APOSTILA DE CALCULO II

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CALCULO II
Você está recebendo uma série de listas de exercícios (na maioria sem resposta), além de uns exemplos resolvidos junto com textos contendo informações conceituais.
Estas listas poderão servir de subsídio para a disciplina de CALCULO II, porém não deve ser usado como única ferramenta para a compreensão da disciplina e principalmente para a realização das provas individuais.
A disciplina tem por finalidade rever conceitos matemáticos, fazer uma introdução ao estudo do Cálculo Diferencial com algumas aplicações, além de propor conhecimentos necessários para acompanhar as demais disciplinas do curso.
Professor Celso Granetto
CONCEITOS INICIAIS
CONJUNTOS NUMERICOS
Para a disciplina iremos trabalhar com o Conjunto dos Números Reais.
INTERVALO
Para acompanhar a disciplina, devemos realizar algumas operações com intervalos.
PRODUTO CARTESIANO
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos de Produto Cartesiano de A em B, indicado por A X B, ao conjunto formado pelos pares ordenados ( x , y ) que podem ser formados com x pertencente ao conjunto A e y pertencendo ao conjunto B,
RELAÇÃO
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos de Relação de A em B, indicado por R, a todo subconjunto de A cartesiano B.
Isto é, 
.
FUNÇÃO
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, e uma relação f de A em B, dizemos que a relação f é uma função se, e somente se, todo x de A tem um só correspondente y de B.
Notação 
DOMÍNIO DA FUNÇÃO
Em uma função 
 o domínio da função é o conjunto A.
CONTRADOMÍNIO DA FUNÇÃO
Em uma função 
 o contradomínio da função é o conjunto B.
IMAGEM DA FUNÇÃO
Em uma função 
 a imagem da função é o conjunto de todos os elementos de B que são correspondentes de algum elemento de A.
GRÁFICO DA FUNÇÃO
Podemos obter a representação gráfica de uma função marcando os pares ordenados ( x , y ) em um Plano Cartesiano.
EXERCICIOS
 Representar graficamente as funções bem como determinar o domínio e o conjunto imagem.
TÉCNICAS PARA O CALCULO DE LIMITES	
1° caso 
 A função existe, isto é, esta definida no ponto considerado.
Técnica de resolução 
 Substituição direta do valor de x.
2° caso 
 a função polinomial não tem denominador e 
 tende a 
 ou 
.
Técnica de resolução 
 Colocar em evidencia a maior potencia de 
.
3° caso 
 O numerador se aproxima de um número real	não nulo e o denominador tende a zero.
Técnica de resolução 
 Se o denominador tende a zero, a fração cresce ou decresce indefinidamente e o limite será 
 ou 
.
4° caso 
 O numerador tende a um número real e o denominador se aproxima de 
 ou 
.
Técnica de resolução 
 Neste caso o limite será sempre igual a zero.
5° caso 
 O numerador e o denominador tendem a 
 ou 
.
Técnica de resolução 
 Dividir o numerador e o denominador pela maior potencia de 
 e fazer a substituição.
6° caso 
 O numerador e o denominador tendem a zero.
Técnica de resolução 
 Devemos fatorar o numerador e o denominador e simplificar a função.
ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS
Assíntota vertical
 A linha reta vertical 
 é chamada de assíntota vertical do gráfico da função 
 se pelo menos uma das condições seguintes for válida:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Assíntota horizontal
 A linha reta horizontal 
 é chamada de assíntota horizontal do gráfico da função 
 se pelo menos uma das condições seguintes for válida:
		
	
 	
	
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
Aplicação na Geometria Analítica
Observando o gráfico cartesiano de uma função y = f(x),
�
Temos:
s 
 reta secante a curva
t 
 reta tangente a curva no ponto A,
 (considerando o triângulo retângulo ABC),
	Observamos que quando 
, o ponto B tenderá ao ponto A e a reta secante s tenderá à reta tangente t; como conseqüência, o ângulo 
 tenderá para 
, e teremos:
Como:
 
 Coeficiente angular da reta t
Teremos:
 no ponto x = 
teremos 
 ou seja
Coeficiente angular da reta t = derivada de f(x) no ponto A
Logo podemos afirmar que:
:
	
“A derivada de uma função y = f(x) no ponto A, quando existe, é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico cartesiano da função y = f(x) no ponto A de abscissa 
”.
Crescimento e decrescimento de funções
“Se f´(x) > 0 para todo 
, então f é estritamente crescente (E.C) em 
”
“Se f´(x) , 0 para todo 
, então f é estritamente decrescente (E.D) em 
”
Concavidade e ponto de inflexão
“Se f´´(x) > 0 para todo 
, então f tem concavidade voltada para cima (C.V;C) em 
”
“Se f´´(x) < 0 para todo 
, então f tem concavidade voltada para baixo (C.V;B) em 
”
“Se f´´(x) tem sinais distintos nos intervalos
 e 
e se f é contínua em c, então c é um ponto de inflexão (P.I) da função f”
Localização de pontos de máximo e mínimo
Critério geral
“
n par e 
n par e 
n impar 
 
 não é ponto de mínimo nem ponto de máximo de f.”
Representação gráfica
Roteiro
Determinar o domínio de f (caso ele não venha especificado);
Determinar os intervalos nos quais f é estritamente crescente (E.C) e aqueles nos quais f é estritamente decrescente (E.D) ;
Determinar os pontos de máximo (P.M) e os ponto de mínimo (P.m) de f,caso existam, e os respectivos valores máximos e mínimos;
Determinar os intervalos nos quais f tem concavidade voltada para cima (C.V.C) e aqueles nos quais f tem concavidade voltada para baixo (C.V.B) ;
Determinar os pontos de inflexão (P.I), caso existam, e os respectivos valores de f;
Determinar os limites laterais de f nos pontos de descontinuidade, caso tais pontos existam;
determinar os limites para 
, caso isso seja possível no domínio de f.
EXERCICIOS
Usando uma folha quadrada de cartolina de lado 40 cm , deseja-se construir uma caixa sem tampa, cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível.
Uma cerca de um metro de altura esta situada a uma distancia de um metro da parede lateral de um galpão. Qual o comprimento da menor escada cujas extremidades se apoiam na parede e no chão do lado de fora da cerca.
Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um rio e nos outros três lados por uma cerca elétrica feita de um fio. Com 800 metros de fio a disposição, qual e a maios área que você pode cercar e quais as suas dimensões.
 Para construir uma caixa retangular aberta com uma folha de papelão de 8 por 15 polegadas recortando quadrados congruentes dos vértices da folha e dobrando suas bordas para cima. Quais as dimensões da caixa de maior volume e qual o volume.
Para construir uma caixa retangular com tampa. Usando uma folha de papelão de 10 por 15 polegadas recortando dois quadrados congruentes dos vértices de um lado que tem 10 polegadas. Dois retângulos iguais são recortados dos outros vértices de modo que as abas possam ser dobradas para formar a caixa. Qual o volume Maximo da caixa.
Uma agencia de turismo esta organizando um serviço de barcas, de uma ilha situada a 40 km de uma costa quase reta, para uma cidade que dista 100 km, (comentar com o professor como fica a figura). Se a barca tem uma velocidade de 18 km por hora e os carros tem velocidade media de 50 km por hora, onde devera estar situada a estação das barcas a fim de tornar a viagem mais rápida possível
INTEGRAÇÃO
Ao processo de determinação de uma função a partirde sua derivada dá-se o nome de CALCULO DAS PRIMITIVAS ou INTEGRAÇÃO.
“Uma função 
 para qual 
,
 para todo x pertencente ao domínio de 
é uma primitiva (ou integral indefinida) de 
”.
Uma função possui mais de uma primitiva. Por exemplo, 
é uma primitiva da função 
, pois,
			
.
Da mesma forma, 
 também é uma primitiva de 
, pois a derivada da constante 8 é zero e
			
 .
Em geral se 
 for uma primitiva de 
.Qualquer função obtida ao acrescentarmos uma constante a 
, também será primitiva de 
. Na realidade, podemos obter todas as primitivas de 
 somando constantes a qualquer primitiva de 
.
Se 
 forem primitivas de 
, existe uma constante c tal que 
Notação de Integração
Costuma-se escrever
				
para exprimir o fato de toda primitiva de 
 ser da forma 
.
Por exemplo:
Para expressar o fato de toda a primitiva de 
 ser da forma 
 escrevemos:
				
INTEGRAL INDEFINIDA
“
, se e somente se, 
, para todo x pertencente ao domínio de 
”.
REGRAS DE INTEGRAÇÃO
Regra da potência para integrais
Exemplo:
Determine a integral indefinida:
a) 
		b) 
			c) 
d) 
		e) 
			f) 
g) 
		h) 
		i) 
j) 
		l) 
			m) 
n) 
		o) 
			p) 
Regra da constante multiplicada para integrais
Exemplo:
Determine a integral indefinida:
a) 
		b) 
		c) 
d) 
	e) 
		f) 
g) 
		h) 
		i) 
j) 
		l) 
			m) 
n) 
		o) 
			p) 
q) 
	r) 
			s) 
t) 
	u) 
			v) 
Regra da soma para integrais
	
Exemplo:
Determine a integral indefinida:
na) 
				b) 
			
c) 
			d) 
			
e) 
 	f) 
			
g) 
			h) 
Regra para integral de 
	
Regra para integral de 
 
	
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Formula da integral para a regra da cadeia
Integração por substituição (mudança de variável)
1° passo : Introduzir a letra 
 a fim de representar alguma expressão em 
 escolhida;
2° passo: Representar a integral em forma de 
 . Para reescrever 
 , calcula-se 
 e extrai-se algebricamente o valor de 
 , como se o símbolo 
 fosse um quociente;
3° passo : calcular a integral resultante e, a seguir, substituir 
 , na resposta, por sua expressão em termos de 
.
Exemplo:
Determine a integral indefinida:
a) 
		b) 
		c) 
d) 
		e) 
 		 f) 
		
g) 
		h) 
		i) 
j) 
			l) 
		m) 
Integração por partes
	
1° passo: Selecionar, dentre os fatores do produto, o que será integrado e o que será derivado;
2° passo: Integrar o fator para tanto selecionado e multiplicá-lo pelo outro fator;
3° passo: Derivar o fator para tanto selecionado, multiplicá-lo pelo fator integrado (obtido no 2° passo) e substituir, do resultado encontrado no 2° passo, a integral desse produto;
4° passo: Completar o procedimento, calculando a nova integral surgida no 3° passo.
Exemplo:
Determine a integral indefinida:
a) 
			b) 
			c) 
d) 
		e) 
			f) 
g) 
			h) 
		i) 
j) 
		l) 
		m) 
Exercícios:
Determine a integral indefinida:
a) 
				b) 
			
c) 
				d) 
		
e) 
				f) 
		
g) 
 					h) 
		
j) 
					k) 
l) 
					m) 
	
n) 
						o) 
			
p) 
					q) 
s) 
					t) 
		
	
Tabela de Integrais Imediatas
		
				
	
					
				
			
		
			
EXERCICIOS
Determine as integrais indefinidas:
 
INTEGRAL DEFINIDA
A integral definida de 
 de 
 até 
 é a diferença 
		
 
Onde 
 é a primitiva de 
 .
Quer dizer: A integral definida é a variação líquida da primitiva, entre 
 e 
Exemplo:
Determine a integral definida:
a) 		b) 
	c) 
d) 
	e) 
		 f) 
		
g) 	h) 		i) 
j) 
			l) 		m) 
n) 
	o) 
	p) 
q) 		r) 
		s) 
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