Avaliação semana 6 Matemática

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1. [2,5 pontos] Resolva a inequação com (sugestão: 
faça e resolva 
sen² x ≥ 1/4 
sen² x = 1/4 
sen x = 1/√4 
sen x = √4/4 = ½ 
sen x = ½ → - ½ 
x = a + 2kπ 
x = π/6 + 2kπ 
x = a + 2kπ 
x = π - π/6 + 2kπ 
x = 5π/6
x = a + 2kπ 
x = π + π/6 + 2kπ 
x = 7π/6 + 2kπ 
 
x = a + 2kπ 
x = 2π - π/6 + 2kπ 
x = 11π/6 + 2kπ 
O arco cujo seno é igual a 1/2 é π/6 e 5π/6, pela tabela trigonométrica. 
Então π/6 ≤ x ≤ 5π/6. 
 
S = {π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6} 
2. [2,5 pontos] Resolva a equação no 
intervalo 
 2cos² x - sen x - 1 = 0 
2(1 - sen² x) - sen x - 1 = 0 
2 - 2sen² x - sen x - 1 = 0 
- 2sen² x - sen x + 1 = 0 
2sen² x + sen x - 1 = 0 
sen x' = 2 → sen x" = - 5/2 
cos 2x - sen x - 1 = 0 
cos² x - sen² x - sen x - 1 = 0 
1 - sen² x - sen² x - sen x - 1 = 0 
- 2sen² x - sen x = 0 
2sen² x + sen x = 0 
sen x(2sen x + 1) = 0 
2sen x + 1 = 0 
2sen x = - 1 
sen x = - 1/2 
 
Para y = 1/2 e pela tabela trigonométrica de ângulos notáveis, temos: 
sen(x) = 1/2 
x = π/6 
x = 5π/6 
 
 
Para y = -1: 
sen(x) = -1 
x = 3π/2 
3. [2,5 pontos] Calcule o valor da soma , lembrando que 
Na soma, como n começa em 1, tem que para n = 1: 
20,241 * i = 20,241i 
Para n = 2: 
20,241 * i^2 = -20,241 
Para n = 3: 
20,241 * i^3 = -20,241i 
Para n = 4: 
20,241 * i^4 = 20,241 
Somando os valores para n = 1 e n = 3, o resultado é 0 e somando os valores 
para n = 2 e n = 4, o resultado também é 0. Como estes valores se repetem 
infinitamente (soma de n = 5 e n = 7, n = 6 e n = 8, e assim por diante), pode-se 
concluir que a soma é igual a 0. 
20241
4
→ 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 = 1 
𝑖20241 = 𝑖1 = 𝑖 
∑
20241
𝑛 = 1
 𝑖𝑛 = 𝑖20241 = 𝑖 
 
4. [2,5 pontos] 
a) [0,5 pontos] Obtenha o módulo e o argumento do número 
complexo 
|𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2 
Como a = -1 e b = -1: 
|𝑧| = √(−1)2 + (−1)2 
|𝑧| = √2 
Pela relação trigonométrica cos(Ө)= 
𝑎
|𝑧|
, temos: 
cos(Ө) =
−1
√2
= −
√2
2
 
O ângulo cujo cosseno é igual a -√2/2 é 135º. Como z está no terceiro 
quadrante, temos que subtrair este ângulo de 360º. Então o argumento de z 
é 225º. 
Portanto: 
|𝑧| = √2 
arg(z) = 225º 
 
b) [1,0 pontos] Escreva a forma trigonométrica de 
A forma trigonométrica, ou polar, é dada pela fórmula: 
𝑧 = 𝑝(𝑐𝑜𝑠Ø + isenØ) 
Onde p é o módulo de z e θ é o argumento de z. 
Portanto, para z = -1 - i, temos: 
𝑧 = √2 (cos(225) + isen(225)) 
 
c) [1,0 pontos] Obtenha 
Podemos reescrever o expoente 12, como um produto de 2 e 6: 
𝒛 = (−𝟏 − 𝒊)𝟏𝟐 = [(−𝟏 − 𝒊)²]𝟔 
Temos que (-1 -i)² = -1² + 2i +i² = 1 + 2i - 1 = 2i. Então, podemos escrever: 
𝒛 = (𝟐𝒊)𝟔 = 𝟐𝟔 ∗ 𝒊𝟔 
Como sabemos, i^6 é corresponde a i^2 = -1. Então: 
𝒛 = (𝟐𝒊)𝟔 = 𝟔𝟒 ∗ (−𝟏) = −𝟔𝟒