos 
trabalhos virtuais, tudo se passou como se a ~ i g . 1-3 nos fornecesse cargas 
e esforços e a Fig. 1-2 as deformações. Por esta rafio, elas são denomi- 
nadas, respectivamente, estado de carregamento e estado de deformação. 
b) A escolha d o estado de carregamento deve ser tal que a carga P associada 
à deformação 6 , que se deseja calcular, nos forneça um trabalho Wtual 
I 
1 Cálculo de de fomqües em estruturas isostáticas 
de forças externas igual a PE . Ele é, pois, funqão da deformação a calcular 
e pode ser, comodamente, tabelado para OS Casos práticos usuais. o que 
está feito na tabela I. 
C) O estado de deformação pode ser provocado por: 
- carregamento exterior 
- variação de temperatura 
- movimentos (recalques) de apoios 
- modificações impostas na montagem 
Neste item, estudamos a primeira das causas; as outras serão analisadas, 
de. forma inteiramente análoga, nos próximos. 
d) NO caso mais geral (estruturas no espaço), teríamos a acrescentar ao tra- 
balho virtual das forças internas aquele do momento de torção, que vale: 
I 
I Jt o momento de inércia à torç%o da seção da peça e que está tabelado, 
I para as seções mais usuais, na tabela XVI. Notar bem que Jt + J (mo- mento de inércia polar), para as seções mais gerais; só temos Jt =.f, para 
I algumas seçóes especiais, tais como círculos, anéis circulares. etc. 
Desta maneira, sob forma mais geral, o cálculo de. deformaçóes em 
estruturas devidas a carregamento exterior atuante, é resolvido pela 
expressão (Ll), instituída por Mohr, 
I d o o estado de carregamento definido pela tabela I. I e) Para as estruturas com que lidamos usualmente na prática, podemos acrescentar as Seguintes informações, de grande valia na simplificação do trabalho numérico d o engenheiro: \ - A parcela 
a : 
pode ser, usualmente, desprezada em presença das demais, com erro 
minimo (somente em caso de vãos muito curtos e cargas muito elevadas, 
a influência do esforço Cortante apresenta valor considerável). 
- Também com erro tolerável, podemos desprezar a parcela 
para peças de estruturas que não trabalhem fundamentalmente ao 
esforço normal. (E evidente que não o podemos fazer, pois, nosca- 
sos de arcos, escoras, tirantes, barras de treliça, pilares esbeltos e 
peças protendidas em geral.) 
TABELA I - Esmlha do Estado de Carregamento 
Deformacão 6 a calcular Estado de Carregamento 
1. Deslocamento linear de um ponto 
rn numa direção A 
G = 1 
2 Rotação da tangente B elástica numa 
seção S 
3. Rotação relativa das tangentes à elástica numa 
rótula,de 2 barras i e j 
4. Rotação relativa das tarqentes à elástica em 
2 secíies S e S' de uma barra 
p = - 
5. Rotagão absoluta de uma 
corda AB 
(ÃB= II 
6. Rotação relativa de 2 cordas 
AB e CD 
(nii = I ; CD = I2l 
7. Variação do comprimento da corda 
que une 2 pontos A e B 
- 
P= 1 
i* I O$ ertador de earnigarnento tabelada Go tais qu, nos Como tra- 
balho virtual das forgag externas o valor 1 x 6. 
- 
C á i d o de deformqíks em estruturas isostátieas 7 
0 uso destas sVnpIiifi&es deve ser feito, enfretanto. com muito cri- 
tério e somente m casos induvidososS a fim de se evitar possiveir mos 
grossebos Em caso de dúvida, devem ser computadas numericamente 
todas as parcelas, a fim de ser possível a avaliação de sua importância 
relativa. 
f ) Conforme veremos mais adiante, para estruturas compostas por barras 
retas de in6rcia constante, a resolução da 
11 " 
se obterrl por um simples uso de tabela (V. tabela 11), em função dos 
aspectos dos diagramas M e IÜ, o que simplificará enormemente o 
trabalho num6nco dos problenqs a solucionar. 
g) Queremos chamar a atenção para o fato de que os esforços foram calcula- 
dos para o eixo indefomdo da estrutura. Quando atuar o carregamento, 
este eixo se modificará, evidentemente, e os esforços sofrerão uma 
variação que poderá ser desprezada, caso a deformação sofrida pela 
estrutura seja pequena (o que, de fato, ocorre para as estruturas usuais). 
É o que fmmos no caso e, portanto, em tudo que se segue (bem como 
em tudo que se viu até aqui) estaremos estudando a Análise EStniturd 
das pequenas defomaç6es. 
1.2.1 - Apiiqóes imediatas 
Ex. I-I - Calcular o deslocamento horizontal de D, para o quadro 
da Fig. 14, que tem E3 = 2x 104 tm2 para todas as bar- 
ras. 
Em se tratando de quadro plano, que trabalha fun- 
damentalmente à flexão, teremos: 
a) Da tabela I, obtemos o estado de carregamento da fig. 1-5: 
b) Wtado de deformação 
Curso de d i s e e s t n i t d I CXInilo de deformações em esmthuas isost5ticm 
c) Cálculo de 6: 
Sendo EJ constante, temos: 
EJ6 = . M-ds = MMMMds + MM-ds + M-ds b b b b 
Como, para a barra QI , M = O, a expressão se simplifica para 
EJ6 = + b M M d S 
Lembrando que cada uma destas integrais representa trabalho 
de deformação na barra correspondente e, lembrando ainda que trabalho 
independe do sistema de coordenadas adotado, podemos escolher livremente, 
para cada barra, um sistema de coordenadas para fms de cálculo das inte- 
grais. (E evidente que devemos nos guiar, nesta escoiha, pelo critdrio de 
obtenção de funções de fácil integração.) Escolhidas as abscissas indicadas 
nos diagramas, obtemos finalmente: 
(Os sinais negativos se devem ao fato dos diagramas M e tracionarem 
fibras opostas, nas barras @ e @ .) 
Interpretemos o resultado: sabemos que o valor 6 encontrado 
simboliza o trabalho virtual pij = 1 x fj . Sendo seu sinal negativo, indica que 
os sentidos de P e de 6 se opõem e o deslocamento vale, portanto. 7,88mm, 
para a direita de D. 
E r I-2 - Calcular a rotação relativa das tangente a ebt ica na 
rótula C, desprezando o trabalho da barra curva ao 
esforçonormal, para a estmtura da Fig. 1-7. 
(ES) tirante = 10% 
Fip. 1-7 
A 
tirante 
Temos: 
a) Estado de carregamento: conforme a tabela I, temos: 
M = ~ s e n 6 ( O g B < n ) 
Fig. 1-8 
b) Estado de deformação 
12t 
Fip. 1.8 
l t 
Sáo dados: (EJ) barra curva = 2 x I@& 
(O sinal positivo indica que a rotação relativa 6 no sentido r ) .) 
Ex 1-3 - Calcular a rotaçgo da corda BC da grelha & Fig. 1-10. 
cujas barras têm 
Fig 1-11 
b) Estado de deformação 
Fia 1-12 
c) Cálculo de 6 : 
6 = 7,875 x 10.3 rad 
(O sinal positivo indica que o sentido arbitrado para o estado de carrega- 
mento corresponde ao da deformação.) 
(Caso de compostas par barras retas com inercia 
constante.) 
Seja o quadro da Fig. 1-13, cujas barras tEm as inercias constantes 1' indicadas na figura. A defornacão 6 devida ao trabalho i b ~ ã o V&: 
Temos: 
a) Estado de carregamento: conforme o tabela I, vem: 
Sendo Jc uma indrcia arbitrária, chamada inbrcia de compa- 
raça0 (que usualmente 6 arbitrada igual à menor das in6rcias das barras), 
temos: 
Em hinçáo dos diagramas M e M em cada barra, tabelaremos os 
valores de: 
Jc 
Ibarra M M ~ S barra 
que, somados para todas as barras das estruturas, nos darão o valar 
EJc 6, a partir do qual se obtdm, imediatamente, o valor da deformação 
s des?j& 
Vejamos o caso geral a considerar, para estruturas compostas 
.por barras retas: 
Conforme a tabela I, vemos que os diagramas no 'estado de 
carregamento serão sempre compostos de trechos retilíneos para estmturas 
compostas por barras retas. Os diagramas M no estado de deformação 
podem ser quaisquer (função do carregamento atuante). O caso geral será, 
portanto, o cálculo do valor 
sendo M retiiíneo e M qualquer. Temos, para uma barra de inbrcia Ji e 
comprimento li, conforme indica a Fig. 1-14: 
a + li 
Mxdx 6 o Da Geometria das Massas, sabemos que 
a 
momento eststico da rea M .em relação a0 eixo y, numericamente igual 
ao produto da hrea A do diagrama M pela distância i de seu centro de M gravidade ao eixo y. Ficamos, entáo, com: 
Jc que desejamos tabelar C igual ao produto de - pela área d o diagrama 
J; 
qualquer e pela ordenada, na posição de seu ientro de gravidade, lida 
no diagrama retilíneo. 
A expressão 1-3 C atribuida ao nisso Vereschaguin. 
A partir dela, podemos instituir os valores para os diversos casos 
particulares apresentados na tabela 11. 
A título de apiicaçZo imediata, estudemos os casos seguintes: 
a) Combinação de M e retilíneos: 
Fig. 1-16 
Cuiso de análise estrutural I . 
Chamando-se I'Je = I : , de compiimento elástico da barra i J: 
e que é o compkmento fictício de uma barra de inércia J, que nos dá a 
mesma defonnaçáo da barra de comprimento l i e in6rcia J , , temos: 
Os casos de diagramas triangulares e retangulares saem. eviden- i 
temente, como casos particulares deste. 
b) Combinação de retilineo com M parábola d o 2P grau: 
16 . Curso de anáiise estmtural Cáicuio de defotmaç&s em estruturas isostáticas 17 
1.2.3 - Aplicações às estnihuas usuais da prática 
@I-?- Calcular a rotaçzo da tangente à elistica em E, para 1 
a estrutura da Fig. 1-17. 
> L 
, ,., - Dado: EJ, = 2 x 104 tml 
4m Fig. 1-17 
A 
- 
Ç 3m. ?(L 3m + 3m + 3m + 
Temos: 
a) Estado de carregamento 
0.5mt 
C) Cálculo de 6 : 
Temos, empregando a tabela 11: 
- Para barra @ 
Fig. 1-18 
I b) EEtado de deformação it,m 
18 a n o de análise eshtural 
6 = - 1,4 x 104 rad (O sentido correto é, pois o anti-horário.) 
Observação: 
No caso deste exemplo, a combinação dos diagramas poderia ter sido feita 
diretamente, pois as parabolas terminam com tangente horizontal que 
o esforço cortante é nulo), e este caso está tabelado; não o fizemos, entre- 
tanto, para ilustrar o procedimento a adotar no caso de tal não ocorrer. 
Ex. 1-5'- Calcular a rotação da corda CD para a grelha da Fig. 
1-20. São dados: 
-- EJ - 2; ; H = 2 x 105 tm2 
=-'t (todas as barras) 
, 
Fip. 1-20 
Temos : 
a) Estado de carregamento 
l P = ' t 6 
Fig. 1-21 
I Cálculo de defonna@es em estmtum isost6ticas 
I 
b) Estado de defornação 
1" 
:. 8 = 1,005 x l u 3 rad (O sentido arbitrado no estado do 
carregamento está cometo.) 
Ex. 1-6 - Calcular a rotação da tangente i elástica em A para 
a estrutura da Fig. 1-23, que tem EJ = 104 tm2, 
constante para todas as banas do quadro e cujo 
tirante tem ES = 0.5 x 104t. 
. - Devido à simetria existente, escolheremos o estado de carre- 
g e 
= gamento indicado na Fig. 1-24 e que nos fornecer8 como resposta a soma da 
h, I' rotação em A com a rotação em B. igual ao dobro de cada uma delas 
L 
20 CURO de análise estmtural 
(devido i simetria). Temos, entáo: 
a) Estado de carregamento: 
Fig. 1-24 
M = lmt M- lmt 
Não importa o aparecimento de um esforço de compressão no tirante 
no estado de carregamento, pois este não tem existéncia física real. 
b) Estado de defomlação: 
c) Cálculo de 6 A: 
Temos: 
2W6A = MMds + Nnds 
/quadro I t i r ante 
= -20 - 42,66 = - 62,66 
6 A = -3.13 x 103 rad (sentido correto I? n) 
1-7 - Calcular o deslocamento horizontal do ponto C provo- 
~ d o por um encurtamento de 2 cm imposto ao tirante 
& Fig. 1-26. 
a) Estado de carregamento 
l t E F 
b) Estado de deformação: Dado pelo encurtamento de 2 cm n o 
tirante (M.yN= Q=O, pois trata-se de uma estrutura i~o~thtica, 
que 6 livre à deformação). 
c) Cálculo de 6 : 
Trabalho virtual das forcas extemas:PS = (11 6 2 Trabalho virtual das forças internas: Ntir. ncUtamento = 
= fl t (-2 cm) 
- 
Igualando, vem: = - 2 4 2 cm (sentido correto: ) 
Ex. I-8 - Para a treliça da Fig. 1-28, cujas barras têm, todas, 
ES = 104t, pedem-se: 
I?) Calcular o deslocamento vertical de A para o canegamento 
indicado. \ 
20) Calcular que modificação de comprimento deve ser dada i 
barra a durante a montagem para que, quando atuar o 
carregamento, o pontoA fique no mesmo nível de B. 
3m Fig. 1.28 
I?) Cálculo de deslocamento vertical de A. 
a) Estado de deformação b) Estado de carregamento 
F i g C29 
c) Cálculo de 6 A : 
NF~S r. ES 6A = X (NS Ib,) 
bana 
Organizando um quadro de valores, temos: 
1 NO ta: 
, 
I Se cada barra tivesse área diferente teríamos, evidentemente 
1 2P) Cálculo da variação de comprimento da barra a : Nosso 
objetivo com esta variação de comprimento é fazer com que o ponto A 
tenha uma deformação de ( - 6 A ) para que, quando for somada i defor- 
I mação 6 A devida ao carregamento, a deformação final seja nula e t e 
nhamos 0 ponto A no mesmo nível de E. 
Formulemos o problema em termos de teorema de trabalhos 
virtuais: 
Empregand- o mesmo estado de carregamento do item ante- 
rior, vamos dar uma variaçzo virtual 6' de comprimento 3i barra @ tal que 
o ponto A tenha um deslocamento (tambCm virtual) de (dA) . Teremos: 
Trabaho virtual das forças externas: = -(1t)(1,05 cm) 
Trabalho virtual das forças internas: B56' = (- f l ) 6' 
Igualando, obtemos: 6' = m= 0,74 cm \rr 
24 Curso de análise estrutural 
A barra 5 deve ser montada, pois, com um comprimento 0,74 em 
superior ao seu comprimento teórico. 
a) Este exemplo visou mostrar a forma pela qual podemos dar 
contra-flechas em treliças, que consiste em montar alguma(s) 
de suas barras com uma variação adequada de comprimento. 
b) O problema pode ser resolvido variandc-se o comprimento 
de qualquer (quaisquer) bana@) da treliça, desde que seu 
esforço normal N seja diferente de zero. 
1.2.4 - Casos de barras com inércia variável 
Para calcular fl? 
para barras de inércia variável, dividiremos nosso estudo em 3 casos: 
1.2.4.1 - Barras curvas com inércia variando segundo a lei I 
J m 
J cos V 
= I (conforme a Fig. 1.31): 
Fig. 1-31 -. f- 
Jm Temos J =- sendoI,,, a inércia na seção de tangente hori- 
cos V 
I 
zontal. Dai vem: 
dr 
COS '4 = MMdx (1-4) EJc 6 = Jc md~ - jC 1: " - i. - J m J m 
cos 'P 
I.' 
Tudo se passará, portanto, como se a barra tivesse comprimento 
I, inércia constante igual a J , e, para fins de combinação dos diagramas, 
eles deverão ser traçados a partir de uma reta horizontal, podendo ser 
aplicada a tabela I1 (pois a integração dos mesmos se fará ao longo do eixo 
dos x, conforme 14, e não ao longo do comprimento da barra curva). 
Ex 1-9 - Calcular a variação da corda CD para a estrutura da 
Fig. 1-32, 
Sáo dados: 
Barras 1 e 2: J = J c 
J~ . sendo JM = 2 Jc Barra curva: J =- 
tos P 
4m 
Fig 1-32 
grau 
1 4m 
I 
Temos, desenhando os diagramas na barra curva a partir da reta 
horizontal de substituição: 
a) Estado de carregamento: 
Fig. 1.33 
26 Cum de análise estrutural 
b) Estado de deformação: 
Fia 1-54 
c) Cálculo de 6 : 
As combinaçóes de diagramas nos fornecem: 
Paraasbarras a e 0: 2 ~ ' ~ 4 x 2 ~ 16 = 85,3 
3 
curva 
(l"8 rn) 
6 = 1.37cm (a corda aumenta). 
1.2.4.2 - inércia variando em mfsula 
Emprego das tabelas III a X V p m cilculo de Jc 
Para barras cuja altura varia segundo as leis esquematizadas na 
Fig E35 (mantendo-se constante a outra dimensão). divenos autores tabe- 
laram os coeficientes necessários i obtenção de deformações (tabelas 1V 
a XV) provocadas pelos carregamentos usuais (cargas concentradas e uni- 
formemente distribuídas). 
Não nos deteremos aqui apresentando justificativas para o roteiro 
Cglculo de deformap" em estruturas isost8ticas 27 
a adotar quando do emprego dessas tabelas, pois o problema (tebrico) 
já está bem definido e o caso em questão 6 , apenas. o cátculo nu- 
mds que ser8 feito dentro do roteiro de eálculo mbrieo de .i, -;-I 
J * instituído por estes autores, resumido na tabela 111, para as leis de variação 
de altura da barra indicadas na Fig. 1-35 (que são as leis de variação de 
altura mais usuais para pontes com inCrcia variável). 
As leis de variação de altura tabeladas2 sxo: 
I a) Misula reta assimétrica 
I 1 . 
Jmáx 1 Jmin I p% reta t 
+ a -4 I 
b) Misula parabólica assim6trica 
par. do 2.O grau 
c) Misula reta simétrica 
Jmáx Jmáx 
d) Misula parabólica simétrica 
Fi* 1.35 
2 O estudo original 
. 
ar.- $ - 3 "*.a 0 g.5: : S E i z g E $ ? E;! g E E C;? gsz $65 c R * 23- *"- m * z e 9 3 
o :,a - a * --"?--a ... --- - 8 - 8:s m m - --. .-L- 0"- " W . q ,oong $a$ *.3-"rr<unr 0 0 - n - - n - . n . - n - - , ~ D-- n,-n.i- n.0's'uin~ ;o:? n c - n 2 z 
?.D ""' 0"' O*" ">-" m Y """ ""- o- 
^ V * '.." - 8 - 
, g m g o.g Ií.- -n. i,o sgxnfir .R? ::- gs- --.,A =E;: :C - I 
2 !:H -22 h?; 91%; iO1.z 8ZY ? Z ? C R $ ^ R u i "2 Z R " Z 1 ;C31 3 E X S i i : 
0' ," -"- -"- -"--"- -"- -"- "". ""- "-.;*- 
O z$"gz rn>D 00' ""S "^' "8' ^q"7". Y. P"% - " % " " -' *"" 0 " - "" 
n -.-- --- $;r zzn ~ $ 5 gsz ; + ? I K ~ C 22- e? - e 3 5 8 - 3 :;E ;s+ ~ ~ 3 s 
D - 
T A B E U XII 
-*h- 4,. .h 
"an. r". e, "" B lids 
J A ' ~ ' 
9.n 
A 
e 
" = - 
'A 
TABELA XIII 
-mni .h 
o,, 
b) Estado de deformação 
aplicaçóes seguintes esclarecerão: 
1-10 - Calcular o deslocamento vertical de A para a viga de 
Fig. 1-36. Todas as banas são mísulas retas com 
/,,,in = e = 5 J,. 
E dado EJc = 2 x 104 tml. 
B C 
Fig. 1-36 
Temos: 
a) Estado de carregamento: 
- Fig. 1-37 
P= 11 
c) Cálculo de 6 : 
I Conforme O roteiro indicado na tabela 111, obtemos: 
42 CURO de análise estrutural 
Para a barra a 
3 Jc (mls reta assimdtrica): A = - = 1. n = -- 3 ' - 0,2; 1' = I -- = 5 Jc J~ 3 m Jm, 
Tab. IV 
- 3 x 3 ~ 4 . 5 x O,W8 = +4,0 
al=o,098 
Tab. VI11 
- -3xlx9r3x0,0153 
al=o,ol 53 
Obsemçóo: 
Note o leitor que basta conhecer a linha de fechamento do diagrama M 
para o cáiculo de S. 
Para a barra a 
(mis. reta simdtrica): X = 
/ 3mt 
Tab. VI 
--r 1 2 ~ 3 ~ 4 . 5 ~ 0 . 2 4 1 =+39.1 
a=0,241 
-, 
S 4 + + + + ) 
I tlm Tab. X - -3 x 1 x 12' x 12 x 0,038 = -197.2 
ai -0,038 
A 
3mt A 
EJ, 6 =4,0 - 1,2 + 39,l - 197,Z - 126,2 = -281,s 
' & = - 1,4cm (o ponto A sobe). 
. . 
EX 1-11 - Calcular o deslocamento horizontal do ponto A para 
o quadro da Fig. 1-39. Todas as banas têm a inércia 
máxima igual ao quíntuplo da mínima, sendo que 
as barras verticais têm Jmín = Jc e a horizontal 
Jmín = 2 J,. 6 dado EJc = 104 tm2. 
Fig. 1-39 
(ObserwçZo preliminur: Para se definir o valor extremo da inércia de uma 
barra, devemos prolongar sua lei de variação até o eixo da próxima barra, 
definind-se a altura extrema por esta interseção, conforme está feito na 
Fig. 1-39.) 
Temos: 
a) Estado de carregamento 
44 Cuiso de anáiise e s t~ tu r a i 
b) Estado de deformação 
Fig. 1-41 
C) Cflculo de 6 : 
Conforme o roteiro indicado na tabela 111, obtemos: 
Para a bana , @ : 
(mís reta simétrica): 81 = 2 = 0,2; = 0 , ~ ; 1. = 5 
1 o 
Para a barra @ : 
(mís. reta assimétrica): X = I ; n = 0,2; I'= 5 
nc 6 = 197 + 49 = 246 
.'. 6 = 2,46 im (para a esquerda) 
1.2.4.3 - Caso de variação aleatória da inércia 
NO caso da inércia náo variar segundo nenhuma das leis estudadas 
anteriormente, teremos que calcular 
por integraçáo aproximada. 
O problema será, pois, calcular - Jc 1, qdx sendo q = h@f -. J 
Uma das maneiras de resolvê-lo será através do emprego da regra de Sipson: 
Dividindo-se o v%o 1 da barra num número n (par) de intervalos 
Ax. temos: 
A aplicação seguinte esclarecer.5. 
Ex l-12- Caldar a rotação da tangente à elástica em A 
para a viga da Fig. 1-42. submetida ao carregamento 
indicado. A seção é retangular, com base de 40cm 
e altura variável conforme a figura. É dado: 
E = 2,l x 106 t1m2. 
4 i I r A i 6 0 4 x 1 ~ - Adotando EJc = 2.1 x 10 x - L - 12 
< . I . , . , . - 
4 
= 7 x 10 tm*. , , 
I ' . ' 
. . . . - . . . . 
, temos: 
106 
108 Y.0 276.0 
18 Fig. 1-42 0121 
Vem, en t~o: E J ~ 6 = 387,4 x&= 2 387.4 = 258 2 = 387.4 3 3 :. 6 = 3,68 x 1 0 - ~ rad 
TABELA XVI - CÁLCULO DA I N ~ R C I A J ~ A TORÇÃO 
O b s e ~ f l o : Para peças de concreto armado, dependendo d o grau de 
fissuraçá0, a inércia Jt torção pode cair para at6 15% 
dos valores indicados nesta tabela. 
1.3 - Cálculo de deformações devidas à variaç-Sode temperatura 
Seja a estrutura isostática da Fig. 143, cujas fibras externas so- 
frem uma variação de temperatura te e cujas fibras internas uma variação 
ti em relação à temperatura d o dia de execução da estrutura. Ao lon- 
go da altura das barras da estrutura, a variação de temperatura entre as 
fibras externas e internas pode ser considerada linear (os ensaios em labo- 
A t- h 
'. 
Fig. 1-43 
Estado de ddoimaqão: Erforto. nulos Defornafim relativsr J d p = a 6. - te) ds I d h = O h 
ratório assim o autorizam), de modo que, no estado de deformação, duas 
seções distantes de ds tendem a assumir a configuração deformada de Fig. 
1-44. 
Vemos então, que duas seções distantes de ds sofrem um mo- 
vimento relativo composto de .duas partes: 
a) deslocamento axial relativo de Ads = arg ,ds, sendo tg a 
variação de temperatura no centro de gravidade em relaçáo 
ao dia de execução. 
Fig. 1.44 
- 
b) uma rotação relativa dip = i t e c r ~ t 
h ds =-- h ds, 
sendo or o coeficiente de dilataçzo linear do material. 
Suponhamos, para fm de raciocínio, que desejemos calcular O 
deslocamento do ponto m da direção A : O estado de carregamento seri 
o da Fi& 1-45 e o teorema dos trabalhos virtuais se escreverá, então, quan- 
do dermos a todos os pontos da Fig. 1-45 deslocamentos virtuais exata- 
mente iguais aos provocados pela variação de temperatura: 
Fis 1.45 - Estado de mrmmsnm: 
Supondoas barras com seção constante, temos: 
se identificam com as áreas dos diagramas de esforço normal e de momento 
fletor no estado de carregamento e temos. então: 
- n 
P S = a t g A - + % N h AR (Sendo as barras de seçzo constante) (1-5) 
A Observações: I 
I?) Se as barras não tiverem seção constante, teremos eviden- 
temente: 
F6=oi \ / N t g d s t a A t k (1-6) 
2.O) Para emprego das expresses (1-5) ou (M), a d o t a r e m m 
seguintes convenções de sinal: 
fi $erii positivo quando de tração 
- j@ serh positivo quando tracionar as fibras internas da estru- 
tura 
- As variações de temperatura ti, t , tg serão positivas quando 
se tratar de aumento de temperatura (notar que Ar = (ti - te). 
3.0) O valor de 6 não 6, evidentemente, afetado pela existêc- 
cia de esforços cortantes ou momentos torçores no esta- 
do de carregamento. 
As aplicaçües seguintes esclarecerão: 
O 1-13 - Calcular o deslocamento horizontal do ponto B se 
a estmtura da Fig. 146, cujo material tem 
a = 10.5 /OC 
e cujas barras têm seção retangular de 0,s m de 
altura, sofrer a variação de temperatura indicada na 
figura, em relação ao dia da sua execução. 
e:.-"II 
"O." +... . 
rg-+3O0C 
"--.. ,,=+1o0c 
Fig. 148 Fíg. 1.47 
Sendo diagramas IÜ e N no estado de carregamento, os in- 
dicados na Fig. 1-48, teremos, levando em conta a expressáo 1-5, e o esque 
ma da Fig. 1-47: 
O ponto B se deslocará, pois, de 6,58 cm, para a direita. 
Ex 1-14 - Calcular as defomaçCks seguintes, para a grelha de 
Fig. 149, cujas barras têm seção retangulir de 0,s m 
de altura e cujo material possui 
a = l o - S / ~ c , 
se suas fibras superiores forem aquecidas de 20 OC 
e as inferiores tiverem mantida a sua temperatura 
em relação à do dia de sua execução. 
A Fig. 1-49 + 4m -+' 
1.O) Rotação da corda BC perpendicular ao plano ABC. 
2.0) Deslocamento do ponto C na direção BC. 
Temos: 
1.O) Cálculo da rotação de BC perpendicular ao plano ABC 
Sendo o estado de carregamento o de Fig. 1-50, obtemos: 
2.') Cálculo do deslocamento de C na direção BC: 
Trata-se do cálculo de uma deformação numa estrubira plana 
devida a 
("O plano da estrutura náo h& variação relativa de temperatura). 
~ ~ m ~ ~ , a partir do estado de carregamento de Fig. 1-51: / 
Fig. 1-52 
A 
Devido à simetria, sabemos que as m t a ç b em A e em B S o 
iguais e tmios, entxo, a .partir do estado de carregamento da Fig. 1-53: 
N - O 
M= l m t 
l m t M= l m t l m t - 
A rotação da tangente à elistica em A vale, então a n R t , h- 
no sentido horário. 
1.3.1 - Caso particular: variaflo uniforme & temperatura 
( A, = 0) 
Seja calcular o deslocamento do ponto m na direção A , devi- 
do a uma variação uniforme de temperatura tg atuante, para a estmtum 
de Fig 1-54: 
Temos, a partir de 1.6: 
sendo r$ o hgulo formado por RA com a tangente ao eixo d a estrutura 
numa seção genérica do trecho A - rn e y o ãngulo entre R g e a tangen. 
te ao eixo da wtruiura numa seção genérica no trecho B - m. 
Ora, as integrais acima podem ser reescritas sob a forma 
-, 
= Trabalho realizado por RA ao percorrer a trajetóna A - m 
-+ 
= Trabalho realizado por RB ao percorrer a trajetória B - m 
ado de ,jefotmaç&s em estruturas isoststicas 53 I 
se tratando do regime elástico, estamos diante dc um cam 
.~ 
po conservativo, para o qual sabemos, da Mecinica Racional, que o traba- 
lho independe da trajetória, dependendo apenas de seus pontos extremos. 
L ~ ~ ~ , as integrais ser calculadas para qualquer trajetória que cm. 
tivesse os oontos A, B, rn Tal nos permite concluir: 
pma o cólmlo de deformação numa estrutura isostórica devida 
o ,, wnnyóo de temperatura. podemos substituir a eshutura 
e por oum desde que contenha os mesmos vínculos e pon- 
tos de aplicgcão de cargo do estado de crnregomento. 
1-16 - Cdcular o deslocamento horizontal de B devido a 
um aumento uniforme de 20 OC, para o quadro de 
Fig. 1-55. 
I n-B i mo: oi = 1o-s/oc A 
7 10m Fia. 1-55 
0 s pontos indiinsáveis de passagem da estrutura de substitui- 
ç%o S o os v i n d o s (A e 8) e pontos de aplicação de carga no estado de 
carregamento (E, no caso). Ficamos, então, com: 
6 = a t g A ~ = 1 0 - 5 X ~ O X 10 = 2 mm 
(para a direita) 
E* 1-1 7 - Caldar a variaçXo de comprimento da wrda AC 
devida a m a diminuiçáo de 3 0 0 ~ . para a es- 
trutura de Fig. 1-57. 
I 54 Curso de análise estmtural 
Fig. 1-57 
A estrutura de substituição mais conveniente no caso seri a de 
Fig. 1-58. a partir de qual obtemos: 
ado & defOnneqõcs em estruturas isostáticas 55 
A de substituição mais conveniente será a de Fig. 1-60. 
a partir de qual obtemos: 
Fig. 1-60 
6 = 10-5 (-301 (-1 x 51 = 1.5 mm de encurtamento I 
1.4 - Cáicuio de deformações devidas a movimentos (recalques) 6 = 1 0 . ~ (-30) (-1 x -@) = =,o2 mm dos apoios (encurtamento) 
seja a estrutura de Fig, 1-61 cujos apoios sofrem os re~dques 
co&ecidos3, nela indicados. Se quisemos calcular deformações provocadas 
J P = l t por esses recalques, já sabemos como instituir o estado de carregamento e 
já sabemos que daremos, neste estado de carregamento, deformações vir. A tuais a todos os pontos da estrutura exatamente iguais às existentes noes- tado de deformação. - - - - I 
Fia. 1.68 
- I r- I A jTIB 
'' 
'18 - c d ~ d a r a r u i a ~ l o de comprimenm da mrda BD 
devida a uma diminuição uniforme de30 OC, para a ' -)PAV r*,, o--+ 4" estrutura de Fig. 1-59: 
Dado: ct = I O - ~ / O C Fie. 1.61 - Estado dedeiwmsqio lh foyra a d d o r m w õ ~ nditivas nula) 1 Fig. 1.59 
+ 2m X 2m +- 
Aplicando, então, o teorema dos trabalhos virtuais, teremos 
qualquer que seja o estado de carregamento: 
Trabalho virtual das forças externas: P6 t Z RP, sendo R 
as mações de apoio no estado de carregamento e P os recalques a elas cor- 
"SPondentes no estado de deformação. 
Trabalho virtual das forças internas: nulo, visto que as defor- 
3 Calculados p l a Mecânica dos Solos 
56 Cum de mase estrutural 
mações relativas no estado de deformação são nulas. 
Igualando o trabalho virtual das forças externas ao das forças 
internas, obtemos 
P6 = - Z R p (1-7). expressão que resolve o problema. 
Ex. 1-19 - Calcular a rotação relativa das tangentes 'a elástica 
em E devida aos recalques indicados, para a estru- 
tura de Fig. 1-62. 
Fig. 1.62 
Temos as reações R no estado de carregamento indicadas na 
Fig. 1-63, a partir das quais obtemos, pelo emprego da expressão 1-7: 
(O sentido arbitrado foi correto.) 
Ex. 1-20 - Calcular o deslocamento vertical do ponto A da 
grelha da Fig. 1-64 devido a recalques verticais de 
cima para baixo de 2 cm em i3 e F e de 4 cm em D. 
Aproveitando a simetria, as reações de apoio no estado de car- 
~sgamento são as indicadas na Fig. 1-65, a partir das quais obtemos: 
2 a A = - E R p = - 2 x 1 ( - 2 x 1 0 - 2 ) = 4 x 1 0 - 2 m 
O ponto A descera, então, de 2 cm. 
ibserwçâò: Os recaiques de apoio ocorrem, evidentemente, devido ao carre- 
gmento atuante; para calcular as deformações que o conjunto karregamen- 
o + recalques)-provoca na estrutura, preferimos usar o principio da super- 
msição de efeitos, calculando inicialmente, pela expressão (I-I), as defor- 
nações devidas somente ao carregamento e, a seguir, pela expressão (1-7), 
iquelas devidas aos recalques. somando finalmente os dois resultados obtidos. 
1 - Cálcdo de defomsçks em vigs retas - Rocem de Mohr 
Embora se tratando de um caso particular, desemiolveremosnes 
te tópico um processo, idealizado por Mohr, que nos permite obter, sem 
aplica~ão do teorema dos trabalhos virtuais, a elástica de uma viga reta 
.A ênfase especial que atamos dando a este caso particular se justifica pe- 
la grande incidência com que ocorrem, na prática, as vigas retas e pela pos- 
Qbilidade que este processooferece de obtermos, de uma sb vez, a elástica. 
Sabemos, da Resistência dos Materiais, que a rotação relativa 
devida flexão, de duas seções de uma viga distantes de ds é dada por 
"P=& conforme indica a Fig. 1-66, E J ' 
58 Curso de análise estrutural 
V I Fig. 166 
Por outro lado, do Cálculo Intinitesimal, sabemos que a 
d9 curvatura de uma curva plana y = y(x) igual, por definição à relação - 
ds para a curva - referida a um sistema xy como o de Fig. 1 6 6 6 dada por 
dP 
- = - Y" 
ds ( 1 + ~ ' = ) ~ / 2 
A elâstica y = y(x) de uma viga fletida seri, então, obtida da 
equação diferencial - Y" = -. M Como estamos tratando da (1 + y'2)312 EJ 
Análise Estmtural no âmbito das pequenas deformaç&s, o valor y g pode ser desprezado em presença de unidade e teremos, ünalmente, a equa- 
ção diferencial da elástica para vigas retas dada por 
- 
Observando a analogia matemática entre a equação diferencial 
da elástica (1-8) e a equação diferencial fundamental da Estática $.$ = - 0 , 
dxL Mohr teve a genial idtia de encarar y como sendo o momento fletor numa 
viga (a que chamaremos viga conjugada, e cuja determinação d e p e n d e da 
análise das condições de contorno do problema), carregada com uma car- 
ga distribuída cuja taxa de distribuição t M , sendo M o momento fletor 
atuante na viga dada. EJ 
Empregando-se o processo de Mohr, estaremos fazendo as 
seguintes analogias: 
Resumindo, temos: 
Rotação na viga dada = Esforço cortante na viga conjugada 
Deslocamento vertical da viga dada=Momento Fletor na viga 
conjugada 
A determinação da viga wnjugada será guiada pelo respeito às 
wndiç&s de contorno d o problema dado, em função da formulação adota- 
da para sua resolução (encarar a elástica como um diagrama de momentos 
fletores na viga conjugada) e resultará de uma simples transformação dos 
vinculos da estrutura dada conforme indicam os exemplos a seguir: 
a) Seja, por exemplo, um apoio extremo do l? gênero A exis- 
t en te na viga dada conforme indica a Fig. 1-67. Sabemos 
que a seção da viga situada sobre o apoio d o l?gênero terá 
deslocamento vertical nulo (y = O) e rotação livre (9 # O), 
já que este apoio só impede deslocamento vertical. Assim, 
devemos ter na viga conjugada em A um vínculo tal que t e 
nha momento fletor nulo (pois este representará o deslocs 
Ae-$ Fig. 1-67 
mento vertical de A) e esforço cortante diferente de zero 
(pois este representará a rotação que sofrerá a seção); este 
vínculo será, então, outro apoio extremo do 1P gênero. 
b) Seja, agora, .uma rótula intermediária B existente na viga da- 
da, conforme indica a Fig. 1-68, A seção B poderá sofrer um 
deslocamento vertical (já que não existe apoio do I? gênero 
sob ela) e terá rotações das tangentes à elástica diferentes à 
B 
Fig. 1-68 
esquerda e à direita da rótula (pois que a mesma libera as 
rotações de um lado da viga em relação ao outro). Assim, 
devemos ter em B, na viga conjugada, um vínculo tal que 
apresente momento fletor diferente de zero e esforços cor- 
tantes diferentes à sua esquerda e direita; este vinculo será, 
então, um apoio intermediário do l'? gênero. 
Raciocinando de maneira inteiramente análoga para todos os 
outros tipos de vínculos que podem aparecer numa viga reta, teremos ins- 
tituída a tabela XVII, através da qual passaremos da viga dada à viga w n - 
jugada. (Nesta tabela indicamos na coluna extrema da direita, a titulo de 
explicação, as condições de contorno que guiaram esta transformação de 
- . 
vinculo.) 
Ficando determinada a viga conjugada o problema está, então, 
resolvido. 
Obsemções: a) A viga wnjugada de uma viga isostática será sempre isos- 
tática Os exemplos das Figs. 1-69 a 1-71 esclarecem. 
60 Cuiso de análise estmtural U(lculo & deformaç&s em e s t m t u m isostáticas 61 
- 6----7 
.e,h. ,,,,, ,,,, , ,,I,, 
b) A viga conjugada de uma viga hiperestática será hipostática (a não ser 
L ,.,., ,~,.~.. Fip. 1-69 em alguns casos de vigas hiperestáticas, submetidas a determinados recal- 
ques de apoio, conforme os exemplos 1-26 e 1-28 deste capitulo), mas seu 
- v,,,8 ,,,,,c,, nipi 1-70 canegamento MJEJ será sempre tal que a viga conjugada fique em equili. 
",,/I I"I.IU,.,<I., brio (impondose esta condição às vigas conjugadas das vigas hiperestáticas 
n lI1lI., ãig. 1.71 - u,+n co,,,n,e., restáticas, conforme ilustrarão as aplicações feitas no item 2.1 deste tópi- 
ficaremos,até.emcondiçóes de obter diagramas solicitantes em vigas hipe- 
co), pois, como existe uma deformada real, estável, para uma viga dada hi- 
perestática, e w m o esta deformada é obtida a partir de sua viga conjugada, 
esta última terá que estar submetida sempre a um carregamento em equi- 
líbrio. 
Tabela XVii - Transformação de vínculos para obtenFo da viga conjugada 
N~~ ~ i g s . 1-72 e 1-73 apresentamos exemplos deste tipo de vi- 
gas wnjugadas. 
- 
viga dada viga conjugada 
Fip. 1-72 
P - 
viga dada viga conjugada 
Fig 1-73 
c) Quando formos carregar a viga conjugada com o carregamento cuja taxa 
de distribuiçáo é = - M , sendo M o momento fletor atuante na viga da- 
EJ 
da, a um momento fletor M positivo na viga dada (tracionando as fibras 
inferiores da viga) conesponderá, evidentemente, uma carga distribuída 9 
Positiva (de cima para baixo) na viga conjugada. 
d) O metodo de Mohr se aplica integralmente, às vigas com inkrcia variá- 
vel. Neste caso, apenas, as funçóes q = serão mais complexas. 
EJ 
Ex-1-21 - Fazer um esboço da elástica para a viga da Fig. 1-74 
que tem EJ = 104 tm2, cotando seus valores extre- 
mos: 
A partir da viga conjugada, carregada com E . o b t e m o s a 
EJ 
62 Curso de anáiise estrutural 
I I I I 
I I 1 I 
I I 'Mviga dada 
I I 
I I 
1 I I I I I I 16x10.~ m-' I I I 
1 I 
I ' i viga conjugada 
I C 
I carregada com I I I 
I I I I 
M 1 9 = - 
I I I I EJ 
I 
I 
I 
I 
I I I I 
I I I 
3,6mm p,u~ 3,6mm 
Elástica = 
=M viga . conjugada 
3.2mm 
elástica pedida, representada na própria Fig. 1-74. 
Notar que os trechos AB e DE da elástica são retilineos; en- 
quanto que os. trechos BC e CD são parábolas do 3.O grau, simétricas 
uma da outra e que concordam em C. 
Os valores extremos pedidos são: 
2.0) Calcular os deslocamentos verticais de A 
e E; 
3.0) Calcular a rotação da seção B; 
4.0) Calcular a rotação relativa das tangentes ê elas- 
tica em C. 
I ! ~ ~ i g s dada 
1.O) Aspecto da elistica: 
Ex. 1-22 - Para a viga da Fig 1-75, que tem EJ =103 tm2, 
pedem-se: 
Encontra-se esbqado na própria Fig. 1-75, onde indica- 
mos tamMrn a viga conjugada carrezada com q = .!!! . Chamamos a 
~ - - 
1.O) Esboçar o aspecto da elástica; LI 
64 Curso de anáüse estrutural 
atenção para a simplicidade e conveniencia da obtenção prévia do aspec- 
to da elástica, pois que ele nos fornece todos os sentidos corretos de 
deformação, restando-nos calcular apenas seus aódulos. 
2.0) Deslocamentos verticais de A e E: 
A 3 1 3 y ~ = M ~ ~ ~ ~ ~ ~ j = 4 ~ 1 0 ~ ~ 3 + ~ ~ 3 x l O . x 2 = 1 5 x 1 0 - ~ = 1 ~ m m 
E - 4 ~ . 1 0 - ~ ~ 3 + 1 0 - 3 X-=16,Smm 3* 
YE ="viga conj - 2 
3.O) Rotação em B: 
VB = conj = 4 x 10.3 rad (o sentido está indicado na figura; no caso, é 
o anti-horário) 
4.O) Rotação relativa em C: 
- Vesq CeSq Cdir 
C - C + @$r = 1 Qviga conj I + I Qviga conj 
= 8 x i r 3 rad ( o sentido está indicado na figura). 
2.1. - Aplicação do processode Mohr h vigas hiperestáticas 
(Obtenção de diagramas solicitantes e deformaçües) 
Ex 1-23 - Obter o diagrama de momentos fletores para a viga 
biengastada da Fig. 1-76, que tem inércia constante. 
mq 
A-B Fig. 1-76 
I 
I 
O aspecto do diagrama de momentos fletores, levando em con. 
ta a simetria da viga deverá ser o da Fig. 1-77, bastando, pois, conhecer o 
valor de M para ficar determinado.Mh$4~ Fig. 1-77 - Aspecto do diipmna daaido. 
Passando à viga conjugada, que será a haste livre da Fig. 1-78.1. 
para que a mesma esteja em equilíbrio (O que nos possibilitará escrever. 
para a viga conjugada, que MA = MB = O e QA = Qg = O, o que deve 
ocorrer, pois sabemos que y ~ = y ~ = O e VA = ' 4 ~ = O, para a viga 
dada), o carregamento deverá estar auto-equilibrado. A condiçgo XY = O, 
M 
M 
BEJ - E J 1.78.2 
1-78.1 Fip. 1-78 
a partir da decomposição indicada em 1.78.2, nos fornece: 
" - 
O diagrama de momentos fletores pedido ser& então, o da 
Fig. 1-79. 
(i- 
Fio. 1-79 
E r 1-24 - Obter os diagramas solicitantes para a viga hiperes- 
tática da Fig. 1-80. que possui indrcia constante: 
A 
Fig. 1-00 
I 
O aspecto do diagrama de momentos fletores sendo o da 
Ffk 1-81, a determinação de M se fará impondo condições de equilíbrio 
3 viga conjugada carregada ccm M/EJ, indicada na Fig. 1-82.1. 
Fig. 1-81 - Aspano do diignma de momantm flammi daaido. 
"8' 
-- 
Q,: 
~- 
11 c, 1.82.2 
1-82.1 
F i g . 1-82 
A partir da decomposição do carregamento atuante na viga con- 
jugada feita em 1-82.2, a condiçáo de momento fletor nulo na rótula B 
(pois em B devemos ter M = O na viga conjugada, já que y~ = O para 
a viga dada), nos fornecerá: - 
4IL donde obtemos M = -. 8 
A partir desse valor, os diagramas solicitantes e reações de 
apoio para a viga dada são os indicados na Fig. 1-83. 
E* 1-25 - Para a viga da Fig. 1-80, obter a rotação da tangen. 
te à elástica em A. 
Imediatamente, podemos escrever, a partir da Fie. 
- 
1-82.2: 
13 
conjugada = 2 -g3 - & =L, 
'PA = QA 3 8EJ 48 /3 
no sentido horário . 
Ex. 1-26 - Obter o diagrama de momentos fletores para a viga 
de Fig. 1-84; que tem vão / e rigidez EJ, devido ao 
recalque angular 8 nela indicado (EJ = constante). 
ti - Fig. 1.84 
O aspecto do diagrama de momentos fletores desejado na viga 
:stá indicado na própria Fig. 1-84 ( MB deve ter, evidentemente, o sentido 
i0 recalque 8). 
A B 
A A Viga conjugada 
Passemos, agora, à viga conjugada, para a qual iremos igualar o 
?sfor~o Cortante em B ao valor de 8 (rotação da seçáo). O apoio do 1.' 
3ênero existente em A (como não sofre recaiques) será transformado em 
'P io do 1.' gênero, de acordo com nossa tabela XVII de transformação 
de vínculos. Já o apoio B, como sofre recalque, não pode ser transforma- 
i0 P r emprego da tabela XVII e deve ser analisado para o caso. 
NO ponto B (viga dada), temos: 
Sendo assim, devemos ter na viga conjugada um vínculo q u e 
nos dê cortante e não dê momento. Será, então, um apoio do 1.0 géneros 
também. Ficamos, portanto, com o esquema da Fig. 1-84 para' o qual,im. 
pondese as equações de equilíbrio, temos, por Z: MA =O: 
O problema está, então, resolvido, e o diagrama de momentos 
fletores na viga devido ao recaique angular e é o indicado na Fig. 1-85. 
E x 1-27 - Obter os diagramas solicitantes na viga biengastada 
de vão 1 e rigidez EJ, submetida ao recalque verti- 
cal p em 6 , indicado na Fig. 1-86 (EJ = constante). 
Fig. 186 
M~ 
- 
7j *q Viga conjugada 
EJ 
O aspecto d o diagrama de momentos fletores na viga dada 
e s 6 indicado na Fig. 1-86, Determinemos, então, a viga conjugada: O en- 
gaste A (que não sofre recalque) se transformará numa extremidade livre; 
0 engaste E, que sofre um recalque vertical (e para o qual temos, portan- 
to, yg = P e V6 = O) deve se transformar num vínculo que nos dê mo- 
mento (o qual valer5 P ) sem nos dar cortante e deverá ser o indicado 
na Fig. 1-86. 
Impondo as equações de equilíbrio A viga wnjugada, temos: 
Cdldo de defonnaçócs em estruturas isostátiess 69 
2 Y = O . . . MA = M6 (visto não existir cortante em 6, o próprio car- 
regamento tem que fornecer resultante nula). 
EM = O . . . . P = x 3 x 1 x 2 1 (ou seja, o carregamento 
2 E J 2 3 
nos dá um binário, que deve ser absorvido em 
B. devendo o momento fletor em B ser igual a'p). 
EJp e os diagramas solicitantes serão os da Dai obtemos: MA = M6 =--- 
F i a 1-87. 
I' 
6 E J p 6 E J p 
- 
4 / ) I' 
- 
l2 
'. 1 12EJp 
l 3 I" 
Fig. 1.87 
Obse7vação: Os resultados destes dois Últimos exemplos serão de grande 
importância no estudo do m6todo das deformações, conforme verá o leitor 
no Vol. 111 deste Curso. 
Ex. 1-28 - Obter o diagrama de momentos fletores provocado 
pelos recaiques verticais indicados, para a viga da 
Fig. 1-88, que tem rigidez EJ, constante . 
c 1 -+ 31 -t I + 
A 
A. 
E C O 
. P , p ,, A:. 
- ._ / b 
- - - . i - - - 
M B IlillIllrn, - EJ 2 M ~ l 
- Viga conjugada 
EJ f Fie. 1-88 2MBl 
EJ 
- t 
70 CURO de anáiise estrutural 
Devido à simetria existente, o aspecto do diagrama de momen- 
tos fletores na viga dada será o indicado na Fig. 1-88, Para a viga conju. 
gada, os apoios A e D se mantêm e os apoios B e C, que sofrem recal- 
ques, e para os quais temos 
devem ser substituídos por um vinculo tal que nos d6 momento (igual a p ) 
e que nos dê Qesq = Qdir , obtendo-se, entxo, o esquema indicado na 
Fig. 1-88. 
Impondo-se a condição de momento íietor igual a p em B e 
C na viga conjugada, obtemos: 
O diagrama de momentos fletores pedido6,entãoodaFig. 1-89. 
Fig. 1.89 
6 EJp 
- 
11 l2 
6 E J p 
- 
11 lZ 
Ex 1-29 - Para a estrutura do exemplo anterior, calcular a ro- 
tação da tangente à elástica em A. 
Temos. evidentemente: 
3 - Cálculo de defomqóes em trrliças planas - Rooesso de Wiiiiot 
Assim como apresentamos, no tópico 2 deste capítulo, um 
processo particular visando à determinação da elistica de vigas retas (pro- 
cesso de Mohr), apresentaremos neste tópico, um processo ideaiizadb pelo 
engenheiro franc6s WiUiot, que permite a determinação dos deslocamentos 
de todos os nós de uma treliça plana. 
de defornações em estruturas isostiticas 71 
Os fundamentos do processo de Wüiiot podem ser compreendi- 
dos wnsiderandese a treliça ABC representada na Fig. 1-90 que, para O 
carregamento indicado, ter5 suas barras AC e BC comprimidas e a barra 
AB tracionada. Cada uma destas barras sofrerá, em função do aforço nor- 
md Ni nela atuante (proia.ado pelo carregamento indicado), uma variação 
Ni li 
de comprimento Ai = -- (no caso, A, e 4 serão encurtamentos E Si 
e A3 será um alongamento). Conhecidas estas variaçóes de wmprimento 
A i , a configuração deformada da treliça pode ser determinada da seguin- 
te maneira, conforme indica a Fig. 1-90: 
Inicialmente, removeremos o pino (rbtula) do nó C e permiti- 
remos a variação A 3 de comprimento da barra AB; isto provocari um mo- 
i vimento da barra BC (agora desligada da barra AO, que se deslocará para- lelamente a si própria, passando a ocupar a posição B'C. Permitindo, ag* ta, às barras AC e B'E suas variaçaes de comprimento A1 e A2, respecti- vamente, as extremidades C e C passarão a ocupar as pmiçDes C1 e C2 I indicadas na Fig. L90. Para podermos rewlocar o pino (rótula) ligando as 
barras 1 e 2, é necessário fazer com que as extremidades C1 e C2 dasbar- 
ras 1 e 2 coincidam novamente, o que é obtido girando AC1 em tomo de 
A e B'C2 em tomo de B' até que os arcos se interceptem em C', posição 
deformada final do n$ C da treliça. AB'C é, então, a deformada da treli- 
Ça da Figa 1-90 submetida ao carregamento indicado e, a partir dela, pode- 
mos dizer que o nó ü sofreu um deslocamento hodzontal Sg- BB' e o 
nó C um deslocamento 6C= CC' , definidos na ~ i g . 1-90, Este processo 
máfico seria perfeito não fosse o problema das deformaçües serem muito 
Curso de análise estrutural a n d o de deformações em estruturas isostáticas 
pequenas em presenca das dimensões da treliça, o que nos obrigaria ao liot para chegarmos a cada novo ponto. Nos casos em que isto não ocorrer 
emprego de escalas enormes para desenho, a fim de se ter alguma precigo (ver exemplo1-33). calcularemos previamente alguma (s) deformação, apli- 
lios resultados, o que é impraticável. (No caso da Fig. 1-90. indicamos as 
,.,,do o teorema dos trabalhos virtuais de modo a poder iniciar e (ou) 
deformacões em escala niuito exagerada eni presença das dimensões da 
trelica. no traçado do williot. 
Justimeote porque as defomaçóes sofridas pela treliça são pe- 
quenas em presença de suas dimensões, a rotação de qualquer barra será 
pequena, de modo que podemos considerar que, durante a rotação de uma 
barra, sua extremidade se desloque ao longo da normal B direção primitiva 
da barra, ao inv6s de considerarnios o deslocamento ao longo do arco de 
circulo verdadeiro. Introduundo-se esta simplificação, válida no âmbito das 
pequenas deformaçóes (lupótese fundamental na nossa Análise Estrutural), 
toma-se possivel obtcr os deslocamentos dos nós da treliçasem termosque 
desenhar seus comprimentos totais, pois não mais será necessário desenhar 
os arcos de circulo em torno de seus centros de rotação; é o que está 
feito na Fig. 1-91, chamada diagrama de Wiliiot ou, mais simplesmente, 
williot da treliça dada, em homenagem ao lançador do processo: 
Como anteriormente, imaginamos que o pino (rótula) em C é 
tempordamente removido e permitinios que se realizem as mudanças de 
coniprimento das barras, uma de cada vez. Assim, sendo o a origem esco- 
lhida para marcação dos deslocamentos (e que, no caso. coincidirá com o 
ponto a, rep-sentando o deslocamento nulo do apoio do 2.O gcnero A), 
marcamos 03 = n3, representando a variação de comprimento da barra 3 
(barra AB). Como a barra AB se conservará horizontal após sua deforma- 
ção, o segmento Õ3 já simbolizará o deslocamento final do nó 3 da treli- 
ça (apenas para respeitar a notaçào que adotaremos no williot e que con- 
siste em representar a posicão final do nó pela letra que o simboliza, em 
minúsculo, diremos que o ponto 3 coincide com o ponto b no williot e 
que o deslocamento do nó B é dado por ob). Devido a suas diminuições 
AI e de comprimento, respectivamente, a extremidade C da barra 
AC se move para baixo, paralelamente a AC, e a extremidade C da 
barra BC se move para baixo, paralelamente a Bs. o-aue está rep. 
'esen- 
tado, no wiüiot da Fig. 1-91 pelos segmentos a1 e b2, respectivamente. 
Para ligamos; novamente, as barras ACe BC pelo pino em C, a primeira deve 
girar em torno de A e a segunda em tomo de B, até se interceptarem; 
durante estas rotaçóes, admitimos que elas se movam nas direçóes normais 
a cada uma delas. No williot estas rotações estão simbolizadas, respectiva- 
mente, pelas retas perpendiculares a AC e BC tiradas por 1 e 2, que se 
interceptam em c, ponto que simboliza a posição deformada final do nó C 
em relação à sua posição primitiva. 
%. -. Os vetores ou, ob e oc)representam, então, os deslocamentos ab- 
Sol~itos dos nós A. B e C da treliça de Fig. 1-90 devidos ao carregamento ne- 
la indicado. 
A wnstruçxo dos wüiiots para treliças mais complicadas é feita 
da mesma forma, sendo apenas necessário conhecermos dois pontos no w S 
As aplicaç5es seguintes esclarecerão. 
E r 1-30 - Obter os deslocamentos de todos os nós da treliça da 
Fig. 1-92, cujas barras possuem, todas e l a s , ~ ~ = 1 0 ~ t . 
Fig. 1-92 
Devemos, inicialmente, calcular as varia~&% de comprimento ai 
de cada uma das barras da treliça devidas aos esforços normais Ni nelas 
atuantes, o que esiá feito na tabela seguinte, a partir da qual 6 imediata a 
obtenção do-williot desenhado na ~ i~ . -1 -93 . 
&ira Nj( t ) li lml I ~;=N;li/ES(mml 
I 
74 CUBO de anáiise estrutural 
- d o de deformações em estruturas isostáticas 75 
EX 1-31 - Obter os deslocamentos de todos os nós da treliça 
Os deslocamentos dos nós A. B, C . . .. H da treliça sáo da. & Fig. 1-94, se ela for submetida a uma diminui- 
+ -* + + dos em direção, sentido e módulo pelos vetores ou, ob. oc, . . . , oh do ção uniforme de temperatura de 30 OC. É dado o 
williot, valendo estes mbduios, respectivamente, 0; 1,6 mm; 3 ,,,,,,; 6.5 mm; coeficiente de dilatação linear do material, igual a 
13.9 mm; 7,2 mm; 4.4 mm; e 3,l mm. 10.5/0C. 
Fig. 1-94 
As variações de comprimento Ai de cada uma das barras, de- 
vidas A variação de temperatura, sáo dadas por Ai = Lu Al li =-30~10.5 li 
valendo. então: 
A1=A4=-12 mm; A2=A3=-12 J?lmm; A 5 = A 6 = - 6 a m m 
A partir desses valores, obtemos, pelo williot da Fig. 1-95, que 
os deslocamentos dos nós+c D e _E da treliça, dados em diieção, mádulo 
e sentido pelos vetores oc, ode oe d3 williot têm seus mádulos iguais a 
1 2 6 mm, 1 2 ~ 5 mm e 12 mm. 
1-32 - Obter os deslocamentos de todos os nós da treliça 
da Fig. 1-94, caso seu apoio B sofra os recalques in- 
dicados na Fig. 1-96, passando a ocupar a posição 
B: 
PBV = lcm 
B' Fig. 1-96 
PBH = 2cm ?Y.Ii 
Neste caso, os Ai de todas as barras são nulos e podemos pas. 
sar imediatamente ao traçado do wiiiiot, feito na Fig. 1.97, a partir do 
qual obtemos que os ~esl~cam+entos d y nós A. B, C, D e E da treliça, 
dados pelos vetores oa. ob, oc, o b e oe, têm módulos de 0; 2.24 cm; 3 cm; 
1.41 cm e 2,54 cm. 
C 
, A 
P~~ Fig. 1-97 - Escala do williol: 1 : 1 
Ex. I-33 - Obter os deslocamentos de todos os nós da treliça 
da Fig. 1-98, cujas barras tèm, todas elas ES=IO~ t. 
Fig. 1-98 
A 
No caso, alem de calcularmos as deformações Ai de todas as 
barras, devidas aos esforços normais Ni nelas atuantes, precisamos calcular 
previamente o deslocamento do nó B (ou do n6 E) para termos conheci- 
dos os deslocamentos de dois nós A e B (ou A e E), condição necessária 
para podermos iniciar o traçado do williot. Temos, então: 
~ g l d e de d~f~nnsções em estruturas isost~ticas 
a) Cglculo dos Ai 
b) Cálculo do deslocamento do ponto B: 
Para conhecermos o deslocamento resultante do nó B, basta co- 
nhecermos suas componentes horizontal e vertical. A componente horimn- 
tal 6 dada por A7, ou seja, vale 6 BH = 16 mm, da esquerda para direita 
A componente vertical 6 obtida a partir do estado de carrega 
mento da Fig. 1-99 e vale: 
Fig. 1-99 
2 f l t 6 s v = \ 9 = ' [ 4 x 4 ( ~ t 2 x j ) t 4 y r i - x 4 \ ~ i ? ~ 
1 O" 3 
6 t- ) + 3 2 x 4 Y. 41 = 77.2 mm (de cima para baixo) 
78 CWO & x3lUíb estmhiral 
c) Traçado do williot 
Conhecidos os deslocamentos dos nós A e B, obtemos o williot 
da Fin. 1.100, que resolve o problema. 
Fig. 1-100 - Erala do.williot: 1:l 
Os deslocamentos dos nós B, C. D. E,. F, da treliça, dados em 
direção, sentido e mbdulo pelos vetores o$ ocf o e e do williot, 
têm estes módulos iguais a 7.9 cm; 8,4 cm; 4,8 cm; 8,4 cm e 7,9 cm. 
. 
Como ve"fícaçXo do wiUiot, vemos que o vetor od é horizontal, 
o que tem que ocorrer, levando em conta que o apoio do 1.0 genero 
existente em D impede qualquer deslocamento vertical deste ponto. A pos- 
sibilidade de efetuarmos esta verificação é devida, evidentemente, ao fato 
de termos feito o cálculo prévio do deslocamento de um nó da treliça 
(para podermos iniciar o traçado d o williot). 
4 - Teoremas complementares 
4.1 - Teorema de Betti 
Seja uma estrutura qualquer, para a qual um grupo de cargas 
P; constitui o estado de deformação e outro grupo de cargas Pk constitui 
O estado de carregamento. 
Aplicando o teorema dos trabalhos virtuais, temos, indexando 
as deformaçóes com dois índices, o primeiro indicando o local da defor- 
Cglculo de defornações em estruturas isostdticas 79 
mação e o segundo a causa que a provocou: 
I (?jk;.conforme a indexação adotada, indica a deformação. na direção da 
carga Pk devida ao carregamento Pi). 
Tomando, agora, para a mesma estrutura, Pk como estado de 
deformação e P; como estado de carregamento,, temos: 
( tjik indica a deformação, na direção da carga Pi,devida ao carregame* 
to Pk ). 
Igualando as duas expressóes, obtemos: 
zP;G;k = ZPk 6ki (1-9),que é a expressáo do teorema de 
Betti, que nos diz: 
"O trabalho virtual produzido por um sistema de forças em 
equilíbrio, quando se desloca devido às deformaçõespoduzidas 
por um outro sistema de forças em equilíbrio, é igual ao tra- 
balho virtual produzido por este segundo sistema de forças 
quando se desloca devido As deformaçóes produzidas pelo pri- 
meiro sistema". 
4.2 - Teorema de MaxweU 
Fazendo, no caso do Teorema de Betti, com queP; e Pk sejam 
uma única força (ou momento) unitária, teremos: 
expressão do teorema de Maxwell, que nos diz: 
"O deslocamento de um ponto na direção de um esforço uni- 
tário, provocado por um segundo esforço unitário, é igual ao 
deslocamento do ponto de aplicação do segundo esforço. em 
sua direção, devido à aplicação do primeiro esforço unitário". 
O esf01~0 a que se refere o teorema pode ser, evidentemente, 
uma força ou um momento. 
Os exemplos das Figs. 1-101 e 1-102 ilustram a aplicação do 
teorema de Maxwell. 
. , 
lp i = 1 '. . 1 , 
Eri. <ar.* A k A A Esl. carr. 
Fig. 1-101 
Pelo teorema de MaxweU, temos 
= 6 i k 
1-102.1 1-1022 
Fig. 1-102 
Pelo teorema de Maxwell: hik = 6 ki 
Observação: A aplicação d o teorema de Maxwell será de importância fun- 
damental no estudo das linhas de influencia em estruturas hiperestáti- 
cas, bem como para provar a simetria da matriz de flexibilidade das estru- 
turas hiperestáticas, conforme se verá no cap. I1 deste volume. 
4.3 - Teoremas de Castigliano (Trabalho real de deformação) 
Seja a estmtura da Fig. 1-103, carregada com as cargas estãti. 
Cas Pi (cargas cujos valores crescem uniformemente desde zero até os valores 
maximos P i ) Em se tratando de uma estrutura elistica, ela se defor- 
mará, adquirindo a wnfiguraçáo indicada em tracejado na figura. Como 
estamos no regime elástico, a wndição de equilíbrio energitico do sis- 
tema implicará na igualdade dos trabaihos das forças externas (cargas e 
a d o de deformações em estruturas isostáticas 81 
reaç6es) e das forças internas (esforços simples). Calculemos estes tra- 
balhos. 
a) Trabalho das forças externas: 
O trabalho realizado por uma carga Pi que, por ser está- 
tica, apresenta um diagrama (carga x deformação) w m o o da Fig. 1-104, 
vale: 
Fig. 1-104 
I OU seja: 
O tmbalho realizado por um esforp que cresce miformemenfe 
desde zero até seu valor final (o mesmo acontecendo com a deform@o 
Por ele prOwcada) vale a metade do produto dos valores f[nnis do esforço 
Pelo deformação que ele provocou. Esta conclusão 6 atribuida a Clapeyron , 
I costumando a igualdade 1-1 1 ser conhecida como teorema de Clapeyron. 
Como estamos no regime linear e vale o principio da superposi- 
de efeitos, o trabalho das cargas externas P1, ..., 5, ..., P, valerá: 
I n 
82 Curso de anãlise estmtural 
b) Trabalho das forças internas (energia real de deformação 
da estrutura). 
Conforme sabemos, será o trabalho realizado pelos esforços 
simples. No caso (estrutura plana), os esforços simples M. N, Q acarretam 
deformações relativas em suas direções, de duas seções distantes de ds 
iguais a 
Como as cargas são estáticas, também os esforços que elas 
provocam o são e podemos escrever que a energia (ou trabalho) real de 
deformaçãõ de um elemento de comprimento ds de estrutura vale: 
I I dW = 2 MdV + - N Ads + L Q dh (pelo teorema de Clapey ron) 2 2 
A energia real da deformação da estrutura será, entáo: 
No caso de uma estrutura no espaço, teriamos também o tra- 
balho da torção, e a expressão da energia real de deformação, em sua for- 
ma mais geral, se escreverá: 
De posse das expresshs (1-12) e (I-13), podemos instituir os 
dois teoremas de Castigliano, que são enunciados da maneira seguinte: 
1.O Teorema: 
'X derivada parcial da energia real de deformação em relação 
a uma das cargas aplicadas é igual a d e f o r m o eiústica segundo 
a direção desta auga': 
A demonstração C imediata: 
Temos: 
2.O Teorema: 
"A deriva& parcial da enegio real de deformapio em relação 
a deformação elástica segundo a direp-o de uma das cagas 
aplicadas é igual ao d o r desta caga': 
I A demonstração é tamb6m imediata: 
Observaç5es: 
1.a) Nos casos práticos, quando da avaliação da energia real de deforma- 
ção, podem ser feitas as mesmas simplificações mencionadas na ob- 
servação 1-2 deste capitulo a respeito da aplicação d o teorema dos 
trabalhos virtuais: 
2.a) O 1 .O teorema de Castigliano, convenientemente explorado, permite 
o cáiculo de deformações em estruturas devidas a carregamento ex- 
terno, conforme ilustrarão as aplicações a seguir. Não permite, entre- 
tanto, o cálculo de deformações devidas a variações térnucas, recalques de 
apoio ou niodificações impostas a barras da estrutura durante a montagem 
Por esta razáo é que apresentamos este capítulo dando êrifase maior ao 
teorema dos trabalhos virtuais, por ser ele inteiramente geral. 
Ex. 1-34 - Calcular o deslocamento vertical do ponto R da viga 
da Figl 1-105 que teni rigidez t'/ constante. 
A energia real de deformação: desprezandese a influência do 
trabalho devido ao esforço cortante vale: 
I' 7 w = fPx)* dw - $2 2 0 EJ 6EJ 
Temos, então: 
84 Cum de an5ise estrutural 
Ex. 1-35 - Calcular o deslocamento vertical do ponto C da grelha 
da Fig. 1-106, que tem rigidez à flexáo A7 e rigidez 
à torção GJ 
t' . 
Fig. 1-106 
A energia real, de deformação, desprezando-se a influência d o 
trabalho devido ao esforço cortante, vale: 
Temos: 
aw P I ~ ( 2 + 3 - ) EJ 
3EJ 
CBlcnio de defornações em estruturas isostáticas 85 
Ex. 1-36 - Calcular a rotação da tangente à elástica em B para 
a viga da Fig. 1-107. 
Fig. 1.107 
Não havendo carga aplicada na direção da deformação que de- 
sejamos calcular (o que é indispensável, caso desejemos empregar o 1.0 
teorema de Castigliano), aplicaremos uma carga moniento fictícia M emB, 
desenvolveremos todos os cálculos e, no fim do'probleina (após termosde- 
rivado a energia real de deformação em relação a M), igualaremos a zero 
a carga M acrescentada. Temos, então: 
Fazendo, agora M = 0, obtemos finalmente: 
O tipo de procedimento adotado neste exemplo é geral, isto é, sempre 
que desejamos calcular, mediante o emprego d o 1 .O Teorema de Castigliano, 
uma deformação que não seja na direção de uma dai cargas aplicadas à 
estmtura, criaremos uma carga fictícia, correspondendo ao ponto e à direção 
em que desejamos calcular a deformação, efetuaremos todos os cálculos 
e, após termos feito a derivação parcial, igualaremos esta carga fictícia a 
zero, obtendo a solução d o problema. 
86 Cuno de análise estmtural 
4.4 - Regra de Mdler - Bwslau (Metodo cineniático para o traçado dc 
linlias de influência) 
Enunciaremos, inicialmente, a regra, demonstrando-a a seguir. 
"Para se traçar a linha de influencia de uin efeito estático E 
(esforço ou reação), procede-se da seguinte forma: 
a) rompe-se o vinculo capaz de transmitir o efeito I.:, cuja linlia 
de influencia se deseja determinar; 
b) na secção onde atua E, atribui-se à estrutura, no sen- 
tido oposto ao de E positivo, uma deformação (absoluta, no 
caso de reação de apoio ou relativa, no caso de esforço sim- 
ples) unitária, que seri tratada como pequena deformação; 
c ) a elástica obtida é a linha de influência de E.'' 
Demonstraremos para um caso particular, embora a demonstra. 
ção seja absolutanlente idêntica para qualquer outro caso: I 
Seja a viga da Fig. 1-108, para a qual desejamos conhecer a 
linha de influencia de reação de apoio em A. 
Rompendo-se o vínculo que transmite VA e, atribuindose à 
viga assim obtida uma deformação virtual unitária oposta ao sentido de 
VA positivo, conforme indica a Fig. 1-109, obtemos uma estrutura hipos- 
tática, mas que, submetida a uma força VA tal que equilibre P = 1 e 
Vg (e, portanto, igual ao