Fundamentos_de_geometria_espacial-sergio-02

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Fundamentos de Geometria Espacial
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 1 28/01/2013 11:09:19
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 2 28/01/2013 11:09:21
Fundamentos de Geometria Espacial
Belo Horizonte
CAED-UFMG
2013
Paulo Antônio Fonseca Machado
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 3 28/01/2013 11:09:23
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
Profº Clélio Campolina Diniz 
Reitor
Profª Rocksane de Carvalho Norton 
Vice-Reitoria
Profª Antônia Vitória Soares Aranha 
Pró Reitora de Graduação
Profº André Luiz dos Santos Cabral 
Pró Reitor Adjunto de Graduação
CENTRO DE APOIO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA
Profº Fernando Selmar Rocha Fidalgo 
Diretor de Educação a Distância 
Prof º Wagner José Corradi Barbosa 
Coordenador da UAB/UFMG
Profº Hormindo Pereira de Souza Junior 
Coordenador Adjunto da UAB/UFMG
 
EDITORA CAED-UFMG
Profº Fernando Selmar Rocha Fidalgo 
CONSELHO EDITORIAL 
Profª. Ângela Imaculada Loureiro de Freitas Dalben 
Profº. Dan Avritzer 
Profª. Eliane Novato Silva 
Profº. Hormindo Pereira de Souza
Profª. Paulina Maria Maia Barbosa
Profª. Simone de Fátima Barbosa Tófani 
Profª. Vilma Lúcia Macagnan Carvalho
Profº. Vito Modesto de Bellis 
Profº. Wagner José Corradi Barbosa
COLEÇÃO EAD – MATEMÁTICA 
Coordenador: Dan Avritzer
LIVRO: Fundamentos de Geometria Plana
Autor: Paulo Antônio Fonseca Machado
Revisão: Jussara Maria Frizzera
Projeto Gráfico: Laboratório de Arte e Tecnologia 
para Educação/EBA/UFMG
Formatação: Sérgio Luz
 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Luciana de Oliveira M. Cunha, CRB-6/2725)
 
 Lima, Paulo Cupertino de
L732f Fundamentos de Geometria Espacial / Paulo Antônio Fonseca 
 Machado. – Belo Horizonte : CAED-UFMG, 2012.
 119 p. : il. ; 27 cm.
 Inclui bibliografia.
 ISBN 
 1. Funções (Matemática). 2. Ensino a distância. I. Universidade 
 Federal de Minas Gerais. II. Título. 
 CDD 515
 CDU 517.5
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 4 28/01/2013 11:09:23
SuMáRIo
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Nota do Editor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Aula 1: o Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
 1.2 Elementos primitivos e axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
 1.3 Algumas consequências dos axiomas do grupo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
 1.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Aula 2: Mais propriedades do espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 2.2 Separação do espaço: semiespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 2.3 Ângulos e congruência no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
 2.4 O axioma das paralelas no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
 2.5 Opcional: demonstração dos teoremas 2.1 e 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
 2.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Aula 3: Paralelismo no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
 3.2 Paralelismo entre retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
 3.3 Paralelismo entre planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
 3.4 Algumas propriedades de paralelismo no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
 3.5 Problemas resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
 3.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Aula 4: Perpendicularismo entre retas e planos no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
 4.2 Ângulos entre retas no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
 4.3 Perpendicularismo de retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
 4.4 Existência de retas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
 4.5 Opcional: demonstração dos teoremas 4.1 e 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
 4.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Aula 5: Ângulos entre planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
 5.2 Ângulos entre planos: diedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
 5.3 Planos perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
 5.4 Construção de planos perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
 5.5 Alguns problemas resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
 5.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 5 28/01/2013 11:09:23
Aula 6: Lugares geométricos e poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
 6.2 Distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
 6.3 Planos bissetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
 6.4 Alguns lugares geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
 6.5 Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
 6.5.1 Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
 6.5.2 Paralelepípedos e cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
 6.5.3 Pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
 6.5.4 Outros poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
 6.6
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Aula 7: Volumes de poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
 7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
 7.2 Volume de regiões poliedrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
 7.3 Volume de prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
 7.4 Volume de pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
 7.4.1 Propriedades basicas de pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
 7.4.2 Cálculo do volume de uma pirâmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97
 7.5 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
 7.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Aula 8: Cilindros, cones e esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
 8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
 8.2 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
 8.3 Cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
 8.4 Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
 8.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Apêndices: Axiomas da geometria plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
 A.1 Axiomas: grupo I, axiomas de incidência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 
 A.2 Axiomas: grupo II, parte 1: métrica e ordem na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
 A.3 Axiomas: grupo III, medida de ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
 A.4 Axiomas: grupo IV, congruência de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
 A.5 Axiomas: grupo V, axioma das paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
 A.6 Axiomas: grupo VI, axiomas sobre áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 6 28/01/2013 11:09:23
7
Introduc¸a˜o
INTRODUC¸A˜O
Caras e caros alunas e alunos, neste livro apresentamos os fundamentos da geometria espacial
euclidiana, e pode ser visto como uma continuac¸a˜o do livro [7]. Na verdade, o que chamamos
“Fundamentos da Geometria Euclidiana” na˜o deveria ser separado em geometria plana e
geometria espacial, pois e´ um so´ assunto, coeso. Esta separac¸a˜o e´ apenas uma forma de
apresentar a geometria euclidiana de maneira mais dida´tica e pra´tica.
Adotaremos neste texto todas as nomenclaturas, terminologias e notac¸o˜es estabelecidas
em [7], em sua maioria tradicionais e utilizadas em quase todos os textos que tratam de
geometria euclidiana. Suporemos que todos voceˆs esta˜o familiarizados com os termos utili-
zados nesse livro. Em caso de du´vidas, consultem-no.
Abaixo, como uma forma de refrescar a memo´ria, listamos as principais notac¸o˜es que utili-
zaremos.
Pontos sera˜o denotados por letras latinas maiu´sculas (A, B, etc.).
Retas sera˜o em geral denotadas por letras latinas minu´sculas (r, s, etc.). No caso
em que apresentarmos retas determinadas por dois pontos espec´ıficos usaremos uma
seta de duas pontas (←→) sobre as letras que nomeiam os pontos. Por exemplo, a reta
determinada pelos pontos A e B sera´ denotada por
←→
AB.
Para semirretas adotamos uma notac¸a˜o ana´loga a` para retas, mas as demarcaremos
por uma seta com uma ponta (�→). Por exemplo, o s´ımbolo �→r denota a semirreta r;
e o s´ımbolo
�→
AB denota a semirreta com origem no ponto A e passando pelo ponto B.
Segmentos de reta sera˜o demarcados por uma barra cont´ınua sobre as letras que no-
meiam os pontos que determinam o mesmo. Por exemplo, o segmento de extremos A
e B sera´ denotado por AB. A medida de um segmento sera´ denotada pelos extremos
do mesmo, sem a barra. Por exemplo, a medida de AB e´ AB.
Aˆngulos sera˜o denotados pelo s´ımbolo ∡. Por exemplo, um aˆngulo chamado α sera´
denotado por ∡α; e um aˆngulo determinado por treˆs pontos A, B, C, com origem
em B, sera´ denotado por ∡ABC. A medida de um aˆngulo ∡α, por exemplo, sera´
denotada por m(∡α).
Os nossos novos elementos, os planos, sera˜o denotados, como manda a tradic¸a˜o, por
letras gregas minu´sculas (α, β, γ, etc.). Na˜o ha´ perigo de confundir uma letra grega
que represente um plano com a mesma que denote um aˆngulos, pois a segunda sempre
vira´ acompanhada com o s´ımbolo ∡.
Para facilitar a consulta de voceˆs listamos no apeˆndice A os axiomas da geometria plana
euclidiana introduzidos em [7], e algumas definic¸o˜es ba´sicas.
5
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 7 28/01/2013 11:09:23
8
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 8 28/01/2013 11:09:23
9
NoTA Do EDIToR
A Universidade Federal de Minas Gerais atua em diversos projetos de Educação 
a Distância, que incluem atividades de ensino, pesquisa e extensão. Dentre elas, 
destacam-se as ações vinculadas ao Centro de Apoio à Educação a Distância 
(CAED), que iniciou suas atividades em 2003, credenciando a UFMG junto ao 
Ministério da Educação para a oferta de cursos a distância.
O CAED-UFMG (Centro de Apoio à Educação a Distância da Universidade Federal 
de Minas Gerais), Unidade Administrativa da Pró-Reitoria de Graduação, tem 
por objetivo administrar, coordenar e assessorar o desenvolvimento de cursos 
de graduação, de pós-graduação e de extensão na modalidade a distância, 
desenvolver estudos e pesquisas sobre educação a distância, promover a 
articulação da UFMG com os polos de apoio presencial, como também produzir 
e editar livros acadêmicos e/ou didáticos, impressos e digitais, bem como a 
produção de outros materiais pedagógicos sobre EAD.
Em 2007, diante do objetivo de formação inicial de professores em serviço, foi 
criado o Programa Pró-Licenciatura com a criação dos cursos de graduação a 
distância e, em 2008, com a necessidade de expansão da educação superior 
pública, foi criado pelo Ministério da Educação o Sistema Universidade Aberta 
do Brasil – UAB. A UFMG integrou-se a esses programas, visando apoiar a 
formação de professores em Minas Gerais, além de desenvolver um ensino 
superior de qualidade em municípios brasileiros desprovidos de instituições de 
ensino superior. 
Atualmente, a UFMG oferece, através do Pró-licenciatura e da UAB, cinco 
cursos de graduação, quatro cursos de pós-graduação lato sensu, sete cursos de 
aperfeiçoamento e um de atualização.
Como um passo importante e decisivo, o CAED-UFMG decidiu, no ano de 2011, 
criar a Editora CAED-UFMG como forma de potencializar a produção do material 
didático a ser disponibilizado para os cursos em funcionamento.
Fernando Selmar Rocha Fidalgo
Editor
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 9 28/01/2013 11:09:23
1 O Espaço
AULA1: O ESPAC¸O
OBJETIVOS
Introduzir os conceitos elementos primitivos e de axiomas da
Geometria Euclidiana no
espac¸o. Apresentar os axiomas de “incideˆncia” e algumas de suas consequeˆncias.
1.1 Introduc¸a˜o
Todos temos uma ideia bem intuitiva do conceito que denominamos “espac¸o”: e´ o ambi-
ente em que vivemos, onde podemos nos mover para os lados, para cima e para baixo,
o mundo “tridimensional”, ou seja, que possui treˆs dimenso˜es, uma a mais que o mundo
plano, bidimensional. Costumamos dizer que somos seres “tridimensionais” por vivermos
neste tal espac¸o. Pois bem, um conceito aparentemente ta˜o simples na verdade esconde uma
complexidade filoso´fica, f´ısica e matema´tica que na˜o imaginamos1. Neste curso na˜o vamos
discutir estas profundas questo˜es, mas abordaremos este assunto da mesma maneira que se
faz quando estudamos a geometria plana do ponto de vista axioma´tico.
Figura 1.1
Nosso ponto de partida neste curso, como ja´ o dissemos na Introduc¸a˜o, e´ o texto [7], onde
apresentamos um modelo axioma´tico para a geometria plana euclidiana. Recomendamos a
todos os estudantes, portanto, que releiam este texto, principalmente as aulas um a treˆs.
Antes de comec¸armos, vamos abordar um problema pra´tico que se tem quando estudamos
geometria espacial: como representar visualmente as figuras tridimensionais. Desenhar fi-
guras planas e´ fa´cil, pois as pa´ginas de um livro, por exemplo, sa˜o boa representac¸a˜o de um
plano. Desenhar figuras que vivem no espac¸o, por outro lado, representa um desafio, ja´ que
os desenhos devem ser apresentados sobre a mesma folha de papel. Assim a imaginac¸a˜o dos
leitores sera´ muito mais exigida neste curso do que num curso de geometria plana. Vamos
mostrar alguns exemplos.
Para comec¸ar, representaremos um plano no espac¸o em geral como na figura 1.1 (na ver-
dade, uma “porc¸a˜o” de um plano – use a imaginac¸a˜o!). Usaremos, em geral, letras gregas
minu´sculas para nomear estes objetos; no nosso exemplo denotamos o plano por α.
1O leitor interessado podera´ estudar mais sobre isto no livro “Conceitos de espac¸o: a histo´ria das teorias do
espac¸o na f´ısica”, de Max Jammer, editado pela Editora Contraponto no Brasil.
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 10 28/01/2013 11:09:25
11aul a 1: O EspaçO
AULA1: O ESPAC¸O
OBJETIVOS
Introduzir os conceitos elementos primitivos e de axiomas da Geometria Euclidiana no
espac¸o. Apresentar os axiomas de “incideˆncia” e algumas de suas consequeˆncias.
1.1 Introduc¸a˜o
Todos temos uma ideia bem intuitiva do conceito que denominamos “espac¸o”: e´ o ambi-
ente em que vivemos, onde podemos nos mover para os lados, para cima e para baixo,
o mundo “tridimensional”, ou seja, que possui treˆs dimenso˜es, uma a mais que o mundo
plano, bidimensional. Costumamos dizer que somos seres “tridimensionais” por vivermos
neste tal espac¸o. Pois bem, um conceito aparentemente ta˜o simples na verdade esconde uma
complexidade filoso´fica, f´ısica e matema´tica que na˜o imaginamos1. Neste curso na˜o vamos
discutir estas profundas questo˜es, mas abordaremos este assunto da mesma maneira que se
faz quando estudamos a geometria plana do ponto de vista axioma´tico.
Figura 1.1
Nosso ponto de partida neste curso, como ja´ o dissemos na Introduc¸a˜o, e´ o texto [7], onde
apresentamos um modelo axioma´tico para a geometria plana euclidiana. Recomendamos a
todos os estudantes, portanto, que releiam este texto, principalmente as aulas um a treˆs.
Antes de comec¸armos, vamos abordar um problema pra´tico que se tem quando estudamos
geometria espacial: como representar visualmente as figuras tridimensionais. Desenhar fi-
guras planas e´ fa´cil, pois as pa´ginas de um livro, por exemplo, sa˜o boa representac¸a˜o de um
plano. Desenhar figuras que vivem no espac¸o, por outro lado, representa um desafio, ja´ que
os desenhos devem ser apresentados sobre a mesma folha de papel. Assim a imaginac¸a˜o dos
leitores sera´ muito mais exigida neste curso do que num curso de geometria plana. Vamos
mostrar alguns exemplos.
Para comec¸ar, representaremos um plano no espac¸o em geral como na figura 1.1 (na ver-
dade, uma “porc¸a˜o” de um plano – use a imaginac¸a˜o!). Usaremos, em geral, letras gregas
minu´sculas para nomear estes objetos; no nosso exemplo denotamos o plano por α.
1O leitor interessado podera´ estudar mais sobre isto no livro “Conceitos de espac¸o: a histo´ria das teorias do
espac¸o na f´ısica”, de Max Jammer, editado pela Editora Contraponto no Brasil.
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 11 28/01/2013 11:09:25
12 Fundamentos de geometria espacial
Figura 1.2
Na figura 1.2 representamos dois planos α e β que se interceptam segundo uma reta e conteˆm
dois triaˆngulos: o triaˆngulo △LMN contido no plano α, e o triaˆngulo △IJK contido no
plano β. Para dar a noc¸a˜o de tridimensionalidade usamos linhas pontilhadas indicando as
partes da figura que esta˜o atra´s e a` frente dos objetos representados. No nosso exemplo,
pedac¸os dos segmentos IK e JK esta˜o por tra´s da porc¸a˜o do plano α, do aˆngulo de visa˜o
em que desenhamos a situac¸a˜o. Analogamente, partes dos segmentos LM e LN esta˜o por
tra´s da porc¸a˜o desenhada do plano β.
Figura 1.3
Na figura 1.3 representamos uma situac¸a˜o mais elaborada. Desenhamos uma esfera contendo
em seu interior uma piraˆmide triangular (um tetraedro – veremos sobre isto mais adiante).
Os pontos A, B, C e D sa˜o pontos da esfera e todos os segmentos representados (AB, AC,
AD, etc.) esta˜o no interior da esfera. Na verdade os segmentos deveriam estar “escondidos”
de nossa visa˜o pela esfera, mas fica dif´ıcil desenhar assim. Enta˜o, neste caso, deixamos todos
os segmentos representados com linhas cheias, exceto o segmento AD, para indicar que este
esta´ na parte de tra´s do tetraedro. Cabe ao leitor usar sua imaginac¸a˜o e compreensa˜o
intuitiva para completar o significado da figura.
Problema 1.1. Fac¸a uma pesquisa sobre as diversas figuras espaciais que voceˆ ja´ deve
conhecer (prismas, piraˆmides, cones, cilindros, etc.) e as desenhe, tentando dar a sensac¸a˜o
visual de tridimensionalidade.
1.2 Elementos primitivos e axiomas
Em [7] apresentamos os treˆs elementos primitivos da geometria plana: os pontos as retas e
o plano. Quando passamos para o espac¸o “aumentamos” uma “dimensa˜o geome´trica”, isto
e´, passamos a ver um universo onde temos va´rios planos, todos essencialmente co´pias de
um mesmo “modelo”: o plano estudado num curso de geometria plana. Do ponto de vista
formal acrescentamos mais um elemento primitivo em nossa lista. Agora nossos elementos
primitivos sera˜o os pontos, as retas, os planos (no plural, e na˜o mais no singular!) e o
espac¸o. Mas atenc¸a˜o! Esta na˜o e´ uma “nova geometria”. Separamos estes assuntos –
geometria plana e geometria espacial – por questo˜es dida´ticas, mas sa˜o todas partes de um
conjunto u´nico. Em particular, todos os resultados da geometria plana continuam va´lidos,
inclusive os axiomas.
Em [7] apresentamos um sistema axioma´tico da geometria plana dividido em seis grupos
(veja o apeˆndice A):
Grupo I: axiomas de incideˆncia.
Grupo II: axiomas de me´trica na reta e ordem na reta e no plano.
Grupo III: axiomas de medidas de aˆngulos.
Grupo IV: axiomas de congrueˆncia de triaˆngulos.
Grupo V: axioma das paralelas.
Grupo VI: axiomas sobre a´reas de figuras planas.
Para estudarmos a geometria no espac¸o precisaremos atualizar a lista de axiomas. Mas esta
operac¸a˜o na˜o sera´ muito trauma´tica, pois a u´nica modificac¸a˜o (na verdade uma extensa˜o) que
precisa ser feita e´ nos axiomas do grupo I, para abarcar as inter-relac¸o˜es entre os elementos
primitivos que agora incluem planos e o espac¸o.
Os treˆs axiomas do grupo I listados em [7] permanecem como esta˜o, apenas trocando-se a
palavra plano por espac¸o.
Axioma I.1. Por dois pontos distintos do espac¸o passa uma e somente uma reta.
Observac¸a˜o 1.1. Neste texto adotamos a mesma linguagem geome´trica estabelecida
em [7].
Por exemplo, no axioma acima usamos o termo “passar” no sentido de que dados dois pontos
distintos do espac¸o enta˜o existe apenas uma reta que os conte´m.
Axioma I.2. Toda reta do espac¸o possui pelo menos dois pontos distintos.
Axioma I.3. O espac¸o conte´m pelo menos treˆs pontos distintos que na˜o pertencem a
uma mesma reta.
Em seguida precisamos estabelecer condic¸o˜es ana´logas a`s dadas nos axiomas I.1 e I.2 para
planos – isto e´ as condic¸o˜es de determinac¸a˜o de um plano por pontos, e o fato de planos
serem conjuntos na˜o vazios do espac¸o. Primeiro observe o que nossa experieˆncia nos traz:
se voceˆ toma um banco com treˆs pernas e o coloca no cha˜o, vera´ que ele na˜o claudica (veja
figura 1.4).
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 12 28/01/2013 11:09:25
13aul a 1: O EspaçO
Figura 1.2
Na figura 1.2 representamos dois planos α e β que se interceptam segundo uma reta e conteˆm
dois triaˆngulos: o triaˆngulo △LMN contido no plano α, e o triaˆngulo △IJK contido no
plano β. Para dar a noc¸a˜o de tridimensionalidade usamos linhas pontilhadas indicando as
partes da figura que esta˜o atra´s e a` frente dos objetos representados. No nosso exemplo,
pedac¸os dos segmentos IK e JK esta˜o por tra´s da porc¸a˜o do plano α, do aˆngulo de visa˜o
em que desenhamos a situac¸a˜o. Analogamente, partes dos segmentos LM e LN esta˜o por
tra´s da porc¸a˜o desenhada do plano β.
Figura 1.3
Na figura 1.3 representamos uma situac¸a˜o mais elaborada. Desenhamos uma esfera contendo
em seu interior uma piraˆmide triangular (um tetraedro – veremos sobre isto mais adiante).
Os pontos A, B, C e D sa˜o pontos da esfera e todos os segmentos representados (AB, AC,
AD, etc.) esta˜o no interior da esfera. Na verdade os segmentos deveriam estar “escondidos”
de nossa visa˜o pela esfera, mas fica dif´ıcil desenhar assim. Enta˜o, neste caso, deixamos todos
os segmentos representados com linhas cheias, exceto o segmento AD, para indicar que este
esta´ na parte de tra´s do tetraedro. Cabe ao leitor usar sua imaginac¸a˜o e compreensa˜o
intuitiva para completar o significado da figura.
Problema 1.1. Fac¸a uma pesquisa sobre as diversas figuras espaciais que voceˆ ja´ deve
conhecer (prismas, piraˆmides, cones, cilindros, etc.) e as desenhe, tentando dar a sensac¸a˜o
visual de tridimensionalidade.
1.2 Elementos primitivos e axiomas
Em [7] apresentamos os treˆs elementos primitivos da geometria plana: os pontos as retas e
o plano. Quando passamos para o espac¸o “aumentamos” uma “dimensa˜o geome´trica”, isto
e´, passamos a ver um universo onde temos va´rios planos, todos essencialmente co´pias de
um mesmo “modelo”: o plano estudado num curso de geometria plana. Do ponto de vista
formal acrescentamos mais um elemento primitivo em nossa lista. Agora nossos elementos
primitivos sera˜o os pontos, as retas, os planos (no plural, e na˜o mais no singular!) e o
espac¸o. Mas atenc¸a˜o! Esta na˜o e´ uma “nova geometria”. Separamos estes assuntos –
geometria plana e geometria espacial – por questo˜es dida´ticas, mas sa˜o todas partes de um
conjunto u´nico. Em particular, todos os resultados da geometria plana continuam va´lidos,
inclusive os axiomas.
Em [7] apresentamos um sistema axioma´tico da geometria plana dividido em seis grupos
(veja o apeˆndice A):
Grupo I: axiomas de incideˆncia.
Grupo II: axiomas de me´trica na reta e ordem na reta e no plano.
Grupo III: axiomas de medidas de aˆngulos.
Grupo IV: axiomas de congrueˆncia de triaˆngulos.
Grupo V: axioma das paralelas.
Grupo VI: axiomas sobre a´reas de figuras planas.
Para estudarmos a geometria no espac¸o precisaremos atualizar a lista de axiomas. Mas esta
operac¸a˜o na˜o sera´ muito trauma´tica, pois a u´nica modificac¸a˜o (na verdade uma extensa˜o) que
precisa ser feita e´ nos axiomas do grupo I, para abarcar as inter-relac¸o˜es entre os elementos
primitivos que agora incluem planos e o espac¸o.
Os treˆs axiomas do grupo I listados em [7] permanecem como esta˜o, apenas trocando-se a
palavra plano por espac¸o.
Axioma I.1. Por dois pontos distintos do espac¸o passa uma e somente uma reta.
Observac¸a˜o 1.1. Neste texto adotamos a mesma linguagem geome´trica estabelecida em [7].
Por exemplo, no axioma acima usamos o termo “passar” no sentido de que dados dois pontos
distintos do espac¸o enta˜o existe apenas uma reta que os conte´m.
Axioma I.2. Toda reta do espac¸o possui pelo menos dois pontos distintos.
Axioma I.3. O espac¸o conte´m pelo menos treˆs pontos distintos que na˜o pertencem a
uma mesma reta.
Em seguida precisamos estabelecer condic¸o˜es ana´logas a`s dadas nos axiomas I.1 e I.2 para
planos – isto e´ as condic¸o˜es de determinac¸a˜o de um plano por pontos, e o fato de planos
serem conjuntos na˜o vazios do espac¸o. Primeiro observe o que nossa experieˆncia nos traz:
se voceˆ toma um banco com treˆs pernas e o coloca no cha˜o, vera´ que ele na˜o claudica (veja
figura 1.4).
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 13 28/01/2013 11:09:25
14 Fundamentos de geometria espacial
Figura 1.4
Enta˜o e´ razoa´vel estabelecermos o seguinte axioma, que traduz para o mundo abstrato da
matema´tica esta propriedade experimental: precisamos de treˆs pontos para determinar um
plano.
Axioma I.4. Por treˆs pontos distintos na˜o colineares do espac¸o passa um e somente
um plano.
O axioma seguinte garante que planos fazem sentido, ou seja, que sa˜o conjuntos na˜o vazios.
Axioma I.5. Todo plano do espac¸o conte´m pelo menos um ponto.
Observac¸a˜o 1.2. Observe que na˜o exigimos que um plano contenha treˆs pontos, como
sugeriria uma analogia com o axioma I.2, mas apenas um. Veremos mais adiante que,
como consequeˆncia dos axiomas estabelecidos, todo plano conte´m pelo menos treˆs pontos
na˜o colineares.
Nos faltam agora as regras que realmente descrevem o espac¸o tridimensional. Esta “tridi-
mensionalidade” sera´ garantida pelas propriedades descritas a seguir.
α
A
B
s
t
Figura 1.5: – Axioma I.6
Axioma I.6. Se uma reta possui dois pontos distintos em comum com um plano, enta˜o
esta reta esta´ inteiramente contida no plano.
O axioma acima traduz o fato esperado: quando voceˆ trac¸a uma reta numa folha de papel
usando uma re´gua e um la´pis, na˜o tem como deixa´-la perfurando a folha. Na figura 1.5 a
linha designada pela letra s na˜o e´ o que se espera ser uma reta passando pelos pontos A e
B do plano α, mas a linha t representa, esta sim, a reta determinada por estes pontos.
Axioma I.7. Se dois planos distintos possuem um ponto em comum enta˜o sua intersec¸a˜o
e´ uma reta passando por este ponto.
α
t
P
β
Figura 1.6: – Axioma I.7
O axioma I.7 nos diz como planos se “interpenetram” no espac¸o. Dados dois planos no
espac¸o treˆs coisas podem acontecer:
(i) eles sa˜o ideˆnticos, ou
(ii) eles sa˜o distintos e possuem pontos em comum, ou
(iii) eles na˜o teˆm pontos em comum.
Na terceira possibilidade sa˜o chamados de planos paralelos, assunto que veremos com mais
detalhes adiante. Na segunda possibilidade nossa intuic¸a˜o nos diz que a intersec¸a˜o deles
na˜o pode ser muito grande. Se voceˆ examinar as pa´ginas deste livro, imaginando que sa˜o
planos, pode ver que se interceptam numa reta, que e´ a lombada do livro – da´ı este axioma.
Na figura 1.6 representamos dois planos α e β que teˆm um ponto P em comum e, portanto,
possuem a reta t em comum.
Problema 1.2. Se os planos α e β da figura 1.6 possu´ıssem um outro ponto em comum, fora
de t, o que voceˆ pode dizer sobre eles? Em quais dos itens listados acima se encaixariam?
(Sugesta˜o: veja o axioma I.4).
Axioma I.8. Para todo plano α do espac¸o existe pelo menos um ponto P que na˜o esta´
contido em α.
O axioma I.8 descreve formalmente o que nossa visa˜o do espac¸o nos diz: podemos andar
nele para os lados, para cima e para baixo, sem ficarmos presos a uma existeˆncia plana
(figura 1.7).
Figura 1.7: – Axioma
I.8
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 14 28/01/2013 11:09:25
15aul a 1: O EspaçO
Figura 1.4
Enta˜o e´ razoa´vel estabelecermos o seguinte axioma, que traduz para o mundo abstrato da
matema´tica esta propriedade experimental: precisamos de treˆs pontos para determinar um
plano.
Axioma I.4. Por treˆs pontos distintos na˜o colineares do espac¸o passa um e somente
um plano.
O axioma seguinte garante que planos fazem sentido, ou seja, que sa˜o conjuntos na˜o vazios.
Axioma I.5. Todo plano do espac¸o conte´m pelo menos um ponto.
Observac¸a˜o 1.2. Observe que na˜o exigimos que um plano contenha treˆs pontos, como
sugeriria uma analogia com o axioma I.2, mas apenas um. Veremos mais adiante que,
como consequeˆncia dos axiomas estabelecidos, todo plano conte´m pelo menos treˆs pontos
na˜o colineares.
Nos faltam agora as regras que realmente descrevem o espac¸o tridimensional. Esta “tridi-
mensionalidade” sera´ garantida pelas propriedades descritas a seguir.
α
A
B
s
t
Figura 1.5: – Axioma I.6
Axioma I.6. Se uma reta possui dois pontos distintos em comum com um plano, enta˜o
esta reta esta´ inteiramente contida no plano.
O axioma acima traduz o fato esperado: quando voceˆ trac¸a uma reta numa folha de papel
usando uma re´gua e um la´pis, na˜o tem como deixa´-la perfurando a folha. Na figura 1.5 a
linha designada pela letra s na˜o e´ o que se espera ser uma reta passando pelos pontos A e
B do plano α, mas a linha t representa, esta sim, a reta determinada por estes pontos.
Axioma I.7. Se dois planos distintos possuem um ponto em comum enta˜o sua intersec¸a˜o
e´ uma reta passando por este ponto.
α
t
P
β
Figura 1.6: – Axioma I.7
O axioma I.7 nos diz como planos se “interpenetram” no espac¸o. Dados dois planos no
espac¸o treˆs coisas podem acontecer:
(i) eles sa˜o ideˆnticos, ou
(ii) eles sa˜o distintos e possuem pontos em comum, ou
(iii) eles na˜o teˆm pontos em comum.
Na terceira possibilidade sa˜o chamados de planos paralelos, assunto que veremos com mais
detalhes adiante. Na segunda possibilidade nossa intuic¸a˜o nos diz que a intersec¸a˜o deles
na˜o pode ser muito grande. Se voceˆ examinar as pa´ginas deste livro, imaginando que sa˜o
planos, pode ver que se interceptam numa reta, que e´ a lombada do livro – da´ı este axioma.
Na figura 1.6 representamos dois planos α e β que teˆm um ponto P em comum e, portanto,
possuem a reta t em comum.
Problema 1.2. Se os planos α e β da figura 1.6 possu´ıssem um outro ponto em comum, fora
de t, o que voceˆ pode dizer sobre eles? Em quais dos itens listados acima se encaixariam?
(Sugesta˜o: veja o axioma I.4).
Axioma I.8. Para todo plano α do espac¸o existe pelo menos um ponto P que na˜o esta´
contido em α.
O axioma I.8 descreve formalmente o que nossa visa˜o do espac¸o nos diz: podemos andar
nele para os lados, para cima e para baixo, sem ficarmos presos a uma existeˆncia plana
(figura 1.7).
Figura 1.7: – Axioma I.8
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 15 28/01/2013 11:09:25
16 Fundamentos de geometria espacial
1.3 Algumas consequeˆncias dos axiomas do grupo I
Vamos deduzir algumas propriedades dos axiomas que apresentamos. Comec¸amos com a
seguinte
Figura 1.8
Proposic¸a˜o 1.1. Por duas retas concorrentes passa um u´nico plano.
Demonstrac¸a˜o. Sejam r e s duas retas concorrentes num ponto P . Para provar este
resultado vamos seguir os seguintes passos (veja figura 1.8):
(1) Tome os pontos A ∈ r e B ∈ s distintos de P (existem pelo axioma I.2);
(2) tome α o u´nico plano que passa por A, B e P (axioma I.4);
(3) a reta r esta´ contida em α, pois e´ determinada pelos pontos A e P que pertencem a α
(axiomas I.1 e I.6). Analogamente prova-se que s ⊂ α.
Provamos assim que o plano α determinado pelos pontos A, B e P e´ o u´nico plano que
conte´m simultaneamente as retas r e s.
Figura 1.9
Problema 1.3. Adapte a demonstrac¸a˜o da proposic¸a˜o 1.1 para provar o seguinte fato: por
uma reta r e um ponto P fora de r passa um u´nico plano (veja figura 1.9).
Vejamos agora um resultado um pouco mais complicado.
Teorema 1.2. Todo plano possui pelo menos treˆs pontos na˜o colineares.
Demonstrac¸a˜o. Seja α um plano qualquer do espac¸o. Vamos “marcar” treˆs pontos na˜o
colineares em α seguindo os passos abaixo, que voceˆ pode acompanhar nas figuras 1.10 e
1.11:
(1) Existem um ponto P ∈ α e um ponto Q fora de α, pelos axiomas I.5 e I.8, respectiva-
mente.
(2) Seja r = ←→PQ. Pelo axioma I.3 existe um terceiro ponto R /∈ r. Observe que r na˜o esta´
contida em α, ja´ que Q /∈ α.
(3) Pelos treˆs pontos na˜o colineares P , Q e R passa um u´nico plano β (axioma I.4). Observe
que r ⊂ β, ja´ que P e Q pertencem a β.
Figura 1.10 Figura 1.11
(4) Os planos α e β possuem o ponto P em comum, donde α ∩ β = s, onde s e´ uma reta
passando por P (axioma I.7). Observe que Q /∈ s, pois s esta´ contida em α, e Q na˜o
pertence a α.
(5) Seja S um quarto ponto na histo´ria, na˜o contido em β (novamente axioma I.8).
(6) O ponto S e a reta r determinam um plano γ (problema 1.3), distinto de α e β (por
queˆ?).
(7) Os planos α e γ possuem em comum o ponto P , logo α ∩ γ = t, uma reta passando por
P .
(8) Obtemos assim duas retas concorrentes s e t contidas em α.
Para terminar tomamos dois pontos A ∈ s e B ∈ t quaisquer, distintos de P , de forma que
os pontos A, B e P sa˜o pontos de α na˜o colineares, como quer´ıamos.
O estudante pode se perguntar para queˆ demonstrar este resultado do teorema anterior, que
parece ta˜o o´bvio? Este e´ um exemplo da ingrata tarefa de se trabalhar com a formalidade
de um sistema axioma´tico. Na˜o temos nenhuma afirmac¸a˜o, na lista dos axiomas I.1 a I.8,
que nos garanta a existeˆncia de mais de um ponto em um plano, logo precisamos provar que
isto e´ verdade. O que temos e´ o contra´rio: se temos treˆs pontos na˜o colineares enta˜o existe
um plano que os conte´m (axioma I.4).
Chamamos tambe´m atenc¸a˜o para a te´cnica utilizada na demonstrac¸a˜o do teorema 1.2: para
marcar os pontos desejados fomos criando planos e encontrando intersec¸o˜es entre planos e
retas. Esta te´cnica e´ usual em geometria espacial, e a utilizaremos com frequeˆncia. Portanto
convidamos todos a estudarem com bastante atenc¸a˜o os passos desta demonstrac¸a˜o, como
fica implicitamente sugerido nos problemas a seguir.
Problema 1.4. Nas figuras 1.10 e 1.10 ilustramos os passos da demonstrac¸a˜o do teo-
rema 1.2. Diga ate´ qual passo a figura 1.10 corresponde.
Problema 1.5. Tente adaptar a demonstrac¸a˜o do teorema 1.2 para provar o seguinte fato:
dada uma reta r contida num plano α, existe um ponto A ∈ α que na˜o pertence a r.
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 16 28/01/2013 11:09:26
17aul a 1: O EspaçO
1.3 Algumas consequeˆncias dos axiomas do grupo I
Vamos deduzir algumas propriedades dos axiomas que apresentamos. Comec¸amos com a
seguinte
Figura 1.8
Proposic¸a˜o 1.1. Por duas retas concorrentes passa um u´nico plano.
Demonstrac¸a˜o. Sejam r e s duas retas concorrentes num ponto P . Para provar este
resultado vamos seguir os seguintes passos (veja figura 1.8):
(1) Tome os pontos A ∈ r e B ∈ s distintos de P (existem pelo axioma I.2);
(2) tome α o u´nico plano que passa por A, B e P (axioma I.4);
(3) a reta r esta´ contida em α, pois e´ determinada pelos pontos A e P que pertencem a α
(axiomas I.1 e I.6). Analogamente prova-se que s ⊂ α.
Provamos assim que o plano α determinado pelos pontos A, B e P e´ o u´nico plano que
conte´m simultaneamente as retas r e s.
Figura 1.9
Problema 1.3. Adapte a demonstrac¸a˜o da proposic¸a˜o 1.1 para provar o seguinte fato: por
uma reta r e um ponto P fora de r passa um u´nico plano (veja figura 1.9).
Vejamos agora um resultado um pouco mais complicado.
Teorema 1.2. Todo plano possui pelo menos treˆs pontos na˜o colineares.
Demonstrac¸a˜o. Seja α um plano qualquer do espac¸o.
Vamos “marcar” treˆs pontos na˜o
colineares em α seguindo os passos abaixo, que voceˆ pode acompanhar nas figuras 1.10 e
1.11:
(1) Existem um ponto P ∈ α e um ponto Q fora de α, pelos axiomas I.5 e I.8, respectiva-
mente.
(2) Seja r = ←→PQ. Pelo axioma I.3 existe um terceiro ponto R /∈ r. Observe que r na˜o esta´
contida em α, ja´ que Q /∈ α.
(3) Pelos treˆs pontos na˜o colineares P , Q e R passa um u´nico plano β (axioma I.4). Observe
que r ⊂ β, ja´ que P e Q pertencem a β.
Figura 1.10 Figura 1.11
(4) Os planos α e β possuem o ponto P em comum, donde α ∩ β = s, onde s e´ uma reta
passando por P (axioma I.7). Observe que Q /∈ s, pois s esta´ contida em α, e Q na˜o
pertence a α.
(5) Seja S um quarto ponto na histo´ria, na˜o contido em β (novamente axioma I.8).
(6) O ponto S e a reta r determinam um plano γ (problema 1.3), distinto de α e β (por
queˆ?).
(7) Os planos α e γ possuem em comum o ponto P , logo α ∩ γ = t, uma reta passando por
P .
(8) Obtemos assim duas retas concorrentes s e t contidas em α.
Para terminar tomamos dois pontos A ∈ s e B ∈ t quaisquer, distintos de P , de forma que
os pontos A, B e P sa˜o pontos de α na˜o colineares, como quer´ıamos.
O estudante pode se perguntar para queˆ demonstrar este resultado do teorema anterior, que
parece ta˜o o´bvio? Este e´ um exemplo da ingrata tarefa de se trabalhar com a formalidade
de um sistema axioma´tico. Na˜o temos nenhuma afirmac¸a˜o, na lista dos axiomas I.1 a I.8,
que nos garanta a existeˆncia de mais de um ponto em um plano, logo precisamos provar que
isto e´ verdade. O que temos e´ o contra´rio: se temos treˆs pontos na˜o colineares enta˜o existe
um plano que os conte´m (axioma I.4).
Chamamos tambe´m atenc¸a˜o para a te´cnica utilizada na demonstrac¸a˜o do teorema 1.2: para
marcar os pontos desejados fomos criando planos e encontrando intersec¸o˜es entre planos e
retas. Esta te´cnica e´ usual em geometria espacial, e a utilizaremos com frequeˆncia. Portanto
convidamos todos a estudarem com bastante atenc¸a˜o os passos desta demonstrac¸a˜o, como
fica implicitamente sugerido nos problemas a seguir.
Problema 1.4. Nas figuras 1.10 e 1.10 ilustramos os passos da demonstrac¸a˜o do teo-
rema 1.2. Diga ate´ qual passo a figura 1.10 corresponde.
Problema 1.5. Tente adaptar a demonstrac¸a˜o do teorema 1.2 para provar o seguinte fato:
dada uma reta r contida num plano α, existe um ponto A ∈ α que na˜o pertence a r.
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 17 28/01/2013 11:09:26
18 Fundamentos de geometria espacial
1.4 Exerc´ıcios
Figura 1.12: – Exerc´ıcio 1.1
1.1. Analisando visualmente a figura 1.12, onde deve-se considerar que o ponto D na˜o esta´
no mesmo plano que os pontos A, B e P , decida se os pontos nos conjuntos listados mais
abaixo
(i) sa˜o colineares ou
(ii) na˜o sa˜o colineares, mas sa˜o coplanares ou
(iii) na˜o sa˜o coplanares.
(a) {A,B,C,D};
(b) {A,B,D};
(c) {P,D,Q};
(d) {P,B,C};
(e) {A,B,C,Q}.
1.2. Indique quantas retas podem passar por pares escolhidos dentre quatro pontos distintos
A, B, C e D se
(a) A, B e C sa˜o colineares;
(b) cada treˆs pontos na˜o sa˜o colineares;
(c) os pontos na˜o sa˜o coplanares.
Fac¸a um desenho de cada situac¸a˜o poss´ıvel.
1.3. Vimos que treˆs pontos na˜o colineares no espac¸o determinam um u´nico plano. Prove
que se os treˆs pontos sa˜o colineares, enta˜o existem infinitos planos que os conteˆm.
1.4. Sejam A, B e C treˆs pontos na˜o colineares, e seja α o plano determinado por eles.
Prove que os lados do triaˆngulo △ABC esta˜o contidos em α.
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 18 28/01/2013 11:09:26
19aul a 1: O EspaçO
1.5. Sejam A, B, C e D quatro pontos do espac¸o. Decida se cada afirmac¸a˜o a seguir e´
verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta com uma demonstrac¸a˜o ou um contraexemplo,
e fac¸a um desenho para cada situac¸a˜o.
(a) Se AB e CD possuem um ponto em comum, enta˜o sa˜o coplanares.
(b) Se AB e CD na˜o possuem pontos em comum enta˜o na˜o sa˜o coplanares.
(c) Suponha que os pontos A, B e C na˜o sejam colineares. Seja α o plano determinado por
estes pontos. Se D /∈ α enta˜o os segmentos DA, DB e DC na˜o interceptam nenhum dos
interiores dos lados do triaˆngulo △ABC.
(d) Seja, como no item anterior, α o plano determinado pelos pontos na˜o colineares A, B e
C. Se D ∈ α enta˜o pelo menos um dos segmentos DA, DB ou DC intercepta o interior
de algum lado de △ABC.
(e) Ainda nas condic¸o˜es do item anterior. Se um dos segmentos DA, DB ou DC intercepta
o interior de algum lado de △ABC enta˜o D ∈ α.
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 19 28/01/2013 11:09:26
2 Mais propriedades do espaço
AULA2: MAIS PROPRIEDADES DO ESPAC¸O
OBJETIVOS
Apresentar os outros axiomas da Geometria Euclidiana no espac¸o. Analisar, com cuidado,
as seguintes propriedades: separac¸a˜o do espac¸o em semiespac¸os, congrueˆncias no espac¸o, e
paralelismo de retas no espac¸o.
2.1 Introduc¸a˜o
Na aula anterior apresentamos o nosso novo elemento primitivo, o espac¸o, e os axiomas
que regem as inter-relac¸o˜es entre pontos, retas, planos e o espac¸o, chamados axiomas de
incideˆncia. Estes sa˜o, essencialmente, os u´nicos axiomas que precisam ser modificados em
relac¸a˜o a um sistema axioma´tico para a geometria plana. Os outros, como ja´ o dissemos,
permanecem va´lidos. Nesta aula estudaremos os axiomas dos outros grupos e veremos
algumas consequeˆncias.
2.2 Separac¸a˜o do espac¸o: semiespac¸os
Vamos comec¸ar estabelecendo um axioma “curioso”, que sintetiza o que afirmamos na in-
troduc¸a˜o acima:
Axioma E.1. Todos os axiomas dos grupos II, III, IV e V, apresentados em [7], sa˜o
va´lidos na geometria espacial, salvo algumas adaptac¸o˜es.
Queremos dizer com este axioma que todas as afirmac¸o˜es sobre propriedades da geometria
plana sa˜o va´lidas no espac¸o, com as devidas adaptac¸o˜es. Vamos enta˜o “passar os olhos” nos
axiomas apresentados em [7], chamando a atenc¸a˜o para os pontos mais complicados.
Os axiomas II.1 a II.5 de [7] tratam de medida de segmentos, da ordem de pontos numa reta
e de semirretas. Estas propriedades sa˜o transcritas automaticamente para o espac¸o, como
se pode ver facilmente.
Problema 2.1. Reveja os axiomas II.1 a II.5 de [7] e tente visualiza´-los no espac¸o.
O axioma II.6, que trata da separac¸a˜o de um plano em semiplanos por retas, sera´ analisado
com mais detalhes. Vamos reescrever seu enunciado, dentro de nosso novo contexto.
Figura 2.1: – Axioma II.6
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 20 28/01/2013 11:09:27
21Aul A 2 – MAis propriedAdes do espAço
AULA2: MAIS PROPRIEDADES DO ESPAC¸O
OBJETIVOS
Apresentar os outros axiomas da Geometria Euclidiana no espac¸o. Analisar, com cuidado,
as seguintes propriedades: separac¸a˜o do espac¸o em semiespac¸os, congrueˆncias no espac¸o, e
paralelismo de retas no espac¸o.
2.1 Introduc¸a˜o
Na aula anterior apresentamos o nosso novo elemento primitivo, o espac¸o, e os axiomas
que regem as inter-relac¸o˜es entre pontos, retas, planos e o espac¸o, chamados axiomas de
incideˆncia. Estes sa˜o, essencialmente, os u´nicos axiomas que precisam ser modificados em
relac¸a˜o a um sistema axioma´tico para a geometria plana. Os outros, como ja´ o dissemos,
permanecem va´lidos. Nesta aula estudaremos os axiomas dos outros grupos e veremos
algumas consequeˆncias.
2.2 Separac¸a˜o do espac¸o: semiespac¸os
Vamos comec¸ar estabelecendo um axioma “curioso”, que sintetiza o que afirmamos na in-
troduc¸a˜o acima:
Axioma E.1. Todos os axiomas dos grupos II, III, IV e V, apresentados em [7], sa˜o
va´lidos na geometria espacial, salvo algumas adaptac¸o˜es.
Queremos dizer com este axioma que todas as afirmac¸o˜es sobre propriedades da geometria
plana sa˜o va´lidas no espac¸o, com as devidas adaptac¸o˜es. Vamos enta˜o “passar os olhos” nos
axiomas apresentados em [7], chamando a atenc¸a˜o para os pontos mais
complicados.
Os axiomas II.1 a II.5 de [7] tratam de medida de segmentos, da ordem de pontos numa reta
e de semirretas. Estas propriedades sa˜o transcritas automaticamente para o espac¸o, como
se pode ver facilmente.
Problema 2.1. Reveja os axiomas II.1 a II.5 de [7] e tente visualiza´-los no espac¸o.
O axioma II.6, que trata da separac¸a˜o de um plano em semiplanos por retas, sera´ analisado
com mais detalhes. Vamos reescrever seu enunciado, dentro de nosso novo contexto.
Figura 2.1: – Axioma II.6
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 21 28/01/2013 11:09:28
22 Fundamentos de geometria espacial
Axioma II.6. Toda reta l em um plano α determina exatamente dois subconjuntos
αl e α˜l de α, denominados semiplanos de α em relac¸a˜o a l, satisfazendo as seguintes
propriedades:
(a) todos os pontos de α esta˜o contidos em αl ∪ α˜l;
(b) αl ∩ α˜l = l;
(c) dois pontos A e B de α na˜o pertencentes a l esta˜o num mesmo semiplano de α em
relac¸a˜o a l se e somente se AB ∩ l = ∅;
(d) dois pontos A e B na˜o pertencentes a l esta˜o em semiplanos distintos de α em
relac¸a˜o a l se e somente se AB ∩ l ≠ ∅.
Problema 2.2. Compare este enunciado do axioma II.6 com o enunciado do mesmo em [7]
e aponte as diferenc¸as. Aproveite a oportunidade e reescreva os enunciados dos outros
axiomas apresentados em [7], colocando-os no novo contexto.
Na figura 2.1 representamos dois planos α e β no espac¸o. Eles sa˜o cortados pelas retas l
e s, respectivamente, que dividem cada um em dois semiplanos. No caso do plano α, por
exemplo, os pontos A e B esta˜o do mesmo lado1 em relac¸a˜o a l, e os pontos B e C esta˜o em
lados opostos.
Problema 2.3. Na figura 2.1 identifique todos os pontos representados, dizendo de que lado
esta˜o em cada plano α e β, em relac¸a˜o a`s retas l e s, respectivamente.
Situac¸a˜o ana´loga a` descrita no axioma II.6 vale no espac¸o, isto e´, um plano determina no
espac¸o dois conjuntos com propriedades exatamente equivalentes a`s propriedades descritas
neste axioma. No entanto, esta propriedade na˜o precisa ser estabelecida como um axioma,
mas e´ consequeˆncia do axioma II.6, como enunciamos no teorema seguinte.
Figura 2.2: – Separac¸a˜o do Espac¸o
Teorema 2.1 (Separac¸a˜o do espac¸o). Todo plano α do espac¸o determina exatamente dois
subconjuntos na˜o vazios Eα e Ẽα do espac¸o, denominados semiespac¸os em relac¸a˜o a α,
satisfazendo as seguintes propriedades:
(a) todos os pontos do espac¸o esta˜o contidos em Eα ∪ Ẽα;
1Lembramos que os lados de um plano α em relac¸a˜o a uma reta l ⊂ α sa˜o os conjuntos α ∖ l e α˜ ∖ l, na
notac¸a˜o do axioma II.6, onde o s´ımbolo “∖” – vale a pena recordar – significa diferenc¸a de conjuntos.
(b) Eα ∩ Ẽα = α;
(c) dois pontos A e B do espac¸o na˜o pertencentes a α esta˜o num mesmo semiespac¸o em
relac¸a˜o a α se e somente se AB ∩ α = ∅;
(d) dois pontos A e B na˜o pertencentes a α esta˜o em semiespac¸os distintos (ou opostos)
em relac¸a˜o a α se e somente se AB ∩ α ≠ ∅.
Na˜o demonstraremos este teorema agora – sua demonstrac¸a˜o, cuja leitura e´ opcional, sera´
apresentada na u´ltima sec¸a˜o desta aula – mas e´ preciso compreender bem o seu significado.
Para explica´-lo melhor vamos estabelecer uma terminologia, ana´loga a` que voceˆs ja´ viram
num curso de geometria plana em relac¸a˜o a semiplanos:
Definic¸a˜o 2.2. Se α e´ um plano do espac¸o, o conjunto dos pontos de um semiespac¸o
determinado por α que na˜o esta˜o contidos em α e´ um lado do espac¸o em relac¸a˜o a α. Os
lados do espac¸o correspondentes aos semiespac¸os opostos sa˜o chamados de lados opostos em
relac¸a˜o a α.
Na figura 2.2 representamos a situac¸a˜o descrita no teorema 2.1. Os pontos A e C esta˜o de
um mesmo lado do plano α, enquanto que os pontos A e B, e A e D esta˜o em lados opostos.
Usando estes dados podemos concluir que CB ∩ α ≠ ∅. De fato, se CB ∩ α = ∅, enta˜o, pelo
item (c) do teorema, os pontos C e B deveriam estar do mesmo lado do espac¸o em relac¸a˜o
a α. Ora, enta˜o C esta´ no mesmo semiespac¸o que A e no mesmo semiespac¸o que B, que
sa˜o semiespac¸os distintos. Logo C pertence a ambos Eα e Ẽα, contrariando o item (b) do
teorema, ja´ que estamos supondo (implicitamente) que C /∈ α.
Problema 2.4. Prove, adaptando a argumentac¸a˜o apresentada no para´grafo precedente que,
seguindo os dados representados na figura 2.2, BD ∩ α = ∅.
2.3 Aˆngulos e congrueˆncia no espac¸o
Definimos em [7] um aˆngulo simplesmente como sendo um par de semirretas com origem
comum. Esta definic¸a˜o na˜o apresenta nenhum problema quando passamos a veˆ-la do ponto
de vista do espac¸o. No entanto devemos nos lembrar que aˆngulos sa˜o essencialmente objetos
planos. Por exemplo, temos a seguinte propriedade:
Figura 2.3: – Proposic¸a˜o 2.3
Proposic¸a˜o 2.3. Todo aˆngulo no espac¸o determina um u´nico plano.
Problema 2.5. Demonstre a proposic¸a˜o 2.3 (a figura 2.3 da´ uma dica de como resolver
este problema).
Precisamos tomar cuidado, no entanto, com o conceito de regia˜o angular. Para deixar
isto claro, transcrevemos a definic¸a˜o de regia˜o angular apresentada em [7] com as devidas
modificac¸o˜es.
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 22 28/01/2013 11:09:28
23Aul A 2 – MAis propriedAdes do espAço
Axioma II.6. Toda reta l em um plano α determina exatamente dois subconjuntos
αl e α˜l de α, denominados semiplanos de α em relac¸a˜o a l, satisfazendo as seguintes
propriedades:
(a) todos os pontos de α esta˜o contidos em αl ∪ α˜l;
(b) αl ∩ α˜l = l;
(c) dois pontos A e B de α na˜o pertencentes a l esta˜o num mesmo semiplano de α em
relac¸a˜o a l se e somente se AB ∩ l = ∅;
(d) dois pontos A e B na˜o pertencentes a l esta˜o em semiplanos distintos de α em
relac¸a˜o a l se e somente se AB ∩ l ≠ ∅.
Problema 2.2. Compare este enunciado do axioma II.6 com o enunciado do mesmo em [7]
e aponte as diferenc¸as. Aproveite a oportunidade e reescreva os enunciados dos outros
axiomas apresentados em [7], colocando-os no novo contexto.
Na figura 2.1 representamos dois planos α e β no espac¸o. Eles sa˜o cortados pelas retas l
e s, respectivamente, que dividem cada um em dois semiplanos. No caso do plano α, por
exemplo, os pontos A e B esta˜o do mesmo lado1 em relac¸a˜o a l, e os pontos B e C esta˜o em
lados opostos.
Problema 2.3. Na figura 2.1 identifique todos os pontos representados, dizendo de que lado
esta˜o em cada plano α e β, em relac¸a˜o a`s retas l e s, respectivamente.
Situac¸a˜o ana´loga a` descrita no axioma II.6 vale no espac¸o, isto e´, um plano determina no
espac¸o dois conjuntos com propriedades exatamente equivalentes a`s propriedades descritas
neste axioma. No entanto, esta propriedade na˜o precisa ser estabelecida como um axioma,
mas e´ consequeˆncia do axioma II.6, como enunciamos no teorema seguinte.
Figura 2.2: – Separac¸a˜o do Espac¸o
Teorema 2.1 (Separac¸a˜o do espac¸o). Todo plano α do espac¸o determina exatamente dois
subconjuntos na˜o vazios Eα e Ẽα do espac¸o, denominados semiespac¸os em relac¸a˜o a α,
satisfazendo as seguintes propriedades:
(a) todos os pontos do espac¸o esta˜o contidos em Eα ∪ Ẽα;
1Lembramos que os lados de um plano α em relac¸a˜o a uma reta l ⊂ α sa˜o os conjuntos α ∖ l e α˜ ∖ l, na
notac¸a˜o do axioma II.6, onde o s´ımbolo “∖” – vale a pena recordar – significa diferenc¸a de conjuntos.
(b) Eα ∩ Ẽα = α;
(c) dois pontos A e B do espac¸o na˜o pertencentes a α esta˜o num mesmo semiespac¸o em
relac¸a˜o a α se e somente se AB ∩ α = ∅;
(d) dois pontos A e B na˜o pertencentes a α esta˜o em semiespac¸os distintos (ou opostos)
em relac¸a˜o a α se e somente se AB ∩ α ≠ ∅.
Na˜o demonstraremos este teorema agora – sua demonstrac¸a˜o, cuja leitura e´ opcional, sera´
apresentada na u´ltima sec¸a˜o desta aula – mas e´ preciso compreender bem o seu significado.
Para explica´-lo melhor vamos estabelecer uma terminologia, ana´loga a` que voceˆs ja´ viram
num curso de geometria plana em relac¸a˜o a semiplanos:
Definic¸a˜o 2.2. Se α e´ um plano do espac¸o, o conjunto dos pontos de um semiespac¸o
determinado por α que na˜o esta˜o contidos em α e´ um lado do espac¸o em relac¸a˜o a α. Os
lados do espac¸o correspondentes aos semiespac¸os opostos sa˜o chamados de lados opostos em
relac¸a˜o a α.
Na figura 2.2 representamos a situac¸a˜o descrita no teorema 2.1. Os pontos A e C esta˜o de
um mesmo lado do plano α, enquanto que os pontos A e B, e A e D esta˜o em lados opostos.
Usando estes dados podemos concluir que CB ∩ α ≠ ∅. De fato, se CB ∩ α = ∅, enta˜o, pelo
item (c) do teorema, os pontos C e B deveriam estar do mesmo lado do espac¸o em relac¸a˜o
a α. Ora, enta˜o C esta´ no mesmo semiespac¸o que A e no mesmo semiespac¸o que B, que
sa˜o semiespac¸os distintos. Logo C pertence a ambos Eα e Ẽα, contrariando o item (b) do
teorema, ja´ que estamos supondo (implicitamente) que C /∈ α.
Problema 2.4. Prove, adaptando a argumentac¸a˜o apresentada no para´grafo precedente que,
seguindo os dados representados na figura 2.2, BD ∩ α = ∅.
2.3 Aˆngulos e congrueˆncia no espac¸o
Definimos em [7] um aˆngulo simplesmente como sendo um par de semirretas com origem
comum. Esta definic¸a˜o na˜o apresenta nenhum problema quando passamos a veˆ-la do ponto
de vista do espac¸o. No entanto devemos nos lembrar que aˆngulos sa˜o essencialmente objetos
planos. Por exemplo, temos a seguinte propriedade:
Figura 2.3: – Proposic¸a˜o 2.3
Proposic¸a˜o 2.3. Todo aˆngulo no espac¸o determina um u´nico plano.
Problema 2.5. Demonstre a proposic¸a˜o 2.3 (a figura 2.3 da´ uma dica de como resolver
este problema).
Precisamos tomar cuidado, no entanto, com o conceito de regia˜o angular. Para deixar
isto claro, transcrevemos a definic¸a˜o de regia˜o angular apresentada em [7] com as devidas
modificac¸o˜es.
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 23 28/01/2013 11:09:28
24 Fundamentos de geometria espacial
Definic¸a˜o 2.4. A regia˜o angular determinada por um aˆngulo (na˜o trivial) ∡A = ∡BAC e´
o subconjunto
R∡A = αl ∩ αr,
onde α e´ o plano determinado por A, B e C, l =←→AB, r =←→AC, αl e´ o semiplano de α relativo
a l que conte´m o ponto C, e αr e´ o semiplano de α relativo a r que conte´m o ponto B.
Os pontos pertencentes a R∡A que na˜o pertencem aos lados de ∡A sa˜o denominados pon-
tos interiores a ∡A, e os pontos que na˜o pertencem a R∡A e nem aos lados de ∡A sa˜o
denominados pontos exteriores a ∡A.
Se D e´ um ponto interior a ∡A dizemos que �→AD ⊂ α divide ou separa o aˆngulo ∡A.
Problema 2.6. Compare a definic¸a˜o acima com a definic¸a˜o de regia˜o angular apresentada
em [7], apontando as diferenc¸as, e fac¸a um desenho.
Observac¸a˜o 2.1. As definic¸o˜es de aˆngulo adjacente, aˆngulo raso e aˆngulo suplementar
tambe´m sa˜o todas relativas ao plano determinado pelo aˆngulo em questa˜o, ou seja, sa˜o
objetos planos.
Se prestarmos atenc¸a˜o na definic¸a˜o 2.4 e na observac¸a˜o acima vemos que os axiomas III.1 e
III.2 do grupo III – axiomas sobre medidas de aˆngulos no plano – vistos em [7], sa˜o va´lidos
no espac¸o sem necessidade de adaptar seus enunciados. No entanto, o axioma III.3 precisa
de ser reescrito, como se segue.
Axioma III.3. Para toda semirreta
�→
AB, todo nu´mero real a tal que 0 < a < 180, e cada
plano ξ contendo
�→
AB existem exatamente duas semirretas
�→
AD ⊂ ξl e ��→AD′ ∈ ξ˜l tais que
m(∡BAD) =m(∡BAD′) = a,
onde l =←→AB e ξl, ξ˜l sa˜o semiplanos de ξ em relac¸a˜o a l.
Figura 2.4: – Axioma III.3
Na figura 2.4 representamos a situac¸a˜o descrita no axioma III.3. No plano ξ temos os pontos
D e D′ em lados opostos da reta l =←→AB como no axioma III.3, isto e´, tais que
m(∡BAD) =m(∡BAD′) = a,
para um dado nu´mero a com 0 < a < 180. Analogamente fica garantida a existeˆncia de dois
pontos P e P ′ num outro plano α passando por l, com
m(∡BAP ) =m(∡BAP ′) = a.
Figura 2.5: – Caso LAL de congrueˆncia de triaˆngulos
Fechamos esta sec¸a˜o com algumas observac¸o˜es sobre congrueˆncias. No sistema axioma´tico
de geometria plana apresentado em [7] baseamos a ideia de congrueˆncia na ideia de medida.
Estes conceitos, e os axiomas relativos, permanecem inalterados no nosso sistema para a
geometria espacial. Em particular, o axioma IV em [7], que postula o caso “lado-aˆngulo-
lado” (LAL) de congrueˆncia de triaˆngulos e´ va´lido tambe´m ao se comparar triaˆngulos em
planos distintos. Por exemplo, na figura 2.5 representamos os triaˆngulos △ABC e △PQR
nos planos α e β, respectivamente, tais que
AB ≡ PQ∡ABC ≡ ∡PQR
BC ≡ QR
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭(LAL)
Nestas condic¸o˜es, pelo caso LAL de congrueˆncia de triaˆngulos tem-se que △ABC ≡△PQR.
Vamos agora resolver um problema de congrueˆncia no espac¸o no exemplo a seguir.
Exemplo 2.1. Na figura 2.6 sabe-se que A, B, C e D sa˜o pontos na˜o coplanares, e que B,
C e D esta˜o no plano α. Se AB ⊥ BC, AB ⊥ BD e BC ≡ BD, demonstre que AC ≡ AD.
α
B
A
C
D
Figura 2.6: – Exemplo 2.1 e problema 2.7
Soluc¸a˜o: Os triaˆngulos △ABD e △ABC sa˜o congruentes pelo caso LAL, pois
AB ≡ AB Lado comum aos triaˆngulos;∡ABD ≡ ∡ABC Aˆngulos retos, por hipo´tese;
BD ≡ BC Lados congruentes, por hipo´tese.
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭(LAL)
Logo os lados AD e AC sa˜o congruentes. ⊲
Resolva voceˆ o problema seguinte.
Problema 2.7. Novamente usando a figura 2.6 como refereˆncia, suponha que ∡DAB ≡∡CAB, AB ⊥ BD e AB ⊥ BC. Nestas condic¸o˜es, prove que AD ≡ AC.
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 24 28/01/2013 11:09:28
25Aul A 2 – MAis propriedAdes do espAço
Definic¸a˜o 2.4. A regia˜o angular determinada por um aˆngulo (na˜o trivial) ∡A = ∡BAC e´
o subconjunto
R∡A = αl ∩ αr,
onde α e´ o plano determinado por A, B e C, l =←→AB, r =←→AC, αl e´ o semiplano de α relativo
a l que conte´m o ponto C, e αr e´ o semiplano de α relativo a r que conte´m o ponto B.
Os pontos pertencentes a R∡A que na˜o pertencem aos lados de ∡A sa˜o denominados pon-
tos interiores a ∡A, e os pontos que na˜o pertencem a R∡A e nem aos lados de ∡A sa˜o
denominados pontos exteriores a ∡A.
Se D e´ um ponto interior a ∡A dizemos que �→AD ⊂ α divide ou separa o aˆngulo ∡A.
Problema 2.6. Compare a definic¸a˜o acima com a definic¸a˜o de regia˜o angular apresentada
em [7], apontando as diferenc¸as, e fac¸a um desenho.
Observac¸a˜o 2.1. As definic¸o˜es de aˆngulo adjacente, aˆngulo raso e aˆngulo suplementar
tambe´m sa˜o todas relativas ao plano determinado pelo aˆngulo em questa˜o, ou seja, sa˜o
objetos planos.
Se prestarmos atenc¸a˜o na definic¸a˜o 2.4 e na observac¸a˜o acima vemos que os axiomas III.1 e
III.2 do grupo III – axiomas sobre medidas de aˆngulos no plano – vistos em [7], sa˜o va´lidos
no espac¸o sem necessidade de adaptar seus enunciados. No entanto, o axioma III.3 precisa
de ser reescrito, como se segue.
Axioma III.3. Para toda semirreta
�→
AB, todo nu´mero real a tal que 0 < a < 180, e cada
plano ξ contendo
�→
AB existem exatamente duas semirretas
�→
AD ⊂ ξl e ��→AD′ ∈ ξ˜l tais que
m(∡BAD) =m(∡BAD′) = a,
onde l =←→AB e ξl, ξ˜l sa˜o semiplanos de ξ em relac¸a˜o a l.
Figura 2.4: – Axioma III.3
Na figura 2.4 representamos a situac¸a˜o descrita no axioma III.3. No plano ξ temos os pontos
D e D′ em lados opostos da reta l =←→AB como no axioma III.3, isto e´, tais que
m(∡BAD) =m(∡BAD′) = a,
para um dado nu´mero a com 0 < a < 180. Analogamente fica garantida a existeˆncia de dois
pontos P e P ′ num outro plano α passando por l, com
m(∡BAP ) =m(∡BAP ′) = a.
Figura 2.5: – Caso LAL de congrueˆncia de triaˆngulos
Fechamos esta sec¸a˜o com algumas observac¸o˜es sobre congrueˆncias. No sistema axioma´tico
de geometria plana apresentado em [7] baseamos a ideia de congrueˆncia na ideia de medida.
Estes conceitos, e os axiomas relativos, permanecem inalterados no nosso sistema para a
geometria espacial. Em particular, o axioma IV em [7], que postula o caso “lado-aˆngulo-
lado” (LAL) de congrueˆncia de triaˆngulos e´ va´lido tambe´m ao se comparar triaˆngulos
em
planos distintos. Por exemplo, na figura 2.5 representamos os triaˆngulos △ABC e △PQR
nos planos α e β, respectivamente, tais que
AB ≡ PQ∡ABC ≡ ∡PQR
BC ≡ QR
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭(LAL)
Nestas condic¸o˜es, pelo caso LAL de congrueˆncia de triaˆngulos tem-se que △ABC ≡△PQR.
Vamos agora resolver um problema de congrueˆncia no espac¸o no exemplo a seguir.
Exemplo 2.1. Na figura 2.6 sabe-se que A, B, C e D sa˜o pontos na˜o coplanares, e que B,
C e D esta˜o no plano α. Se AB ⊥ BC, AB ⊥ BD e BC ≡ BD, demonstre que AC ≡ AD.
α
B
A
C
D
Figura 2.6: – Exemplo 2.1 e problema 2.7
Soluc¸a˜o: Os triaˆngulos △ABD e △ABC sa˜o congruentes pelo caso LAL, pois
AB ≡ AB Lado comum aos triaˆngulos;∡ABD ≡ ∡ABC Aˆngulos retos, por hipo´tese;
BD ≡ BC Lados congruentes, por hipo´tese.
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭(LAL)
Logo os lados AD e AC sa˜o congruentes. ⊲
Resolva voceˆ o problema seguinte.
Problema 2.7. Novamente usando a figura 2.6 como refereˆncia, suponha que ∡DAB ≡∡CAB, AB ⊥ BD e AB ⊥ BC. Nestas condic¸o˜es, prove que AD ≡ AC.
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 25 28/01/2013 11:09:28
26 Fundamentos de geometria espacial
2.4 O axioma das paralelas no espac¸o
Vimos em [7] que duas retas paralelas no plano sa˜o retas que na˜o teˆm pontos em comum.
No espac¸o, pore´m, temos outra situac¸a˜o em que retas na˜o teˆm pontos em comum, as retas
reversas:
Figura 2.7: – Retas reversas
Definic¸a˜o 2.5. Duas retas no espac¸o sa˜o reversas se na˜o esta˜o contidas em um mesmo
plano.
Na figura 2.7 representamos duas retas reversas. Para indicar em ilustrac¸o˜es que as retas sa˜o
reversas, sem a necessidade de trac¸ar um plano, faremos como na figura 2.7b, onde queremos
expressar a ideia de que a reta r passa “por tra´s” da reta l em relac¸a˜o a` nossa visa˜o.
Problema 2.8. Como voceˆ demonstraria a existeˆncia de retas reversas? Isto e´, tome uma
reta r e um ponto P /∈ r e prove que por P passam retas reversas a r.
Problema 2.9. Sejam r e s duas retas reversas. Tome A ∈ r e B ∈ s e sejam α o plano
determinado por r e B, e β o plano determinado por s e A. Desenhe a situac¸a˜o descrita e
diga quem e´ α ∩ β.
A definic¸a˜o de retas paralelas fica assim:
Figura 2.8: – Retas paralelas
Definic¸a˜o 2.6. Duas retas r e l no espac¸o sa˜o paralelas se sa˜o coplanares e na˜o possuem
pontos em comum. Denotaremos esta relac¸a˜o, como e´ tradicional, por r ∥ l.
O axioma das paralelas continua valendo.
Axioma V. Dada uma reta no espac¸o, por cada ponto que na˜o lhe pertencente passa,
no ma´ximo, uma reta paralela a ela.
Como todos devem se lembrar, na geometria plana demonstramos a existeˆncia de retas
paralelas. Este fato (e sua demonstrac¸a˜o) sa˜o va´lidos no espac¸o. E´ preciso apenas ter um
pequeno cuidado a mais.
Teorema 2.7. Sejam dados uma reta r e um ponto P fora de r. Enta˜o existe uma u´nica
reta s passando por P e paralela a r.
Demonstrac¸a˜o. Reduzimos o problema no espac¸o a um problema no plano: seja α o plano
determinado por r e P , e tome s ⊂ α a reta paralela a r passando por P , cuja existeˆncia e´
garantida pelo que foi visto em geometria plana. A unicidade segue do axioma V.
Problema 2.10. Reveja a demonstrac¸a˜o da existeˆncia de retas paralelas em um texto de
fundamentos geometria plana, como [7], por exemplo.
Duas retas paralelas determinam um u´nico plano. Vamos registrar este fato como uma
proposic¸a˜o.
Proposic¸a˜o 2.8. Por duas retas paralelas r e l passa um u´nico plano.
Demonstrac¸a˜o. Observe que, por definic¸a˜o, as retas paralelas r e l esta˜o contidas em um
plano α. Suponha que exista um outro plano β contendo r e l. Se P e´ um ponto de l,
enta˜o β e´ determinado por r e P . Mas α tambe´m e´ determinado por r e P donde, pelo
problema 1.3, α = β.
Va´rias propriedades que as retas paralelas obedecem no plano se transferem para o espac¸o.
Uma das mais importantes e´ a transitividade que registramos no teorema a seguir, cuja
demonstrac¸a˜o sera´ apresentada na sec¸a˜o 2.5.
α
t
r
βγ
s
Figura 2.9: – Teorema 2.9
Teorema 2.9. Se r, s e t sa˜o retas tais que r ∥ s e s ∥ t enta˜o r ∥ t.
Apresentamos a seguir um exemplo de aplicac¸a˜o deste teorema.
Exemplo 2.2. Em geometria plana prova-se o seguinte resultado: dado um quadrila´tero
qualquer ◻ABCD num plano, os pontos me´dios de seus lados sa˜o ve´rtices de um paralelo-
gramo. O mesmo resultado vale se os ve´rtices do quadrila´tero na˜o sa˜o coplanares (veja a
figura 2.10)
De fato, tome 4 pontos A, B, C e D na˜o coplanares, e seja α o plano determinado por A, B
e D. Sejam M , N , P e Q os pontos me´dios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente.
Enta˜o temos, no triaˆngulo △ABD, que
MP ∥ BD e MP = BD
2
.
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 26 28/01/2013 11:09:28
27Aul A 2 – MAis propriedAdes do espAço
2.4 O axioma das paralelas no espac¸o
Vimos em [7] que duas retas paralelas no plano sa˜o retas que na˜o teˆm pontos em comum.
No espac¸o, pore´m, temos outra situac¸a˜o em que retas na˜o teˆm pontos em comum, as retas
reversas:
Figura 2.7: – Retas reversas
Definic¸a˜o 2.5. Duas retas no espac¸o sa˜o reversas se na˜o esta˜o contidas em um mesmo
plano.
Na figura 2.7 representamos duas retas reversas. Para indicar em ilustrac¸o˜es que as retas sa˜o
reversas, sem a necessidade de trac¸ar um plano, faremos como na figura 2.7b, onde queremos
expressar a ideia de que a reta r passa “por tra´s” da reta l em relac¸a˜o a` nossa visa˜o.
Problema 2.8. Como voceˆ demonstraria a existeˆncia de retas reversas? Isto e´, tome uma
reta r e um ponto P /∈ r e prove que por P passam retas reversas a r.
Problema 2.9. Sejam r e s duas retas reversas. Tome A ∈ r e B ∈ s e sejam α o plano
determinado por r e B, e β o plano determinado por s e A. Desenhe a situac¸a˜o descrita e
diga quem e´ α ∩ β.
A definic¸a˜o de retas paralelas fica assim:
Figura 2.8: – Retas paralelas
Definic¸a˜o 2.6. Duas retas r e l no espac¸o sa˜o paralelas se sa˜o coplanares e na˜o possuem
pontos em comum. Denotaremos esta relac¸a˜o, como e´ tradicional, por r ∥ l.
O axioma das paralelas continua valendo.
Axioma V. Dada uma reta no espac¸o, por cada ponto que na˜o lhe pertencente passa,
no ma´ximo, uma reta paralela a ela.
Como todos devem se lembrar, na geometria plana demonstramos a existeˆncia de retas
paralelas. Este fato (e sua demonstrac¸a˜o) sa˜o va´lidos no espac¸o. E´ preciso apenas ter um
pequeno cuidado a mais.
Teorema 2.7. Sejam dados uma reta r e um ponto P fora de r. Enta˜o existe uma u´nica
reta s passando por P e paralela a r.
Demonstrac¸a˜o. Reduzimos o problema no espac¸o a um problema no plano: seja α o plano
determinado por r e P , e tome s ⊂ α a reta paralela a r passando por P , cuja existeˆncia e´
garantida pelo que foi visto em geometria plana. A unicidade segue do axioma V.
Problema 2.10. Reveja a demonstrac¸a˜o da existeˆncia de retas paralelas em um texto de
fundamentos geometria plana, como [7], por exemplo.
Duas retas paralelas determinam um u´nico plano. Vamos registrar este fato como uma
proposic¸a˜o.
Proposic¸a˜o 2.8. Por duas retas paralelas r e l passa um u´nico plano.
Demonstrac¸a˜o. Observe que, por definic¸a˜o, as retas paralelas r e l esta˜o contidas em um
plano α. Suponha que exista um outro plano β contendo r e l. Se P e´ um ponto de l,
enta˜o β e´ determinado por r e P . Mas α tambe´m e´ determinado por r e P donde, pelo
problema 1.3, α = β.
Va´rias propriedades que as retas paralelas obedecem no plano se transferem para o espac¸o.
Uma das mais importantes e´ a transitividade que registramos no teorema a seguir, cuja
demonstrac¸a˜o sera´ apresentada na sec¸a˜o 2.5.
α
t
r
βγ
s
Figura 2.9: – Teorema 2.9
Teorema 2.9. Se r, s e t sa˜o retas tais que r ∥ s e s ∥ t enta˜o r ∥ t.
Apresentamos a seguir um exemplo de aplicac¸a˜o deste teorema.
Exemplo 2.2. Em geometria plana prova-se o seguinte resultado: dado um quadrila´tero
qualquer
◻ABCD num plano, os pontos me´dios de seus lados sa˜o ve´rtices de um paralelo-
gramo. O mesmo resultado vale se os ve´rtices do quadrila´tero na˜o sa˜o coplanares (veja a
figura 2.10)
De fato, tome 4 pontos A, B, C e D na˜o coplanares, e seja α o plano determinado por A, B
e D. Sejam M , N , P e Q os pontos me´dios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente.
Enta˜o temos, no triaˆngulo △ABD, que
MP ∥ BD e MP = BD
2
.
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 27 28/01/2013 11:09:29
28 Fundamentos de geometria espacial
α
A
B
D
C
O
N
P
M
Figura 2.10: – Exemplo 2.2
Analogamente, no triaˆngulo △BCD temos
ON ∥ BD e ON = BD
2
.
Assim temos que
(i) MP ∥ BD e ON ∥ BD ⇒ MP ∥ ON , pelo teorema anterior. Em particular, ←�→MP e←�→
ON sa˜o coplanares, ou seja, os quatro pontos me´dios pertencem a um mesmo plano.
(ii) MP ≡ ON .
Provamos enta˜o que ◻MNOP e´ um quadrila´tero contido num plano com dois lados paralelos
e congruentes, donde e´ um paralelogramo. ⊲
Problema 2.11. Reveja as demonstrac¸o˜es dos fatos sobre paralelogramos utilizados no
exemplo acima em [7] ou outra fonte qualquer.
2.5 Opcional: demonstrac¸a˜o dos teoremas 2.1 e 2.9
Apresentamos nesta sec¸a˜o as demonstrac¸o˜es dos teoremas 2.1 e 2.9, cuja leitura e´ opcional.
Comec¸amos pelo teorema 2.1.
Demonstrac¸a˜o. (Teorema 2.1) Sejam α um plano e P /∈ α um ponto (existe o ponto
P pelo axioma I.8). Vamos “construir” os conjuntos Eα e Ẽα e provar que satisfazem as
propriedades enunciadas, seguindo os passos abaixo.
(1) Definamos Eα e Ẽα da seguinte forma:
Eα = {pontos X do espac¸o tais que XP ∩ α = ∅} ∪ {P} ∪ α
Ẽα = {pontos X do espac¸o tais que XP ∩ α ≠ ∅}
Observe que Eα ≠ ∅, pois P ∈ Eα. Para verificar que Ẽα ≠ ∅ tome Q ∈ α (pelo axioma
I.5) e na reta
←→
PQ tome R tal que P −Q −R2. Assim R ∈ Ẽα (veja figura 2.11).
2Lembramos que em [7] usamos a notac¸a˜o P −Q −R para indicar que o ponto Q esta´ entre P e R, isto e´,
que o ponto Q pertence ao interior do segmento PR. Em particular, a existeˆncia de R e´ garantida pelo
axioma II.3 de [7].
Figura 2.11
(2) O item (a) do teorema e´ consequeˆncia direta da definic¸a˜o dos conjuntos Eα e Ẽα: dado
um ponto X qualquer do espac¸o, podem acontecer duas coisas:
(a) ou XP ∩ α = ∅, donde X ∈ Eα;
(b) ou XP ∩α ≠ ∅, donde X ∈ Ẽα (observe que este u´ltimo caso engloba a possibilidade
X ∈ α.).
Logo todos os pontos do espac¸o esta˜o em Eα ∪ Ẽα.
(3) Para provar (b) tomemos X ∈ α. Enta˜o X ∈ Eα por definic¸a˜o, e X ∈ Ẽα pois, neste
segundo caso, XP ∩ α = {X} ≠ ∅. Assim α ⊂ Eα ∩ Ẽα.
Para verificar a contineˆncia rec´ıproca tomemos agora X ∈ Eα ∩ Ẽα. Como X ∈ Ẽα e
P /∈ Ẽα enta˜o X ≠ P . Em particular XP ∩ α = {D}, D um ponto de α. Por outro lado,
como X ∈ Eα enta˜o
(i) ou XP ∩ α = ∅, ou
(ii) X = P , ou
(iii) X ∈ α.
Ora, ja´ vimos que os itens (i) e (ii) acima na˜o podem acontecer, donde so´ pode ser X ∈ α,
ou seja, Eα ∩ Ẽα ⊂ α, como quer´ıamos provar.
(4) Para a demonstrac¸a˜o dos itens (c) e (d) vamos chamar a atenc¸a˜o para o seguinte fato:
se P , A e B sa˜o treˆs pontos do espac¸o, sempre existe um plano que os conte´m (veja o
exerc´ıcio 1.3), e este plano pode ou na˜o interceptar o plano α. Posto isto, vamos analisar
(c).
Primeiro suponhamos que A e B, pontos fora de α, pertenc¸am a um mesmo semiespac¸o,
por exemplo, A, B ∈ Eα. Neste caso, por definic¸a˜o, AP e BP na˜o interceptam α. Seja β
um plano contendo A, B e P . Se α e β na˜o se encontram, enta˜o e´ claro que AB ∩α = ∅
(veja figura 2.12d). No caso em que α e β se encontram, tomemos α∩β = l. Aplicando o
axioma II.6 ao plano β e a` reta l vemos AB∩ l = ∅, donde AB∩α = ∅ (veja figura 2.12a).
Se A, B ∈ Ẽα a demonstrac¸a˜o e´ ana´loga, e deixamos os detalhes por conta do leitor (veja
figura 2.12c).
Para verificar a rec´ıproca suponhamos que AB na˜o intercepte α e provemos que A
e B esta˜o num mesmo semiespac¸o. O argumento segue a mesma ideia do para´grafo
precedente: tome β um plano contendo A, B e P . Se β na˜o encontra α, enta˜o AP
e BP tambe´m na˜o cortam α, donde A e B pertencem a Eα, por definic¸a˜o. Se β e α
se interceptam segundo uma reta l, enta˜o AB na˜o encontra l donde, pelo axioma II.6
aplicado a β e l, conclu´ımos que A e B se encontram num mesmo semiplano de β em
relac¸a˜o a l, ou seja, A e B se encontram num mesmo semiespac¸o em relac¸a˜o a α.
Fundamentos de Geometria Espacial.indd 28 28/01/2013 11:09:29
29Aul A 2 – MAis propriedAdes do espAço
α
A
B
D
C
O
N
P
M
Figura 2.10: – Exemplo 2.2
Analogamente, no triaˆngulo △BCD temos
ON ∥ BD e ON = BD
2
.
Assim temos que
(i) MP ∥ BD e ON ∥ BD ⇒ MP ∥ ON , pelo teorema anterior. Em particular, ←�→MP e←�→
ON sa˜o coplanares, ou seja, os quatro pontos me´dios pertencem a um mesmo plano.
(ii) MP ≡ ON .
Provamos enta˜o que ◻MNOP e´ um quadrila´tero contido num plano com dois lados paralelos
e congruentes, donde e´ um paralelogramo. ⊲
Problema 2.11. Reveja as demonstrac¸o˜es dos fatos sobre paralelogramos utilizados no
exemplo acima em [7] ou outra fonte qualquer.
2.5 Opcional: demonstrac¸a˜o dos teoremas 2.1 e 2.9
Apresentamos nesta sec¸a˜o as demonstrac¸o˜es dos teoremas 2.1 e 2.9, cuja leitura e´ opcional.
Comec¸amos pelo teorema 2.1.
Demonstrac¸a˜o. (Teorema 2.1) Sejam α um plano e P /∈ α um ponto (existe o ponto
P pelo axioma I.8). Vamos “construir” os conjuntos Eα e Ẽα e provar que satisfazem as
propriedades enunciadas, seguindo os passos abaixo.
(1) Definamos Eα e Ẽα da seguinte forma:
Eα = {pontos X do espac¸o tais que XP ∩ α = ∅} ∪ {P} ∪ α
Ẽα = {pontos X do espac¸o tais que XP ∩ α ≠ ∅}
Observe que Eα ≠ ∅, pois P ∈ Eα. Para verificar que Ẽα ≠ ∅ tome Q ∈ α (pelo axioma
I.5) e na reta
←→
PQ tome R tal que P −Q −R2. Assim R ∈ Ẽα (veja figura 2.11).
2Lembramos que em [7] usamos a notac¸a˜o P −Q −R para indicar que o ponto Q esta´ entre P e R, isto e´,
que o ponto Q pertence ao interior do segmento PR. Em particular, a existeˆncia de R e´ garantida pelo
axioma II.3 de [7].
Figura 2.11
(2) O item (a) do teorema e´ consequeˆncia direta da definic¸a˜o dos conjuntos Eα e Ẽα: dado
um ponto X qualquer do espac¸o, podem acontecer duas coisas:
(a) ou XP ∩ α = ∅, donde X ∈ Eα;
(b) ou XP ∩α ≠ ∅, donde X ∈ Ẽα (observe que este u´ltimo caso engloba a possibilidade
X ∈ α.).
Logo todos os pontos do espac¸o esta˜o em Eα ∪ Ẽα.
(3) Para provar (b) tomemos X ∈ α. Enta˜o X ∈ Eα por definic¸a˜o, e X ∈ Ẽα pois, neste
segundo caso, XP ∩ α = {X} ≠ ∅. Assim α ⊂ Eα ∩ Ẽα.
Para verificar a contineˆncia rec´ıproca tomemos agora X ∈ Eα ∩ Ẽα. Como X ∈ Ẽα e
P /∈ Ẽα enta˜o X ≠ P . Em particular XP ∩ α = {D}, D um ponto de α. Por outro lado,
como X ∈ Eα enta˜o
(i) ou XP ∩ α = ∅, ou
(ii) X = P , ou
(iii) X ∈ α.
Ora, ja´ vimos que os itens (i) e (ii) acima na˜o podem acontecer, donde so´ pode ser X ∈ α,
ou seja, Eα ∩ Ẽα ⊂ α, como quer´ıamos provar.
(4) Para a demonstrac¸a˜o dos itens (c) e (d) vamos chamar a atenc¸a˜o para o seguinte fato:
se P , A e B sa˜o treˆs pontos do espac¸o, sempre existe um plano que os conte´m (veja o
exerc´ıcio 1.3), e este plano pode ou na˜o interceptar o plano α. Posto isto, vamos analisar
(c).
Primeiro suponhamos que A e B, pontos fora de α, pertenc¸am a um mesmo semiespac¸o,
por exemplo, A, B ∈ Eα. Neste caso, por definic¸a˜o, AP e BP na˜o interceptam α. Seja β
um plano contendo A, B e P . Se α e β na˜o se encontram, enta˜o e´ claro que AB ∩α = ∅
(veja figura 2.12d). No caso em que α e β se encontram, tomemos α∩β = l. Aplicando o
axioma II.6 ao plano β e a` reta l vemos AB∩ l = ∅, donde AB∩α = ∅ (veja figura 2.12a).
Se A, B ∈ Ẽα a demonstrac¸a˜o e´ ana´loga, e deixamos os detalhes por conta do leitor (veja
figura 2.12c).
Para verificar a rec´ıproca suponhamos que AB na˜o intercepte α e provemos que A
e B esta˜o num mesmo semiespac¸o. O argumento segue a mesma ideia do para´grafo
precedente: