12 Superfícies Quadricas

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Superfícies 
Quádricas 
 
 
Professor: Raphael Borges da Nóbrega 
Superfícies Quádricas 
Definição 
 
Equação geral do 2º grau nas variáveis x, y e z 
𝑎𝑥² + 𝑏𝑦² + 𝑐𝑧² + 2𝑑𝑥𝑦 + 2𝑒𝑥𝑧 + 2𝑓𝑦𝑧 + 𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 + 𝑝𝑧 + 𝑞 = 0 
com pelo menos um dos coeficientes 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 𝑜𝑢 𝑓 ≠ 0, 
representa uma superfície quádrica. 
Superfícies Quádricas 
Definição 
 
• Da equação pode derivar: 
 
Uma cônica: Superfície quádrica for cortada pelos 
planos coordenados ou por planos paralelos a eles. 
 
Ex.: plano xy (z = 0) 
 
𝑎𝑥² + 𝑏𝑦² + 2𝑑𝑥𝑦 + 𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 + 𝑞 = 0 
 
• A interseção de uma superfície com um plano é 
chamado traço da superfície no plano. 
Superfícies Quádricas 
Tipos de Quádricas 
 
• Elipsóides 
 
• Hiperbolóides 
 Uma folha; 
 Duas folhas. 
 
• Parabolóides 
 Elíptico 
 Hiperbólico 
 
• Cones 
 
• Cilindro 
Superfícies Quádricas 
Superfícies de Revolução 
 
Gerada por uma curva plana (geratriz) que gira 360º em torno de 
uma reta (eixo) situada no plano da curva. 
• Ponto qualquer da superfície 
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 
 
• Centro da circunferência 
𝐶(0, 𝑦, 0) 
 
• Intersecção da parábola com a 
circunferência 
𝑄(0, 𝑦, 𝑧1) 
 
• Pé da perpendicular de P a xOy 
𝑅(𝑥, 𝑦, 0) 
 𝑧² = 2𝑦
𝑥 = 0
 
Superfícies Quádricas 
Superfícies de Revolução 
 
Gerada por uma curva plana (geratriz) que gira 360º em torno de 
uma reta (eixo) situada no plano da curva. 
• Raio da circunferência 
 
𝑟 = 𝐶𝑃 = 𝐶𝑄 
 
• Triângulo CRP 
 
𝐶𝑃 = 𝐶𝑅 2 + (𝑅𝑃)² 
𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 
𝐶𝑃 = 𝑥² + 𝑧² 
𝑧² = 2𝑦
𝑥 = 0
 
Superfícies Quádricas 
Superfícies de Revolução 
 
Gerada por uma curva plana (geratriz) que gira 360º em torno de 
uma reta (eixo) situada no plano da curva. 
Como 
 
𝐶𝑄 = 𝑧1 = 2𝑦 
 
Temos: 
 
𝑥² + 𝑧² = 2𝑦 
 𝑧² = 2𝑦
𝑥 = 0
 
𝑥² + 𝑧² = 2y 
Superfícies Quádricas 
Superfícies de Revolução 
 
Equação da superfície gerada 
 
Geratriz contida em um dos planos coordenados e gira 360º em 
torno de um dos eixos desse plano. 
 
 
 
Curva gira em 
torno do eixo 
Substituição 
Variável Correspondência 
x y ou z ± 𝑦² + 𝑧² 
y x ou z ± 𝑥² + 𝑧² 
z x ou y ± 𝑥² + 𝑦² 
Superfícies Quádricas 
Elipsóide 
𝑦²
𝑏²
+
𝑧²
𝑐²
= 1 , 𝑥 = 0 
Elipse Girar elipse em torno do eixo Oy 
𝑥²
𝑐²
+
𝑦²
𝑏²
+
𝑧²
𝑐²
= 1 
Superfícies Quádricas 
Elipsóide 
 
Forma Geral: 
 
 
 
 
 
 
Translação de eixos – C(h,k,l) 
 
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
+
𝑧²
𝑐²
= 1 
𝑥 − ℎ ²
𝑎²
+
𝑦 − 𝑘 ²
𝑏²
+
𝑧 − 𝑙 ²
𝑐²
= 1 
Superfícies Quádricas 
Elipsóide 
 
• Elipsóide de revolução: 
 
Pelo menos dois dos valores de a, b ou c são iguais. 
 
• Superfície esférica 
 
Ocorre quando a = b = c 
 
𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 𝑎² 
 
Superfícies Quádricas 
Elipsóide 
 
Características: 
 
Intersecção com qualquer plano paralelo aos planos coordenados 
pode ser: 
• Uma elípse 
• Um ponto 
• Vazio 
 
Superfícies Quádricas 
Hiperbolóide 
 
Hiperbolóide de uma folha 
𝑦²
𝑏²
−
𝑧²
𝑐²
= 1 , 𝑥 = 0 
Girar hipérbole em torno do eixo Oz 
𝑥²
𝑏²
+
𝑦²
𝑏²
−
𝑧²
𝑐²
= 1 
Hipérbole 
Superfícies Quádricas 
Hiperbolóide 
 
Hiperbolóide de uma folha 
 
Forma Geral: 
 
Dois coeficientes positivos e um negativo. 
 
 
Exemplo: 
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
−
𝑧²
𝑐²
= 1 
• Sinal negativo em z: figura no eixo z. 
• Análogo para sinal negativo em x e y. 
Superfícies Quádricas 
Hiperbolóide 
 
Hiperbolóide de uma folha 
 
Características 
 
• Os traços com os planos xOy, ou planos 
paralelos a estes, são elípses; 
 
• Os traços com os planos yOz ou xOz, ou 
planos paralelos a estes, são hipérboles. 
Superfícies Quádricas 
Hiperbolóide 
 
Hiperbolóide de duas folha 
𝑦²
𝑏²
−
𝑧²
𝑐²
= 1 , 𝑥 = 0 
Girar hipérbole em torno do eixo Oy 
−
𝑥²
𝑐²
+
𝑦²
𝑏²
−
𝑧²
𝑐²
= 1 
Hipérbole 
Superfícies Quádricas 
Hiperbolóide 
 
Hiperbolóide de duas folha 
 
Forma Geral: 
 
Dois coeficientes negativos e um positivo. 
 
 
Exemplo: −
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
−
𝑧²
𝑐²
= 1 
• Sinal positivo em y: figura no eixo y. 
• Análogo para sinal positivo em x e z. 
Superfícies Quádricas 
Hiperbolóide 
 
Hiperbolóide de duas folha 
 
Características 
 
• Não há traço no plano xOy 
(Conjunto vazio); 
 
• Os traços em planos paralelos a xOy 
podem ser uma elípse ou um ponto; 
 
• Os traços com os planos yOz ou xOz, ou 
planos paralelos a estes, são hipérboles. 
Superfícies Quádricas 
Resumo 
 
Elipsóides e Hiperbolóides 
 
 
Equação Padrão: 
 
±
𝑥²
𝑎²
±
𝑦²
𝑏²
±
𝑧²
𝑐²
= 1 
Sinais Ao longo do eixo 
Elipsóides + + + -x-x-x-x- 
Hiperbolóide de uma 
folha 
- + + Ox 
+ - + Oy 
+ + - Oz 
Hiperbolóide de duas 
folha 
+ - - Ox 
- + - Oy 
- - + Oz 
Superfícies Quádricas 
Exemplo 1: Obter a equação da superfície gerada pela 
rotação da curva dada em torno do eixo indicado: 
 
𝑥2
4
+
𝑦2
16
= 1 
 
a) z = 0; eixo maior 
 
b) z = 0; eixo menor 
Superfícies Quádricas 
Parabolóide 
 
Parabolóide Elíptico 
𝑧 = 
𝑦²
𝑏²
 , 𝑥 = 0 
Girar a parábola em torno do eixo Oz 
𝑧 =
𝑥²
𝑏²
+
𝑦²
𝑏²
 
Parábola 
Superfícies Quádricas 
Parabolóide 
 
Parabolóide Elíptico 
 
Forma Geral: 
 
𝑧 =
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
 𝑦 =
𝑥²
𝑎²
+
𝑧²
𝑐²
 𝑥 =
𝑦²
𝑏²
+
𝑧²
𝑐²
 
Ao longo do eixo Ox Ao longo do eixo Oy Ao longo do eixo Oz 
Superfícies Quádricas 
Parabolóide 
 
Parabolóide Elíptico 
 
Características 
 
• O traço no plano xOy é um ponto 
(a origem) 
 
• Os traços em planos paralelos a xOy 
podem ser elípses ou conjunto vazio. 
 
• Os traços com os planos yOz ou xOz, ou 
planos paralelos a estes, são parábolas. 
Superfícies Quádricas 
Parabolóide 
 
Parabolóide Hiperbólico 
𝑧 =
𝑦²
𝑏²
−
𝑥²
𝑎²
 
Superfícies Quádricas 
Parabolóide 
 
Parabolóide Hiperbólico 
Superfícies Quádricas 
Parabolóide 
 
Parabolóide Hiperbólico 
 
Forma Geral: 
 
𝑧 =
𝑦²
𝑏²
−
𝑥²
𝑎²
 𝑦 =
𝑧²
𝑐²
−
𝑥²
𝑎²
 𝑥 =
𝑧²
𝑐²
−
𝑦²
𝑏²
 
Ao longo do eixo Ox Ao longo do eixo Oy Ao longo do eixo Oz 
Superfícies Quádricas 
Parabolóide 
 
Parabolóide Hiperbólico 
 
Características 
 
• O traço no plano xOy é um par de retas 
que se cruzam na origem. 
 
• Os traços em planos paralelos ao plano 
xOy são hipérboles. 
 
• Os traços com os planos yOz ou xOz, ou 
planos paralelos a estes, são parábolas. 
Superfícies Quádricas 
Exemplo 2: Identificar a superfície S e a sua intersecção 
com o plano 𝜋. 
 
a) 𝑆: 𝑦² − 4𝑧2 − 2𝑥 = 0 𝑒 𝜋: 𝑥 − 2 = 0 
 
b) 𝑆: 18𝑥² + 9𝑦2 − 2𝑧2 − 18 = 0 𝑒 𝜋: 𝑧 − 3 = 0 
 
 
Superfícies Quádricas 
Superfícies Cônicas 
𝑧 = 𝑚𝑦 , 𝑥 = 0 
Girar a reta em torno do eixo Oz 
𝑧² = 𝑚2 𝑥² + 𝑦² 
x 
y 
z 
g 
x y 
z 
𝑧² =
𝑥2
𝑎²
+
𝑦2
𝑎²
 
Superfícies Quádricas 
Superfícies Cônicas 
 
Forma Geral: 
 
Superfície Cônica Elíptica 
 
𝑧² =
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
 𝑦² =
𝑥²
𝑎²
+
𝑧²
𝑐²
 𝑥² =
𝑦²
𝑏²
+
𝑧²
𝑐²
 
Ao longo do eixo Ox Ao longo do eixo Oy Ao longo do eixo Oz 
Superfícies Quádricas 
Superfícies Cônicas 
 
Características 
 
• O traço no plano xOy é um ponto (a origem). 
 
• Os traços em planos paralelos a xOysão 
elípses. 
 
• Os traços nos planos yOz e xOz são pares de 
retas que se interceptam na origem. 
 
• Os traços nos planos paralelos a yOz e xOz 
são hipérboles. 
Superfícies Quádricas 
Superfícies Cilíndricas 
 
Superfície gerada por uma reta g (geratriz) que se move 
paralelamente à uma reta fixa r em contato permanente com a 
curva plana C (diretriz). 
Superfícies Quádricas 
Superfícies Cilíndricas 
 
Exemplo 
 
• Diretriz: x² = 2y 
 
• Equação da superfície 
cilíndrica parabólica: 
𝑥² = 2𝑦 
 
• Geratriz: Paralela ao 
eixo Oz 
Superfícies Quádricas 
Superfícies Cilíndricas 
 
De modo geral: 
 
O gráfico em três dimensões de uma equação que não apresenta 
uma determinada variável, corresponde a uma superfície 
cilíndrica ao longo do eixo desta variável ausente. 
Superfícies Quádricas 
Superfícies Cilíndricas 
 
• Diretriz: circunferência, elipse, hipérbole ou parábola. 
 
 
• Superfície: circular, elíptica, hiperbólica ou parabólica. 
Superfícies Quádricas 
Resumo 
Equações Características Classificação 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
+
𝑧2
𝑐2
= 1 
Nenhum sinal de menos. Elipsóide 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= 1 
Um sinal de menos. Hiperbolóide de uma folha 
𝑧2
𝑐2
−
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 
Dois sinais de menos. Hiperbolóide de duas folha 
𝑧² −
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 0 
Nenhum termo linear. Cone elíptico 
𝑧 −
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 0 
Um termo linear; 
Dois termos quadráticos com 
mesmo sinal. 
Parabolóide elíptico 
𝑧 +
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 0 
Um termo linear; 
Dois termos quadráticos com 
sinais opostos. 
Parabolóide hiperbólico