11 Rotação de Eixos

Prévia do material em texto

Rotação de 
Eixos 
 
 
Professor: Raphael Borges da Nóbrega 
Rotação de Eixos 
Considerem o sistema de coordenadas 𝑥𝑂𝑦, e seja 𝑥1𝑂𝑦1 o 
sistema de coordenadas obtido de 𝑥𝑂𝑦 por uma rotação 
de um ângulo 𝜃 ∈ (0,
𝜋
2
), no sentido anti-horário. 
𝜃 
𝜃 
𝑥1 
𝑦1 
𝑢1 
𝑢2 
P 
y 
x O 𝑒1 
𝑒2 
 
𝑒1 = (1,0)
𝑒2 = (0,1)
 
𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑂𝑃: 
𝑂𝑃 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒1 + 𝑦𝑒2 
𝑒 
𝑂𝑃 = 𝑥1, 𝑦1 = 𝑥1𝑢1 + 𝑦1𝑢2 
Logo, 
 
𝑥𝑒1 + 𝑦𝑒2 = 𝑥1𝑢1 + 𝑦1𝑢2 
1 
Rotação de Eixos 
Considerem o sistema de coordenadas 𝑥𝑂𝑦, e seja 𝑥1𝑂𝑦1 o 
sistema de coordenadas obtido de 𝑥𝑂𝑦 por uma rotação 
de um ângulo 𝜃 ∈ (0,
𝜋
2
), no sentido anti-horário. 
𝜃 
𝜃 
𝑥1 
𝑦1 
𝑢1 
𝑢2 
P 
y 
x O 𝑒1 
𝑒2 
 
𝑢1 = (cos 𝜃 , 𝑠𝑒𝑛 𝜃) = cos 𝜃 𝑒1 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑒2
𝑢2 = (−sen𝜃 , 𝑐𝑜𝑠 𝜃) = −sen𝜃 𝑒1 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑒2
 
2 
Rotação de Eixos 
Substituindo em 1 2 
𝑥𝑒1 + 𝑦𝑒2 = 𝑥1(cos 𝜃 𝑒1 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑒2) + 𝑦1(−sen𝜃 𝑒1 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑒2) 
 
𝑥 = 𝑥1 cos 𝜃 − 𝑦1𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑦 = 𝑥1 sen 𝜃 + 𝑦1𝑐𝑜𝑠 𝜃
 
𝑥1 = 𝑥 cos 𝜃 + 𝑦𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑦1 = −𝑥 sen 𝜃 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝜃
 
Forma Matricial: 
𝑥
𝑦 =
cos 𝜃 −𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃
∙
𝑥1
𝑦1
 
𝑥1
𝑦1
=
cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃
−𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃
∙
𝑥
𝑦 
Rotação de Eixos 
Observação: 
 
Dada a equação 
 
𝑎𝑥² + 𝑏𝑦² + 𝑐𝑥𝑦 + 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓 = 0 
 
é possível eliminar o termo 𝑥𝑦 com uma rotação de eixos com: 
 
• 𝜃 =
𝜋
4
 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠, 𝑠𝑒 𝑎 = 𝑏 
 
• 𝜃 =
1
2
arctan
𝑐
𝑎−𝑏
, 𝑠𝑒 𝑎 ≠ 𝑏 
 
 
 
Rotação de Eixos 
Observação: 
 
Substituindo por: 
 
 
 
Obtemos: 
 
𝑥 = 𝑥1 cos 𝜃 − 𝑦1𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑦 = 𝑥1 sen 𝜃 + 𝑦1𝑐𝑜𝑠 𝜃
 
Rotação de Eixos 
Observação: 
Desenvolvendo 
 
 
 
 
 
Colocando 𝑥1², 𝑦1², 𝑥1𝑦1, 𝑥1 𝑒 𝑦1 em evidência: 
Rotação de Eixos 
Observação: 
 
 
 
 
• 1º 𝐶𝑎𝑠𝑜: 𝜃 =
𝜋
4
 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠, 𝑠𝑒 𝑎 = 𝑏 
 
 
Rotação de Eixos 
Observação: 
 
 
 
 
• 2º 𝐶𝑎𝑠𝑜: 𝜃 =
1
2
arctan
𝑐
𝑎−𝑏
, 𝑠𝑒 𝑎 ≠ 𝑏 
 
 
 
𝑏 − 𝑎 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + c ∙ cos 2𝜃 = 0 
Logo, 
𝑠𝑒𝑛 2𝜃
cos 2𝜃
=
𝑐
𝑎 − 𝑏
 
Assim, 
tan 2𝜃 =
𝑐
𝑎 − 𝑏
 
 
 
 
 
Rotação de Eixos 
Exemplo 1: Determine as coordenadas do ponto 𝑃(6,4) em 
relação ao sistema de eixos obtido pela rotação no sistema 
𝑥𝑂𝑦 de um ângulo de 
𝜋
3
 radianos. 
 
 
𝑥1 = 6cos
𝜋
3
+ 4𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
𝑦1 = −6sen
𝜋
3
+ 4𝑐𝑜𝑠
𝜋
3
 
 
𝑥1 = 𝑥 cos 𝜃 + 𝑦𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑦1 = −𝑥 sen 𝜃 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝜃
 
 
𝑥1 = 3 + 2 3
𝑦1 = −3 3 + 2
 
Rotação de Eixos 
Exemplo 2: Usando uma rotação de eixos conveniente, 
transforme a equação 
 
4𝑥² + 𝑦² + 4𝑥𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 = 0 
 
Em uma que não contenha o termo em 𝑥𝑦. Construa o gráfico 
da equação em relação ao sistema 𝑥𝑂𝑦. 
Rotação de Eixos 
Exemplo 2: Resposta 
 
1. Encontrar 𝜃 
 
 
𝜃 =
1
2
arctan
4
4 − 1
=
1
2
arctan
4
3
 (𝜃 ≈ 26°33′) 
 
 
Rotação de Eixos 
Exemplo 2: Resposta 
 
2. Encontrar 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑒 cos 𝜃 
 
 
 
Prova: 
 
2 cos² 𝜃 = 1 +
𝑎 − 𝑏
𝑐² + (𝑎 − 𝑏)²
 
Rotação de Eixos 
Exemplo 2: Resposta 
 
2. Encontrar 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑒 cos 𝜃 
 
 
 
 
Rotação de Eixos 
Exemplo 2: Resposta 
 
2. Encontrar 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑒 cos 𝜃 
 
 
 
 
Rotação de Eixos 
Exemplo 2: Resposta 
 
2. Encontrar 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑒 cos 𝜃 
 
 
 
 
Rotação de Eixos 
Exemplo 2: Resposta 
 
3. Utilizar equações de rotação 
 
𝑥 = 𝑥1 cos 𝜃 − 𝑦1𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑦 = 𝑥1 sen 𝜃 + 𝑦1𝑐𝑜𝑠 𝜃
 
𝑥 =
2
5
𝑥1 −
1
5
𝑦1
𝑦 =
1
5
𝑥1 +
2
5
𝑦1
 
Rotação de Eixos 
Exemplo 2: Resposta 
 
3. Utilizar equações de rotação 
Rotação de Eixos 
Exemplo 3: Usando uma rotação de eixos conveniente, 
transforme a equação 
 
3𝑥² + 3𝑦² − 10𝑥𝑦 + 12 2𝑥 − 4 2𝑦 + 32 = 0 
 
Em uma que não contenha o termo em 𝑥𝑦. Construa o gráfico 
da equação em relação ao sistema 𝑥𝑂𝑦. 
Rotação de Eixos 
Exemplo 3: Resposta 
 
1. Encontrar 𝜃 
 
 
 
2. Encontrar 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑒 cos 𝜃 
𝜃 =
𝜋
4
 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑎 = 𝑏 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = cos 𝜃 =
2
2
 
Rotação de Eixos 
Exemplo 3: Resposta 
 
3. Utilizar equações de rotação 
 
𝑥 = 𝑥1 cos 𝜃 − 𝑦1𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑦 = 𝑥1 sen 𝜃 + 𝑦1𝑐𝑜𝑠 𝜃
 
𝑥 =
2
2
𝑥1 −
2
2
𝑦1
𝑦 =
2
2
𝑥1 +
2
2
𝑦1
 
Rotação de Eixos 
Exemplo 3: Resposta 
 
3. Utilizar equações de rotação 
Rotação de Eixos 
Exemplo 3: Resposta 
 
Gráfico 
Equação Geral do Segundo Grau 
Equação Geral 
𝑎𝑥² + 𝑏𝑦² + 𝑐𝑥𝑦 + 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓 = 0 
Observação 
¹ 𝑎, 𝑏 𝑜𝑢 𝑐 ≠ 0 
 
² Esta equação pode representar uma elipse, uma hipérbole, uma 
parábola, um par de retas, uma única reta, um ponto ou o conjunto 
vazio. 
 
Equação Geral do Segundo Grau 
Teorema Fundamental 
𝑎𝑥² + 𝑏𝑦² + 𝑐𝑥𝑦 + 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓 = 0 
Discriminante da equação: 
 
 
Condições: 
1. 𝛼 < 0: representa uma elipse, um único ponto ou nenhum lugar 
 geométrico; 
 
2. 𝛼 > 0: representa uma hipérbole ou um par de retas concorrentes; 
 
3. 𝛼 = 0: representa uma parábola, um par de retas paralelas, ou 
 apenas uma reta. 
𝜶 = 𝒄² − 𝟒𝒂𝒃 
Equação Geral do Segundo Grau 
Exemplo 4: Determine uma equação do segundo grau cujo 
gráfico seja o subconjunto constituído das retas 
 
𝑟: 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 
s: 2x − y + 4 = 0 
 
Resposta: 
 
O subconjunto das retas r e s é o gráfico de: 
 
(𝑥 + 𝑦 + 1) ∙ (2x − y + 4) = 0 
 
3𝑥² − 𝑦2 + 𝑥𝑦 + 6𝑥 + 3𝑦 + 4 = 0 
Equação Geral do Segundo Grau 
Exemplo 4: Resposta: 
 
 
y 
x 
O 
r 
s 
𝜶 = 𝟏² − 𝟒 ∙ 𝟑 ∙ (−𝟏) 
𝜶 = 𝟏𝟑 > 𝟎 
Equação Geral do Segundo Grau 
Exemplo 5: Considere as equações 
 
𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 e 2x + 2y − 2 = 0 
 
Estas equações representam a mesma reta. Determine uma 
equação do segundo grau. 
 
Resposta: 
(𝑥 + 𝑦 − 1) ∙ (2x + 2y − 2) = 0 
 
2𝑥² + 2𝑦2 − 4𝑥𝑦 − 4𝑥 − 4𝑦 + 2 = 0 
Equação Geral do Segundo Grau 
Exemplo 5: Resposta: 
 
 
y 
x 
O 
r 
𝜶 = (−𝟒)² − 𝟒 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 
𝜶 = 𝟎 
Equação Geral do Segundo Grau 
Exemplo 6: Considere a equação 
 
𝑥 − 1 2 + 𝑦 + 3 2 = 0 
 
 
 
 
Tal equação representa apenas o ponto (1,−3). 
𝑥² + 𝑦2 − 2𝑥 + 6𝑦 + 10 = 0 
𝜶 = 𝟎2 − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ 𝟏 
𝜶 = −𝟒 < 𝟎 
Equação Geral do Segundo Grau 
Exemplo 7: Considere a equações 
 
4𝑥² + 9𝑦² + 5 = 0 
 
 
O gráfico dessa função é o conjunto vazio, uma vez que tal 
equação não admite solução real. 
𝜶 = 𝟎2 − 𝟒 ∙ 𝟒 ∙ 𝟗 
𝜶 = −𝟏𝟒𝟒 < 𝟎 
Exercícios 
Determine o que as equações abaixo representam. Em seguida 
esboce seu gráfico (caso exista). 
 
a) 4𝑥² − 4𝑥𝑦 + 𝑦2 − 2𝑥 − 14𝑦 + 7 = 0 
b) 𝑦 =
3𝑥+1
2x+1
 , x ≠
1
2
 
c) 𝑥² + 4𝑦² − 2𝑥 − 8𝑦 + 4 = 0 
d) 𝑥𝑦 = 1 
e) 𝑥² − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 + 3 = 0 
f) 𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 
Data para entregar: 
 
27/09/2016