Teoria dos Números aula 4 conteudo on line

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Teoria dos Números
Aula 4: Congruência
Inteiros congruentes
Sejam a e b dois inteiros quaisquer e seja m um inteiro positivo fixo. Diz-se que a é congruente a b módulo m se e somente se m divide a diferença a-b.
De outra forma: a é congruente a ≡ b módulo m se e somente se existe um inteiro k tal que a- b =km.
ab (mód.m) indica-se que a é congruente a b módulo m. Portanto, simbolicamente:
ab (mód.m) ↔ m|(a-b)
Ou seja:
ab (mód.m) K  Z | a-b = km
Exemplos:
12  3 (mód. 3) , pois 3|(12-3)
2513 (mód. 6) , pois 6|(25-13)
-15-63 (mód. 8) , pois 8|(-15+63)
Se a não divide a diferença a-b, então diz-se que a é incongruente a ≡ b módulo m, o que se indica pela notação:
ab (mód.m)
 
Observações:
Caracterização de inteiros congruentes
Teorema: Dois inteiros a e b são congruentes módulo m se e somente se a e b deixam o mesmo resto quando divididos por m.
 Exemplos: 
Mostrar que 32≡ 23 (mód.3).
Solução:
Devemos mostrar que 32 e 23, quando divididos por 3, deixam o mesmo resto. De fato:
32 dividido por 3 deixa resto 2 e 23 dividido por 3 também deixa resto 2.
Teorema: Dois inteiros a e b são congruentes módulo m se e somente se a e b deixam o mesmo resto quando divididos por m.
Exemplos: 
Mostrar que os inteiros -46 e 24 deixam o mesmo resto quando divididos por 7.
Solução:
-46≡24(mód.7).pois 7|(-46-24)
Congruência módulo m
Teorema: Seja m um inteiro fixo e sejam a, b e c inteiros quaisquer.
a ≡ a (mód.m)
Se a ≡ b (mód.m) , então b (mód.m)
Se a ≡ b (mód.m) e se b ≡ c (mód.m) , então ac (mód.m)
##exercício resolvido aula 4 – pasta##
Classes residuais
Agora vamos estudar o conceito de classes residuais.
Definição:
Chama-se classe residual módulo m (m >0) de um inteiro a o conjunto de todos os inteiros que são congruentes a a módulo m. Em outras palavras, o conjunto de todos os inteiros que, divididos por m, deixam resto a.
Vamos dar exemplos de algumas classes residuais:
Operações com congruências
Se a ≡ b (mód .m) e se c ≡ d ( mód. m), então:
1) a+c ≡ b + d (mód.m)
2) a-c ≡b-d (mód.m)
3) ac≡ bd (mód.m)
Demonstração:
 
1) Se a ≡ b ( mód.m), então a = b + mk   (I)
    Se c≡d (mód.m), então c = d + m h  (II)
Somando (I) e (II), temos:
a+c = b+d+mk+mh
a+c = b+d +(K+h)m, daí:
a+c ≡b+d (mód.m)
2 ) Se a≡b (mód.m), então a = b +m K (I)
    Se c ≡d (mód.m), então c = d + mh (II)
 
Fazendo (I)-(II), temos:
a - c = b+mk –d-mh
a - c =(b-d)+(k-h)m, daí:
a - c ≡(b-d) (mód.m)
3) ac=(b+mk)(d+mh) = (bd+bmh+dmk+mmhk)
    ac = bd+(bh+dk+mnk) m, daí:
    ac≡ bd (mód.m)
1) 10-5≡2+3 (mód.4)
    5 ≡5(mód.4)
    10-(-5)≡2-3 (mód.4)
    15≡-1 (mód.4)
   -50≡6(mód.4)
2) 11≡ -2 (mód.13)
     -5≡21 (mód.13)
     6≡19 (mód.13)
     11-(-5)≡-2-21(mód.13)
16≡-23 (mód.13)
-55≡-42(mód.13)
Operações com congruências – mudança de módulo
Veremos alguns teoremas envolvendo mudança de módulo numa congruência.
Teorema: Se a ≡ b (mód.m) e se n|m, sendo m um inteiro positivo, então a≡b (mód.n).
Demonstração: 
Se a ≡ b (mód.m), então a-b = hm, onde h é um inteiro qualquer.
Se n|m, então m =nj, onde j é um inteiro positivo qualquer. Logo:
a-b=(hj)n e a≡   (mód.n).
Exemplos:
20≡ 12 (mód.8) e 4 |8, então 20≡12 (mód.4).
18≡ 8 (mód.10) e 5 |10, então 18≡8 (mód.5).
-15≡ -3 (mód.4)  e 2| 4, então -15≡-3 (mód. 2).
Teorema: Se a ≡ b (mód.m) e se c é um inteiro positivo, então ac≡ bc (mód.mc).
Se a≡b (mód.m), então a-b= hm, onde h é um inteiro qualquer. Multiplicando a equação por c, encontramos: ac –bc =h(cm), então ac≡bc(mód.mc).
Exemplos:
12≡ -4 (mod.8) e c= 3, então 36≡-12 (mód.24)
20≡ 4 (mód.4) e c = 10, então 200≡40 (mód.40).
Teorema: 
Se a ≡b (mód.m) e se a,b e m são todos divisíveis pelo inteiro positivo d, então:
Demonstração:
Com efeito, se a≡b (mód.m) ,então:
a-b =hm, com h inteiro qualquer. Dividindo toda a equação por d, temos:
 Daí:
Exemplos:
32≡8 (mód. 12)  e como 32, 8 e 12 são todos divisíveis por 4, temos:
8≡ 2 (mód.3).
40≡4 (mód.12) e como 40, 4 e 12 são todos divisíveis por 4, temos:
10≡1 (mód.3).