08 Plano P1

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O Plano 
 
 
Professor: Raphael Borges da Nóbrega 
O Plano 
Equação Geral do Plano: 
 
𝑛⏊𝜋 
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∙ 𝑥 − 𝑥1, 𝑦 − 𝑦1, 𝑧 − 𝑧1 = 0 
𝑛 ∙ 𝐴𝑃 = 0 
∴ 𝑛: Vetor normal ao plano 
𝐷𝑒𝑠𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: 
𝑛 ∙ 𝑃 − 𝐴 = 0 
𝐴 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 
𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) 
O Plano 
Equação Geral do Plano: 
 
𝑛⏊𝜋 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 − 𝑎𝑥1 − 𝑏𝑦1 − 𝑐𝑧1 = 0 
𝐴 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 
𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) 
𝑛 ∙ 𝐴𝑃 = 0 
∴ 𝑛: Vetor normal ao plano 
𝐷𝑒𝑠𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: 
d 
O Plano 
Equação Geral do Plano: 
 
𝑛⏊𝜋 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 
𝐴 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 
𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) 
𝑛 ∙ 𝐴𝑃 = 0 
∴ 𝑛: Vetor normal ao plano 
𝐷𝑒𝑠𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: 
𝑬𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝑮𝒆𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒐 𝑷𝒍𝒂𝒏𝒐 
O Plano 
Equação Geral do Plano: 
 
 
Exemplo 1: Obter uma equação do plano π 
que passa pelo ponto A(2,-1,3) e tem vetor 
normal 𝑛 = ( 3, 2, −4). 
 
 
O Plano 
Equação Geral do Plano: 
 
 
Exemplo 2: Obter uma equação do plano π 
que passa pelo ponto A(2,1,3) e é paralelo 
ao plano: 
 
 
 
 
𝜋1: 3𝑥 − 4𝑦 − 2𝑧 + 5 = 0 
O Plano 
Equação Geral do Plano: 
 
Exemplo 3: Determine a equação geral do 
plano π que passa pelo ponto A(2,1,-2), tal 
que a reta: 
 
 
 
é ortogonal ao plano. 
 
 
 
𝑟: 
𝑥 = 5 + 3𝑡
𝑦 = −4 + 2𝑡
𝑧 = 1 + 𝑡
 
O Plano 
Equação Geral do Plano: 
 
Se o plano intercepta os eixos 
coordenados em: 
𝑬𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝑺𝒆𝒈𝒎𝒆𝒏𝒕á𝒓𝒊𝒂 
𝒅𝒐 𝑷𝒍𝒂𝒏𝒐
 
𝐴1(𝑝, 0, 0) 
𝐴2(0, 𝑞, 0) 
𝐴3(0, 0, 𝑟) 
𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝 ∙ 𝑞 ∙ 𝑟 ≠ 0 
𝑥
𝑝
 + 
𝑦
𝑞
 + 
𝑧
𝑟
= 1 
O Plano 
Equação Vetorial do Plano: 
 
𝐴 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 
𝑢 = 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 
𝑣 = 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 
𝐴𝑃, 𝑢, 𝑣 
𝑺ã𝒐 𝒄𝒐𝒑𝒍𝒂𝒏𝒂𝒓𝒆𝒔! 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑃 ∈ 𝜋 ∶ 
𝐴𝑃, 𝑢, 𝑣 = 0 
O Plano 
Equação Vetorial do Plano: 
 
𝑬𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝑽𝒆𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍 
𝐴 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 
𝑢 = 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 
𝑣 = 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 
𝑃 ∈ 𝜋 𝑠𝑒, 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒, 
𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 ℎ 𝑒 𝑡, 𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒: 
𝐴𝑃 = ℎ𝑢 + 𝑡𝑣 
𝑃 = 𝐴 + ℎ𝑢 + 𝑡𝑣 
𝑜𝑢 
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + ℎ 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 + 𝑡 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 
𝑜𝑢 
O Plano 
Equações Paramétricas do Plano: 
 
𝐴 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 
𝑢 = 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 
𝑣 = 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 
𝐷𝑒: 
𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥0 + ℎ𝑎1 + 𝑡𝑎2, 
 𝑦0 + ℎ𝑏1 + 𝑡𝑏2, 
 𝑧0 + ℎ𝑐1 + 𝑡𝑐2) 
𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝑷𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔
𝒅𝒐 𝑷𝒍𝒂𝒏𝒐
 
Obtém-se 
 
 
𝑥 = 𝑥0 + ℎ𝑎1 + 𝑡𝑎2
𝑦 = 𝑦0 + ℎ𝑏1 + 𝑡𝑏2
𝑧 = 𝑧0 + ℎ𝑐1 + 𝑡𝑐2
 
O Plano 
Equações Paramétricas do Plano: 
 
Exemplo 4: Dado o plano π determinado 
pelos pontos A(1,-1,2), B(2,1,-3), C(-1,-2,6), 
obtenha um sistema de equações 
paramétricas e uma equação geral de π. 
 
 
 
 
 
 
𝑣 
𝑢 
𝑛 = 𝑢 𝑥 𝑣 
𝐴 
𝐵 
𝐶 
𝜋 
𝑣 
𝑢 
𝐴 
𝐵 
𝐶 
𝑃 
𝜋 
O Plano 
Equações Paramétricas do Plano: 
 
Exemplo 5: Dado o plano π de equação: 
 2x – y – z + 4 = 0, 
determinar um sistema de equações 
paramétricas de π 
 
 
 
 
 
O Plano 
Equações Paramétricas do Plano: 
 
Exemplo 6: Determinar uma equação geral 
do plano π que contenha as retas: 
 
 
 
 
𝑟2: 
𝑥 = 2𝑡
𝑦 = 2𝑡 + 3
𝑧 = −6𝑡 + 1
 
𝑟1: 
𝑦 = 𝑥 + 1
𝑧 = −3𝑥 − 2
 
O Plano 
Equações Vetorial de um Paralelogramo: 
 
Sejam A, B e C pontos não 
alinhados: 
𝑃 = 𝐴 + ℎ(𝐴𝐵) + 𝑡(𝐴𝐶) 
𝑀 𝑁 
𝐷 
𝐵 𝐴 
𝐶 
𝐶𝑜𝑚 ℎ, 𝑡 ∈ [0,1] 
O Plano 
Casos Particulares da Equação Geral do Plano: 
 
Considere a equação geral: 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 
3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 − 12 = 0 
Intercepta os eixos coordenados em: 
𝐴1(4, 0, 0) 
𝐴2(0, 3, 0) 
𝐴3(0, 0, 6) 
O Plano 
Casos Particulares da Equação Geral do Plano: 
 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 
3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 0 
1) d = 0 
• Plano paralelo passando pela 
origem. 
O Plano 
Casos Particulares da Equação Geral do Plano: 
 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 
4𝑦 + 2𝑧 − 12 = 0 
2) a = 0 ou b = 0 ou c = 0 
• Plano paralelo a Ox, Oy ou Oz. 
𝑎 = 0 
O Plano 
Casos Particulares da Equação Geral do Plano: 
 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 
3𝑥 + 2𝑧 − 12 = 0 
2) a = 0 ou b = 0 ou c = 0 
• Plano paralelo a Ox, Oy ou Oz. 
𝑏 = 0 
O Plano 
Casos Particulares da Equação Geral do Plano: 
 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 
3𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0 
2) a = 0 ou b = 0 ou c = 0 
• Plano paralelo a Ox, Oy ou Oz. 
𝑐 = 0 
O Plano 
Casos Particulares da Equação Geral do Plano: 
 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 
4𝑦 + 2𝑧 = 0 
3) a = 0 e d = 0 
• Plano pela origem contendo o 
eixo Ox. 
𝑎 = 𝑑 = 0 
O Plano 
Casos Particulares da Equação Geral do Plano: 
 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 
2𝑧 − 12 = 0 𝑜𝑢 𝑧 = 6 
4) Duas coordenadas do vetor normal 
nulas 
• Plano paralelo ao plano xOy 
• Intercepta o eixo Oz. 
𝑎 = 𝑏 = 0 
O Plano 
Casos Particulares da Equação Geral do Plano: 
 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 
4𝑦 − 12 = 0 𝑜𝑢 𝑦 = 3 
4) Duas coordenadas do vetor normal 
nulas 
• Plano paralelo ao plano xOz 
• Intercepta o eixo Oy. 
𝑎 = 𝑐 = 0 
O Plano 
Casos Particulares da Equação Geral do Plano: 
 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 
3𝑥 − 12 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 4 
4) Duas coordenadas do vetor normal 
nulas 
• Plano paralelo ao plano yOz 
• Intercepta o eixo Ox. 
𝑏 = 𝑐 = 0 
O Plano 
Ângulo entre dois planos: 
 
cos 𝜃 = 
𝑛1 ∙ 𝑛2
𝑛1 𝑛2
 
θ – Menor ângulo 
formado entre um vetor 
normal de 𝜋1 e um vetor 
normal de 𝜋2 
0 ≤ 𝜃 ≤ 90°