03 Vetores TA P2

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Vetores 
Tratamento Algébrico 
 
 
Professor: Raphael Borges da Nóbrega 
Vetores no Plano 
Ponto Médio 
 
Seja o segmento de extremos 𝐴 𝑥1, 𝑦1 e 𝐵 𝑥2, 𝑦2 . O ponto 
médio 𝑀 𝑥, 𝑦 de AB pode ser expresso por: 
𝐴𝑀 = 𝑀𝐵 
𝑀
𝑥1 + 𝑥2
2
,
𝑦1 + 𝑦2
2
 
Vetores no Plano 
Ponto Médio 
 
Exemplo 1: Considere o paralelogramo ABCD de diagonais AC e 
BD. Seja M o ponto médio de AC. 
 
a) Prove que as diagonais do paralelogramo possuem 
o mesmo ponto médio. 
 
b) Seja 𝐴(2,1), 𝐵(5,2) e 𝑀(4,3); determine os vértices 
C e D. 
Vetores no Plano 
Paralelismo de Vetores 
 
Dois vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 e 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2 são paralelos se existe 
um número real 𝛼 tal que: 
 
𝑢 = 𝛼 ∙ 𝑣 
 
𝑥1
𝑥2
=
𝑦1
𝑦2
 𝑥2 ≠ 0 𝑒 𝑦2 ≠ 0 
𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠ã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑠𝑢𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑒𝑚 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠. 
Vetores no Plano 
Paralelismo de Vetores 
 
Exemplo 2: Verifique se os vetores 𝑢 = −2,3 e 𝑣 = −4,6 
são paralelos. 
Vetores no Plano 
Módulo de um Vetor 
 
Seja o segmento de extremos 𝐴 𝑥1, 𝑦1 e 𝐵 𝑥2, 𝑦2 . 
𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1 
𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 ² 
P 
Vetores no Plano 
Vetor Unitário 
 
Um vetor é unitário se 
 
 
𝐴𝐵 = 1 
 
 
Exemplo 3: Verifique se os vetores são unitários 
 
a) 𝑖 = (1,0) 
 
b) 𝑣 = (1,1) 
 
Vetores no Plano 
Versor de um Vetor 
 
O versor 𝑢 é um vetor unitário que possui a mesma direção e o 
mesmo sentido de 𝑣 . 
 
Condições 
 
I. 𝑢 // 𝑣 
 
II. 𝑢 = 1 
 
III. 𝑀𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 
𝑢 = 
𝑣
𝑣
 
Vetores no Plano 
Paralelismo de Vetores 
 
Exemplo 4: Dado o vetor 𝑣 = −2,1 , determinar o vetor 
paralelo a 𝑣 que tenha: 
 
a) o mesmo sentido de 𝑣 e três vezes o módulo de 𝑣 ; 
 
b) sentido contrário ao de 𝑣 e metade do módulo de 𝑣 ; 
 
c) Sentido contrário ao de 𝑣 e módulo 2. 
Vetores no Plano 
Paralelismo de Vetores 
 
Exemplo 5: Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo 
ABCD para: 
 
𝐴 5,1 , 𝐵 7,3 , 𝐶(3,4) 
Vetores no Espaço 
Base Canônica 
 
𝑖 = 1,0,0 
𝑗 = 0,1,0 
𝑘 = 0,0,1 
 
𝐶 = {𝑖 , 𝑗 , 𝑘} 
 
 
Vetores no Espaço 
Expressão Analítica 
 
𝑂𝑃 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 
 
ou 
 
𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
Vetores no Espaço 
Operação de Vetores 
 
Soma de Vetores 
 
Sejam: 
𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 
𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) 
 
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2) 
Vetores no Espaço 
Operação de Vetores 
 
Multiplicação de Vetor por um Número 
 
Seja: 
𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 
 
 
𝜶 ∙ 𝑢 = (𝜶 ∙ 𝑥1, 𝜶 ∙ 𝑦1, 𝜶 ∙ 𝑧1) 
Vetores no Espaço 
Paralelismo de Vetores 
 
Dois vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 e 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 são paralelos se 
existe um número real 𝛼 tal que: 
 
𝑢 = 𝛼 ∙ 𝑣 
 
𝑥1
𝑥2
=
𝑦1
𝑦2
=
𝑧1
𝑧2
 𝑥2 ≠ 0, 𝑦2 ≠ 0 𝑒 𝑧2 ≠ 0 
𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠ã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑠𝑢𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑒𝑚 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠. 
Vetores no Espaço 
Módulo de um Vetor 
 
Seja o segmento de extremos 𝐴 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 e 𝐵 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 . 
 
 
 
 
 
Ponto Médio 
 
O ponto médio 𝑀 𝑥, 𝑦, 𝑧 do segmento AB pode ser expresso 
por: 
𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 ² + 𝑧2 − 𝑧1 2 
𝑀
𝑥1 + 𝑥2
2
,
𝑦1 + 𝑦2
2
,
𝑧1 + 𝑧2
2
 
Vetores no Espaço 
Vetor Unitário 
 
 
 
 
Versor 
 
𝑣 = 1 
𝑢 = 
𝑣
𝑣
 
Atividade 
 
Livro: Winterle, P. Vetores e Geometria Analítica 
 
Questões: (Entregar até 05/07/16) 
 
Capítulo 1 – Vetores 
 
Problemas Propostos: Pag 41 a 45 
 
2 – 6 – 11 – 15 – 16(e,g,h) – 21 – 37 – 38 – 56