Física II Parte 01

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Guia de Estudo – FÍSICA II 
1 
 
 
SABE – Sistema Aberto de Educação 
 
Av. Cel. José Alves, 256 - Vila Pinto 
Varginha - MG - 37010-540 
Tele: (35) 3219-5204 - Fax - (35) 3219-5223 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Instituição Credenciada pelo MEC – Portaria 4.385/05 
 
Centro Universitário do Sul de Minas - UNIS/MG 
Unidade de Gestão da Educação a Distância – GEaD 
 
Mantida pela 
Fundação de Ensino e Pesquisa do Sul de Minas - FEPESMIG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Varginha/MG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
532 
R696g RODRIGUES, Adriano 
Guia de Estudo – FÍSICA II. Unid. 1-2 – 
Adriano Rodrigues. Varginha: GEaD-UNIS/MG, 
2007. 
53p. 
 
1. Mecânica de Fluidos . 2. Ondas 3. 
Oscilações I. Título. 
 
Atualizado e Revisado em junho/2008 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
3 
 
 
REITOR 
Prof. Ms. Stefano Barra Gazzola 
 
 
GESTOR 
Prof. Ms. Tomás Dias Sant’ Ana 
 
 
Supervisor Técnico 
Prof. Ms. Wanderson Gomes de Souza 
 
 
Coord. do Núcleo de Recursos Tecnológicos 
Profª. Simone de Paula Teodoro Moreira 
 
 
Coord. do Núcleo de Desenvolvimento Pedagógico 
Profª. Vera Lúcia Oliveira Pereira 
 
 
Revisão ortográfica / gramatical 
Profª. Maria José Dias Lopes Grandchamp 
 
 
Design/diagramação 
Prof. César dos Santos Pereira 
 
 
Equipe de Tecnologia Educacional 
Profª. Débora Cristina Francisco Barbosa 
Jacqueline Aparecida da Silva 
Prof. Lázaro Eduardo da Silva 
 
 
 
 
Autor 
ADRIANO RODRIGUES 
 
Licenciado em Matemática pela Universidade Vale do Rio Verde – UNINCOR no ano de 
1996. Licenciado em Física pelo Centro Universitário de Formiga – UNIFOR-MG no ano de 
1998. Especialista em Ensino de Matemática de 1º e 2º Graus pela Universidade Federal de 
Juiz de Fora – UFJF no ano de 1999. Mestre em Matemática e Estatística pela 
Universidade Vale do Rio Verde – UNINCOR no ano de 2006. Doutorando em Estatística e 
Experimentação Agropecuária pela Universidade Federal de Lavras – UFLA atualmente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
4 
TABELA DE ÍCONES 
 
REALIZE. Determina a existência de atividade a ser realizada. 
Este ícone indica que há um exercício, uma tarefa ou uma prática 
para ser realizada. Fique atento a ele. 
 
PESQUISE. Indica a exigência de pesquisa a ser realizada na 
busca por mais informação. 
 
PENSE. Indica que você deve refletir sobre o assunto abordado 
para responder a um questionamento. 
 
CONCLUSÃO. Todas as conclusões, sejam de idéias, partes ou 
unidades do curso virão precedidas desse ícone. 
 
IMPORTANTE. Aponta uma observação significativa. Pode ser 
encarado como um sinal de alerta que o orienta para prestar 
atenção à informação indicada. 
 
HIPERLINK. Indica um link (ligação), seja ele para outra página 
do módulo impresso ou endereço de Internet. 
 
EXEMPLO. Esse ícone será usado sempre que houver 
necessidade de exemplificar um caso, uma situação ou conceito 
que está sendo descrito ou estudado. 
 
SUGESTÃO DE LEITURA. Indica textos de referência utilizados 
no curso e também faz sugestões para leitura complementar. 
 
APLICAÇÃO PROFISSIONAL. Indica uma aplicação prática de 
uso profissional ligada ao que está sendo estudado. 
 
CHECKLIST ou PROCEDIMENTO. Indica um conjunto de ações 
para fins de verificação de uma rotina ou um procedimento 
(passo a passo) para a realização de uma tarefa. 
 
SAIBA MAIS. Apresenta informações adicionais sobre o tema 
abordado de forma a possibilitar a obtenção de novas 
informações ao que já foi referenciado. 
 REVENDO. Indica a necessidade de rever conceitos estudados 
anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
5 
SUMÁRIO 
 
 
 
APRESENTAÇÃO ...................................................................................................... 7 
EMENTA ..................................................................................................................... 8 
AVALIAÇÃO ............................................................................................................... 8 
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 9 
 
UNIDADE 1: OSCILAÇÕES ..................................................................................... 10 
OBJETIVOS .............................................................................................................. 10 
OSCILAÇÕES .......................................................................................................... 10 
Período e freqüência................................................................................................. 12 
O pêndulo simples .................................................................................................... 16 
Energia no MHS ....................................................................................................... 18 
Movimento Harmônico Amortecido ........................................................................... 20 
Ressonância ............................................................................................................. 22 
 
UNIDADE 2: ONDAS ............................................................................................... 25 
OBJETIVOS .............................................................................................................. 25 
ONDAS MECÂNICAS UNIDIMENSIONAIS .............................................................. 25 
Diferença de Fase..................................................................................................... 25 
Ondas Transversais .................................................................................................. 26 
Polarização de uma Onda Transversal ..................................................................... 27 
Ondas Longitudinais ................................................................................................. 27 
ELEMENTOS DE UMA ONDA ................................................................................. 29 
Equação da Onda ..................................................................................................... 30 
Princípio de Superposição ........................................................................................ 32 
Ondas Estacionárias ................................................................................................. 33 
SOM E ACÚSTICA ................................................................................................... 35 
Velocidade das Ondas Sonoras ............................................................................... 36 
ONDAS SONORAS HARMÔNICAS ......................................................................... 37 
ONDAS EM TRÊS DIMENSÕES – INTENSIDADE .................................................. 39 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
6 
INTENSIDADE SONORA E NÍVEL DE INTENSIDADE ............................................ 40 
REFLEXÃO, REFRAÇÃO E DIFRAÇÃO .................................................................. 43 
EFEITO DOPPLER ................................................................................................... 52 
REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 56 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
7 
 
APRESENTAÇÃO 
 
Caro (a) aluno (a), 
 
 A disciplina FísicaII abordará temas relevantes para o seu processo de 
formação tais como Oscilações, Ondas, Acústica, Hidrostática e Termodinâmica. 
Estes assuntos serão tratados de uma forma bastante didática, procurando sempre 
relacioná-los ao nosso cotidiano. 
 Este Guia de Estudos apresenta textos cuidadosamente selecionados, bem 
como exemplos de aplicação e exercícios para fixação, proporcionando uma auto-
aprendizagem complementada por atividades e discussões propostas no Ambiente 
Virtual de Aprendizagem. 
 Após ler a teoria e estudar os exemplos apresentados, sugerimos que realize 
as atividades propostas, sempre recorrendo à ajuda do professor quando 
necessário. 
 Desde já, desejamos sucesso, não só nesta disciplina, mas em todo o curso. 
 
Um grande abraço, 
 
Profº. Ms. Adriano Rodrigues e Equipe GEaD – Unidade de Gestão em Educação a 
Distância-UNIS/MG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
8 
EMENTA 
 
A ementa desta disciplina é a seguinte: 
 Oscilações: Movimento Periódico, Movimento Harmônico Simples e Pêndulos; 
 Ondas: Ondas Mecânicas, Interferência, Modos Normais, Som e Audição; 
 Mecânica dos Fluidos: Densidade, Pressão, Princípio de Arquimedes e 
Princípio de Pascal; 
 Termodinâmica: Temperatura e a Lei Zero, Escalas de Temperatura, 
Dilatação Térmica, Calor e Primeira Lei da Termodinâmica, Teoria Cinética 
dos Gases, Gases Ideais, Expansões Térmicas, Entropia e Segunda Lei da 
Termodinâmica, Máquinas Térmicas; 
 Gravitação (Opcional). 
 
AVALIAÇÃO 
 
 Você será avaliado no decorrer do curso por meio de atividades e provas que 
ocorrerão da seguinte forma: 
 Avaliação a Distância: (Etapa I) 
Serão 45 (quarenta e cinco) pontos distribuídos para a produção e a interação 
através do Ambiente Virtual de Aprendizagem. Essa produção e essa interação 
envolverão análise e aplicação de conhecimentos mostrados através das 
participações nas atividades previstas no Fórum, Chat, Portfólio e auto-avaliação. 
 Avaliação Presencial: (Etapa 2) 
Totalizará 55 (cinqüenta e cinco) pontos. Será realizada de acordo com o 
calendário divulgado e exigirá a aplicação prática do conteúdo trabalhado durante o 
desenvolvimento da disciplina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
9 
INTRODUÇÃO 
 
 O objetivo principal desta disciplina é desenvolver o senso crítico, de modo a 
colaborar para uma formação científica adequada aos professores que lecionarão 
Física para a educação básica. 
 
Neste guia de estudos, abordaremos inicialmente, nas Unidades 1 e 2, os 
fenômenos oscilatórios, abordando temas como movimento harmônico simples, 
pêndulos simples, as ondas e fenômenos ondulatórios e a acústica. 
 
 Posteriormente, na Unidade 3, trataremos da Mecânica dos Fluidos, 
estudando tópicos como densidade, pressão, Teoremas de Pascal e de Arquimedes. 
Finalmente na Unidade 4 estudaremos a Termodinâmica e Máquinas Térmicas. A 
Gravitação Universal é colocada como um tópico especial. 
 
 Desejamos que você aproveite o máximo desta disciplina e, desde já, 
colocamo-nos à disposição para facilitar sua aprendizagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
10 
UNIDADE 1: OSCILAÇÕES 
 
 
OBJETIVOS 
 
 Entender os movimentos periódicos, procurando relacioná-los com fatos do 
cotidiano; 
 Aplicar corretamente as equações dos movimentos periódicos para resolver 
situações-problema. 
 
 
A palavra física tem sua origem no termo grego physiké, que 
significa “natureza”. Quando nos referimos a este termo, temos 
que pensar na palavra episteme, também de origem grega, 
significando “conhecimento”. Portanto, podemos definir Física 
como a ciência que estuda a natureza. 
 
OSCILAÇÕES 
 
 Qualquer movimento que se repete em intervalos de tempos iguais constitui 
um movimento periódico. Como exemplos de movimentos periódicos temos: 
 
a) pêndulo simples; 
b) um corpo preso a uma mola oscilante; 
c) uma corda de violino; 
d) um pistão no cilindro de uma máquina, etc. 
 
Se a partícula em movimento periódico se movimenta para diante e para trás, 
na mesma trajetória, seu movimento é denominado oscilatório ou vibratório. 
Muitos corpos oscilantes não se movem para diante e para trás entre limites 
precisamente definidos devido às forças de atrito que dissipam a energia do 
movimento, como, por exemplo, o movimento de um pêndulo que logo deixa de 
balançar. Como será visto, o movimento periódico de uma partícula pode ser 
expresso em função de senos e co-senos, razão pela qual ele é denominado 
também movimento harmônico, uma vez que estas funções são chamadas de 
funções harmônicas. 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
11 
Um sistema típico que exibe movimento harmônico simples é o constituído 
por um corpo preso a uma mola, como ilustrado na figura seguinte: 
 
Nesta figura, o corpo está ligado a uma mola sobre uma superfície sem atrito. 
O deslocamento x é medido em relação à posição de equilíbrio. O deslocamento 
pode ser positivo ou negativo, conforme a mola seja esticada ou comprimida em 
relação ao seu comprimento natural. 
No equilíbrio, a força da mola sobre o corpo é nula. Quando o corpo for 
deslocado x em relação à posição de equilíbrio, a mola exerce uma força 
Kx
, 
conforme a lei de Hooke: 
KxF 
 
)1(
 
O sinal negativo na lei de Hooke é devido ao fato de a força ser sempre 
dirigida em oposição à direção do deslocamento. 
Combinando a equação 
)1(
 com a 2ª Lei de Newton, temos: 
dt
xd
mmaKxFx
2

 
ou 
x
m
K
dt
xd
a 






2
2 
)2(
. 
A aceleração é proporcional ao deslocamento e tem direção oposta a este 
deslocamento. 
 
 
Condição do movimento harmônico simples 
 Sempre que a aceleração de um corpo for proporcional ao 
deslocamento e tiver direção oposta ao deslocamento, o corpo se 
move em movimento harmônico simples. 
 
 
 Não apenas os sistemas mecânicos podem oscilar. As ondas de rádio, as 
microondas e a luz visível resultam de campos elétricos e magnéticos oscilantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
12 
Período e freqüência 
 
 Se deslocarmos um corpo de sua posição de equilíbrio e o libertamos depois, 
o corpo oscila em torno da posição de equilíbrio. O período 
T
 de um movimento 
harmônico é o tempo necessário para que a partícula móvel percorra uma vez a 
trajetória fechada, isto é, para completar uma oscilação ou ciclo. A unidade de 
período no SI (Sistema Internacional) é o segundo (s). 
 A freqüência 
f
do movimento é o número de oscilações (ou ciclos) realizadas 
por unidade de tempo. Ela é igual, portanto, ao inverso do período, isto é 
 
 
)3(
 
 
A unidade de freqüência no SI é o hertz (símbolo Hz), ou ciclos/s. 
 
 Pode-se registrar, experimentalmente, o deslocamento 
x
 de um corpo 
oscilante em função do tempo 
t
, obtendo-se uma curva senoidal, como na figura a 
seguir: 
 
 
 
 A equação desta curva é 
 
 
O deslocamento máximo em relação ao equilíbrio é a amplitude A. O 
argumento da função co-seno é a fase do movimento, 
 t
, e a constante 

é a 
constante de fase. Durante um ciclo completo do movimento, a fase aumenta de 
2
. No final do ciclo, o corpo está na posição original e tem a mesma velocidade 
que tinha ao iniciar o ciclo. Podemos determinar o período 
T
 pelo fato de a fase, no 
instante 
Tt 
, ser exatamente igual a 
2
mais a fase no instante t, obtendo: 
 
 
)4(
 
 
 
T
f
1

 
)cos(   tAx
 

2
TGuia de Estudo – FÍSICA II 
13 
 
 Pela equação (3), obtemos a freqüência: 
 
 
)5(
 
 
A constante 
f 2
é a freqüência angular. Sua unidade é radiano por 
segundo. 
A constante de fase 

depende da origem dos tempos 
0t
. Se escolhermos 
0t
 quando 
ax 
, a constante de fase é nula e 
tAx cos . Fazendo 0t na 
equação 
)4(
encontramos a expressão para a posição inicial 
cos0 Ax 
 
)7(
 
A primeira derivada de 
x
em relação ao tempo dá a velocidade 
v
: 
 
 
 
)8(
 
 
 
 
 
Derivando a velocidade (equação 8) em relação ao tempo, consegue-se a 
aceleração do corpo: 
 
)cos(2
2
2
  tA
dt
xd
dt
dv
a
 
que é equivalente a 
 
 
 
)9(
 
 
 


2
1

T
f
 
)(.   tsenA
dt
dx
v
 
xa 2 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
14 
 A freqüência e o período de um corpo oscilando, preso a uma mola, estão, 
então, relacionados à constante da mola 
K
e à massa de m por 
 
 
)10(
 
 
 
 
 
)11(
 
 
 Por este resultado, podemos ver que, quando K for grande, como é o caso 
com uma mola rígida, a freqüência será grande. Analogamente, se a massa do 
corpo oscilante for grande, a freqüência será pequena. 
 
 
Uma partícula tem o deslocamento 
x
dado por 







6
2cos3,0

tx
, 
onde 
x
está em metros e 
t
em segundos. 
(a) Qual a freqüência, o período, a amplitude, a freqüência angular 
e a constante de fase do movimento? 
(b) Onde está a partícula em 
st 1
? 
(c) Achar a velocidade e a aceleração em qualquer instante. 
(d) Achar a posição inicial e a velocidade inicial da partícula 
 
 
Solução: 
(a) Ao comparar esta equação com a equação 
)4(
, vemos que a amplitude é 
mA 3,0
, a freqüência angular é 
srad /2
 e a constante de fase é 
rad
6

 
. 
A freqüência será 
Hzf 318,0
14,3.2
2
2
 
 . O período é 
s
f
T 14,3
1

. 
 
(b) Em 
st 1
, a posição da partícula é 
mx 245,0
6
)1(2cos3,0 






. 
 
m
K
f


2
1
2

 
K
m
f
T 2
1

 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
15 
(c) A velocidade se obtém por 
 













6
26,0
)2(
6
23,0

tsen
dt
td
tsen
dt
dx
v
. 
 
Para obter a aceleração, basta derivar outra vez 
 













6
2cos2,1
)2(
6
2cos6,0

t
dt
td
t
dt
dv
a
. 
 
 
(d) Para encontrarmos a posição inicial e a velocidade inicial da partícula, basta 
fazer t = 0 nas expressões de x e de v. Assim, 
 
mx 260,0
6
cos3,00 
 e 
smsenv /300,0
6
6,00 
. 
 
 
 
Um bloco de massa 0,1kg, fixo a uma mola, realiza MHS em 
torno da posição O, na ausência de forças dissipativas. 
Determine o período de oscilação, considerando K = 10N/m. 
 
Solução: 
O período de oscilação é dado por 
K
m
T 2
, portanto, 
10
1
.2
10
1,0
2  T
 

 
sT
5


. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
16 
O pêndulo simples 
 
O pêndulo simples consiste de uma partícula de 
massa m suspensa por um fio sem massa e inextensível 
de comprimento L. Afastada da posição de equilíbrio, 
sobre a linha vertical que passa pelo ponto de suspensão, 
e abandonada, a partícula oscila. Para pequenas 
amplitudes, a partícula descreve um MHS. 
Ignorando a resistência do ar, as forças que atuam 
sobre a partícula são a força peso, exercida pela Terra, e a 
tensão, exercida pelo fio (ver figura). Na direção do 
movimento atua a componente do peso cujo módulo vale 
mg sen . 
 A partícula do pêndulo descreve um arco de 
circunferência. Mas, se a amplitude do movimento é muito 
menor que o comprimento do fio, ou seja, se o ângulo  é 
pequeno, podemos aproximar o arco por um segmento de 
reta horizontal sobre o qual fixamos o eixo X, com origem 
O onde a vertical tirada do ponto de suspensão do pêndulo 
corta esse eixo. Então, fazendo sen   x/L, o módulo da força resultante sobre a 
partícula fica: 
 
 
x
L
mg
xF 





)(
. 
 
O sinal negativo aparece porque a força resultante aponta na mesma direção 
que aquela escolhida como positiva para o eixo X quando a elongação é negativa e 
na direção oposta quando a elongação é positiva. 
 Podemos ver que, no caso de ângulos suficientemente pequenos para que a 
aproximação 
 sen
 seja válida, a aceleração é proporcional ao deslocamento. 
Então, o movimento do pêndulo é aproximadamente harmônico simples quando os 
deslocamentos forem pequenos. 
 Por outro lado, o módulo da força que atua sobre a partícula em MHS é dado 
genericamente por F =  Cx com C = m2, de modo que o período fica dado pela 
fórmula 

2
T
. Comparando esta expressão para a força com aquela obtida para o 
pêndulo simples, temos 
L
mg
C 
e daí, 
L
g
2
e: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
17 
 
g
L
T 2
 
Observe que o período é independente da massa suspensa. 
 
 
 
Um pêndulo simples de comprimento 10 cm realiza um MHS num 
local onde g = 10m/s2. Qual é: 
a) o período dessa oscilação? 
b) o período de oscilação se ele for levado para um local onde a 
gravidade é o quádruplo da terrestre. 
 
 
Solução: 
(a) Sendo L = 10 cm = 0,1m e g = 10 m/s2, da expressão do período do pêndulo 
simples temos que: 
 
10
1
.2
10
1,0
22  
g
L
T
 

 
sT
5


. 
 
(b) Sendo g’ = 4g, temos g’ = 40 m/s2. A expressão do novo período é dada por: 
 
20
1
.2
40
1,0
2
'
2'  
g
L
T
 

 
sT
10
'


. 
 
 
 Com o uso de um pêndulo simples, podemos determinar o valor da 
aceleração gravitacional local. Tomando um pêndulo simples de 1 m 
de comprimento, por exemplo, e medindo o tempo t levado para que 
ele complete 10 oscilações, temos: 
 
    222 )t/(m948.3t/20)m1(T/2Lg 
. 
 
e se t = 20 s, por exemplo, vem: 
 
 
22 s/m87,9)s20/(m948.3g 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
18 
 Um modo de aumentar a precisão do experimento é 
aumentar o número de oscilações para a medida do tempo t, de 
modo que qualquer imprecisão nesta medida tenha seu efeito no 
cálculo de g reduzido na mesma proporção. 
 
 
Além do pêndulo simples, que estudamos detalhadamente, 
existem ainda outros tipos de pêndulo, como o Pêndulo Físico, o 
Pêndulo de Torção e o Pêndulo Cônico. Faça uma pesquisa 
sobre esses pêndulos, usando, para isso, a bibliografia de 
referência no final do guia. 
 
 
Energia no MHS 
 
Para estudar a energia do oscilador harmônico, vamos tomar como exemplo o 
sistema corpo-mola. A energia cinética do sistema está no corpo de massa m. A 
mola não tem energia cinética porque é uma mola ideal, isto é, além de obedecer à 
lei de Hooke, tem massa nula. Por outro lado, tomando o nível de referência para a 
energia potencial gravitacional na altura do centro de gravidade do corpo de massa 
m, a energia potencial gravitacional do sistema é nula. Mas existe uma energia 
potencial elástica, associada e localizada na mola. Levando em conta que a energia 
potencial elástica é dada por EP = ½ kx
2 e que, para um oscilador harmônico, x (t) = 
A cos t, temos: 
 
tcoskAE 22
2
1
P 
, 
 
e levando em conta que EC = ½ mv
2, que, paraum oscilador harmônico, v (t) =  A 
sen t, e que para o sistema corpo-mola k = m2, temos: 
 
tsenkAE 22
2
1
C 
. 
 
 E como sen2 t + cos2 t = 1, a energia (mecânica) total do sistema corpo-
mola, E = EP + EC, fica: 
 
 
2
2
1 kAE
. 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
19 
 
Observe que a energia total não 
depende do tempo, ou seja, é constante. A 
figura a seguir mostra os gráficos de EP, EC e 
E em função de t, para um intervalo de tempo 
correspondente a um período do movimento. A 
partir daí, os gráficos se repetem 
periodicamente. 
 
 
 
 A figura ao lado mostra algumas configurações do 
sistema. As linhas verticais são para referência: linha 1, 
mola comprimida e corpo parado, linha 2, mola com seu 
comprimento de equilíbrio e corpo com velocidade máxima 
e linha 3, mola distendida e corpo parado. As flechas 
indicam o módulo e o sentido da velocidade nas 
configurações correspondentes. 
 Em t = 0 (configuração A), o sistema se encontra na 
configuração correspondente à mola comprimida com uma 
elongação x =  A e o corpo parado: 
 
 
2
2
1
P kAEE 
 e 
0EC 
. 
 
Então (configuração B), o corpo é acelerado pela força que a mola exerce 
sobre ele, a energia potencial da mola diminui enquanto que a energia cinética do 
corpo aumenta. Em t = /2 (configuração C), o sistema alcança a configuração em 
que a mola tem elongação nula e a velocidade do corpo é máxima: 
 
0EP 
 e 
2
2
1
C kAEE 
. 
 
Assim (configuração D), o corpo é desacelerado pela força que a mola exerce 
sobre ele, sua energia cinética diminui enquanto que a energia potencial da mola 
aumenta. Em t = / (configuração E), o sistema alcança a configuração em que a 
elongação da mola vale x = A e o corpo está parado: 
 
2
2
1
P kAEE 
 e 
0EC 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
20 
De t = / até t = 2/ = T (configurações F, G, H e A), o movimento se repete 
com o corpo se deslocando em sentido contrário. Em t = 2/ = T, o sistema alcança 
a mesma configuração que em t = 0. Daí por diante, o movimento se repete 
periódica e indefinidamente. 
Se existe atrito no sistema, uma parte da energia total é dissipada a cada 
oscilação e o movimento do corpo é amortecido. Para que o movimento não seja 
amortecido, isto é, para que a energia mecânica seja constante, deve então existir 
uma fonte externa que forneça energia para o sistema. 
Para o pêndulo simples, a discussão é completamente análoga e, 
escolhendo-se o nível de referência para a energia potencial gravitacional na altura 
em que se encontra a partícula que faz parte do pêndulo simples quando este se 
encontra na vertical, a discussão se torna idêntica. Assim, por exemplo, na 
configuração em que x =  A, a energia cinética da partícula é nula e a energia 
potencial gravitacional do sistema partícula-Terra é máxima e igual à energia total; 
na configuração em que x = 0, a energia cinética da partícula é máxima e igual à 
energia total e a energia potencial gravitacional do sistema partícula-Terra é nula; e 
na configuração em que x = A, a energia cinética da partícula é nula e a energia 
potencial gravitacional do sistema partícula-Terra é máxima e igual à energia total. 
Nas configurações intermediárias, a partícula está acelerada ou desacelerada, 
conforme o caso, tendo então energia cinética não nula e diferente da energia total, 
de modo que o sistema partícula-Terra tem certa energia potencial também não 
nula. 
No sistema corpo-mola, a energia cinética, quando existe, está localizada no 
corpo, e a energia potencial (elástica), quando existe, está localizada na mola. No 
pêndulo simples, a energia cinética, quando existe, está localizada na partícula que 
faz parte do pêndulo, mas a energia potencial está distribuída entre as partes que 
constituem o sistema partícula-Terra, já que depende da massa da partícula, da 
massa da Terra e da distância relativa entre elas. 
 
Movimento Harmônico Amortecido 
 
 
 Até agora supusemos que nenhuma força de atrito atuasse no oscilador. Se 
tal suposição fosse completamente certa, um pêndulo ou um peso em uma mola 
oscilariam indefinidamente. Em realidade, a amplitude da oscilação, devido ao atrito, 
decresce gradualmente até anular-se. O movimento diz-se amortecido por atrito e 
denomina-se movimento harmônico amortecido. Freqüentemente, o atrito provém 
da resistência do ar ou de forças internas. O módulo da força de atrito usualmente 
depende da velocidade; em muitos casos de interesse ela é proporcional à 
velocidade do corpo, embora de sentido oposto. 
 Um exemplo de oscilador amortecido está mostrado na figura a seguir. Um 
disco é ligado à massa m e mergulhado em um fluido que exerce nele a força 
amortecedora 
dt
dx
b
. A força restauradora elástica é 
kx
. 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
21 
 
 
 
 Outro exemplo típico dessa situação é a porta dos saloons dos filmes de 
bang-bang. Quando alguém passa pela porta ela inicia a oscilação com uma grande 
amplitude, que vai diminuindo com o tempo. 
A equação de movimento do oscilador harmônico simples amortecido obtém-
se aplicando a segunda lei do movimento, 
maF 
, em que F é a resultante da força 
restauradora 
kx
 e da força amortecedora 
dt
dx
b
, sendo 
b
uma constante positiva. 
Obtem-se
maF 
, ou 
2
2
dt
xd
m
dt
dx
bkx 
 
ou ainda, 
0
2
2
 kx
dt
dx
b
dt
xd
m
 
 
Se b for pequeno, a solução dessa equação diferencial (dada sem prova) é a 
seguinte: 
)'cos(2  

tAex m
bt , (I) 
sendo 
2
2
'2' 






m
b
m
k
v
 (II) 
 Na figura a seguir, representa-se o deslocamento 
x
 como função do tempo 
t
, 
para um movimento oscilatório de pequeno amortecimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
22 
 
 
A interpretação dessa solução é a seguinte. Em primeiro lugar, a freqüência é 
menor e o período maior quando existe atrito, que diminui o movimento, como era de 
se esperar. Se não houvesse atrito, b seria nulo e 
'
 igualaria 
m
k ou  , a 
freqüência angular do movimento não amortecido. Existindo atrito, 
'
é menor que 

. 
 Em segundo lugar, a amplitude do movimento decresce gradualmente, até 
anular-se. O intervalo de tempo durante o qual a amplitude reduz-se a 
e
1
 de seu 
valor inicial denomina-se vida média da oscilação. O fator de amplitude é mbtAe 2 , 
portanto, 
b
m2

. Mais ainda, se não houvesse atrito, 
b
 seria nulo e a amplitude 
teria o valor constante 
A
; a vida média seria infinita. 
 Se a força de atrito for suficientemente grande, 
b
 aumenta a ponto de a 
equação (I) não ser mais solução da equação de movimento. O movimento deixará 
então de ser periódico; o corpo simplesmente retorna à sua posição de equilíbrio, 
quando largado na posição de deslocamento inicial A. 
 No movimento harmônico amortecido a energia do oscilador é gradualmente 
dissipada pelo atrito, anulando-se com o tempo. 
 
Ressonância 
 
Quando a freqüência com que um agente externo perturba um corpo é igual à 
freqüência própria (ou uma das freqüências próprias) de vibração ou de oscilação do 
corpo, este passa a oscilar com amplitude cada vez maior. Este fenômeno é o que 
se chama de ressonância. Se o agente externo perturba continuamente o corpo com 
o qual está em ressonância, a amplitude das vibrações ou oscilações pode ficar 
extraordinariamente grande a ponto de destruir o corpo, desde que as forças de 
resistência ou de dissipação sejam pequenas. Além disso, o fluxode energia do 
agente externo para o corpo é máximo quando eles estão em ressonância. 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
23 
 Um exemplo de ressonância mais ligado ao cotidiano é aquele de uma 
criança andando de balanço. Ao andar de balanço, a criança encolhe as pernas 
quando ela e o balanço se movem para trás e estica-as, quando ela e o balanço se 
movem para frente. Se a freqüência do movimento das pernas da criança é igual à 
freqüência própria do pêndulo constituído por ela e o balanço, a amplitude das 
oscilações aumenta cada vez mais. 
 
 Outro exemplo de ressonância é a ponte de Tacoma Narrows (figura abaixo). 
Em 1º de julho de 1940 a ponte em Puget Sound, em Washington, foi completada e 
entregue ao tráfego. Exatamente quatro meses depois, uma brisa suave fez a ponte 
oscilar até que o vão principal rompeu-se, soltando-se dos cabos e caindo na água. 
O vento produzira uma força resultante que flutuava com a freqüência natural da 
estrutura, que entrou em ressonância. Houve um aumento contínuo de amplitude, 
até que a ponte foi destruída. Muitas outras pontes, posteriormente, tiveram de ser 
reprojetadas, a fim de se tornarem aerodinamicamente estáveis. 
 
 
 
 
 
1. Por que em algumas máquinas usam-se dispositivos 
amortecedores? Dar um exemplo. 
2. Dar alguns exemplos de fenômenos comuns em que a 
ressonância desempenha papel importante. 
 
 
 
Um corpo de 3kg está preso numa mola que oscila com amplitude 
de 4cm e o período de 2s. 
(a) Qual a energia total? 
(b) Qual a velocidade escalar máxima do corpo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
24 
Solução: 
(a) A constante da mola K está relacionada ao período por 
K
m
T 2
, de modo que 
2
2)2(
T
m
K


. Assim, 
mN
s
kg
K /6,29
4
)3)(4(
2
2

 . 
 
A energia total é, portanto 
 
22 )04,0)(6,29(
2
1
2
1
 KAEtotal
 
 
JxEtotal
21037,2 
. 
 
(b) Vamos usar a energia total para achar a velocidade máxima. Quando a 
velocidade for máxima, a energia potencial é nula e a energia total é a energia 
cinética: 
max
2
2
1
mvEtotal 
 
max
22 .3.
2
1
1037,2 vx 
 
smv /126,0
. 
 
 
Caro (a) aluno (a), neste momento, é hora de realizar atividades sobre 
esta unidade. As atividades serão colocadas no ambiente pelo professor, 
devendo, você, realizá-las e publicá-las. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
25 
UNIDADE 2: ONDAS 
 
OBJETIVOS 
 
 reconhecer os movimentos ondulatórios como periódicos; 
 aplicar as equações da ondulatória; 
 identificar os fenômenos ondulatórios; 
 entender a acústica e ondas sonoras para resolver problemas aplicados. 
 
ONDAS MECÂNICAS UNIDIMENSIONAIS 
 
 Onda mecânica é um distúrbio que se propaga através de um meio elástico. 
Não existe transporte de matéria, e sim de energia pela onda. Se cada ponto do 
meio elástico executa um MHS, a onda é dita harmônica. 
 
Diferença de Fase 
 
 Para discutir o conceito de diferença de fase, consideremos duas partículas, A 
e B, com movimentos circulares uniformes idênticos. Em t = 0, a partícula A ocupava 
a posição Po (Figura). As partículas estão separadas por uma distância 2R/4, 
medida sobre a trajetória comum de raio R. Esta distância corresponde a um ângulo 
de /2 entre os segmentos de reta que unem as partículas ao centro da trajetória ou 
a um intervalo de tempo /2. Dizemos que entre os dois movimentos circulares 
uniformes das partículas A e B existe uma diferença de fase  = /2 radianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
26 
Por outro lado, o movimento harmônico simples pode ser visto como a 
projeção ortogonal do movimento circular uniforme sobre qualquer diâmetro (ou 
qualquer reta paralela a qualquer diâmetro) da circunferência que constitui a 
trajetória da partícula. Assim, os movimentos circulares uniformes das partículas A e 
B, projetados ortogonalmente sobre as retas verticais DD’ e EE’, respectivamente, 
constituem os movimentos harmônicos simples das partículas A’ e B’. Observando 
os respectivos gráficos das elongações em função de t, vemos que a diferença de 
fase entre os movimentos circulares uniformes e, agora, entre os movimentos 
harmônicos simples, aparece como um deslocamento de um gráfico em relação ao 
outro ao longo do eixo t, deslocamento este dado por  = /2 radianos. 
 A equação horária de movimento para uma partícula em MHS é: 
 
 
)t(cosA)t(x 
. 
 
Aqui, o argumento (t + ) é chamado fase, com  sendo a fase inicial já que dá a 
posição da partícula em t = 0. No exemplo discutido,  = 0 para a partícula A’ e  =  
/2 para a partícula B’, de modo que as respectivas equações horárias ficam: 
 
 
tcosR)t(xA 
 e 
)2/t(cosR)t(xB 
. 
 
Discutimos o conceito de diferença de fase considerando o exemplo de dois 
movimentos com uma diferença de fase de /2 radianos. De modo geral, os 
movimentos podem ter qualquer diferença de fase. 
 
Ondas Transversais 
 
 Se os pontos do meio pelo qual passa uma onda oscilam numa direção 
perpendicular à direção de propagação da onda, esta é chamada de onda 
transversal. 
 A figura ao lado 
representa as posições de onze 
pontos de um meio elástico em 
três instantes de tempo 
sucessivos: t, t + t e t + 2t. 
Observe que o movimento de um 
ponto qualquer tem sempre uma 
diferença de fase negativa em relação ao movimento do ponto adjacente a sua 
direita e que é justamente isso que torna o movimento coletivo uma onda transversal 
que se propaga para a direita. Se a diferença de fase fosse positiva, a onda se 
propagaria na direção oposta. 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
27 
A onda gerada numa corda horizontal pelo movimento para cima e para baixo 
da mão que segura uma de suas extremidades é um exemplo de onda transversal. 
Outro exemplo de onda transversal, só que não mecânica, é a onda 
eletromagnética, na qual os campos elétrico e magnético oscilam 
perpendicularmente um ao outro e à direção de propagação da onda. 
 
Polarização de uma Onda Transversal 
 
 A direção do movimento das partículas do meio, quando por ele passa uma 
onda transversal, é perpendicular à direção de propagação da onda. Mas existem 
infinitas direções que são perpendiculares à direção de propagação da onda. Caso 
as partículas do meio se movimentem sempre na mesma direção, ou seja, caso a 
onda permaneça sempre no mesmo plano, dizemos que ela é linearmente 
polarizada. Qualquer onda transversal pode ser considerada como combinação de 
duas ondas linearmente polarizadas em direções perpendiculares. Se os 
deslocamentos das partículas do meio, têm todos o mesmo módulo, mas direções 
diferentes, de modo que a onda tenha forma helicoidal, dizemos que a onda é 
polarizada circularmente. Nesse caso, cada partícula do meio descreve uma 
circunferência em torno da reta que passa pelos pontos de equilíbrio das partículas 
do meio. 
 
Ondas Longitudinais 
 
 Se os pontos do meio, pelos quais passa uma onda, oscilam numa direção 
paralela à direção de propagação da onda, esta é chamada de onda longitudinal. 
A figura abaixo representa, na horizontal, as posições de treze pontos de um 
meio elástico em onze 
instantes de tempo 
sucessivos: t0 = t, t1 = t + t, t2 
= t + 2t, ...t10 = t + 10t. Os 
pontos de equilíbrio dos 
movimentos harmônicos das 
partículas do meio estão 
sobre as linhas verticais, e as 
linhas curvas servem para 
explicitar esses movimentos. 
Observe, em particular, a 
segunda partícula do meio, 
que oscila ao redor do ponto 
de equilíbrio sobre a linha 
tracejada e cujaselongações 
estão representadas pelas flechas. Observe, também, que as distâncias relativas 
entre o primeiro, o segundo e o terceiro pontos no instante t são as mesmas que 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
28 
entre o segundo, o terceiro e o quarto pontos em t + t, e assim por diante, 
mostrando que a onda se propaga para a direita. O movimento de qualquer ponto 
tem sempre uma diferença de fase negativa em relação ao movimento do ponto 
adjacente a sua direita e é justamente isso que torna o movimento coletivo uma 
onda longitudinal que se propaga para a direita. 
 
A onda gerada numa mola, golpeando ritmicamente uma de suas 
extremidades na direção do seu eixo (Fig. (a)), é uma onda longitudinal. Uma onda 
sonora no ar, gerada pelo movimento de vai e vem da membrana de um alto-falante 
(Fig. (b)), e uma onda sonora em um sólido qualquer, gerada golpeando-se 
ritmicamente qualquer região dele, são outros exemplos de ondas mecânicas 
longitudinais. 
 
 
 
 As ondas do mar são, ao mesmo tempo, transversais e longitudinais. Cada 
partícula da água descreve um movimento circular ou elíptico que pode ser 
considerado como a superposição de dois movimentos harmônicos simples de 
mesma freqüência, um na horizontal e outro na vertical. A onda pode, assim, ser 
considerada como a superposição de duas ondas, uma longitudinal e outra 
transversal, com uma diferença de fase de /2 rad, com amplitudes diferentes. 
 
 
 
Para diferenciar ondas longitudinais e transversais você pode 
acessar o site: 
http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/waves/wavemotion.html 
e assistir animações destes dois tipos de ondas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
29 
ELEMENTOS DE UMA ONDA 
 
O padrão espacial, que caracteriza a forma da onda, se desloca para a direita 
à medida que o tempo passa, com uma velocidade dada por v = d/t. 
O período de oscilação de um ponto qualquer do meio, ou seja, o intervalo de 
tempo levado para realizar exatamente uma oscilação, é igual ao período da onda. A 
distância percorrida pela onda durante um dos seus períodos é o que se chama de 
comprimento de onda. Assim, representado por T o período e por  o comprimento 
de onda, a velocidade de propagação da onda pode ser escrita: 
 
T/v 
. 
 
 De modo análogo, a freqüência do MHS associado a cada ponto do meio 
elástico pelo qual se propaga a onda é, também, a freqüência da onda, ou seja, o 
número de comprimentos de onda contidos dentro da distância percorrida pela onda 
na unidade de tempo. Assim, representada por f a freqüência da onda, temos: 
 
 
T/12/f 
, 
e definindo o número de onda, representado por k, pela expressão k = 2/, a 
velocidade de propagação da onda pode ser escrita: 
 
 k/fv  
 
 A velocidade de propagação de uma onda é constante em um dado meio e é 
determinada apenas pelas propriedades físicas e pelo estado desse meio. Portanto, 
ondas mecânicas com freqüências ou comprimentos de onda diferentes se 
propagam, no mesmo meio, com velocidades iguais. Como v = f, uma onda com 
uma dada freqüência só pode ter um único comprimento de onda. Se a freqüência é 
grande, o comprimento de onda é pequeno e vice-versa. Isso possibilita caracterizar 
as ondas mecânicas em um meio tanto pela freqüência quanto pelo comprimento de 
onda. 
Por outro lado, a freqüência é característica da fonte emissora da onda. 
Assim, ao passar de um meio para outro, a freqüência de uma onda não muda. 
Como f = v/ e como a velocidade de propagação da onda muda quando essa passa 
de um meio para outro, já que é função das propriedades físicas e do estado do 
meio, muda também o comprimento de onda. Isso faz com que se possa caracterizar 
apenas pela freqüência uma onda que muda de meio. 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
30 
 
 
A figura a seguir ilustra uma onda mecânica que se propaga numa 
velocidade 3,0m/s. Qual é a sua freqüência? 
 
 
 
 
Solução: 
 Aos pontos mais altos da onda, damos o nome de cristas e aos pontos mais 
baixos, vales. A distância entre duas cristas (ou vales) consecutivas corresponde ao 
comprimento de onda (

). 
 Nesta figura, temos a distância 0,60m representada indicando a distância 
entre duas cristas que não são consecutivas. Logo, 
m30,0
2
60,0

. 
 Assim, pela equação 
fv .
, temos 
Hz
v
f 10
30,0
3


. 
 
Equação da Onda 
 
 Para estabelecer a equação da onda, vamos tomar uma onda transversal que 
se propaga na direção do eixo X e no mesmo sentido desse eixo, com velocidade de 
módulo v (ver figura abaixo). O padrão espacial da onda se desloca no espaço com 
o passar do tempo. Na figura, representamos a onda no instante de tempo 
considerado como inicial (t = 0) e 
num instante posterior genérico (t  
0). Como estamos estudando 
ondas harmônicas, em qualquer 
instante de tempo, o padrão 
espacial da onda é dado por uma 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
31 
função harmônica (seno ou cosseno). Assim, para t = 0: 
 
 
kxsenA)0t,x(y 
 
onde A representa a amplitude da onda, , o comprimento de onda e k = 2/, o 
número de onda. No argumento da função seno, aparece a variável x multiplicada 
por k pela própria definição do seno como função periódica (e da onda como 
fenômeno periódico no espaço). Por isso, devemos ter y (x + ,t = 0) = y (x,t = 0) 
que, usando a expressão acima, fica A sen (kx + k) = A sen kx. Essa expressão é 
uma identidade trigonométrica porque k = 2. 
 Tomando os pontos x’ e x tal que x  x’ = vt, ou seja, tal que x  x’ representa 
a distância percorrida pela onda durante o intervalo de tempo t, temos: 
 
 
)0t,'x(y)t,x(y 
 
ou: 
 
)0t,vtx(y)t,x(y 
, 
 
e usando a expressão acima para y(x,t = 0) com v = /k vem: 
 
 
)tkx(senA)t,x(y 
. 
 
Nesta equação está implícita a condição y = 0 para x = 0 e t = 0, o que não é 
necessário para uma onda arbitrária. A equação geral da onda que se propaga 
sobre o eixo X no mesmo sentido que aquele considerado positivo para esse eixo é: 
 
 
)tkx(senA)t,x(y 
 
 
onde  é chamada fase inicial. 
Fazendo v   v na demonstração acima, obtemos a equação da onda que 
se propaga em sentido contrário àquele considerado positivo para o eixo X: 
 
 
)tkx(senA)t,x(y 
. 
 
 Observe que tomando  = 0 e x = /k na primeira equação geral da onda, 
obtemos y (/k,t) = A sen (  t), e levando em conta que sen (  ) = sen , temos 
que y (/k,t) = A sen t. Esta é a equação de movimento de uma partícula em MHS 
com elongação nula em t = 0. Assim, a partícula do meio pelo qual passa a onda, na 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
32 
posição x = /k, é um oscilador harmônico. O mesmo cálculo pode ser feito para 
outra posição, levando a conclusão de que a partícula correspondente tem, também 
ela, um MHS, mas com uma diferença de fase em relação ao MHS da primeira 
partícula. Isso já era de se esperar já que estamos considerando ondas harmônicas. 
 Embora a discussão acima tenha sido baseada nas ondas transversais por 
questões didáticas, as fórmulas obtidas valem também para as ondas longitudinais. 
 
 
A função de onda de uma onda harmônica numa corda é 
)5,32,2(03,0),( txsentxy 
 
onde y e x estão em metros e t está em segundos. Achar a 
amplitude, o comprimento de onda, a freqüência, o período e a 
velocidade da onda. 
 
 
Solução: 
 Comparando esta função de onda com a equação geral da onda, podemos 
ver que a amplitude é A = 0,03m, o número de onda é K = 2,2m-1 e a freqüência 
angular é 
15,3  s
. Então o comprimento de onda é 
m
K
86,22



 e o período é 
sT 80,1
2



. A velocidade da onda é, portanto, 
sm
s
m
T
fv /59,1
80,1
86,2
. 

. 
 
Princípio de Superposição 
 
 Duas ou mais ondas podem se cruzar na mesma região do espaço, movendo-
se independentemente. Então, o deslocamento de qualquer partícula do meio em 
um dado instante é a soma vetorial dos deslocamentos que seriam produzidos pelas 
ondas individualmente. Este constitui o princípio de superposição e ele só vale para 
ondas em meios elásticos, onde as forças de restauração são proporcionais às 
deformações. Inversamente, qualquer movimento ondulatório pode ser analisado 
como combinação de movimentos ondulatórios simples (harmônicos, por exemplo). 
Os efeitos físicos associados à superposição de duas ou mais ondas são chamados 
de interferência. Como exemplo, consideremos duas ondas de mesma direção e 
sentido, com freqüências, amplitudes e velocidades iguais, uma atrasada em relação 
à outra: 
 
)tkx(senA)t,x(y1 
 e 
)tkx(senA)t,x(y2 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
33 
 Em um instante de tempo qualquer (t fixo), y1 e y2 representam duas ondas 
separadas por uma distância  / k sobre o eixo X (Fig.(a)). Numa dada posição (x 
fixo), y1 e y2 representam dois movimentos harmônicos simples defasados por um 
intervalo de tempo  / . A onda resultante da superposição de y1 e y2 é dada por: 
 
 
)]tkx(sen)tkx(sen[Ayy 21 
, 
 
e pela fórmula trigonométrica sen A + sen B = 2 sen[ ½ (A + B)] cos [½ (A  B)], 
temos: 
 
 
)2/tkx(sen]2/cosA2[yy 21 
. 
 
 
 
A onda resultante tem a mesma freqüência angular  que y1 e y2. Mas a 
amplitude, agora, é dada pelo fator 2A cos  / 2. Para  = 0, temos y1 = y2, a 
amplitude da onda resultante vale 2A (Fig.(b)) e dizemos que existe interferência 
construtiva entre y1 e y2 (condição de máximo). Para  =  temos y1 =  y2, a 
amplitude da onda resultante vale zero (Fig.(c)) e dizemos que existe interferência 
destrutiva entre y1 e y2 (condição de mínimo). 
 De modo geral, pode haver interferência entre ondas com quaisquer 
freqüências e/ou amplitudes e com qualquer diferença de fase. 
 
Ondas Estacionárias 
 
 Consideremos uma corda ao 
longo do eixo X, com uma das 
extremidades fixa em x = 0, ao longo 
da qual se propaga uma onda 
transversal no sentido contrário 
àquele tomado como positivo para o 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
34 
eixo. Ao alcançar o ponto 0, a onda é refletida, propagando-se no sentido contrário 
(ver figura). As ondas incidente e refletida são descritas, respectivamente, pelas 
expressões: 
 
)tkx(senA)t,x(yI 
 e 
)tkx(sen'A)t,x(yR 
. 
 
O movimento de qualquer partícula da corda é o resultado da superposição 
das duas ondas: 
 
)t,x(y)t,x(y)t,x(y RI 
 
ou 
 
)tkx(sen'A)tkx(senA)t,x(y 
. 
 
 Como a partícula da corda em x = 0 permanece em repouso, y (0,t) = 0 para 
qualquer t. Usando a propriedade sen ( ) =  sen , temos que 0 = A sen t  A’ 
sen t = (A  A’) sen t e daí, A = A’, ou seja, as ondas incidente e refletida têm a 
mesma amplitude e uma diferença de fase de  rad uma em relação à outra. E como 
sen A  sen B = 2 sen [ ½ (A  B)] cos [½ (A + B)], temos: 
 
 
tcoskxsenA2)t,x(y 
. 
 
 Como as fases (kx + t) e (kx  t) não aparecem em y(x,t), a expressão 
acima não descreve uma onda viajante mas o que se chama de onda estacionária. 
Observe que todas as partículas da corda descrevem movimentos harmônicos 
simples de mesma freqüência [y ~ cos t] e que a amplitude de cada movimento [2A 
sen kx] depende da posição da partícula em questão. 
 A amplitude da onda estacionária é nula para kx = n onde n = 0, 1, 2, ... 
Como k = 2/, podemos escrever: 
 
)2/(nx 
. 
 
 Os pontos dados por essa expressão são chamados nós. Dois nós 
consecutivos estão separados por uma distância /2. O comprimento de onda  é 
determinado pela freqüência e pela velocidade de propagação, pela fórmula  = v/f. 
 Se em x = L a corda tem a outra extremidade fixa, y (L,t) = 0 para qualquer t. 
Então, 0 = 2A sen kL cos t, ou seja, sen kL = 0, kL = n’ onde n’ = 1, 2, 3, ... e: 
 
,n/L2
. 
 
 Essa expressão dá os comprimentos de onda das ondas estacionárias 
possíveis na corda. Correspondentemente, as freqüências possíveis são dadas por: 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
35 
 
)L2/v(nf ,
, 
 
e as posições dos nós, por: 
 
,n/nLx
 
 
com n = 0, 1, 2, ... n’. 
Nas figuras a, b e c, estão representadas as formas de uma corda com ondas 
estacionárias para n’ = 1 [ = 2L, dois nós (n = 0 e n = 1), um em cada extremidade 
fixa], n’ = 2 [ = L, três nós (n = 0, n = 1 e n = 2)] e n’ = 3 [ = 2L/3, quatro nós (n = 0, 
n = 1, n = 2 e n = 3)], respectivamente, em cinco instantes de tempo sucessivos. As 
flechas indicam a direção instantânea do movimento da corda. Podem existir ondas 
estacionárias com qualquer número de nós. 
 
 
 
Uma corda está esticada entre dois suportes fixos, separados por 
1m, e a tensão da corda ajustada até sua freqüência fundamental 
ser 440Hz. Qual a velocidade das ondas transversais nesta corda? 
 
 
Solução: Pela condição de onda estacionária, o comprimento de onda do primeiro 
harmônico é 
mL 22 
. Então a velocidade da onda é 
smxfv /8804402.   . 
 
 SOM E ACÚSTICA 
 
 As ondas sonoras são ondas longitudinais de compressão e de rarefação 
num gás, ou num líquido, ou num sólido. São provocadas quando um corpo – um 
diapasão ou uma corda de violino – vibra e acarreta uma perturbação da densidade 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
36 
de um meio. A perturbação é propagada no meio graças às interações moleculares. 
A vibração das moléculas ocorre na direção de propagação da onda. Como no caso 
das ondas numa corda, apenas a perturbação se propaga; as moléculas apenas 
vibram, para frente e para trás, em torno das respectivas posições de equilíbrio. 
 
Velocidade das Ondas Sonoras 
 
 A velocidade das ondas sonoras, como a velocidade das ondas em cordas, 
depende das propriedades do meio. No caso de ondas sonoras num fluido como o 
ar, ou como a água, a velocidade v é dada por 
 

B
v 
 
 
onde 

 é a densidade do meio em equilíbrio e B é o módulo de compressibilidade. 
 Nas ondas sonoras num gás, como o ar, o módulo de compressibilidade é 
proporcional à pressão que, por sua vez, é proporcional à densidade 

 e à 
temperatura absoluta do gás T. Podemos mostrar que a equação anterior é 
equivalente a 
 
 
 
M
RT
v

 
 
 
 Nesta equação, T é a temperatura absoluta medida em Kelvin (K), que está 
relacionada à temperatura Celsius 
Ct
 por 
273 CtT
. 
A constante R é a constante universal dos gases que tem o valor 
KmolJR ./314,8
. 
A constante M é a massa molecular do gás (ou seja, a massa de um mol do gás), 
que para o ar é 
molKgxM /1029 3
, 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
37 
e 

 é uma constante que depende da espécie do gás e tem o valor 1,4 para o ar. 
 
 
 Calcular a velocidade do som no ar a (a) 0ºC e (b) 20ºC. 
 
 
Solução: 
(a) A temperatura absoluta correspondente à temperatura Celsius 0ºC é 
KtT C 2732730273 
. 
A velocidade do som a 0ºC é, portanto, 
 
sm
molKgx
KKmolJ
M
RT
v /331
/1029
)273)(./31,8)(4,1(
3


 . 
 
(b) A fim de achar a velocidade a 20ºC = 293K, observamos que a 
velocidade do som é proporcional à raiz quadrada da temperatura 
absoluta. O seu valora 293K, 
293v
, está então relacionado ao seu valor 
a 273K, 
273v
, por 
273
293
273
293 
v
v
 
ou 
smsmv /343)/331(
273
293

. 
 
 
ONDAS SONORAS HARMÔNICAS 
 
 As ondas sonoras harmônicas podem ser geradas por uma fonte que vibra 
com um movimento harmônico simples, como um diapasão, ou um alto-falante 
excitado por um oscilador de áudio. A fonte vibratória provoca a oscilação das 
moléculas de ar que estão nas suas vizinhanças, e essas moléculas se movem com 
um movimento harmônico simples em torno das posições de equilíbrio. Estas 
moléculas colidem com as moléculas que estão um pouco mais afastadas e 
provocam também a oscilação destas moléculas, e assim se propaga a onda 
sonora. O deslocamento das moléculas 
),( txs
pode ser escrito 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
38 
)(),( 0 tKxsenstxs 
 
 
onde 
0s
 é o deslocamento máximo de uma molécula de gás em relação à sua 
posição de equilíbrio, K é o número de onda 

2
K
, 
 
e 

é a freqüência angular 
T
f


2
2 
. 
 
 Como ocorre com todas as ondas harmônicas, a velocidade da onda é 
igual à freqüência vezes o comprimento de onda: 
K
fv

 
. 
 
 
O ouvido humano pode perceber sons dentro de uma faixa de 
freqüência que vai de 20Hz a 20.000Hz (embora muitas pessoas 
tenham audição muito limitada acima de 15.000Hz). Se a velocidade 
do som no ar for de 340 m/s, quais são os comprimentos de onda 
que correspondem a estas freqüências extremas? 
 
Solução: 
 Se a velocidade do som no ar for 340 m/s, o comprimento de onda 
correspondente à freqüência audível mais baixa é 
 
m
Hz
sm
f
v
17
20
/340

, 
 
e a correspondente à freqüência audível mais alta é 
 
cm
Hz
sm
f
v
7,1
000.20
/340

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
39 
ONDAS EM TRÊS DIMENSÕES – INTENSIDADE 
 
 
 O movimento de um 
conjunto de frentes de onda 
pode ser indicado pelos raios, 
que são retas perpendiculares 
às frentes de onda (ver figura). 
No caso de ondas circulares, 
ou de ondas esféricas, os raios 
são retas radiais. 
 Se uma fonte 
puntiforme emite 
uniformemente ondas em todas 
as direções, a energia a uma distância 
r
 da fonte estará uniformemente distribuída 
sobre uma superfície esférica de raio 
r
 e área 
24 r
. Se P for a potência emitida pela 
fonte, a potência por unidade de área à distância 
r
 da fonte será 
24/ rP 
. A potência 
média por unidade de área, perpendicular à direção de propagação, é a 
intensidade: 
 
A
P
I m
. 
 
As unidades da intensidade são watt por metro quadrado. A uma distância 
r
 da 
fonte puntiforme, a intensidade é 
 
24 r
P
I m


. 
 
A intensidade de uma onda tridimensional varia inversamente com o quadrado da 
distância à fonte puntiforme. 
 Há uma relação simples entre a intensidade de 
uma onda e a energia por unidade de volume no meio por 
onde passa a onda. Consideremos a onda esférica que 
atingiu a distância 
1r
 (ver figura). O volume no interior da 
esfera de raio 
1r
 contém energia em virtude de as 
partículas, nesta região, estarem oscilando com 
movimento harmônico simples. A região externa da região 
1r
 não contém energia, pois a onda ainda não atingiu esta 
região. Depois de um curto intervalo de tempo 
t
, a onda se move para além de 
1r
 e 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
40 
percorre uma pequena distância 
tvr 
. A energia total no meio aumenta pela 
energia na casca esférica de área superficial A, espessura 
tv
 e volume 
tAvv 
. 
A energia adicional na casca esférica é 
 
tAvvE  
, 
 
onde 

é a energia média por unidade de volume na casca que agora passou a ter 
energia. A taxa de aumento de energia é a potência injetada na casca esférica. A 
fonte dessa energia é a energia gerada no centro da esfera de onde a onda está 
sendo irradiada. Então, a potência média incidente é 
 
Av
t
E
Pm 



, 
 
e a intensidade da onda é 
v
A
P
I m 
. 
 
Assim, a intensidade é igual ao produto da velocidade da onda 
v
 pela energia média 
por unidade de volume 

. Esse resultado vale para todas as ondas. 
 O ouvido humano pode perceber uma extensa faixa de intensidade de 
ondas sonoras, desde cerca de 10-12 W/m2 (que se toma usualmente como limiar da 
audição) até cerca de 1 W/m2 (que provoca a sensação de dor na maioria das 
pessoas). As variações de pressão que correspondem a estas intensidades 
extremas vão desde 3 x 10-5 Pa para o limiar da audição até 30Pa no limiar doloroso. 
 
 
INTENSIDADE SONORA E NÍVEL DE INTENSIDADE 
 
 Em virtude da enorme faixa de intensidade a que o ouvido é sensível e 
também em virtude de a sensação psicológica da intensidade sonora não variar 
diretamente com a intensidade, mas, com melhor aproximação, com o logaritmo da 
intensidade, usa-se uma escala logarítmica para descrever o nível de intensidade de 
uma onda sonora. O nível de intensidade 

 medido em decibéis (dB) se define por 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
41 
 
0
log10
I
I

 
 
onde 
I
 é a intensidade do som, e 
0I
 é um nível de referência, que tomaremos como 
o do limiar da audição: 
 
212
0 /10 mWI

. 
 
Neste caso, o limiar da audição é 
dB
I
I
0log10
0
0 
, e o limiar de audição dolorosa 
é 
dB12010log10
10
1
log10 12
12



. 
Então, a faixa de intensidade sonora vai de 
212 /10 mW
 até 
2/1 mW
, o que 
corresponde a uma faixa de níveis de intensidade de 0 dB até 120dB. Na tabela 
abaixo, estão os níveis de intensidade de algumas fontes sonoras comuns. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
42 
 
 
Um cachorro, ao ladrar, emite cerca de 10-3 W de potência. 
(a) Se esta potência estiver uniformemente distribuída em todas 
as direções, qual o nível de intensidade a uma distância de 5 m? 
 (b) Qual seria o nível de intensidade de dois cachorros latindo 
em uníssono, cada qual emitindo 10-3 W de potência? 
 
Solução: 
(a) A intensidade a uma distância de 5m é a potência dividida pela área: 
26
2
3
/1018,3
)5(4
10
4
mWx
m
W
r
P
I 

 
. 
 O nível de intensidade a esta distância é: 
 
12
6
0 10
1018,3
log10log10



x
I
I
 
 
)1018,3log(10 6x
 
 
)10log18,3(log10 6
 
 = 10(0,50+6) = 65,0dB. 
 
(b) Se forem dois os cachorros latindo, ao mesmo tempo, a intensidade 
será duas vezes maior, ou seja, 
 
2526 /1036,6)/1018,3(2 mWxmWxxI  
. 
 Então 
0/ II
 será 
6
0
1036,6 x
I
I

, e o nível de intensidade será 
 
dBx 0,68)1036,6log(10 6  . 
 
Podemos ver, por este exemplo, que se a intensidade for duplicada, o nível de 
intensidade aumentará 3 dB. 
 
 
Um absorvedor de som atenua 30 dB do nível sonoro. Qual o 
fator pelo qual a intensidade diminui? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
43 
Solução: 
 Pela tabela das intensidades e nível de intensidade de alguns ruídos, 
podemos ver que para cada 10dB de diminuição no nível de intensidade, a 
intensidade diminui por um fator de 10. Então, uma queda de 30 dB corresponde a 
uma diminuição da intensidade por um fator de 103 = 1000. 
 
 A sensação de sonoridade 
depende da freqüência e também da 
intensidade do som. A figura ao lado é 
um gráfico do nível de intensidade contra 
a freqüênciapara sons de igual 
sonoridade ao ouvido humano. Nesta 
figura, a freqüência está plotada numa 
escala logarítmica a fim de cobrir o largo 
intervalo de freqüência que vai de 20 Hz 
até 10 KHz. A curva mais baixa 
corresponde ao limiar de audição de 
pessoas com o ouvido muito sensível. 
Podemos ver que o limiar da audição é 0 
dB a 1KHz, mas cerca de 50 dB a 60 Hz. Aproximadamente 1% da população tem 
esse limiar da audição muito baixo. A segunda curva de baixo para cima, é uma 
curva de limiar de audição mais típica, que vale para cerca de 50% da população. A 
curva superior assinala o limiar da audição dolorosa. Esta curva não varia tanto com 
a freqüência, como as curvas que estão mais embaixo. Observa-se nesse gráfico, 
que o ouvido humano é mais sensível a cerca de 4 KHz, para todos os níveis de 
intensidade. 
 
 
REFLEXÃO, REFRAÇÃO E DIFRAÇÃO 
 
Na propagação do som, observam-se os fenômenos gerais da propagação 
ondulatória. Dada sua natureza longitudinal, o som não pode ser polarizado; sofre, 
entretanto, os demais fenômenos, a saber: difração, reflexão, refração, 
interferência e efeito Doppler. 
DIFRAÇÃO 
A difração depende do comprimento de onda; é a propriedade que a onda 
apresenta em contornar (devido ao modelo de fontes secundárias, posto na teoria 
da ondulatória, no princípio de Huyghens) os obstáculos que encontra durante sua 
propagação. Como o comprimento de onda () das ondas sonoras é bastante 
grande (enorme, em relação ao comprimento de onda da luz), a difração sonora é 
intensa. 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
44 
REFLEXÃO 
A reflexão de uma onda é seu retorno ao meio de origem após incidir em 
outro meio. 
A freqüência f da onda refletida é igual à da onda incidente e o valor v da 
velocidade de propagação também é igual para ambas. Consequentemente, o 
comprimento de onda também se mantém após a reflexão. 
Leis da Reflexão 
 Na figura a seguir temos uma superfície refletora na qual uma onda incide e 
sofre reflexão. 
 
Nesta figura, temos: 
RI : raio incidente 
RR: raio refletido 
N: reta normal (perpendicular) à superfície refletora, passando pelo ponto de 
incidência i. 
i: ângulo de incidência (é o ângulo entre RI e N) 
r: ângulo de reflexão (é o ângulo entre RR e N) 
 
1ª. Lei: RI, RR e N são coplanares. 
2ª. Lei: i = r 
 
Reflexão de Ondas em Superfícies Líquidas 
 Para as ondas bidimensionais, os princípios gerais da reflexão de ondas 
continuam válidos. O estudo se simplifica se analisarmos o comportamento dos 
raios de onda, em vez das frentes de onda. Na figura abaixo, mostra-se esta 
simplificação. 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
45 
 
Reflexão de Ondas Transversais em Cordas 
 Quando a reflexão se dá numa extremidade fixa, ocorre inversão de fase: 
 
 Esta inversão de fase explica-se pelo Princípio da Ação e Reação. Ao atingir 
a parede (extremidade fixa), o pulso agiu neste ponto com a força 
F
 , tendendo a 
produzir um deslocamento para cima. A parede reagiu com a mesma intensidade, 
porém de sentido oposto 
F


, que age sobre a corda, produzindo a onda refletida 
invertida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
46 
Quando a reflexão se dá numa extremidade livre, não ocorre inversão de 
fase: 
 
 Neste caso, quando o pulso chega no anel, por este ser leve e estar livre, 
não reage sobre a corda, comportando-se como qualquer ponto da corda, o anel 
sobe e desce, e o pulso retorna à corda (reflete) sem inverter-se e, com velocidade 
v. Ocorre, portanto, uma reflexão sem inversão de fase quando a extremidade for 
livre. 
Reflexão do Som: Eco e Reverberação 
 Consideremos uma pessoa diante de uma parede. 
 
Quando a pessoa grita, ela ouve dois sons: um ao gritar e outro que chega a 
ela após sofrer reflexão na parede. Se este último demorar mais de 0,1s para ir até 
a parede e voltar à pessoa, ele será ouvido separado do primeiro: é o eco. Se 
demorar menos que 0,1s será percebido como uma continuação do primeiro: é a 
reverberação. A reverberação atrapalha o entendimento de conversas, e a audição 
musical. Por isso, os auditórios são projetados de modo que suas paredes 
absorvam intensamente o som, reduzindo as reflexões. 
 
 Consideremos que o som propaga-se no ar a 340 m/s, em 
0,1s ele percorrerá 34m. Portanto, para se perceber o eco, a 
parede deve estar a mais de 17m da pessoa. 
 Quando recebemos um som, a sensação sonora persiste em 
nós por aproximadamente 0,1s. A esse fenômeno dá-se o 
nome de persistência acústica. 
 Quando o som, propagando-se num meio (ar, por exemplo), 
incide num outro meio mais rígido (uma parede, por 
exemplo), sofre reflexão com inversão de fase. 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
47 
 REFRAÇÃO 
 A refração é a passagem de uma onda de um determinado meio para outro 
de características diferentes, sempre ocorrendo com isso uma alteração do valor 
da velocidade de propagação da onda. 
 Um fato extremamente importante na refração é que a freqüência da onda 
refratada é igual à da onda incidente. Suponhamos, por exemplo, uma emissora 
de rádio transmitindo ondas que se propagam pelo ar com freqüência de 89 MHz. 
Se essas ondas penetrarem na água (refração), a freqüência delas continuará igual 
a 89 MHz. Assim, se um banhista mergulhar com um rádio (protegido) sintonizado 
nessa emissora, ele continuará ouvindo a mesma emissora. 
 Lembrando da expressão 
fv .
 e sabendo que f não se altera e que v se 
altera, concluímos que o comprimento de onda também se altera na refração. 
 
Sempre que ocorre refração, na fronteira entre os meios ocorre 
também uma reflexão parcial da onda incidente. 
 
Leis da refração 
 Na figura ao lado, N é uma reta normal à 
fronteira F entre os dois meios 1 e 2. Ondas 
periódicas (ondas retas, por exemplo) propagando-se 
no meio 1 com velocidade v1 incidem na fronteira F e 
penetram no meio 2, onde passam a se propagar 
com velocidade v2. 
 Notemos que v2 é menor que v1. De fato, à 
medida que uma frente de onda atravessa a 
fronteira, a parte que passa para o meio 2 se atrasa 
em relação à parte que ainda está se propagando no 
meio 1: isso explica o desvio da onda. Notemos 
também que 
2
 é menor que 
1
, o que está de 
acordo com a expressão 
fv .
, pois v2 é menor 
que v1 e f é constante. 
 
1ª. Lei: Os raios incidente e refratado e a reta normal N que 
passa pelo ponto de incidência são coplanares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
48 
 
2ª. Lei (Lei de Snell) 
Na figura temos: 
1
: ângulo de incidência – é o ângulo entre o raio incidente e N 
ou entre a frente de onda incidente e F 
2
: ângulo de refração – é o ângulo entre o raio refratado e N ou 
entre a frente de onda refratada e F 
A lei de Snell é expressa por: 
2
1
2
1
2
1





v
v
sen
sen
. 
 Para provar essa lei, observemos a figura acima. 
 No mesmo intervalo de tempo 
t
 em que a onda se desloca 
1S
 no meio 1, 
ela se desloca 
2S
 no meio 2. Lembrando que 
t
S
v



 e, portanto 
tvS  .
, temos: 
 No triângulo destacado no meio 1: 
AB
tv
sen
AB
S
sen




.1
1
1
1 
 (I) 
 No triângulo destacado no meio 2: 
AB
tv
sen
AB
S
sen




.2
2
2
2 
 (II) 
Dividindo, membro a membro, a expressão (I) pela expressão (II), temos: 
2
1
2
1
v
v
sen
sen



 
Então: 
2
1
2
1
2
1
2
1
.
.







f
f
v
v
sen
sen
 
Refração de Ondas Transversais na Fronteira entre DuasCordas Esticadas 
 Consideremos duas cordas homogêneas A e B interligadas. Suponhamos 
que a densidade linear da corda B seja maior que a da corda A: isso significa que a 
corda B possui mais massa que a corda A numa mesma unidade de comprimento 
(em 1 cm, por exemplo). 
 Quando uma onda transversal incide na fronteira entre elas, ocorre refração 
e reflexão, havendo dois casos a considerar: 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
49 
 
Na figura 1 temos a onda incidente dirigindo-se da corda de menor para a corda de 
maior densidade linear: a onda refratada está em fase com a onda incidente; a 
onda refletida está em oposição de fase em relação à onda incidente. 
Na figura 2 temos a onda incidente dirigindo-se da corda de maior para a de menor 
densidade linear: a onda refratada está em fase com a onda incidente; a onda 
refletida também está em fase com a incidente. 
 
Luz de freqüência f = 6,00.1014 Hz propagando-se no ar (meio 1) 
passa a se propagar num bloco de vidro (meio 2). Sendo v1 = 
3,00 . 108 m/s e v2 = 2,13.10
8m/s as velocidades dessa luz no ar 
e no vidro, respectivamente: 
a) calcule o comprimento de onda da luz incidente; 
b) qual a freqüência, a velocidade e o comprimento de onda da 
luz refletida? 
c) qual o freqüência e o comprimento de onda da luz refratada. 
Solução: 
a) 
fv .11 
 
14
1
8 10.6.10.3 
 
m71 10.00,5

 
b) A freqüência não se altera, pois é característica exclusiva da luz utilizada. A 
velocidade de propagação e o comprimento de onda também não se alteram, 
porque o meio de propagação não mudou. 
c) A freqüência não se altera: 
Hzf 1410.00,6
. 
mfv 72
14
2
8
22 10.55,310.6.10.13,2.
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
50 
 
INTERFERÊNCIA 
 Quando duas ondas se propagam através de um meio, elas podem se 
encontrar numa dada região. Observa-se que, quando duas ondas se encontram 
elas agem independentemente uma das outras e continuam a se propagar 
posteriormente como se a outra não existisse, conservando características que 
possuíam inicialmente. 
 No ponto em que as ondas se superpõem, os seus efeitos se superpõem 
dando origem ao fenômeno da INTERFERÊNCIA. 
 Consideremos duas ondas de mesma amplitude se propagando numa corda 
na mesma direção e sentidos opostos. A amplitude de oscilação no ponto de 
encontro é a soma algébrica das amplitudes de cada onda agindo isoladamente. 
 Assim, quando duas cristas (ou dois vales) se encontram, seus efeitos se 
somam; o efeito de uma onda é reforçado pelo efeito de outra. Esse fenômeno é 
chamado de interferência construtiva. 
 
Interferência construtiva: no encontro dos pulsos, há um reforço do efeito produzido pelas 
ondas. 
 Mas, se uma crista e um vale de mesma amplitude se encontram, o efeito de 
uma onda é compensado pelo efeito de outra onda na região de encontro e, 
portanto, não há oscilação naquela região. Esse fenômeno é chamado de 
interferência destrutiva. 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
51 
 
Interferência destrutiva: no encontro dos pulsos há um enfraquecimento do efeito produzido 
pelas ondas (um completo aniquilamento, se as amplitudes forem iguais e de sinal contrário). 
 
Dois pulsos propagam-se numa corda flexível, superpondo-se no 
ponto P. 
 
Determine: 
a) a amplitude do pulso resultante no instante da superposição 
b) qual a configuração da corda após a superposição. 
Solução: 
a) O pulso da esquerda apresenta amplitude +1cm e o da direita -5cm. O pulso 
resultante no ponto P é dado pelo princípio da superposição: 
a = a1 + a2 
a = +1 + (-5) 
a = -4cm 
b) Após a superposição, os pulsos originais se reconstituem e seguem sua 
trajetória independentemente um do outro. Assim, a configuração seria: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
52 
EFEITO DOPPLER 
 
O efeito Doppler é a conseqüência do movimento relativo entre o 
observador e a fonte sonora, o que determina uma modificação aparente na altura 
do som recebido pelo observador. Quando um se move em direção ao outro, a 
freqüência observada é maior que a freqüência da fonte; quando os dois se 
afastam, a freqüência observada é menor que a freqüência da fonte. Exemplo 
comum deste efeito é o da mudança da altura de uma buzina de carro quando o 
carro está se aproximando ou afastando. 
Consideremos inicialmente o caso de uma fonte em movimento. Neste caso, 
as ondas na frente da fonte estão comprimidas, de modo que as frentes de onda 
estão mais próximas do que estariam no caso da emissão por uma fonte 
estacionária, enquanto atrás da fonte as frentes de onda estão mais afastadas. 
Podemos calcular o comprimento de onda na frente da fonte 
f
 e o comprimento 
da fonte atrás da fonte 
a
 como segue. Seja 
0f
a freqüência da fonte. Num certo 
intervalo de tempo, 
t
 a fonte emite um número de ondas N dado por 
tfN  0
. A 
primeira frente de onda desloca-se à distância 
tv
, enquanto a fonte se desloca 
tuS
, onde 
Su
 é a velocidade da fonte em relação ao meio. Uma vez que as N 
ondas emitidas estão contidas na distância 
tuv S  )(
, o comprimento de onda na 
frente da fonte se calcula pela divisão desta distância por N: 
tf
tuv
N
tuv SS
f





0
)()(
 
ou 









v
u
f
v
f
uv SS
f 1
00

. 
Atrás da fonte, as N ondas ocupam a distância 
tuv S  )(
, e então o 
comprimento de onda atrás da fonte é 









v
u
f
v
f
uv SS
a 1
00

. 
A velocidade 
v
 das ondas depende somente das propriedades do meio e 
não do movimento da fonte. No caso de uma fonte que se aproxima do receptor, a 
freqüência 
'f
que as ondas passam por um meio em repouso em relação ao meio 
é, então, 
 
vu
fv
f
Sf /1
0'



 
 
 
 
 
 
 
 
Guia de Estudo – FÍSICA II 
53 
 (Fonte se aproximando) 
No caso de uma fonte afastando-se do receptor, a freqüência é 
 
 (Fonte se afastando) 
 Quando a fonte estiver em repouso e o receptor em movimento em relação 
ao meio, não há variação no comprimento de onda, mas a freqüência com que as 
ondas chegam ao receptor aumenta quando o receptor se move em direção à fonte 
e diminui quando o receptor se afasta da fonte. O número de ondas que passam 
pelo receptor estacionário, num intervalo de tempo 
t
,é igual ao número de ondas 
na distância 
tv
, ou seja, 
/tv
. Quando o receptor estiver em movimento em 
direção à fonte, com velocidade 
ru
, recebe também um número adicional de ondas 
/tur
. O número total de ondas que passam pelo receptor no intervalo de tempo 
t
 é, então, 
t
uvtutv
N rr 



 
. 
A freqüência observada é igual a este número de ondas dividido pelo intervalo de 
tempo: 

ruv
t
N
f



'
 
ou 
 (Receptor se aproximando) 
 
Se o receptor estiver se afastando da fonte, com velocidade 
ru
, raciocínio 
semelhante leva à freqüência 
 ( 
 (Receptor se afastando) 
Quando a fonte e o receptor estiverem em movimento em relação ao meio, as 
equações acima podem ser combinadas: 
 
 
vu
fv
f
Sa /1
0'



 







v
u
ff 10
'
 







v
u
ff r10
'
 
0
'
)/1(
)/1(
f
vu
vu
f
S
r



 
 
 
 
 
 
 
 
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54 
 A escolha correta dos sinais mais e menos é fácil de memorizar observando 
que a freqüência aumenta quando a fonte e o receptor se