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Lista de Exercícios – Probabilidade – Prof. Marcelo H. Tutia 1- Um experimento tem três etapas com três resultados possíveis para a primeira etapa, dois resultados possíveis para a segunda etapa e quatro resultados possíveis para a terceira etapa. Quantos resultados experimentais existem para o experimento global? 2- De quantos modos podem ser selecionados três itens a partir de um grupo de seis? Use as letras A, B, C, D, E e F para identificar os itens e listar cada uma das diferentes combinações dos três itens. 3- Quantas permutações de três itens podem ser selecionadas a partir de um grupo de seis? 4- Um experimento com três resultados foi repetido 50 vezes, e viu-se que E1 ocorreu 20 vezes, E2 ocorreu 13 vezes e E3 ocorreu 17 vezes. Atribua probabilidades a estes resultados. 5- A KP&L está iniciando um projeto concebido para aumentar a capacidade de geração de uma de suas fábricas no norte do Kentychy.O projeto está dividido em dois estágios: estágio 1 (projeto) e estágio 2 construção). Embora cada um dos estágios venha a ser programado e controlado tão de perto quanto possível, a administração não poderá prever de antemão o tempo exato exisgido para se completar cada estágio do projeto. Uma análise de projetos similares tem mostrado tempos de término para o estágio de projeto de 2, 3 ou 4 meses, e um tempo de térmno para o estágio de construção de 6, 7 ou 8 meses. Além diso, devido à necessidade crítica de nergia elétrica dicinal, a administraçõ estabeleceu um limite de 10 meses ara o término do projeto como um todo. Tabela 1- Lista de Resultados Experimentais para o Problema KP&L Tempo de Término (meses) Estágio 1 (projeto) Estágio 2 (construção) Resultado Experimental Tempo Total – Término do Projeto 2 6 (2,6) 8 2 7 (2,7) 9 2 8 (2,8) 10 3 6 (3,6) 9 3 7 (3,7) 10 3 8 (3,8) 11 4 6 (4,6) 10 4 7 (4,7) 11 4 8 (4,8) 12 a) O estágio de projeto (estágio 1) influirá no orçamento se levar 4 meses para ser completado. Liste os pontos amostrais no evento de o estágio de projeto estar no orçamento. b) Qual é a probabilidade de que o estágio de projeto esteja no orçamento? c) O estágio de construção (estágio 2) influirá no orçamento se levar 8 meses para ser completado. Liste os pontos amostrais no evento de o estágio de construção estar no orçamento. d) Qual é a probabilidade de que o estágio de construção esteja no orçamento? e) Qual é a probabilidade de que ambos os estágios estejam no orçamento? 6- Três máquinas A, B e C produzem respectivamente 30%, 50% e 20% do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 5%, 7% e 4%. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina A? 7- De acordo com o Ministério dos Transportes de um certo país, a empresa X transportou 58.000.000 de passageiros no último ano. Nesse mesmo ano, 82.896 passageiros foram deliberadamente impedidos de embarcar, enquanto outros 1.864 foram involuntariamente impedidos de embarcar. Determine a probabilidade de um passageiro selecionado aleatoriamente ser impedido de embarcar. Você acha que uma pessoal deve preocupar-se com a possibilidade de ser impedida de embarcar? 8- Um lote de 100 passagens é formado por 40 passagens para Belém, 30 para Manaus e 30 para Natal. Retira-se duas passagens ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a) as duas passagens sejam para Manaus (sem reposição); b) a primeira passagem seja para Natal e a segunda para Belém (com reposição). 9- Considere o seguinte espaço amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8 ,9, 10, 11, 12, 14} e os seguintes eventos A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. a) Calcule a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B; b) Sabendo-se que o número é par, calcule a probabilidade de ocorrer o seguinte evento C ={4, 14}; c) Calcule a probabilidade de não ocorrer o evento B. 10- A tabela a seguir descreve os hóspedes registrados pelo período de uma semana num hotel. A distribuição segue de acordo com o sexo é a idade. Sexo Idade Feminino Masculino Total Abaixo de 20 anos 20 15 35 Entre 20 e 40 anos 65 150 215 Acima de 40 anos 50 95 145 Total 135 260 395 a) Qual a probabilidade de ser do sexo feminino entre 20 e 40 anos? b) Qual a probabilidade de ter idade acima de 40 anos? c) Qual a probabilidade de ser do sexo feminino, sabendo-se que tem idade abaixo de 20? d) Qual a probabilidade de não ter idade abaixo de 20 anos? 11- Um levantamento de benefícios para 254 analistas de sistemas mostrou que 155 analistas foram agraciados com telefones móveis, 152 foram agraciados com títulos de membros de clubes e 110 foram agraciados, como privilégios associados à sua posição, tanto com telefones móveis como com títulos de membros de clubes. a) Encontre a probabilidade para cada um dos eventos. b) Qual a probabilidade de que um analista tenha pelo menos um dos dois privilégios? c) Qual é a probabilidade de que um analista não tenha qualquer destes privilégios? 12- Um levantamento de assinantes de uma Revista mostrou que 45,8% deles haviam alugado um carro durante os últimos 12 meses por razões de negócios, que 54% haviam alugado um carro durante os últimos 12 meses por razões pessoais e que 30% haviam alugado um carro durante os últimos 12 meses tanto por razões pessoais como por razões de negócios. a) Qual é a probabilidade de que um assinante tenha alugado um carro durante os últimos 12 meses por razões pessoais ou por razões de negócios? b) Qual é a probabilidade de que um assinante não tenha alugado um carro durante os últimos 12 meses n em por razões pessoais nem por razões de negócios? 13- Uma Casa Noturna tem os seguintes dados sobre a idade e o estado civil de 14 clientes. Solteiro Casado Menos de 30 77 14 30 ou mais 28 21 a) Desenvolva uma tabela de probabilidade associada para esses dados. b) Use as probabilidades marginais para comentar sobre a idade e o estado civil dos clientes que freqüentam o estabelecimento. c) Qual é a probabilidade de se encontrar um cliente que é solteiro e com menos de 30 anos? d) Se um cliente tem menos de 30 anos, qual é a probabilidade de que seja solteiro? e) O estado civil é independente da idade? Explique usando probabilidades. 14- Em um levantamento com estudantes de MBA, os seguintes dados foram obtidos sobre “a razão principal do estudante para ter-se ligado à escola em que eles se matricularam”. Qualidade da Escola Custo da Escola ou Conveniência Outras Total Tempo Integral 421 393 76 890 Tempo Parcial 400 593 46 1039 Total 821 986 122 1929 a) Desenvolva uma tabela de probabilidade associada para esses dados. b) Use as probabilidades marginais de qualidade da escola, custo/conveniência e outras para comentar sobre a razão mais importante na escolha de uma escola. c) Se um estudante é de tempo integral, qual é a probabilidade de que a qualidade seja a primeira razão para a escolha da escola? d) Se um estudante é de tempo parcial, qual é a probabilidade de que a qualidade seja a primeira razão para a escolha da escola? e) O fato de o estudante ser de tempo integral e a qualidade da escola como primeira razão para se ligar a ela, eventos independentes? Justifique sua resposta. 15- A seguinte tabela mostra a distribuição dos tipos de sangue na população em geral. A B AB O Rh+ 34% 9% 4% 38% Rh- 6% 2% 1% 6% a) Qual é a probabilidade de uma pessoal ter o sangue do tipo O? b) Qual a probabilidade de uma pessoa ter Rh-? c) Qual é a probabilidade de que um casal ambos os cônjuges sejam Rh-? d) Qual é a probabilidade de que em um casal ambos os cônjuges tenham sangue do tipo AB? e) Qual é a probabilidade de uma pessoa ter Rh- dado que tenha sanguedo tipo O? f) Qual é a probabilidade de uma pessoal ter sangue do tipo B dado que seja Rh+? 16- Durante 48 anos o mercado de ações fechou em alta nos meses de janeiro 31 vezes; encerrou o ano em alta 36 vezes; e encerrou em alta, tanto para o ano quanto para janeiro, 29 vezes. a) Calcule a probabilidade de o mercado de ações encerrar janeiro em alta. b) Calcule a probabilidade de o mercado de ações encerrar o ano em alta. c) Qual é a probabilidade de o mercado de ações encerrar o ano em alta dado que encerrou janeiro em alta? d) Qual é a probabilidade do mercado de ações encerrar janeiro em alta ou o ano em alta? e) As probabilidades sugerem que o desempenho do mercado de ações em janeiro e seu desempenho anual são eventos independentes? Explique. 17- Uma pesquisa forneceu os seguintes dados sobre a posse de transmissão direta de televisão via satélite. Os dados estão distribuídos pelas quatro seções do país. Leste Meio-Oeste Sudoeste Oeste Total Possui Transmissão 17 8 7 13 45 Probabilidade de Comprar 107 95 30 93 325 Nenhum dos dois 488 403 98 275 1264 Total 612 506 135 381 1634 a) Qual é a probabilidade de possuir uma televisão via satélite? b) Qual é a probabilidade de que um dos pesquisados seja do Sudoeste? c) Qual é a probabilidade de que um dos pesquisados do Sudoeste possua uma televisão via satélite? d) Qual é a região do país mais provável de ter televisão via satélite? e) Qual é a região do país mais provável adquirir televisão via satélite? 18- Um agente de compras colocou ordens de compra de última hora para uma determinada matéria- prima com dois diferentes fornecedores A e B. Se nenhuma ordem chegar em quatro dias, o processo de produção precisa para pelo menos até que uma das ordens chegue. A probabilidade de que o fornecedor A possa embarcar o material em quatro dias é 0,55. A probabilidade de que o fornecedor B possa embarcar o material em quatro dias é 0,35. a) Qual é a probabilidade de que ambos os fornecedores embarquem o material em quatro dias? Devido a dois fornecedores estarem envolvidos, estamos inclinados a supor independência. b) Qual é a probabilidade de que pelo menos um fornecedor embarcará o material em quatro dias? c) Qual é a probabilidade de que o processo de produção será parado em quatro dias devido a uma escassez da matéria-prima, ou seja, ambas as ordens estarem atrasadas? 19- O Livro de Riscos contém informações de probabilidade sobre os riscos que as pessoas correm nas atividades do dia-a-dia. Por exemplo, a probabilidade de que um homem que possui um veículo motorizado se acidente no período de um ano está relatada como duas vezes maior que a probabilidade de uma mulher que tem um veículo motorizado no período de um ano. As probabilidades indicadas são 0,113 para os homens e 0,057 para as mulheres. Suponha que 55% dos motoristas em uma certa cidade sejam homens. No preenchimento de um questionário de histórico sobre o desempenho ao volante, u ma pessoa desta cidade indicou um envolvimento em acidente com veículo motorizado durante o último ano. Qual é a probabilidade dessa pessoa ser uma mulher? 20- Em certa fábrica, três máquinas, A, B e C, fabricam, respectivamente, 30%, 25% e 45% da produção diária. As respectivas taxas de produtos defeituosos são de 1%, 1,5% e 2%. Da produção de certo dia, retirou-se ao acaso um produto, constatando-se que era defeituoso. Qual a probabilidade de esse produto defeituoso ter sido fabricado pela máquina A, B ou C? 21- Depois de um longo período de testes, verificou-se que o procedimento A de recuperação de informação corre um risco de 2% de não oferecer resposta satisfatória. No procedimento B, o risco cai para 1%. O risco de ambos os procedimentos apresentarem resposta insatisfatória é de 0,5%. Qual é a probabilidade de pelos menos um dos procedimentos apresentar resposta insatisfatória? 22- Uma rede de computadores é composta por um servidor e cinco clientes (A, B, C, D, E). Registros anteriores indicam que dos pedidos de determinado tipo de processamento, realizados através de uma consulta, cerca de 10% vêm do cliente A, 15% do B, 15 do C, 40% do D e 20% do E. Se o pedidos não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Usualmente, ocorrem os seguintes percentuais de pedidos inadequados: 1% do cliente A, 2% do cliente B, 0,5% do cliente C, 2 do cliente D e 8% do cliente E. Qual é a probabilidade de o sistema apresentar erro? Qual é a probabilidade de que o processo tenha sido pedido pelo cliente E, sabendo-se que apresentou erro? 23- Um sistema tem dois componentes que operam independentemente. Suponha que as probabilidades de falha dos componentes 1 e 2 sejam 0,1 e 02, respectivamente. Determine a probabilidade de o sistema funcionar nos dois casos seguintes: a) os componentes são ligados em série (isto é, ambos devem funcionar para que o sistema funcione); b) os componentes são ligados em paralelo (isto é, basta um funcionar para que o sistema funcione). 24- A qualidade de CDs foi avaliada em termos da resistência a arranhão e adequação das trilhas. Os resultados de 1.000 CDs foram: Adequação das Trilhas Resistência a arranhão Aprovado Reprovado Alta 700 140 Baixa 100 60 Se um CD for selecionado ao acaso desse lote de 1.000 CDs, qual é a probabilidade de ele: a) ter resistência a arranhão alta e ser aprovado na avaliação das trilhas?; b) ter resistência a arranhão alta ou ser aprovado na avaliação das trilhas?; c) ser aprovado na avaliação das trilhas, dado que tem resistência a arranhão alta?; d) ter resistência a arranhão alta, dado que foi aprovado na avaliação das trilhas? 25- Certo sistema funciona somente se houver um caminho fechado de A a B, com componentes que funcionam. Os componentes funcionam independentemente um dos outros. O sistema é esquematizado abaixo, assim como as probabilidades de falha de cada componente: Calcule a probabilidade de o sistema funcionar. Bibliografia (todos os exercícios foram retirados e/ou adaptados das seguintes bibliografias) MORETTIN, L. G. Estatística Básica: Probabilidade. 7ª ed. São Paulo: Makron, 1999. MARTINS, G. A. Estatística Geral e Aplicada. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 2005. SILVA, E. M. Estatística para os Cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. São Paulo: Atlas, 1995. ANDERSON, D. R., SWEENEY, D. J., WILLIAMS, T. A. Estatística Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Pioneira (Thomson Learning), 2002. BARBETTA, P. A., REIS, M. M., BORNIA, A. C. Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. São Paulo: Atlas, 2008. A 0,01 0,04 0,02 0,03 B u Cross-Out u Replacement Text
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