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Unidade II MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Maurício Manzalli Assuntos da Unidade Relembrando alguns conceitos e aplicações. Diferenciando o ano exato do ano comercial. Taxas de juros: efetiva. Juros compostos. Equivalências de taxas. Montante composto. Períodos de capitalização e séries. Taxa efetiva Exemplo 1 – Uma instituição financeira faz empréstimos e cobra 8% a.m. de juros simples, que devem ser pagos antecipadamente pelo tomador. Qual a taxa efetiva que o tomador paga por empréstimos de R$ 50.000,00 por três meses? Solução: J = PV . i . n J = 50.000,00 . 0,08 . 3 J = R$ 12.000,00 (juros retidos na data do empréstimo) Empréstimo efetivo = PV – J Empréstimo efetivo = 50.000,00 – 12.000,00 PV efetivo = R$ 38.000,00 Pagamento final = R$ 50.000,00 (FV efetivo) E a taxa efetiva? Taxa efetiva Exemplo 2 – Uma instituição financeira faz empréstimos e cobra 8% a.m. de juros simples que devem ser pagos antecipadamente pelo tomador. Qual a taxa efetiva que o tomador paga por empréstimos de R$ 50.000,00 por três meses? Solução: FV = PV . (1 + i . n) 50.000,00 = 38.000,00 . (1 + i . 3) 3i = (50.000,00/38.000,00) – 1 3i = 1,3158 – 1 3i = 0,3158 i = 0,3158 / 3 i = 0,1053 i = 0,1053 x 100 i = 10,53% a.m. Resposta: Paga a taxa efetiva de 10,53% a.m. Juros comerciais Exemplo 3 – Calcular os juros comerciais produzidos por um capital de R$ 500.000,00; aplicado à taxa de 270% a.a., durante 25 dias. Juros comerciais: J = PV . i . n Lembrando que i = 270/100 = i = 2,7 J = 500.000,00 . (2,7/360) . 25 J = 500.000,00 . 0,0075 . 25 J = 93.750,00 Juros comerciais = R$ 93.750,00 Juros comerciais e juros exatos Exemplo 4 – Calcular os juros comerciais e os juros exatos produzidos por um capital de R$ 500.000,00; aplicado à taxa de 270% a.a., durante 25 dias. Juros exatos: J = PV . i . n Lembrando que i = 270/100 = i = 2,7 J = 500.000,00 . (2,7/365) . 25 J = 500.000,00 . 0,0073972 . 25 J = 92.465,00 Juros comerciais = R$ 92.465,00 Comparações: Juros comerciais = R$ 93.750,00 Juros exatos = R$ 92.465,00 Diferença = R$ 1.285,00 Juros compostos: conceitos básicos Denominações: juro sobre juro; juro capitalizado; juro exponencial. Juros compostos: conceitos básicos Montante: relembrando seu conceito, faremos sua aplicação período a período, construindo a fórmula. Vamos indexar o montante ao final de cada período, com o número do período. 1o – M1 = P + Pi = P.(1+ i) 2o – M2 = M1 + M1 .i = P.(1 +i) + P.(1+i).i = P.(1+ i)2 3o – M3 = M2 + M2 .i = P.(1+ i)2 + P.(1 + i)2 .i = P.(1+ i)3 Juros compostos: fórmulas Montante composto: M = P . (1 + i)n Juro composto: J = P. [(1 + i)n – 1] Juros compostos: fórmulas Valor atual: A = N (1 + i)n Valor nominal: N = A.(1 + i)n Juros compostos Exemplo – Qual o montante produzido por um capital de R$ 250.000,00 que ficou aplicado durante um ano e dois meses à taxa de 7,5% a.m. de juros compostos? Fórmula: M = P . (1 + i)n Lembrando que: i = 7,5/100 = 0,075 1 ano e dois meses = 14 meses Solução: M = P . (1 + i)n M = 250.000,00 . (1 + 0,075)14 M = 250.000,00 . (1,075)14 M = 688.111,01 Resposta: O montante é de R$ 688.111,01. Interatividade Que capital devo aplicar hoje em uma instituição que remunera as aplicações à taxa de juros compostos de 4% ao mês para ter R$ 5.000,00 de montante daqui a dez meses? Fórmula M = P . (1 + i)n a) R$ 3.377,82. b) R$ 3.575,00. c) R$ 2.890,92. d) R$ 1.495,00. e) R$ 3.400,00. Juros compostos: calculadoras financeiras Montante (M) FV Principal (P) PV Taxa de juros ( i ) i Número de períodos ( n ) n Devemos lembrar que valores de entrada ou saída no fluxo de caixa deverão figurar com sinais diferentes (+ ou –). Juros compostos: calculadoras financeiras Aplicação Qual o montante composto de um principal de R$ 8.000,00 à taxa de 3% ao mês, ao final de 10 meses? Calculadora: Entradas Teclas Visor 8000 CHS PV - 8,000.00 3 i 3,00 10 n 10,00 FV 10,751.20 Juros simples e juros compostos O senhor Flávio emprestou $ 2.000,00 a seu amigo a uma taxa de 10% ao mês, para ser pago daqui a 4 meses. Quanto o senhor Flávio irá receber se cobrar o empréstimo pelo regime de juros simples? E pelo regime de juros compostos? Prazo Juros simples Saldo 1º mês 2.000,00 x 10% = 200.00 2.000,00 + 200,00 = 2200,00 2º mês 2.000,00 x 10% = 200,00 2.000,00 + 200,00 = 2400,00 3º mês 2.000,00 x 10% = 200,00 2.000,00 + 200,00 = 2600,00 4º mês 2.000,00 x 10% = 200,00 2.000,00 + 200,00 = 2800,00 Juros simples e juros compostos O senhor Flávio emprestou $ 2.000,00 a seu amigo a uma taxa de 10% ao mês, para ser pago daqui a 4 meses. Quanto o senhor Flávio irá receber se cobrar o empréstimo pelo regime de juros simples? E pelo regime de juros compostos? Prazo Juros compostos Saldo 1º mês 2000,00 x 10% = 200.00 2000,00 + 200,00 = 2200,00 2º mês 2200,00 x 10% = 220,00 2200,00 + 220,00 = 2420,00 3º mês 2420,00 x 10% = 242,00 2420,00 + 242,00 = 2662,00 4º mês 2662,00 x 10% = 266,20 2662,00 + 266,20 = 2928,20 Juros simples e juros compostos O senhor Flávio emprestou $ 2.000,00 a seu amigo a uma taxa de 10% ao mês, para ser pago daqui a 4 meses. Quanto o senhor Flávio irá receber se cobrar o empréstimo pelo regime de juros simples? E pelo regime de juros compostos? Conclusão: Regime de juros Juros auferidos Simples 800,00 Compostos 928,20 Diferença 128,20 Juros simples e juros compostos Juros compostos: calculadoras financeiras O investimento de $ 650.000 será remunerado com a taxa de juro de 1,35% ao mês durante os quatro primeiros meses e com a taxa de juro de 1,24% ao mês durante os oito meses restantes da operação. Pede-se: calcular o resgate desse investimento no final de um ano. Informações: Investimento: 650.000,00 Taxa: 1,35% a.m., durante 4 meses; 1,24 a.m., durante 8 meses. Resgate? Juros compostos: calculadoras financeiras O investimento de $ 650.000 será remunerado com a taxa de juros de 1,35% ao mês durante os quatro primeiros meses e com a taxa de juros de 1,24% ao mês durante os oito meses restantes da operação. Calcule o resgate desse investimento no final de um ano. n = 4 i = 1,35 PV = 650.000 FV = ? Visor = 682,82 n = 8 i = 1,24 PV = 685.817,19 FV = ? Visor = 756.877,27 O resgate do investimento ao final de um ano será de R$ 756.877,27. Interatividade Foram investidos $ 10.000 durante três meses com a taxa de juros de 2% ao mês. Calcule o valor resgatado, considerando o regime de juros compostos. Dados: VP = C = 10.000 n = 3 meses i = 2% a.m VF = M = ? Fórmula M = P . (1 + i)n a) R$ 10.500,00. b) R$ 10.612,00. c) R$ 10.415,00. d) R$ 10.000,00. e) R$ 10.112,00. Juros compostos e calculadora financeira Calcule o montante composto de um principal de R$ 10.000,00 à taxa de 5% ao mês, ao final de 7 meses. Entradas Teclas Visor 10000 CHS PV -10000,00 5 i 5,00 7 n 7,00 FV 14071,00Juros compostos e calculadora financeira A que taxa mensal de juros compostos devo aplicar um capital qualquer para dobrá-lo em dez meses? Entradas Teclas Visor 1 CHS PV -1,00 2 FV 2,00 10 n 10,00 i 7,18 Juros compostos e calculadora financeira Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2% em um regime de capitalização composta. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão? Os juros resultantes são de R$ 101,00. Entradas Teclas Visor 2 n 2 i 2500 PV FV 2601 Juros compostos e calculadora financeira Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2% em um regime de capitalização composta. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão? Fórmula: M = P . (1 + i)n M = 2.500 . (1 + 0,02)² M = 2.500 . (1,02)² M = 2.500 . 1,0404 = 2.601 J = M – C = 2.601 – 2.500 = 101 Os juros resultantes são de R$ 101,00. Juros compostos e calculadora financeira Podemos afirmar que o montante composto gerado por um capital de R$ 1.000,00; aplicado a 1% a.m. em 12 meses será de quanto? Juros compostos e calculadora financeira Resolução: Podemos afirmar que o montante composto gerado por um capital de R$ 1.000,00; aplicado a 1% a.m. em 12 meses será de quanto? Resposta: O montante composto será de R$ 1.126,83. Entradas Teclas Visor 12 n 1 i 1000 PV FV 1126,83 Outra resolução para o exercício anterior Podemos afirmar que o montante composto gerado por um capital de R$ 1.000,00; aplicado a 1% a.m. em 12 meses será de quanto? M = 1000 . (1 + 0,01)¹² M = 1000 . (1,01)¹² M = 1000 . 1,1268 = 1.126,80 Resposta: O montante composto será de R$ 1.126,83. Taxa anual Exemplo Uma empresa financia seu capital de giro a juros compostos de 3% ao mês. Calcule a taxa anual equivalente, pois, para fechar o balanço, a taxa deverá ser lançada em anos. ia = (1 + i)n Fórmula da taxa anual equivalente. Taxa anual Resolução: ia = (1 + 0,03)12 ia = 1,4257 Finalizando: Diminui 1 e multiplica por 100: ia = 1,4257 – 1 . 100 = 42,57% Interatividade Um investidor aplicou R$ 50.000,00 a juros compostos de 25% a.a., por três anos e dez meses. Qual o montante composto dessa aplicação, considerando critério exponencial? a) R$ 119.798,00 b) R$ 125.990,00 c) R$ 117.613,83 d) R$ 110.265,43 e) R$ 118.215,99 Mesmo exercício com a calculadora Mesmo exercício com a calculadora HP12C 50000 CHS PV 25 i 46/12 n FV 117613,83 Séries de capitais: conceitos básicos Conceito de série: qualquer sequência de capitais reunidos sob uma determinada propriedade pode ser considerada uma série, também denominada anuidade. Exemplos: aluguel; condomínio; mensalidade escolar; pagamentos parcelados em geral; seguros. Séries de capitais: conceitos básicos Esses capitais podem ser valores que saem ou entram em um fluxo de caixa, caracterizando uma série de pagamentos, que tem como objetivo a quitação de uma dívida ou uma série de aplicações, denominada série de rendas, que tem como objetivo a capitalização de um valor futuro. Séries de capitais: modelo básico b) R$ 10.612,00 Foram investidos $ 10.000 durante três meses com a taxa de juro de 2% ao mês. Calcule o valor resgatado considerando o regime de juros compostos. Dados: VP = C = 10.000 n = 3 meses i = 2% a.m. VF = M = ? Fórmula M = P . (1 + i)n M = 10.000,00 . (1 + 0,02)3 M = 10.000,00 . (1,02)3 M = 10.612,00 Cálculo na HP12C (Calculadora Financeira) n = 3 i = 2 PV = 10.000 FV = ? Visor = 10.612,08 Séries de capitais modelo básico: fórmula do valor atual Valor presente ou à vista (A): teoricamente, o valor à vista da série de pagamentos poderia ser calculado, por meio da sua definição, termo a termo. Na prática, isso seria complicado, pois podemos ter séries com um grande número de termos. Para evitar esse transtorno, estabeleceremos uma fórmula que fará isso por nós. Séries de capitais modelo básico: fórmula do valor atual Adotando R para representar as prestações, n para o número de prestações e i para a taxa de juros e aplicando a definição de valor atual na data zero, teremos: A = R/(1+i) + R/(1+i)2 + R/(1+i)3 + ... + R/(1+i)n Fatorando e agrupando os termos da expressão acima, teremos: A = R . Séries de capitais modelo básico: fórmula do montante Valor futuro ou montante (S): o valor futuro ou montante de uma série de rendas poderia ser calculado pela definição, corrigindo-se os valores dos depósitos para a data do último depósito e somando-os nessa data. Esse procedimento seria, no entanto, impraticável para uma série com um número grande de termos. Vamos, então, estabelecer uma fórmula que efetue todo esse cálculo para nós. Séries de capitais modelo básico: fórmula do montante Adotando S para denominar o montante da série, poderíamos escrever, de acordo com a definição: S = Fatorando e simplificando a expressão, teremos: Séries de capitais modelo básico: calculadora financeira Montante da série (S) FV Valor à vista da série (A) PV Taxa de juros (i) i Número de termos da série (n) n Valor dos termos da série (R) PMT Devemos lembrar que valores de entrada ou saída no fluxo de caixa deverão figurar com sinais diferentes (+ ou –) e que a calculadora deverá estar na opção END. Séries de capitais modelo básico: calculadora financeira Quanto devo aplicar mensalmente à taxa de juros compostos de 1,5% a.m., para resgatar daqui a seis meses a quantia de R$ 3.000,00; em termos postecipados? g end n = 6 i = 1,5 PMT = ? FV = 3.000 PMT = 481,58 Séries de capitais modelo básico: calculadora financeira Um aparelho de som é anunciado com um preço à vista de R$ 1.200,00 ou três parcelas mensais iguais a R$ 500,00. Calcule a taxa de juros cobrada pela loja, supondo que a primeira parcela seja paga. no ato. 30 dias após a compra. Séries de capitais modelo básico: calculadora financeira Um aparelho de som é anunciado com um preço à vista de R$ 1.200,00 ou três parcelas mensais iguais a R$ 500,00. Calcule a taxa de juros cobrada pela loja, supondo que a primeira parcela seja paga no ato. Entradas Teclas Visor 3 n 1200 PV -500 FV i 27,47 Séries de capitais modelo básico: calculadora financeira Um aparelho de som é anunciado com um preço à vista de R$ 1.200,00 ou três parcelas mensais iguais a R$ 500,00. Calcule a taxa de juros cobrada pela loja, supondo que a primeira parcela seja paga 30 dias após a compra. g end Entradas Teclas Visor 3 n 1200 PV -500 FV i 12,04 Interatividade O preço de uma motocicleta é de R$ 20.000,00 à vista ou, caso o cliente desejar as facilidades do crediário, poderá pagá-la a prazo. No segundo caso, exigem-se 24 prestações mensais consecutivas e iguais de R$ 1.245,46. De quanto é a taxa mensal de juros compostos que está sendo cobrada? a) 3,0%. b) 2,0%. c) 1,0%. d) 3,5%. e) 0,5%. ATÉ A PRÓXIMA!
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