10 Conicas Parabola

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Cônicas 
 
 
Professor: Raphael Borges da Nóbrega 
Cônicas 
• As retas e e g são concorrentes 
em O e não-perpendiculares; 
 
• A reta e permanece fixa e g 
gira 360º em torno de e, 
mantendo constante o ângulo 
entre as retas. 
• Reta g : Geratriz; 
• Reta e : Eixo. 
Cônicas 
Seção Cônica 
Conjunto de pontos que formam a intersecção de um 
plano com a superfície cônica. 
Cônicas 
Quando a superfície é seccionada por 
um plano 𝜋 qualquer que NÃO passa 
pelo vértice O, obtêm-se: 
 
• Parábola 
 𝜋//𝑔 
 
• Elipse 
 𝜋 não é paralelo à geratriz; 
 𝜋 intercepta apenas uma 
das folhas da superfície. 
Cônicas 
Quando a superfície é seccionada por 
um plano 𝜋 qualquer que NÃO passa 
pelo vértice O, obtêm-se: 
 
• Circunferência 
 𝜋⏊𝑒 
 
• Hipérbole 
 𝜋 não é paralelo à geratriz; 
 𝜋 intercepta as duas folhas 
da superfície. 
Cônicas 
Cônicas Degeneradas 
Quando a superfície é seccionada por um plano 𝜋 
qualquer que passa pelo vértice O, obtêm-se: 
𝑈𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑈𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝐷𝑢𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑠 
Parábola 
Definição 
 
Conjunto de todos os 
pontos de um plano 
equidistantes de um 
ponto fixo (F) e de uma 
reta fixa (d) desse plano. 
𝑑 𝑃, 𝐹 = 𝑑(𝑃, 𝑑) 
𝑜𝑢 
𝑑 𝑃, 𝐹 = 𝑑(𝑃, 𝑃′) 
Parábola 
Elementos 
 
1. Foco; 
 Ponto F. 
2. Diretriz; 
 Reta d. 
3. Eixo; 
 Reta e que passa por F 
e 𝑒⏊𝑑. 
4. Vértice. 
 Ponto V de intersecção 
da parábola com o eixo. 
𝑑 𝑃, 𝐹 = 𝑑(𝑃, 𝑑) 
𝑜𝑢 
𝑑 𝑃, 𝐹 = 𝑑(𝑃, 𝑃′) 
Parábola 
Equações Reduzidas 
 
1. Eixo da parábola é o eixo dos y; 
𝐹𝑃 = 𝑃′𝑃 
𝑥² = 2𝑝 ∙ 𝑦 
Parábola 
Equações Reduzidas 
 
1. Eixo da parábola é o eixo dos y; 
Observações: 
 
• 𝑷𝒂𝒓â𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒂 𝒑𝒂𝒓á𝒃𝒐𝒍𝒂: 
𝒑 ≠ 𝟎 
 
• 𝒑 > 𝟎 ∶ 𝑨𝒃𝒆𝒓𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒊𝒎𝒂; 
 
• 𝒑 < 𝟎 ∶ 𝑨𝒃𝒆𝒓𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒃𝒂𝒊𝒙𝒐. 
Parábola 
Equações Reduzidas 
 
2. Eixo da parábola é o eixo dos x; 
𝐹𝑃 = 𝑃′𝑃 
𝑦² = 2𝑝 ∙ 𝑥 
Parábola 
Equações Reduzidas 
 
2. Eixo da parábola é o eixo dos y; 
Observações: 
 
• 𝑷𝒂𝒓â𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒂 𝒑𝒂𝒓á𝒃𝒐𝒍𝒂: 
𝒑 ≠ 𝟎 
 
• 𝒑 > 𝟎 ∶ 𝑨𝒃𝒆𝒓𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒊𝒕𝒂; 
 
• 𝒑 < 𝟎 ∶ 𝑨𝒃𝒆𝒓𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒂 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒆𝒓𝒅𝒂. 
Parábola 
 
Exemplo 1: Esboçar o gráfico e encontrar o 
foco e uma equação da diretriz para: 
 
a) 𝑥² = 8𝑦 
 
b) 𝑥 = −
1
2
𝑦² 
 
 
 
 
𝐿𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑎 
Parábola 
 
Exemplo 1: Esboçar o gráfico e encontrar o 
foco e uma equação da diretriz para: 
 
a) 𝑥² = 8𝑦 
 
b) 𝑥 = −
1
2
𝑦² 
 
 
 
 
𝐿𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑏 
Parábola 
 
Exemplo 2: Esboçar o gráfico e obter uma 
equação da parábola que satisfaça as 
condições: 
 
a) 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑉 0,0 𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑜 𝐹(1,0) 
b) 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑉 0,0 𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑦 = 3 
c) 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑉 0,0 , passa pelo ponto P −2,5 
𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎. 
 
 
 
Parábola 
Exemplo 2: Esboçar o gráfico e obter uma 
equação da parábola que satisfaça as 
condições: 
 
 
𝐿𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑎 𝐿𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑏 𝐿𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑐 
Parábola 
Translação de eixos 
O 
y 
x 
𝑃(x,y) 
y 
x 
k 
h 
y’ 
x’ 
𝑃(x’,y’) 
y’ 
x’ 
O’ 
𝑥 = 𝑥′ + ℎ 𝑒 𝑦 = 𝑦′ + 𝑘 
𝑥′ = 𝑥 − ℎ 𝑒 𝑦′ = 𝑦 − 𝑘 
Parábola 
Translação de eixos 
𝑥′² = 2𝑝 ∙ 𝑦′ 
(𝑥 − ℎ)² = 2𝑝 ∙ (𝑦 − 𝑘) 
Parábola 
 
Exemplo 3: Seja a parábola de vértice 
V(4,2) e foco F(1,2). Faça um esboço do 
gráfico e determine sua equação. 
 
 
 
 
 
Parábola 
Equação da Parábola 
 
Eixo da parábola coincide ou é paralelo a um dos eixos 
coordenados, tem-se: 
𝑎𝑥² + 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑓 = 0 ∴ 𝑎 ≠ 0 
𝑏𝑦² + 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑓 = 0 ∴ 𝑏 ≠ 0 
𝑜𝑢 Equação Geral 
Parábola 
Equação da Parábola 
 
Eixo da parábola coincide ou é paralelo a um dos eixos 
coordenados, tem-se: 
𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 ∴ 𝑎 ≠ 0 
𝑥 = 𝑎𝑦² + 𝑏𝑦 + 𝑐 ∴ 𝑎 ≠ 0 
𝑜𝑢 Equação 
Explícita 
Parábola 
 
Exemplo 4: Dada a parábola de equação 
 
𝑦² + 6𝑦 − 8𝑥 + 17 = 0 
 
determine: 
 
a) Equação reduzida; 
b) Vértice; 
c) Esboço do gráfico; 
d) Foco e uma equação 
da diretriz; 
e) Equação do eixo. 
 
 
 
 
 
Parábola 
Equações Paramétricas 
 
Considere as equações reduzidas: 
 
 
Se x = t Se y = t 
𝑥² = 2𝑝 ∙ 𝑦 
 
𝑥 = 𝑡
𝑦 =
1
2𝑝
𝑡² 
𝑦² = 2𝑝 ∙ 𝑥 
 
𝑥 =
1
2𝑝
𝑡²
𝑦 = 𝑡
 
Parábola 
 
Exemplo 5: Obter equações paramétricas 
da parábola de equação: 
 
(𝑦 − 3)² = 2(𝑥 + 2) 
 
 
 
 
Parábola 
Atividade 
Questão 1: Construa o gráfico e encontre o foco e uma equação da diretriz 
para as seguintes parábolas: 
 
𝑎) 𝑦² + 3𝑥 = 0 𝑏) 𝑦 =
𝑥2
16
 𝑐) 2𝑦² − 9𝑥 = 0 
 
 
Questão 2: Construa o gráfico e obtenha uma equação da parábola que 
satisfaça: 
𝑎) 𝐹𝑜𝑐𝑜: 𝐹 0,−
1
4
; 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑: 4𝑦 − 1 = 0 
 
𝑏) 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒: 𝑉 −2,3 ; 𝐸𝑖𝑥𝑜: 𝑥 + 2 = 0; 𝑃𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑃 2,0 
 
c) Vértice: V −2, 3 ; Foco: F(−2, 1) 
 
 
 
 
 
Parábola 
Atividade 
Questão 3: Dada a parábola de equação 
𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 + 5 
determine: 
a) O vértice; 
b) As intersecções com os eixos 
coordenados; 
c) O gráfico; 
d) O foco; 
e) Uma equação da diretriz. 
 
Questão 4: O arco DC é parabólico e o 
segmento AB está dividido em 8 partes 
iguais. Determinar ℎ1 e ℎ2 sabendo que: 
• d = 10 m 
• AD = BC = 50 m 
• AB = 80m