CALCULO NUMÉRICO

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UFV
Valentín Mendoza
 Cálculo Numérico
Apresentac¸a˜o
Estas notas de aula de Ca´lculo Nume´rico foram escritas no semestre 2013-II quando
ministrei esta disciplina para os estudantes da Universidade Federal de Vic¸osa. Em
princı´pio foram apresentados em forma de 6 apostilas, cada uma correspondendo a um
capı´tulo do conteu´do. Agora sera˜o apresentadas juntas acrescentando os exercı´cios
de cada to´pico.
O objetivo ao escreveˆ-las e´ proporcionar ao aluno os principais conceitos da ana´lise
nume´rica que lhe permitam resolver os problemas que se lhe apresentara˜o no decorrer
de sua atividade de trabalho. Tivemos especial interesse em apresentar a deduc¸a˜o dos
me´todos, seguindo as ideias gerais nas quais esta´ baseado cada uma das te´cnicas
aqui mostradas.
Na˜o esta´ demais dizer que toda a tecnologia de nosso tempo esta´ muito ligada ao
Ca´lculo Nume´rico. Sem ele seria impossı´vel calcular as probabilidades da distribuic¸a˜o
normal, resolver equac¸o˜es de difusa˜o, trabalhar com dinaˆmica de fluidos, governar o
movimento de robots, etc. Pois existem modelos de fenoˆmenos fı´sicos, econoˆmicos,
biolo´gicos, etc, que sa˜o analı´ticamente insolu´veis, ou cuja soluc¸a˜o e´ ta˜o complicada
como para utiliza´-la para fins pra´ticos. Nesses casos o Ca´lculo Nume´rico constitui-se a
u´nica ferramenta para aborda´-los e para obter soluc¸o˜es aceita´veis. Por isso, se o aluno
sente que a disciplina e´ um pouco entediante quando utiliza a calculadora para realizar
contas sobre contas num determinado exercı´cio, deve ser consciente que isso e´ um
pequeno prec¸o a pagar pelo conhecimento e a pra´xis que adquirira´ e que, na hora das
aplicac¸o˜es, sera˜o inestima´veis.
Fico devendo a parte computacional sem a qual a poteˆncia do Ca´lculo Nume´rico
na˜o e´ apreciada.
Acredito que este trabalho contenha alguns erros, mas estes seriam muitos mais
se na˜o fosse pelas correic¸o˜es que alguns dos alunos fizeram ao texto inicial. Gostaria
de agradecer a Daniela Abrantes Leal, Beatryz Cardoso Mendes, Gabriel de Rezende
Coelho, Franco Luiz Alves e Marcus Vinicius Miranda, que me indicaram alguns erros
tipogra´ficos ou de conteu´do, e do monitor Michael Caneshe quem corrigiu muitos dos
exercı´cios propostos. Mas a pesar do dedicado esforc¸o deles, escaparam-se algumas
coisas que podem ser melhoradas. Por isso, se o leitor tiver comenta´rios, crı´ticas e su-
gesto˜es pode encaminha´-las ao email valentin@ufv.br. Serei grato a quem comunicar
os erros de qualquer natureza encontrados no texto.
Vic¸osa, marc¸o de 2015.
J. Valentı´n Mendoza M.
2
Suma´rio
1 Me´todos nume´ricos para a soluc¸a˜o de equac¸o˜es 5
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 O Me´todo de Bissec¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Estimativa do nu´mero de iterac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Me´todo da Falsa Posic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Erro Absoluto no me´todo da Falsa Posic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2 Erro Relativo no me´todo da Falsa Posic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 O Me´todo das Aproximac¸o˜es Sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 O Me´todo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.1 Convergeˆncia do Me´todo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Me´todo da Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Interpolac¸a˜o Polinomial 22
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 A Fo´rmula de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 A Fo´rmula de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Resoluc¸a˜o Nume´rica de Sistemas Lineares 34
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Sistemas Triangulares Inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 Sistemas Triangulares Superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Me´todo Direto: Decomposic¸a˜o LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Me´todo Iterativo: O me´todo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.1 O Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.2 Crite´rios de Convergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.3 Crite´rio de Parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Integrac¸a˜o Nume´rica 49
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.1 Estudo do Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Regra dos Trape´zios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3.1 Limitante superior do erro na Regra do Trape´zio . . . . . . . . . . . 53
4.3.2 Regra do Trape´zio Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Regra 13 de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4.1 Limitante superior para o Erro E2 na regra 1/3 de Simpson . . . . . 57
4.4.2 Regra 1/3 de Simpson Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 Regra 38 de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5.1 Limitante superior para o erro na regra 3/8 de Simpson . . . . . . . 63
4.5.2 Regra 3/8 de Simpson Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3
5 Resoluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias 69
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3 O Me´todo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4 Me´todos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4.1 Me´todos de Runge-Kutta de Ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.4.2 Me´todos de Runge Kutta de Ordem 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4.3 O Me´todo de Runge-Kutta de Ordem 4 . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5 Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.5.1 Aplicac¸a˜o a equac¸o˜es diferenciais de segunda ordem . . . . . . . . 84
5.6 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6 Resoluc¸a˜o Nume´rica de Equac¸o˜es Diferenciais Parciais 90
6.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2.1 Equac¸o˜es Diferenciais Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2.2 Aproximac¸o˜es da primeira e da segunda derivada . . . . . . . . . . 91
6.3 Equac¸o˜es Parabo´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.3.1 O modelo de Equac¸a˜o Parabo´lica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.3.2 Discretizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3.3 Me´todo Explı´cito .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3.4 O Me´todo Implı´cito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.3.5 O Me´todo de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3.6 Condic¸o˜es de Fronteira de Neumann ou com Derivadas . . . . . . 106
6.4 Equac¸o˜es Elı´pticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.4.1 O modelo de Equac¸a˜o Elı´ptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.5 Equac¸o˜es na˜o lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.6 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4
1 Me´todos nume´ricos para a soluc¸a˜o de equac¸o˜es
1.1 Introduc¸a˜o
Muitos problemas em diferentes a´reas de conhecimento reduzem-se a` soluc¸a˜o da equac¸a˜o:
f (x) = 0 (1.1)
em que f : [a, b]→ R e´ uma func¸a˜o contı´nua. Um valor x¯ que satisfaz f (x¯) = 0 e´ chamado
uma raiz ou um zero de f (x).
E´ conhecido que se f (x) for um polinoˆmio de grau menor ou igual a 4 existe uma
fo´rmula alge´brica para determinar todas as suas raizes; mas se f (x) for um polinoˆmio de
grau maior ou igual a 5 ou uma func¸a˜o envolvendo func¸o˜es transcendentais, na˜o existe
um me´todo geral que permita encontrar exatamente as raizes da equac¸a˜o f (x) = 0.
Exemplo 1.1. A figura abaixo mostra o sol na origem e a terra no ponto (1, 0). Existem
5 pontos de equilibrio, no plano determinado pela o´rbita da terra ao redor do sol, nos
quais um sate´lite permanece imo´vil em relac¸a˜o a` terra. Estes pontos sa˜o chamados pontos
de Lagrange em honor ao matema´tico franceˆs Joseph Louis Lagrange quem os descobriu
estudando o problema restrito dos treˆs corpos. Estes pontos sa˜o obtidos quando as forc¸as
(gravitacionais, centrı´petas ) que agem no sate´lite se contrabalancearem. Em dezembro
de 2005 o sate´lite de pesquisa solar SOHO (Solar and Heliospheric Observatory) foi
colocado no ponto L1. Este ponto L1 e´ uma boa posic¸a˜o para monitorar o sol desde que
as correntes de partı´culas do sol, como o vento solar, atingem L1 aproximadamente uma
hora antes de atingir a terra.
Se m1 e´ a massa do sol, m2 e´ a massa da terra e r =
m2
m1+m2
, enta˜o a coordenada x de L1
e´ a u´nica raiz da equac¸a˜o de grau 5:
p(x) = x5 − (2 + r)x4 + (1 + 2r)x3 − (1 − r)x2 + 2(1 − r)x + r − 1 = 0
Usando o valor aproximado de r ≈ 3.04042 × 10−6, encontre a localizac¸a˜o do ponto
L1.
Sol Terra
Figura 1: Pontos de Lagrange no sistema Sol-Terra.
5
Muitos problemas de cieˆncia e tecnologia, como o problema anterior, conduzem a`
resoluc¸a˜o de equac¸o˜es na˜o lineares para as quais e´ difı´cil ou impossı´vel encontrar
uma soluc¸a˜o exata.
A soluc¸a˜o do problema anterior so´ e´ possı´vel utilizando um me´todo nume´rico. No
que segue apresentaremos alguns me´todos que nos ajudara˜o a resolver equac¸o˜es deste
tipo.
1.2 Preliminares
Um teorema que utilizaremos e´ o seguinte.
TEOREMA 1.1 (Teorema do Valor Intermedia´rio (TVI)). Seja f (x) e´ uma func¸a˜o contı´nua
num intervalo [a, b]. Se f (a) f (b) < 0 enta˜o existe pelo menos uma raiz x¯ de f (x) = 0 entre a e b.
Em palavras, podemos garantir ao menos uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o f (x) = 0, desde
que as imagens dos extremos do intervalo [a, b] sejam de signais diferentes. Isto e´, se
f (a) > 0 e f (b) < 0, ou se f (a) < 0 e f (b) > 0.
Exemplo 1.2. No exemplo 1.1, a func¸a˜o e´
f (x) = p(x) = x5 − (2 + r)x4 + (1 + 2r)x3 − (1 − r)x2 + 2(1 − r)x + r − 1.
Observe que f (0) = r−1 < 0 e f (1) = r > 0 enta˜o, pelo TVI, existe uma raiz x¯ no intervalo
[0, 1].
Outro resultado que precisaremos e´ o seguinte teorema:
TEOREMA 1.2 (Teorema do Valor Me´dio (TVM)). Seja f (x) uma func¸a˜o contı´nua em [a, b]
e diferencia´vel no intervalo (a, b). Enta˜o existe um ponto c ∈ (a, b) tal que
f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a).
O TVI e´ a ferramenta principal do primeiro me´todo nume´rico.
1.3 O Me´todo de Bissec¸a˜o
Suponha f (x) contı´nua e que existe um intervalo [a, b] tal que f (a) f (b) < 0. Sem perda
de generalidade, podemos supor f (a) > 0 e f (b) < 0. Pelo TVI, existe uma raiz x¯ de
f (x) = 0 entre a e b, que pode se qualquer ponto do intervalo [a, b]. Assim, temos pouca
informac¸a˜o sobre o valor da raiz. A ideia do me´todo de Bissec¸a˜o e´ diminuir o tamanho
do intervalo [a, b] com o intuito de conseguir um intervalo menor no qual podemos
encontrar a raiz.
Como na˜o temos ideia da ubicac¸a˜o da raiz, democraticamente, escolhemos como
primeira aproximac¸a˜o de x¯, o ponto me´dio do intervalo:
x1 =
a + b
2
6
Figura 2: O Me´todo da Bissec¸a˜o.
Se por acaso obtemos que f (x1) = 0, enta˜o o problema ficaria resolvido pois neste caso
x¯ = x1. Se f (x1) , 0 enta˜o x¯ encontra-se no interior de [a, x1] ou no interior de [x1, b].
Para determinar em qual destes intervalos esta´ a raiz, utilizamos o TVI:
(i) Se f (a) f (x1) < 0 enta˜o a raiz encontra-se em [a, x1],
(ii) Se f (x1) f (b) < 0 enta˜o a raiz encontra-se em [x1, b].
No caso (i), fazemos b = x1 e no caso (ii), fazemos a = x1. Em qualquer caso, temos
diminuido o tamanho do intervalo a` metade. Com este novo intervalo repetimos o
processo o obtemos uma segunda aproximac¸a˜o x2 com a qual, se na˜o e´ a raiz, diminuimos
o intervalo novamente na metade. Dependendo do valor de f (x2) teremos a = x2 ou
b = x2.
Continuando este processo obtemos uma sequeˆncia de aproximac¸o˜es xn+1, para
n = 0, 1, 2, ... que pertencem a intervalos In = [an, bn] com a0 = a e b0 = b de forma que
f (an) f (bn) < 0 e o comprimento de cada Ii+1 e´ a metade do comprimento de Ii. Assim
bn − an = bn−1 − an−12 = ... =
b0 − a0
2n
. (1.2)
e
xn+1 =
an + bn
2
.
O seguinte Teorema mostra a convergeˆncia das aproximac¸o˜es xn a` raiz x¯.
TEOREMA 1.3. A sequeˆncia de aproximac¸o˜es xn obtidas pelo Me´todo da Bissec¸a˜o converge para
a raiz x¯.
Demonstrac¸a˜o. Pela equac¸a˜o (1.2) temos que
lim
n→∞ |bn − an| = limn→∞
b0 − a0
2n
= 0.
Por tanto limn→∞ bn = limn→∞ an = L onde L e´ um nu´mero real. Como an < xn+1 <
7
bn temos que limn→∞ xn = L. Provaremos que L = x¯. Observe que f (an) f (bn) < 0
enta˜o
lim
n→∞ f (an) f (bn) = f (L) f (L) ≤ 0,
o que implica que ( f (L))2 ≤ 0. Mas ( f (L))2 ≥ 0. Assim a u´nica possibilidade e´ que
f (L)2 = 0, ou f (L) = 0. Dessa forma L = x¯. �
1.3.1 Estimativa do nu´mero de iterac¸o˜es
Desejamos determinar quantas iterac¸o˜es sa˜o necessa´rias como mı´nimo, para encontrar
um intervalo [an, bn], que contenha a aproximac¸a˜o xn+1, tal que
|xn+1 − x¯| < �,
em que � e´ o erro absoluto ao aproximar x¯. Pela equac¸a˜o (1.2)
|xn+1 − x¯| ≤ xn+1 − an = bn − an2 =
b0 − a0
2n+1
Logo para obter a precisa˜o desejada, e´ suficiente considerar um n tal que
b0 − a0
2n+1
< �
Assim,
n >
Log(b0 − a0) − Log(�)
Log(2)
− 1.
Observac¸a˜o 1.1. Ao resolver um problema numericamente, na˜o esquec¸a de colocar a
calculadora no modo radianos.
Exemplo 1.3. Aplique o me´todo de Bissec¸a˜o para resolver a equac¸a˜o x3 + cos(x) = 0
obtendo os extremos do intervalo inicial a e b pelo TVI. Encontre um resultado xn tal que
|xn − x¯| < 0.01.
Soluc¸a˜o:
A func¸a˜o a avaliar e´ f (x) = x3 + cos(x). Note que f (−1) = −0.45969 e f (0) = 1, assim
podemos considerar a = −1 e b = 0. Observe que precisaremos de
n >
Log(0 + 1) − Log(0.01)
Log2
− 1 = 5.64
8
iterac¸o˜es para obter o erro desejado. Assim, e´ suficiente n = 6. Na seguinte tabela
organizaremos os dados:
n a b xn+1 f (a) f (b) f (xn+1)
0 -1 0 -0.5 -0.45969 1 0.75258
1 -1 -0.5 -0.75 -0.45969 0.75258 0.309813
2 -1 -0.75 -0.875 -0.45969 0.309813 -0.02892
3 -0.875 -0.75 0 -0.8125 -0.02892 0.309813 0.1513
4 -0.875 -0.8125 -0.84375 -0.02892 0.1513 0.75258
5 -0.875 -0.84375 -.859375 -0.02892 0.75258 0.018240
6 -0.875 -0.859375 -0.8671875 -0.02892 0.018240 -0.00516
Em cada passofomos utilizando o TVI para escolher os valores de a e b. Repare que
|x7 − x¯| ≤ b6 − a62 = 0.00781 < 0.01.
Assim uma aproximac¸a˜o da raiz e´ x7 = −0.8671875.
1.4 Me´todo da Falsa Posic¸a˜o
O me´todo da Falsa Posic¸a˜o e´ uma variac¸a˜o do me´todo da Bissec¸a˜o. Neste me´todo mu-
damos a forma de escolher a aproximac¸a˜o xn+1. Na Bisec¸a˜o aproximavamos utilizando
o ponto me´dio do intervalo. Na Falsa posic¸a˜o aproximaremos a raiz utilizando a reta L
que passa pelos pontos (a, f (a)) e (b, f (b)). Ou seja, f (x) e´ aproximada por L e assim x1,
a aproximac¸a˜o de x¯, sera´ o ponto onde a ordenada y da reta L e´ zero.
Figura 3: O Me´todo da Falsa Posic¸a˜o.
A equac¸a˜o da reta L e´:
y − f (a)
x − a =
f (b) − f (a)
b − a .
Se y = 0, enta˜o x = x1. Logo
0 − f (a)
x1 − a =
f (b) − f (a)
b − a .
9
Assim
x1 =
a f (b) − b f (a)
f (b) − f (a)
Tendo x1, podemos usar o mesmo crite´rio da Bissec¸a˜o para escolher o novo intervalo
[a, b], isto e´:
(i) Se f (a) f (x1) < 0 enta˜o a raiz encontra-se em [a, x1],
(ii) Se f (x1) f (b) < 0 enta˜o a raiz encontra-se em [x1, b].
No caso (i) definimos b = x1, e no caso (ii) definimos a = x1. Logo, continuamos o
processo ate´ obter a precisa˜o desejada, obtendo intervalos [an, bn] com a0 = a e b0 = b e
xn+1 =
an f (bn) − bn f (an)
f (bn) − f (an) . (1.3)
O Me´todo da Bissec¸a˜o utiliza so´ a informac¸a˜o dos valores a e b para encontrar xn+1,
entanto que a Falsa Posic¸a˜o utiliza a informac¸a˜o de a, b, f (a) e f (b).
1.4.1 Erro Absoluto no me´todo da Falsa Posic¸a˜o
No me´todo da Falsa Posic¸a˜o pode acontecer que an ou bn permanece fixo a partir de um
certo n, enta˜o na˜o podemos garantir que bn − an tende para 0. Por isso utilizaremos o
erro absoluto |xn+1 − xn| < � como crite´rio de parada, onde � e´ a precisa˜o dada.
Por tanto, o me´todo para quando atingimos a desigualdade |xn+1 − xn| < �.
1.4.2 Erro Relativo no me´todo da Falsa Posic¸a˜o
Em alguns exemplos, o crite´rio de parada sera´ estabelecido pelo erro relativo. Se desejar-
mos um erro relativo menor que �, o me´todo para uma vez que atingimos a desigualdade∣∣∣∣xn+1 − xnxn+1
∣∣∣∣ < �. (1.4)
Exemplo 1.4. Aplique o me´todo da Falsa Posic¸a˜o para resolver a equac¸a˜o x3 +cos(x) = 0
com a = −1 e b = 0. Encontre um resultado xn+1 tal que |xn+1 − xn| < 0.01.
Soluc¸a˜o:
Como f (x) = x3 + cos(x) e f (−1) = −0.45969 e f (0) = 1, consideramos a = −1 e b = 0.
O me´todo para se atingimos |xn+1 − xn| < 0.01. Na seguinte tabela organizaremos os
dados:
10
n a b xn+1 f (a) f (b) f (xn+1)
0 -1 0 -0.68507 -0.45969 1 0.45285
1 -1 -0.68507 -0.84135 -0.45969 0.45285 0.07089
2 -1 -0.84135 -0.86254 -0.45969 0.07089 0.00880
3 -1 -0.86254 -0.86512 -0.45969 0.00880 0.00106
Em cada passo, uma vez calculado xn+1, utilizamos o TVI para escolher o intervalo
[a, b]. Note que
|x4 − x3| ≤ 0.00262 < 0.01.
Assim uma aproximac¸a˜o da raiz e´ x4 = −0.86512.
Observac¸a˜o 1.2. Em todos os me´todos que seguem aplicamos um dos dois crite´rios
de parada:
(i) Erro absoluto: se |xn+1 − xn| < �;
(ii) Erro relativo: se |xn+1−xnxn+1 | < �.
1.5 O Me´todo das Aproximac¸o˜es Sucessivas
Seja f (x) : [a, b] → R uma func¸a˜o contı´nua. O me´todo de Aproximac¸o˜es Sucessivas ou
Me´todo do Ponto Fixo consiste em escrever a equac¸a˜o f (x) = 0 na forma
x = φ(x) (1.5)
em que φ(x) e´ uma func¸a˜o contı´nua. Desse modo, achar uma raiz x¯ que satisfac¸a f (x¯) = 0
e´ equivalente a achar um x¯ tal que x¯ = φ(x¯).
Exemplo 1.5. Encontre uma func¸a˜o φ(x) tal que a equac¸a˜o x = φ(x) seja equivalente a`
equac¸a˜o x3 − 13 = 0.
Soluc¸a˜o:
Neste exemplo f (x) = x3 − 13. Existem va´rias maneiras de resolver o problema:
(i) Escreva x3 − 13 = 0 na forma x2 = 13x e enta˜o isole x na esquerda x =
√
13
x . Por
tanto φ(x) =
√
13
x .
(ii) Escreva x3 − 13 = 0 na forma 3x3 = 2x3 + 13. Divida entre 3x2 para obter
11
x = 2x
3+13
3x2 . Neste caso φ(x) =
2x3+13
3x2 .
Do exemplo anterior e´ claro que existem muitas, na verdade infinitas, maneiras de definir
uma func¸a˜o φ(x). Se temos escolhido uma destas func¸o˜es φ e um ponto x0 ∈ [a, b],
construa a sequeˆncia
xn+1 = φ(xn) (1.6)
Se por acaso a sequeˆncia {xn} convergir para um nu´mero x∗, isto e´, limn→∞ xn = x∗, enta˜o
temos que
lim
n→∞ xn+1 = limn→∞φ(xn).
Como φ e´ contı´nua,
lim
n→∞ xn+1 = φ( limn→∞ xn),
o que implica x∗ = φ(x∗). Pela definic¸a˜o da φ, segue que f (x∗) = 0, ou seja, x¯ = x∗.
A ana´lise anterior mostra que podemos encontrar x¯ usando a sequeˆncia {xn} da
equac¸a˜o (1.6), desde que o limite limn→∞ xn exista.
O seguinte Teorema fornece condic¸o˜es para que o limite limn→∞ xn exista.
TEOREMA 1.4. Seja φ(x) uma func¸a˜o contı´nua e diferencia´vel num intervalo [a, b] no qual
vale
|φ′(x)| < 1. (1.7)
tal que a equac¸a˜o f (x) = 0 seja equivalente a` equac¸a˜o x = φ(x). Enta˜o, dado x0 ∈ [a, b], a
sequeˆncia de iterac¸o˜es xn+1 = φ(xn) converge para a raiz x¯ de f (x) = 0.
Demonstrac¸a˜o. Seja x¯ satisfazendo x¯ = φ(x¯) ou f (x¯) = 0. Pelo Teorema do Valor
Me´dio, para cada n existe um cn ∈ (x¯, xn) tal que
|φ(xn) − φ(x¯)| = |φ′(cn)||xn − x¯|.
Como |φ′(x)| < 1 para todo x ∈ [a, b] temos que |φ′(cn)| ≤M, para um certo 0 < M < 1.
Pela definic¸a˜o xn+1 = φ(xn), isto implica que
|xn+1 − x¯| ≤M|xn − x¯|.
Continuando este processo temos:
|xn+1 − x¯| ≤M|xn − x¯| ≤M2|xn−1 − x¯| ≤ . . . ≤Mn+2|x0 − x¯|.
12
Por tanto
lim
n→∞ |xn+1 − x¯| ≤ limn→∞M
n+2|x0 − x¯| = 0
pois M < 1. Enta˜o,
lim
n→∞ |xn+1 − x¯| = 0
o que implica limn→∞ xn+1 = x¯. �
Observac¸a˜o 1.3. Pelo Teorema 1.4 devemos escolher uma φ que satisfac¸a:
|φ′(x)| < 1. (1.8)
Exemplo 1.6. A func¸a˜o f (x) = xe−x − e−3 possui exatamente uma raiz x¯ em [0.01, 1].
Encontre esta raiz pelo me´todo de Aproximac¸o˜es Sucessivas, utilizando um erro absoluto
menor que 0.01.
Soluc¸a˜o:
Escreva a equac¸a˜o xe−x − e−3 = 0 na forma xe−x = e−3, enta˜o divida entre e−x para
obter x = ex−3. Assim φ(x) = ex−3 e φ′(x) = ex−3. Como 0.01 ≤ x ≤ 1 temos
−2.99 ≤ x − 3 ≤ −2 e enta˜o
e−2.99 ≤ ex−3 ≤ e−2,
pois ex−3 e´ uma func¸a˜o crescente. Logo, |φ′(x)| ≤ e−2 ≈ 0.1353 < 1. Enta˜o φ(x)
satizfaz as condic¸o˜es do Teorema 1.4. Considere o ponto x0 = 0.5, enta˜o
x1 = φ(x0) = φ(0.5) = e0.5−3 = 0.08208.
Continuamos calculando os valores pela fo´rmula xn+1 = φ(xn) na seguinte tabela:
n xn
0 0.5
1 0.08208
2 0.05404
3 0.052551
Observe que |x3 − x2| = 0.00148 < 0.01. A soluc¸a˜o aproximada e´ x3 = 0.052551.
13
1.6 O Me´todo de Newton
A ideia para encontrar uma raiz da equac¸a˜o f (x) = 0 em todos os me´todos nume´ricos
e´ comec¸ar com uma (ou mais) aproximac¸a˜o inicial x0 e enta˜o determinar a seguinte
aproximac¸a˜o seguindo uma regra dada. No me´todo de Newton usa-se a reta tangente
para achar a segunda aproximac¸a˜o. Isto e´ feito da seguinte maneira.
Seja f : [a, b] → R uma func¸a˜o contı´nua em [a, b] e diferencia´vel em (a, b), e seja
x0 ∈ (a, b) uma aproximac¸a˜o inicial da raiz x¯. A reta tangente no ponto (x0, f (x0)) usa-se
para determinar a seguinte aproximac¸a˜o. Assim a nova aproximac¸a˜o sera´ enta˜o o valor
de x1 no qual a ordenada da reta tangente e´ zero.
Reta tangente
Figura 4: O me´todo de Newton.
A equac¸a˜o da reta tangente no ponto (x0, f (x0)) e´:
y − f (x0)
x − x0 = f
′(x0).
Substituindo as condic¸o˜es x = x1 e y = 0 temos:
0 − f (x0)
x1 − x0 = f
′(x0).
Isolando x1, obtemos a fo´rmula do me´todo de Newton no ponto x0:
x1 = x0 − f (x0)f ′(x0) .
Uma vez calculado x1 podemos fazer o mesmo processo para achar outra aproximac¸a˜o
x2 a partir de x1. E´ claro que a fo´rmula para x2 e´:
x2 = x1 − f (x1)f ′(x1) .
14
Em forma geral, a aproximac¸a˜o (n + 1)-e´sima e´ dada por
xn+1 = xn − f (xn)f ′(xn) . (1.9)
1.6.1 Convergeˆncia do Me´todo de Newton
O seguinte Teorema garante a convergeˆncia do Me´todode Newton.
TEOREMA 1.5. Sejam f (x), f ′(x) e f ′′(x) contı´nuas num intervalo I = [a, b] que conte´m a raiz
x¯ e suponha que f ′(x¯) , 0. Enta˜o existe um intervalo I∗ ⊂ I, contendo a raiz x¯ tal que se x0 ∈ I∗,
enta˜o a sequeˆncia {xn} gerada pela fo´rmula
xn+1 = xn − f (xn)f ′(xn)
convergira´ para a raiz.
Demonstrac¸a˜o. Observe que o me´todo de Newton e´ um caso particular do
me´todo das Aproximac¸o˜es sucessivas com φ(x) = x − f (x)f ′(x) pois xn+1 = φ(xn).
Assim, pelo Teorema 1.4, o me´todo convergira´ se |φ′(x)| < 1. Note que
φ′(x) =
f (x) f ′′(x)
[ f ′(x)]2
Como f (x¯) = 0, temos φ′(x¯) = 0. Pela continuidade de f , f ′ e f ′′, existe um
intervalo I∗ ⊂ I contendo x¯, no qual |φ′(x)| < 1 para x ∈ I∗. �
Observac¸a˜o 1.4. O Teorema anterior diz que se comec¸armos com um ponto x0 pro´ximo
da raiz x¯, enta˜o o Me´todo de Newton convergira´ para x¯.
Exemplo 1.7. Considere a equac¸a˜o na˜o linear x2− ex = 0. Use o me´todo de Newton para
resolveˆ-la considerando uma aproximac¸a˜o inicial de x0 = −2 e um erro absoluto menor
que 0.001.
Soluc¸a˜o:
Dos dados do problema f (x) = x2 − ex e f ′(x) = 2x − ex. Usando a fo´rmula
xn+1 = xn − f (xn)f ′(xn) ,
15
escreveremos as iterac¸o˜es na tabela abaixo:
n xn f (xn) f ′(xn)
0 -2 3.86466 -4.13533
1 -1.06545 0.79061 -2.47547
2 -0.74607 0.08239 -1.96636
3 -0.70417 0.00133 -1.90285
4 -0.70347 0.000004 -1.90180
Repare que |x4 − x3| = 0.0007 < 0.001. Assim um valor aproximado da raiz e´
x4 = −0.70347.
1.7 Me´todo da Secante
O Me´todo de Newton precisa da avaliac¸a˜o da derivada f ′(x) nos pontos xn que, depen-
dendo da func¸a˜o f (x), pode ser muito custosa. O Me´todo da Secante surgue como uma
alternativa ao me´todo de Newton no qual na˜o e´ necessa´rio avaliar a derivada da func¸a˜o.
A ideia e´ substituir a expressa˜o f ′(xn) na fo´rmula de Newton por uma aproximac¸a˜o
dela. Suponha que conhecemos duas aproximac¸o˜es x0 e x1 da raiz x¯. Pelo me´todo de
Newton
x2 = x1 − f (x1)f ′(x1) .
Se na˜o querermos derivar f , podemos aproximar a derivada f ′(x1) pela inclinac¸a˜o da
reta que passa pelos pontos (x0, f (x0)) e (x1, f (x1)):
f ′(x1) ≈ f (x1) − f (x0)x1 − x0 .
Dessa forma:
x2 = x1 − f (x1)[ f (x1)− f (x0)
x1−x0
]
Simplificando
x2 =
x0 f (x1) − x1 f (x0)
f (x1) − f (x0) .
Fazendo a mesma ana´lise para x1 e x2, obteremos uma fo´rmula para x3
x3 =
x1 f (x2) − x2 f (x1)
f (x2) − f (x1) .
Em geral, a aproximac¸a˜o xn+1 depende de xn−1 e xn:
xn+1 =
xn−1 f (xn) − xn f (xn−1)
f (xn) − f (xn−1) . (1.10)
16
Figura 5: O Me´todo da Secante.
Observac¸a˜o 1.5. A fo´rmula do Me´todo da Secante e do me´todo da Falsa Posic¸a˜o e´
a mesma. A diferenc¸a entre estes dois me´todos e´ que no Me´todo da Secante na˜o e´
necessa´rio que os valores iniciais tenham signais opostos.
Exemplo 1.8. Utilize o Me´todo da Secante para determinar uma raiz da equac¸a˜o x3 −
9x + 3 = 0, em [0, 1] com erro relativo menor que 10−3.
Soluc¸a˜o:
Neste exemplo x0 = 0, x1 = 1 e f (x) = x3 − 9x + 3. Na tabela abaixo esta˜o os valores
de xn e f (xn). Em cada passo xn+1 e´ dado pela fo´rmula
xn+1 =
xn−1 f (xn) − xn f (xn−1)
f (xn) − f (xn−1) .
n xn−1 xn xn+1 f (xn−1) f (xn) f (xn+1)
1 0 1 0.375 3 -5 -0.32226
2 1 0.375 0.33194 -5 -0.32226 0.04911
3 0.375 0.33194 0.33763 -0.32226 0.04911 -0.00018
4 0.33194 0.33763 0.33760 0.04911 -0.00018 -0.00007
O erro relativo para
∣∣∣∣ x5−x4x5 ∣∣∣∣ = 0.00088 e´ menor que o erro procurado e assim uma
aproximac¸a˜o da raiz e´ x5 = 0.33760.
17
1.8 Exercı´cios
Exercı´cio 1.1. Localize graficamente as raizes da equac¸a˜o ln(x) + 5x − 6 − x2 = 0. Separe
cada uma delas em intervalos de comprimento ma´ximo unita´rio.
Exercı´cio 1.2. Localize graficamente as raı´zes das equac¸o˜es:
(a) 4 cos(x) − e2x = 0; (b) x
2
− tan(x) = 0;
(c) 1 − x ln(x) = 0; (d) 2x − 3x = 0.
Exercı´cio 1.3. Considere a equac¸a˜o f (x) = xex − 1.
(a) Mostre que a equac¸a˜o possui uma raiz no intervalo [0.5, 1].
(b) Qual e´ o nu´mero mı´nimos de iterac¸o˜es necessa´rias para se obter uma aproximac¸a˜o
da raiz com duas casas decimais corretas, usando o Me´todo da Bissec¸a˜o?
(c) Se (xk), k = 0, 1, 2, 3, .. e´ a sequeˆncia de aproximac¸o˜es para a soluc¸a˜o da equac¸a˜o
f (x) = 0 atrave´s do Me´todo da Bisec¸a˜o, determine o valor aproximado de |x4 − x3|.
Exercı´cio 1.4. Aplique o Me´todo de Bissec¸a˜o e da Falsa Posic¸a˜o para calcular a raiz positiva
de x3 − 15 = 0 com erro absoluto � < 0, 01, partindo do intervalo [2.00, 3.00].
Exercı´cio 1.5. Aplique o Me´todo de Bissec¸a˜o para resolver:
(a) ex − x − 3x2 = 0; (b) x3 + cos(x) = 0
obtendo os extremos do intervalo inicial a e b graficamente. Encontre um resultado xn
tal que |x¯ − xn| < 0, 01.
Exercı´cio 1.6. Calcular a raiz de 2x3 − cos(x + 1)− 3 = 0, pertencente ao intervalo [−1, 2],
com precisa˜o de 0.01 usando o Me´todo de Bissec¸a˜o com no ma´ximo 10 passos. Verifique
quantos passos no mı´nimo sa˜o necessa´rios para ter uma precisa˜o de 10−8.
Exercı´cio 1.7. Dado o polino´mio p(x) = x3 + 2x2 + x − 2, fac¸a o que se pede:
(a) Determine o intervalo onde todos os zeros do polinoˆmio devem estar.
(b) Encontre uma aproximac¸a˜o para uma das raı´zes de p(x) = 0, com precisa˜o de sete
casas decimais, usando o Me´todo de Newton com no ma´ximo 10 passos e x0 = 1.
Exercı´cio 1.8. Fac¸a o exercı´cio anterior usando o polinoˆmio p(x) = x3 + 4x2 + x − 2.
Exercı´cio 1.9. Considere a func¸a˜o f (x) = x3 − x − 1. Resolva a equac¸a˜o f (x) = 0 pelo
Me´todo de aproximac¸o˜es sucessivas usando a func¸a˜o de iterac¸a˜o φ(x) = 1x +
1
x2 e x0 = 1.
Justifique seus resultados.
18
Exercı´cio 1.10. As raı´zes de f (x) = ln(x) − x + 2 podem ser determinadas usando o
processo iterativo na forma xk+1 = φ(xk), i = 1, 2, .... Encontre as raı´zes considerando:
(a) φ(x) = 2 + ln(x); (b) φ(x) = ex−2.
Exercı´cio 1.11. A func¸a˜o f (x) = xe−x − e−3, x ∈ R, possui exatamente duas raı´zes reais:
α1 ∈ [0.01, 1] e α2 ∈ [4, 5]. Considere as func¸o˜es φ1(x) = ex−3 e φ2(x) = ln x + 3.
(a) φ1 pode ser usada para aproximar α1 pelo me´todo das aproximac¸o˜es sucessivas
com garantia de convergeˆncia? E φ2?. Justifique.
(b) φ1 pode ser usada para aproximar α2 pelo me´todo das aproximac¸o˜es sucessivas
com garantia de convergeˆncia? E φ2?. Justifique.
Exercı´cio 1.12. Mostre que x3−2x2−5− sin(x) = 0 tem apenas uma raiz real e determine
seu valor correto ate´ 5 casas decimais usando o Me´todo de Newton, com no ma´ximo 6
iterac¸o˜es. Considere x0 = 2.1.
Exercı´cio 1.13. Mostre que a fo´rmula para determinar a raiz cu´bica de Q,
xn+1 =
1
3
(2xn +
Q
x2n
),n = 0, 1, ....
e´ um caso especial do Me´todo de Newton. Aplique o me´todo para calcular a raiz cu´bica
de 2 com precisa˜o de 10−2 usando o erro relativo. Considere x0 = 1.
Exercı´cio 1.14. Calcular as duas raı´zes de sin(x) − ex − 2x2 + 10 = 0 usando o Me´todo de
Newton, com a precisa˜o de |xn+1 − xn| ≤ 10−5 e no ma´ximo 10 passos.
Exercı´cio 1.15. Localize os zeros do polinoˆmio p(x) = x5 − 109 x3 + 521 . Usando o Me´todo de
Newton, encontre as raı´zes na˜o nulas de p(x) = 0 com precisa˜o de 6 casas decimais.
Exercı´cio 1.16. Utilizando o Me´todo de Newton e chamando de (xk), k = 0, 1, 2, ... a
sequeˆncia de aproximac¸o˜es para a soluc¸a˜o da equac¸a˜o tan(x) − 2x = 0 no intervalo
[1, 1.5], com x0 = 1.3, encontre um valor aproximado de |x5 − x4| × 107.
Exercı´cio 1.17. Considere a equac¸a˜o na˜o-linear x2 − ex = 0. Use o Me´todo de Newton para
resolveˆ-la considerando uma aproximac¸a˜o inicial x0 = −2 e precisa˜o menor que � = 10−1.
Use arredondamento e 4 casas decimais apo´s a vı´rgula.
Exercı´cio 1.18. Utilizando o Me´todo de Newton e chamando de (xk), k = 0, 1, 2, ... a
sequeˆncia de aproximac¸o˜es para a soluc¸a˜o da equac¸a˜o x3 + x − λ = 0 no intervalo
[1, 2], com x0 = 1.3 e λ = 3, encontre um valor aproximado de |x5 − x4| × 107.
Exercı´cio1.19. Ale´m da soluc¸a˜o obvia x = 0, a equac¸a˜o
x sin(x) + 3x cos(x) − 2x = 0
19
tem duas soluc¸o˜es no intervalo [−1, 2], sendo uma positiva e a outra negativa. Sejam
(Sk) e (Pk), k = 1, 2, ... as sequeˆncias de aproximac¸o˜es para as raı´zes de f (x) obtidas pelo
Me´todo da Secante e da Falsa Posic¸a˜o, respectivamente. Considerando S1 = P1 = −1 e
S2 = P2 = 1.5, encontre o valor aproximado de |S5 − P5| × 100.
Exercı´cio 1.20. Utilize o Me´todo da falsa posic¸a˜o para determinar a raiz da equac¸a˜o x log(x)−
1 = 0, em [2, 3] com � = 10−4.
Exercı´cio 1.21. Utilize o Me´todo da falsa posic¸a˜o para determinar a raiz da equac¸a˜o x3 −
9x + 3 = 0, em [0, 1] com � = 10−4.
Exercı´cio 1.22. Utilize o Me´todo da secante para determinar a raiz da equac¸a˜o x3−9x+3 = 0,
em [0, 1] com � = 10−4.
Exercı´cio 1.23. Considere um po´rtico em L invertido como na figura onde K e´ o coefici-
ente de mola torsional. Encontre o valor do a´ngulo de equilibrio θ quando aplicamos
uma forc¸a P no extremo do po´rtico. Resolva o problema com K = 1, L = 2 e P = 2.
Figura 6: Po´rtico em L.
Exercı´cio 1.24. Use o Me´todo de Newton para determinar o ponto de mı´nimo global do
polinoˆmio abaixo, se existir tal ponto.
p(x) = x(x − 1)(x + 1)(x − 2) (1.11)
Atenc¸a˜o: Primeiro verifique se existe ou na˜o um ponto de mı´nimo global (isto e´, um
ponto α ∈ R tal que p(α) ≤ p(x), ∀x ∈ R). Depois isole os possı´veis candidatos (se
existirem) e so´ enta˜o calcule, pelo me´todo pedido, o ponto de mı´nimo global.
Exercı´cio 1.25. Verifique que a sequeˆncia
xn+1 = (
p − 1
p
)xn +
A
pxp−1n
(1.12)
pode ser utilizada para calcular p
√
A. Depois determine 4
√
9 com erro menor a 10−6.
20
Exercı´cio 1.26. Na figura, o comprimento da corda AB e´ de 4 cm e o comprimento do
arco AB e´ de 5 cm. Encontre o aˆngulo central θ, em radianos, correto ate´ a quarta casa
decimal.
Figura 7: Corda e Arco.
Exercı´cio 1.27. Um tanque tem a forma de um cilindro reto, com raio igual a 1 e compri-
mento l. Sua lateral (circular) e´ transparente e atrave´s dela podemos observar o nı´vel do
liquido no cilindro (”deitado”). A porcentagem do liquido no fluido pode ser obtida em
func¸a˜o do aˆngulo (veja a figura). Por exemplo, o cilindro esta´ cheio quando θ = pi e pela
metade para θ = pi2 . Calcule com erro menor de 10
−3 o valor de θ para o qual o cilin-
dro tem um quarto de seu volume cheio, atrave´s do me´todo de Aproximac¸o˜es sucessivas.
Justifique todos os passos de forma a garantir a convergeˆncia.
Figura 8: Lateral do cilindro.
Exercı´cio 1.28. Um fa´brica possui material para confecc¸a˜o de uma lata cilı´ndrica com
a´rea total de superfı´cie de 800 cm2. Deseja-se uma lata com esta a´rea de superfı´cie e
volume de 1 litro. Determine atrave´s de um Me´todo de Aproximac¸o˜es Sucessivas qual o raio
da lata e sua correspondente altura. Efetue 3 iterac¸o˜es do me´todo e estime o nu´mero
de iterac¸o˜es necessa´rias para um erro menor que 10−5. Justifique a convergeˆncia do
me´todo. (Obs: deseja-se a lata mais alta...)
Exercı´cio 1.29. No exemplo (1.1), utilizando o Me´todo de Newton , determine a posic¸a˜o
do Sate´lite SOHO. Utilize um erro absoluto menor que 10−10!.
21
2 Interpolac¸a˜o Polinomial
2.1 Introduc¸a˜o
Num sentido amplo, interpolar significa obter informac¸a˜o sobre um evento ou fenoˆmeno
a partir de dados conhecidos. Em nosso caso, queremos obter informac¸a˜o sobre uma
certa func¸a˜o f (x) para a qual so´ conhecemos o seu valor yi = f (xi), i = 0, ...,n em n + 1
pontos denotados
x0 < x1 < .... < xn.
Como na˜o conhecemos a expressa˜o da f , podemos tentar encontrar uma func¸a˜o g(x) que
satisfac¸a as mesmas condic¸o˜es da f (x), ou seja,
g(xi) = f (xi) = yi, para todo i = 0, ...,n.
Isto e´, desejamos encontrar uma func¸a˜o g(x) que coincida com f (x) pelo menos nos
pontos xi. A ideia e´ que g(x) possa substituir a` f (x).
Figura 9: g(x) coincide com f (x) nos pontos xi, i = 0, 1, ...,n.
Existem va´rias justificativas para procurar uma func¸a˜o g(x) que substitua a` func¸a˜o
f (x):
(a) Pode ser que na˜o conhecemos f (x) exceto nos pontos xi, enta˜o se encontrar-
mos uma func¸a˜o g(x) que coincide com ela nestes pontos, podemos supor g
aproxima f , ou que g comporta-se como f .
(b) Outra raza˜o e´ quando conhecemos f (x), mas a sua expressa˜o e´ difı´cil de
trabalhar, por exemplo, de derivar ou integrar. Enta˜o se g coincide com f pelo
menos nos pontos xi, podemos fazer as contas com g ao inve´s de com f .
22
Um exemplo no qual podemos usar interpolac¸a˜o e´ o seguinte.
Exemplo 2.1. A tabela abaixo mostra a populac¸a˜o (em milho˜es) do Brasil de 1960 a 2010.
Ano 1960 1970 1980 1990 2000 2010
Populac¸a˜o 72.7759 96.0604 121.7404 149.6483 174.5049 195.2102
Seja f (x) a populac¸a˜o do Brasil no ano x. O problema a ser resolvido e´ o seguinte:
Estime a populac¸a˜o nos anos 1955, 1975 e 2012.
DEFINIC¸A˜O 2.1. A interpolac¸a˜o denomina-se Interpolac¸a˜o Polinomial se a func¸a˜o g(x)
e´ um polinoˆmio.
Note que um polinoˆmio esta´ definido em toda a reta real R e, ale´m disso, e´ fa´cil de
derivar e integrar.
No que segue, a interpolac¸a˜o sera´ sempre polinomial.
2.2 Preliminares
A pergunta natural enta˜o e´: E´ possı´vel encontrar um polinoˆmio que interpola f (x) nos
pontos x0, x1, ..., xn? Ou seja, dados (n + 1)-pontos distintos x0, x1, ..., xn e suas respectivas
imagens yi = f (xi), i = 0, 1, ...,n, existira´ um polinoˆmio g(x) = P(x) tal que P(xi) = yi?
O Teorema abaixo fornece uma resposta a` pergunta anterior.
TEOREMA 2.1. Seja f (x) definida em x0, x1, ..., xn (n + 1) pontos distintos de um intervalo
[a, b], enta˜o existe um u´nico polinoˆmio P(x) de grau menor ou igual a n tal que P(xi) = f (xi) = yi,
para todo i = 0, 1, ...,n.
Demonstrac¸a˜o. Considere um polinoˆmio de grau n da forma
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn.
Sob a hipo´tese P(xi) = yi temos:
a0 + a1x0 + ... + anxn0 = y0
a0 + a1x1 + ... + anxn1 = y1
...
a0 + a1xn + ... + anxnn = yn
(2.1)
Isto e´, se o sistema linear anterior tem soluc¸a˜o enta˜o podemos encontrar um P(x) que
23
interpola f (x) tal que os coeficientes de P(x) sa˜o precisamente os valores da soluc¸a˜o
do sistema. Logo, e´ suficiente provar que o sistema tem soluc¸a˜o u´nica.
De fato, a matriz do sistema e´:
A =

1 x0 . . . xn0
1 x1 . . . xn1
...
...
. . .
...
1 xn . . . xnn

e, de a´lgebra linear, podemos provar que o determinante do sistema e´:
Det(A) =
n∏
i> j
(xi − x j) (2.2)
Como xi , x j, se i , j, Det(A) , 0. Por tanto o sistema tem soluc¸a˜o u´nica. Dessa
forma o polinoˆmio P(x) que interpola f (x) e´ u´nico. �
DEFINIC¸A˜O 2.2. O polinoˆmio P(x) do Teorema 2.1 e´ chamado Polinoˆmio Interpolante
de f (x) nos pontos x0, x1, ..., xn.
Pelo Teorema 2.1, podemos obter os coeficientes do polinoˆmio interpolante resol-
vendo o sistema linear (2.1). Mas, se n e´ grande, a resoluc¸a˜o de um sistema linear
n× n pode ser muito custosa em relac¸a˜o ao tempo computacional utilizado. Assim,
e´ necessa´rio utilizarmos outros me´todos para determinar P(x) como a Fo´rmula de
Lagrange e a Fo´rmula de Newton.
2.3 A Fo´rmula de Lagrange
Para definir a fo´rmula de Lagrange do polinoˆmio interpolante P(x) precisamos dos
polinoˆmios de Lagrange que sa˜o definidos abaixo.
DEFINIC¸A˜O 2.3. Sejam x0, x1, ..., xn, (n + 1) pontos distintos. Seja k ∈ {0, ..,n}. O k-e´simo
polinoˆmio de Lagrange Lk(x) e´ definido por:
Lk(x) =
∏
i,k
( x − xi
xk − xi
)
=
(x − x0)(x − x1) · · · (x − xk−1)(x − xk+1) · · · (x − xn)
(xk − x0)(xk − x1) · · · (xk − xk−1)(xk − xk+1) · · · (xk − xn)
Os polinoˆmios de Lagrange tem a seguinte propriedade:
24
(A) Lk(xk) = 1 e Lk(xi) = 0, se i , k. De fato, substituindo x = xk, o numerador e o
denominados sa˜o iguais e assim Lk(xk) = 1. Por outro lado, substituindox = xi
com i , k, vemos que o numerador anula-se no fator (x − xi), e assim Lk(xi) = 0.
DEFINIC¸A˜O 2.4. Sejam yi = f (xi). Enta˜o o polinoˆmio de Lagrange de f (x) e´ dado por
P(x) = y1L1(x) + y2L2(x) + · · · + ynLn(x).
Pela propriedade (A), a avaliac¸a˜o de P(x) em x = xi e´:
P(xi) = y1L1(xi) + y2L2(xi) + · · · + ynLn(xi) = yiLi(xi) = yi = f (xi),
para todo i ∈ {0, 1, ...,n}. Enta˜o P(x) interpola f (x), e pela unicidade do Teorema 2.1, P(x)
e´ o polinoˆmio interpolante de f (x) nos pontos x0, x1, · · · , xn
Por tanto, a fo´rmula de Lagrange:
P(x) = y1L1(x) + y2L2(x) + · · · + ynLn(x).
fornece uma maneira direta de calcular o polinoˆmio interpolante.
Exemplo 2.2. A seguinte tabela mostra a populac¸a˜o (em milho˜es) mundial de 1970 a
2000.
Ano 1970 1980 1990 2000
Populac¸a˜o 3710 4450 5280 6080
Encontre um polinoˆmio interpolador de grau 3 e estime a populac¸a˜o nos anos 1985
e 1995.
Soluc¸a˜o:
Dos dados, x0 = 1970, x1 = 1980, x2 = 1990 e x3 = 2000; y0 = 3710, y1 = 4450,
y2 = 5280 e y3 = 6080. Definimos os polinoˆmios de Lagrange:
L0(x) =
(x − x1)(x − x2)(x − x3)
(x0 − x1)(x0 − x2)(x0 − x3) =
(x − 1980)(x − 1990)(x − 2000)
(1970 − 1980)(1970 − 1990)(1970 − 2000)
L1(x) =
(x − x0)(x − x2)(x − x3)
(x1 − x0)(x1 − x2)(x1 − x3) =
(x − 1970)(x − 1990)(x − 2000)
(1980 − 1970)(1980 − 1990)(1980 − 2000)
L2(x) =
(x − x0)(x − x1)(x − x3)
(x2 − x0)(x2 − x1)(x2 − x3) =
(x − 1970)(x − 1980)(x − 2000)
(1990 − 1970)(1990 − 1980)(1990 − 2000)
L3(x) =
(x − x0)(x − x1)(x − x2)
(x3 − x0)(x3 − x1)(x3 − x2) =
(x − 1970)(x − 1980)(x − 1990)
(2000 − 1970)(2000 − 1980)(2000 − 1990)
25
O polinoˆmio interpolante e´:
P(x) = 3710L0(x) + 4450L1(x) + 5280L2(x) + 6080L3(x).
A populac¸a˜o estimada no ano 1985 sera´
P(1985) = 3710L0(1985) + 4450L1(1985) + 5280L2(1985) + 6080L3(1985).
P(1985) = 3710(−0.0625) + 4450(0.5625) + 5280(0.5625) + 6080(−0.0625) = 4861.25.
Enta˜o a populac¸a˜o estimada no ano 1985 e´ de 4861.25 milho˜es.
Dado real: Em 1985 a populac¸a˜o mundial atingiu os 5000 milho˜es de pessoas.
2.4 A Fo´rmula de Newton
A Fo´rmula de Newton para determinar o polinoˆmio interpolante de f (x) e´ uma fo´rmula
mais eficiente que a de Lagrange, pois precisa de menos custo computacional. A ideia
de Newton foi escrever o polinoˆmio interpolante P(x) na forma
P(x) = b0 + b1(x − x0) + b2(x − x0)(x − x1) + · · · + bn(x − x0)(x − x1) · · · (x − xn−1), (2.3)
em que os coeficientes b0, b1, · · · , bn devem ser determinados. Esta´ fo´rmula precisa da
definic¸a˜o das diferenc¸as divididas.
Seja f uma func¸a˜o definida em (n + 1)-pontos x0, x1, · · · , xn nos quais yi = f (xi).
DEFINIC¸A˜O 2.5. As diferenc¸as divididas de ordem 0, sa˜o os valores da pro´pria func¸a˜o
f (x), ou seja,
f [xi] := f (xi), i = 0, 1, 2, ...,n
As diferenc¸as divididas de ordem k, para 0 ≤ k ≤ n, sa˜o definidas utilizando as
diferenc¸as de ordem k − 1:
f [xi, xi+1, · · · , xi+k] = f [xi+1, · · · , xi+k] − f [xi, · · · , xi+k−1]xi+k − xi , para 0 ≤ i ≤ n − k
Por exemplo se n = 3, as diferenc¸as divididas de ordem 0 de f para os valores
x0, x1, x2, x3 sa˜o:
f [x0] = f (x0), f [x1] = f (x1), f [x2] = f (x2), f [x3] = f (x3),
as de ordem 1:
f [x0, x1] =
f [x1] − f [x0]
x1 − x0 , f [x1, x2] =
f [x2] − f [x1]
x2 − x1 , f [x2, x3] =
f [x3] − f [x2]
x3 − x2 ,
26
as de ordem 2:
f [x0, x1, x2] =
f [x1, x2] − f [x0, x1]
x2 − x0 , f [x1, x2, x3] =
f [x2, x3] − f [x1, x2]
x3 − x1 ,
e as de ordem 3:
f [x0, x1, x2, x3] =
f [x1, x2, x3] − f [x0, x1, x2]
x3 − x0 .
Podemos organizar as diferenc¸as divididas numa tabela, de modo que as diferenc¸as
divididas de ordem 1 sa˜o calculadas a partir das diferenc¸as de ordem 0, as de ordem 2 a
partir das de ordem 1, e assim sucessivamente.
xi yi ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3
x0 y0 f [x0]
f [x0, x1]
x1 y1 f [x1] f [x0, x1, x2]
f [x1, x2] f [x0, x1, x2, x3]
x2 y2 f [x2] f [x1, x2, x3]
f [x2, x3]
x3 y3 f [x3]
Observac¸a˜o 2.1. Uma propriedade fa´cil de verificar das diferenc¸as divididas e´ que
estas na˜o se alteram se permutamos dois valores xi e x j, por exemplo:
f [x1, x2] = f [x2, x1],
f [x1, x2, x3] = f [x2, x1, x3] = f [x2, x3, x1]
Como P(x) e´ o polinoˆmio interpolante:
P(x0) = f (x0),P(x1) = f (x1), · · · ,P(xn) = f (xn).
Pela igualdade (2.3) temos que P(x0) = b0. Enta˜o
b0 = P(x0) = f (x0) = f [x0].
Assim foi provado que o coeficiente b0 deve ser igual a` diferenc¸a dividida f [x0]. Da
mesma forma, da igualdade (2.3), P(x1) = b0 + b1(x1 − x0), ou, equivalentemente,
b1 =
P(x1) − b0
x1 − x0 =
f (x1) − f (x0)
x1 − x0 =
f [x1] − f [x0]
x1 − x0 = f [x0, x1].
Isto e´, b1 e´ a primeira diferenc¸a de ordem 1. Continuando com a mesma ideia, como
f (x0) = P(x2) = b0 + b1(x2 − x0) + b2(x2 − x0)(x2 − x1), temos que
f [x2] = f [x0] + f [x0, x1](x2 − x0) + b2(x2 − x0)(x2 − x1)
27
Efetuando algumas operac¸o˜es
f [x2] − f [x0]
x2 − x0 = f [x0, x1] + b2(x2 − x1)
Ou
b2 =
f [x0, x2] − f [x0, x1]
x2 − x1
Pela Observac¸a˜o (2.1), temos
b2 =
f [x0, x2] − f [x1, x0]
x2 − x1 = f [x1, x0, x2] = f [x0, x1, x2]
Ou seja, b2 e´ a segunda diferenc¸a dividida.
Repetindo o processo para P(xi), obteremos que os coeficientes do Polinoˆmio Inter-
polante na forma de Newton (2.3) sa˜o dados pelas diferenc¸as divididas:
bi = f [x0, x1, · · · , xi], para i = 0, 1, 2, ...,n.
Observac¸a˜o 2.2. Resumindo, o polinoˆmio interpolante na forma de Newton e´:
P(x) = f [x0] + f [x0, x1](x − x0) + f [x0, x1, x2](x − x0)(x − x1) + · · ·
+ f [x0, · · · , xn](x − x0)(x − x1) · · · (x − xn−1).
Note que para formar o polinoˆmio devemos tomar as diferenc¸as divididas da parte
superior da tabela.
Exemplo 2.3. Um cabo sob ac¸a˜o do seu pro´prio peso esta´ suspenso entre dois pontos
distantes 24 metros.
12 metros
Figura 10: Um cabo sob ac¸a˜o do seu pro´prio peso.
A parte mais baixa do cabo ficou a 12 metros de altura. Foram medidas diferentes
alturas em va´rios pontos as quais esta˜o mostradas na tabela abaixo
28
xi yi xi yi
-2 12.16 2 12.16
-7 14.10 7 14.10
-9 15.53 9 15.53
-12 18.51 12 18.51
Estime a altura a uma distaˆncia de 5 metros do centro.
Soluc¸a˜o:
Pela simetria do problema em relac¸a˜o ao eixo y, e´ suficiente considerar os dados
x0 = 0, x1 = 2, x2 = 7, x3 = 9 e x4 = 12.
xi yi ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 ordem 4
0 12.00 12.00
0.08
2 12.16 12.16 0.044
0.388 0.0003
7 14.10 14.10 0.0467 0.000049
0.715 0.00089
9 15.53 15.53 0.0556
0.993
12 18.51 18.51
Pela fo´rmula de Newton
P(x) = 12.00 + 0.08(x − 0) + 0.044(x − 0)(x − 2) + 0.0003(x − 0)(x − 2)(x − 7)+ (2.4)
+0.000049(x − 0)(x − 2)(x − 7)(x − 9).
Substituindo o valor de x = 5 obtemos: P(5) = 13.0618.
29
2.5 Exercı´cios
Exercı´cio 2.1. Use uma cu´bica para determinar uma aproximac¸a˜o para a u´nica raiz
positiva da equac¸a˜o 4 cos(x) − ex = 0.
Exercı´cio 2.2. Considere a func¸a˜o f (x) definida nos pontos, conforme tabela. Determine
o polinoˆmio interpolador, usando a Fo´rmula de Lagrange, e estime f (0.8).
xi 0 0.5 1.0
f (xi) 1.3 2.5 0.9
Exercı´cio 2.3. Considere a func¸a˜o f (x) = 3+x1+x definida nos pontos conforme tabela.
Determine o polinoˆmio interpolador, usando a Fo´rmula de Lagrange, e estime f (0.25).
xi 0.1 0.2 0.4
f (xi) 2.82 2.67 2.43
Exercı´cio 2.4. Considere a tabela:
xi 1 3 4 5
f (xi) 0 6 24 60
(a) Determine o polinoˆmio, na forma de Lagrange, sobre todos os pontos.
(b) Calcule f (3.5).
Exercı´cio 2.5. Construir o polinoˆmio de interpolac¸a˜o, na forma de Lagrange, para a func¸a˜o
y = sin(pix), escolhendo os pontos: x0 = 0, x1 = 16 e x2 =
1
2 .
Exercı´cio 2.6. A integral elı´ptica e´ definida por: K(k) =
∫ pi
2
0
dx
(1−k2 sin2 x)1/2 . Por uma tabela
de valores desta integral, encontramos:
K(1) = 1.5708; K(2) = 1.5719; K(3) = 1.5739.
Determine K(2.5), usandoo polinoˆmio de interpolac¸a˜o, na forma de Lagrange, sobre todos
os pontos.
Exercı´cio 2.7. Dada a func¸a˜o tabelada f (x) definida pelos pontos
f (0) = 0, f (1) = 0.5, f (1.5) = 0.4, f (2.5) = 0.285, f (3.0) = 0.25.
(a) Determinar o polinoˆmio de interpolac¸a˜o usando a Fo´rmula de Newton sobre dois
pontos (interpolac¸a˜o linear).
30
(b) Determinar o polinoˆmio de interpolac¸a˜o usando a Fo´rmula de Newton sobre treˆs
pontos (interpolac¸a˜o quadra´tica).
(c) Calcular f (0.5) usando os items a) e b).
Exercı´cio 2.8. Seja f (x) uma func¸a˜o definida pelos pontos f (−1) = 0, f (0) = 1 e f (2) = −1.
Usando a forma de Newton, encontre o polinoˆmio p(x) que interpola a func¸a˜o f .
Exercı´cio 2.9. Considere a func¸a˜o f (x) = ln(x) para a qual temos
f (1) = 0, f (2) = 0.6931, f (3) = 1.0986, f (4) = 1.3863.
Usando o Me´todo de Newton encontre uma aproximac¸a˜o de ln(3.7).
Exercı´cio 2.10. Seja f (x) dadas pelos seguintes valores
f (0.2) = 0.16, f (0.34) = 0.22, f (0.4) = 0.27, f (0.52) = 0.29, f (0.6) = 0.32, f (0.72) = 0.37.
Obter f (0.47) usando o polinoˆmio de grau 2.
Exercı´cio 2.11. Considere a func¸a˜o f (x) =
√
x definida nos pontos conforme tabela.
Determinar o valor aproximado de
√
1.12 usando o polinoˆmio de Interpolac¸a˜o de Newton
sobre treˆs pontos.
xi 1.0 1.1 1.15 1.25 1.3
f (xi) 1 1.048 1.072 1.118 1.14
Exercı´cio 2.12. Sabendo-se que a equac¸a˜o x4 + 6x2 − 1 = 0 tem uma raiz em [0, 1],
determinar o valor aproximado dessa raiz usando polinoˆmio de Interpolac¸a˜o de Newton
sobre treˆs pontos.
Exercı´cio 2.13. A func¸a˜o y = f (x) =
∫ ∞
x
e−t
t dt e´ dada pela tabela:
xi 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
f (xi) 4.0379 3.3547 2.9591 2.6813 2.4679 2.2953
Atrave´s da Fo´rmula de Newton, calcule y para x = 0.0378 usando para´bola e uma
cu´bica.
Exercı´cio 2.14. Dada a tabela abaixo, calcule e3.1 usando um polinoˆmio de interpolac¸a˜o
sobre treˆs pontos:
xi 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
exi 11.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70
31
Exercı´cio 2.15. Construa a tabela de diferenc¸as divididas para a func¸a˜o f (x) com os
dados:
f (0) = 0, f (0.5) = −2.241, f (1.0) = −1.65, f (1.5) = −0.594, f (2) = 1.34, f (2.5) = 4.564
Estime o valor de f (1.23).
Exercı´cio 2.16. A raiz de uma func¸a˜o contı´nua pode ser aproximada pela raiz de seu
polinoˆmio. Usando um polinoˆmio de grau dois, encontre x¯ tal que f (x¯) = 0. Use 5 casas
decimais. Os valores exatos de f , para os valores dados de x, sa˜o:
f (1) = −0.757, f (2) = 0.141, f (3) = 0.842, f (4) = 0.909.
Exercı´cio 2.17. Uma maneira de se calcular a derivada de uma func¸a˜o em um ponto
x0, quando na˜o se conhece a expressa˜o da mesma, e´ usar uma tabela para formar um
polinoˆmio que aproxime a func¸a˜o, derivar enta˜o esse polinoˆmio e avaliar sua derivada
em x = x0. Dados os pontos abaixo, calcule f ′(0.50) usando um polinoˆmio interpolador de
grau 2:
f (0.40) = 1.51, f (0.45) = 1.49, f (0.50) = 1.47, f (0.55) = 1.44, f (0.60) = 1.42.
Exercı´cio 2.18. Engenheiros e programadores de computadores usam interpolac¸a˜o po-
linomial para fazer gra´ficos por computador. Por exemplo, suponha que deseja-se
construir uma curva que passa pelos pontos A = (2, 3), B = (4, 2), C = (5, 0) e D = (3,−2)
como na figura. Para auxiliar estes professionais, usando Interpolac¸a˜o de Lagrange, en-
contre uma curva que passa por estes 4 pontos. Fac¸a as hipo´tesis que ache necessa´rio
para a soluc¸a˜o do problema.
Figura 11: Desenho no computador.
Exercı´cio 2.19. A seguinte tabela mostra a populac¸a˜o do Brasil de 1960 a 2010. Encontre
um polinoˆmio interpolador de grau 5 e estime a populac¸a˜o nos anos 1955, 1975 e 2012.
32
A populac¸a˜o em 2012 foi aproximadamente 198.656 milho˜es. Qua˜o precisas voceˆ acha
que sa˜o as aproximac¸o˜es nos anos 1955 e 1975?
Ano 1960 1970 1980 1990 2000 2010
Populac¸a˜o( em milho˜es) 72.7759 96.0604 121.7404 149.6483 174.5049 195.2102
33
3 Resoluc¸a˜o Nume´rica de Sistemas Lineares
3.1 Introduc¸a˜o
Nesta sec¸a˜o estudaremos te´cnicas para resolver sistemas lineares:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
...
an1x1 + an2xn2 + ... + annxn = bn
(3.1)
Estes sistemas podem ser escritos na forma
Ax = b (3.2)
em que A = (ai j) e´ uma matriz n × n e b e´ um vetor coluna n × 1. Por a´lgebra linear
sabemos que se Det(A) , 0 enta˜o o sistema tem soluc¸a˜o u´nica. Ale´m disso, podemos
resolveˆ-lo usando a reduc¸a˜o de Gauss (ou eliminac¸a˜o Gaussiana), isto e´, convertendo o
sistema a um triangular superior.
Aqui estudaremos dois me´todos com os quais podemos resolver um ou mais sistemas
de equac¸o˜es lineares: O Me´todo da Decomposic¸a˜o LU e o Me´todo de Gauss-Seidel.
3.2 Preliminares
Existem dois tipos de sistemas lineares que sa˜o fa´ceis de resolver: Os sistemas triangu-
lares Inferiores e os sistemas triangulares Superiores.
Usaremos a letra L (de lower=inferior em ingleˆs) para uma matriz triangular inferior
e U (de upper=superior em ingleˆs) para uma matriz triangular superior.
3.2.1 Sistemas Triangulares Inferiores
Sa˜o aqueles sistemas Lx = b na qual todos os termos que esta˜o acima da diagonal de
L = (li j) sa˜o 0:
l11x1 = b1
l21x1 +l22x2 = b2
...
...
. . . =
...
ln1x1 +ln2x2 · · · +lnnxn = bn
(3.3)
34
Exemplo 3.1. Resolva o sistema
3x1 = 1
x1 +5x2 = 1
2x1 −x2 +2x3 = 3
(3.4)
Soluc¸a˜o:
Observe que da primeira equac¸a˜o x1 = 13 . Substituindo na segunda equac¸a˜o
x2 = (1 − x1)/5 = (1 − 13)/5 =
2
15
.
Agora, na terceira equac¸a˜o
x3 = (3 − 2x1 + x2)/2 = (3 − 23 +
2
15
)/2 =
37
30
.
Do Exemplo 3.1, podemos fazer a seguinte observac¸a˜o.
Observac¸a˜o 3.1. A soluc¸a˜o geral de um sistema triangular inferior como (3.3), e´ dada
pelas fo´rmulas:
x1 =
b1
l11
, e xi =
bi −∑i−1j=1 li jx j
lii
, para todo i = 2, ...,n
3.2.2 Sistemas Triangulares Superiores
Sa˜o aqueles sistemas Ux = b na qual todos os termos que esta˜o abaixo da diagonal de
U = (ui j) sa˜o 0:
u11x1 +u12x2 . . . +u1nxn = b1
+u22x2 . . . +u2nxn = b2
. . .
... =
...
unnxn = bn
(3.5)
Exemplo 3.2. Resolva o sistema
2x1 +3x2 −3x3 = 4
4x2 −x3 = −3
2x3 = 3
(3.6)
35
Soluc¸a˜o:
Observe que da terceira equac¸a˜o x3 = 32 . Substituindo na segunda equac¸a˜o
x2 = (−3 + x3)/4 = (−3 + 32)/4 = −
3
8
.
Agora, isolando x1 na primeira equac¸a˜o
x1 = (4 + 3x3 − 3x2)/2 = (4 + 92 +
9
8
)/2 =
77
16
.
Do Exemplo 3.2, podemos fazer a seguinte observac¸a˜o.
Observac¸a˜o 3.2. A soluc¸a˜o geral de um sistema triangular superior como (3.5), e´ dada
pelas fo´rmulas:
xn =
bn
unn
, e xi =
bi −∑nj=i+1 ui jx j
uii
, para todo i = 1, ...,n − 1. (3.7)
3.3 Me´todo Direto: Decomposic¸a˜o LU
Quando resolvemos va´rios sistemas lineares
Ax = b1,Ax = b2, ...,Ax = bp,
por eliminac¸a˜o Gaussiana, em que todos os sistemas tem a mesma matriz A, teremos que
repetir o me´todo da eliminac¸a˜o para cada vetor coluna b. Isto traz como consequeˆncia o
uso de uma grande quantidade de memo´ria para armazenar os dados de cada sistema.
Uma maneira de evitar esse consumo de memo´ria e´ utilizando o Me´todo da De-
composic¸a˜o LU, que e´ mais eficiente pois permite calcular a decomposic¸a˜o sem usar os
vetores coluna b.
Antes de descrever o me´todo, apresentaremos um exemplo.
Exemplo 3.3. Resolva o sistema 2 0−3 3
  3 −40 −6
  x1x2
 =  5−3
 (3.8)
36
Soluc¸a˜o:
Repare que o sistema pode-se escrever na forma Ax = b, em que A = LU, sendo L
uma matriz triangular inferior e U uma matriz triangular superior.
L =
 2 0−3 3
 , U =  3 −40 −6
 , b =  5−3

Fazendo
 y1y2
 := Ux, concluimos que encontraremos a soluc¸a˜o do sistema se
resolvemos os dois sistemas: 2 0−33
  y1y2
 =  5−3
 , e  3 −40 −6
  x1x2
 =  y1y2

O primeiro sistema tem soluc¸a˜o y1 = 52 e y2 = (−3 + 3y1)/3 = −1 + 52 = 32 . Tendo
estes valores, podemos encontrar os valores de x1 e x2 no segundo sistema. Assim,
−6x2 = y2 = 32 enta˜o x2 = −14 , e x1 = (y1 + 4x2)/3 = ( 52 − 1)/3 = 12 .
Observac¸a˜o 3.3. O Exemplo 3.3 mostra que se por acaso podemos decompor a matriz
A como produto de duas matrizes triangulares A = LU (em que L triangular inferior
e U triangular superior), enta˜o a resoluc¸a˜o do sistema Ax = b se reduz a resoluc¸a˜o
de dois sistemas:  Ly = b que e´ triangular inferior, eUx = y que e´ triangular superior.
Isto sera´ o objetivo da decomposic¸a˜o LU.
Assim, a pergunta natural e´: Quando uma matriz A pode ser decomposta como produto
de duas matrizes LU, em que L e´ triangular inferior e U e´ triangular superior? ou, toda
matriz A tem decomposic¸a˜o LU?
Para responder estas questo˜es, precisamos da seguinte definic¸a˜o.
DEFINIC¸A˜O 3.1. Denomina-se menores principais de ordem k de uma matriz A = (ai j),
com i, j = 1, · · · ,n a:
∆k = Det(Ak)
em que Ak = (ai j), com i, j = 1, · · · , k, e´ formada pelas k primeiras linhas e k primeiras
colunas de A.
37
Exemplo 3.4. Encontre os menores principais da matriz:
A =

1 −2 3
−2 3 −5
−2 2 4

Soluc¸a˜o:
Pela definic¸a˜o ∆1 = Det(a11) = 1, ∆2 = Det
 1 −2−2 3
 = −1.
O Teorema abaixo fornece condic¸o˜es para a existeˆncia de uma decomposic¸a˜o LU.
TEOREMA 3.1. Considere A = (ai, j), i, j = 1, · · · ,n. Se os menores principais ∆k sa˜o distintos
de 0, para k = 1, · · · ,n − 1, enta˜o A se decompo˜e, de maneira u´nica, no produto LU em que
L = (li j) e´ uma matriz triangular inferior com lii = 1, i = 1, · · · ,n e U = (ui j) e´ uma matriz
triangular superior.
Demonstrac¸a˜o. Provaremos o Teorema por induc¸a˜o. Se n = 1, e´ claro que A =
(a11) pode ser decomposta, escrevendo A = LU = (1)(aii).
Suponha que, se A e´ de ordem k − 1, enta˜o pode ser decomposta na forma
Ak−1 = Lk−1Uk−1
em que Lk−1 e´ triangular inferior e Uk−1 e´ triangular superior.
Devemos provar que existe uma decomposic¸a˜o para matrizes de ordem k. Seja
A de ordem k, enta˜o escrevemos
A =
 Ak−1 sr akk

em que r e´ um vetor linha e s e´ um vetor coluna. Dado que Ak−1 e´ uma matriz de
ordem k− 1 que, pela hipo´tese, pode ser decomposta na forma Ak−1 = Lk−1Uk−1.
Defina as matrizes
L =
 Lk−1 0rU−1k−1 1
 , e U =  Uk−1 L−1k−1s0 akk − rU−1k−1L−1k−1s
 (3.9)
Note que L e´ triangular inferior e U e´ triangular superior. Ale´m disso:
LU =
 Lk−1 0rU−1k−1 1
  Uk−1 L−1k−1s0 akk − rU−1k−1L−1k−1s
 =  Lk−1Uk−1 sr akk
 = A
Por tanto A se decompo˜e como um produto LU em que L e U sa˜o dadas pelas
fo´rmulas (3.9). �
38
Observac¸a˜o 3.4. Da prova do Teorema 3.1 podemos concluir que:
(a) Se a matriz e´ de ordem n×n, e´ suficiente verificar que os menores determinantes
sa˜o distintos do 0 ate´ a ordem n − 1.
(b) A condic¸a˜o que usaremos para a matriz L e´ que lii = 1,∀i = 1, · · · ,n.
Repare que a hipo´tese lii = 1,∀i = 1, ...,n, simplifica os ca´lculos para encontrar os
coeficientes das matrizes L e U. Quando usamos esta´ hipo´tese, o me´todo e´ chamado
Me´todo de Doolittle. Mas podia-se considerar outras hipo´teses. Por exemplo, outros
dois me´todos de decomposic¸a˜o LU sa˜o:
(i) Me´todo de Crout : Quando uii = 1,∀i = 1, ...,n, e
(ii) Me´todo de Choleski: Quando uii = lii,∀i = 1, ...,n.
Exemplo 3.5. Resolva o sistema linear
1 −3 1
2 −8 8
−6 3 −15


x1
x2
x3
 =

4
−2
9

Soluc¸a˜o:
Os menores principais sa˜o ∆1 = 1 e ∆2 = −2. Como ambos sa˜o distintos do 0, existe
a decomposic¸a˜o LU.
Sejam
L =

1 0 0
l21 1 0
l31 l32 1
 ,U =

u11 u12 u13
0 u22 u23
0 0 u33

Da equac¸a˜o A = LU, obtemos
1 −3 1
2 −8 8
−6 3 −15
 =

1 0 0
l21 1 0
l31 l32 1


u11 u12 u13
0 u22 u23
0 0 u33

Encontraremos a primeira linha de U multiplicando a primeira linha de L por U:
1.u11 = 1, 1.u12 = −3, e 1.u13 = 1, enta˜o u11 = 1,u12 = −3,u13 = 1.
Tambe´m, encontramos a primeira coluna de L multiplicando L pela primeira coluna
39
de U:
l21u11 = 2, l31u11 = −6 enta˜o l21 = 2, l31 = −6.
Trabalharemos agora com a segunda linha de U. Esta e´ determinada multiplicando
a segunda linha de L por U:
l21u12 + u22 = −8, l21u13 + u23 = 8, enta˜o u22 = −2,u23 = 6.
A segunda coluna de L e´ encontrada multiplicando L pela segunda coluna de U:
l31u12 + l32u22 = 3, enta˜o l32 =
15
2
Por u´ltimo, determinamos a terceira linha de U multiplicando a terceira linha de L:
l31u13 + l32u23 + u33 = −15, enta˜o u33 = −54.
Fazendo y =

y1
y2
y3
 := Ux, obtemos dois sistemas lineares que devem ser resolvidos:
Ly = b, e Ux = y, ou
1 0 0
2 1 0
−6 152 1


y1
y2
y3
 =

4
−2
9
 e

1 −3 1
0 −2 6
0 0 −54


x1
x2
x3
 =

y1
y2
y3

Do primeiro sistema y1 = 4, y2 = (−2 − 2y1) = −10, e y3 = (9 + 6y1 − 15y22 ) = 108. Por
fim, com os valores dos yi, encontramos a soluc¸a˜o:
x3 = −10854 = −2, x2 = (y2 − 6x3)/(−2) = −1, e x1 = (y1 + 3x2 − x3) = 3.
Observac¸a˜o 3.5. Podemos generalizar as fo´rmulas do exemplo anterior:
ui j = ai j −
i−1∑
k=1
likukj, para i, j = 1, ...,n, i ≤ j.
comec¸ando com i = 1, e
li j =
ai j −∑ j−1k=1 likukj
u j j
, para i, j = 1, ...,n, i ≥ j.
comec¸ando com j = 1.
40
3.4 Me´todo Iterativo: O me´todo de Gauss-Seidel
Assim como nos me´todos de resoluc¸a˜o de equac¸o˜es na˜o lineares usavamos me´todos
iterativos para encontrar uma soluc¸a˜o aproximada, nesta sec¸a˜o apresentaremos um
me´todo iterativo para resolver sistemas lineares. Este me´todo e´ chamado Me´todo de Gauss-
Seidel e permite determinar uma soluc¸a˜o aproximada de um sistema linear.
A ideia central por traz dos me´todos iterativos e´ escrever o problema na forma
x = φ(x),
e enta˜o determinar aproximac¸o˜es da soluc¸a˜o utilizando a sequeˆncia x(k+1) = φ(x(k)), a
partir de uma aproximac¸a˜o inicial x(0). Se a sequeˆncia {x(k)} e´ convergente, enta˜o conver-
gira´ para a soluc¸a˜o procurada. Aqui seguiremos esta mesma ideia aplicada a sistemas
lineares.
Apresentaremos o me´todo com um exemplo.
Exemplo 3.6. Encontre uma soluc¸a˜o aproximada do sistema linear:
6x1 −x2 −x3 = 3
6x1 +9x2 +x3 = 40
−3x1 +x2 +12x3 = 50
Soluc¸a˜o:
Seja x = (x1, x2, x3)t. Note que o sistema se pode escrever
x1 −x26 −x36 = 12
2x1
3 +x2 +
x3
9 =
40
9
−x14 + x212 +x3 = 256
no qual os coeficientes da diagonal sa˜o todos iguais a 1. Dessa forma, isolando as
varia´veis da diagonal
x1 = 12 +
x2
6 +
x3
6
x2 = − 2x13 + 409 − x39
x3 =
x1
4 − x212 + 256
,
Repare que este sistema tem a forma x = φ(x). Assim, podemos utilizar o me´todo
iterativo
x(k+1)1 =
1
2 +
x(k)2
6 +
x(k)3
6
x(k+1)2 = −
2x(k)1
3 +
40
9 −
x(k)3
9
x(k+1)3 =
x(k)1
4 −
x(k)2
12 +
25
6
, (3.10)
em que estamos utilizando os ı´ndices na parte superior. Suponha que a aproximac¸a˜o
inicial, para k = 0, e´ x(0) = (x(0)0 , x
(0)
1 , x
(0)
3 )
t = (0, 0, 0)t. Cada aproximac¸a˜o e´ um vetor
41
coluna. Da primeira equac¸a˜o:
x(1)1 =
1
2
+
x(0)2
6
+
x(0)3
6
=
1
2
+
0
6
+
0
6
=
1
2
.
O ponto central: se ja´ temos uma aproximac¸a˜o x(1)1 de x1, podemos utiliza´-la para
determinar a aproximac¸a˜o x(1)2 de x2, substituindo x(0)
1 por x
(1)
1 na segunda equac¸a˜o
de (3.10):
x(1)2 = −
2x(1)1
3
+
40
9
− x
(0)
3
9
= −2(1/2)
3
+
40
9
− 0
9
=
37
9
= 4.11111
Seguindo esta ideia, podemos substituir x(0)1 por x
(1)
1 e x
(0)
2 por x
(1)
2 na terceira equac¸a˜o
de (3.10):
x(1)3 =
x(1)1
4
− x
(1)
2
12
+
25
6
=
(1/2)
4
− (37/9)
12
+
25
6
= 3.94907.
Logo, o processo iterativo, na iterac¸a˜o k, pode ser modificado ao seguinte:
x(k+1)1 =
1
2
+
x(k)2
6
+
x(k)3
6
x(k+1)2 = −
2x(k+1)1
3
+
40
9
− x
(k)
3
9
x(k+1)3 =
x(k+1)1
4
− x
(k+1)
2
12
+
25
6
Se k = 1 enta˜o
x(2)1 =
1
2
+
x(1)2
6
+
x(1)3
6
=
1
2
+
4.11111
6
+
3.94907
6
= 1.84336
x(2)2 = −
2x(2)1
3
+
40
9
− x
(1)
3
9
= −2(1.84336)
3
+
40
9
− 3.94907
9
= 2.77675
x(2)3 =
x(2)1
4
− x
(2)
2
12
+
25
6
=
1.84336
4
− 2.77675
12
+
25
6
= 4.39611.
Para k = 2 obtemos x(3)1 = 1.69547, x
(3)
2 = 2.82567 e x
(3)
3 = 4.35506.
42
3.4.1 O Caso Geral
Tendo como base o Exemplo (3.6), escreveremos as fo´rmulas para o caso geral. Considere
um sistema de equac¸o˜es lineares:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
...
an1x1 + an2xn2 + ... + annxn = bn
(3.11)
que pode ser escrito na forma Ax = b, em que A = (ai j), b = (bi). Suponha aii , 0 para
todo i = 1, ...,n, enta˜o podemos dividir cada equac¸a˜o pelo correspondente elemento da
diagonal. Enta˜o o sistema converte-se a:
x1 + a∗12x2 + ... + a
∗
1nxn = b
∗
1
a∗21x1 + x2 + ... + a
∗
2nxn = b
∗
2
...
a∗n1x1 + a
∗
n2xn2 + ... + xn = b
∗
n
(3.12)
em que a∗i j =
ai j
aii
para todo i, j = 1, ...,n e b∗i =
bi
aii
, para todo i = 1, ...,n. O sistema
anterior pode-se escrever na forma A∗x = b∗, em que A∗ = (a∗i j). Esta matriz A
∗ pode ser
decomposta na forma
A∗ = L∗ + I + R∗ (3.13)
em que L∗ = (l∗i j) e´ uma matriz triangular inferior com os elementos da diagonal iguais a
0, I e´ a matriz identidade e R∗ = (r∗i j) e´ uma matriz triangular superior com os elementos
da diagonal iguais a 0. Ou seja,
l∗i j =

ai j
aii
sei > j
0 se i ≤ j e r
∗
i j =

ai j
aii
sei < j
0 se i ≥ j
O Sistema Ax = b e´ agora dado por
(L∗ + I + R∗)x = b∗
que e´ equivalente a` equac¸a˜o (L∗ + I)x = −R∗x + b∗.
DEFINIC¸A˜O 3.2. O me´todo de Gauss-Seidel e´ dado pelo processo iterativo:
(L∗ + I)x(k+1) = −R∗x(k) + b∗
com condic¸a˜o inicial x(0) = (x(0)1 , x
(0)
2 , x
(0)
3 )
t. Cada aproximac¸a˜o x(k) e´ um vetor coluna.
43
Acostuma-se escreveˆ-lo na forma
x(k+1) = −L∗x(k+1) − R∗x(k) + b∗
para expressar o fato que podemos aproveitar as aproximac¸o˜es x(k+1)1 , x
(k+1)
2 , ..., x
(k+1)
i−1
para calcular a seguinte aproximac¸a˜o x(k+1)i , para i = 2, ...,n.
3.4.2 Crite´rios de Convergeˆncia
So´ falta fornecer condic¸o˜es sobre as quais a sequeˆncia x(k) converge para a soluc¸a˜o do
sistema linear Ax = b. Dois crite´rios sa˜o os mais utilizados.
O me´todo de Gauss-Seidel converge se um dos dois crite´rios for satisfeito:
(a) O crite´rio das linhas, isto e´, se
max
1≤i≤n
{βi} < 1
em que
βi =
∑
j,i
|a∗i j| =
i−1∑
j=1
|a∗i j| +
n∑
j=i+1
|a∗i j|,∀i = 1, ...,n
e´ a soma de todos os termos da linha i da matriz A∗, exceto o termo da diagonal.
(b) O crite´rio de Sassenfeld, isto e´, se
max
1≤i≤n
{βi} < 1
em que
βi =
i−1∑
j=1
|a∗i j|β j +
n∑
j=i+1
|a∗i j|,∀i = 1, ...,n.
3.4.3 Crite´rio de Parada
Precisamos de um crite´rio para decidir quando parar de realizar as iterac¸o˜es no me´todo
de Gauss-Seidel. Ao igual que na resoluc¸a˜o de equac¸o˜es na˜o lineares, temos dois crite´rios
de parada.
44
O me´todo de Gauss-Seidel para se atingimos os seguintes erros
• Erro Absoluto. Se
max
1≤i≤n
|x(k+1)i − x(k)i | < �. (3.14)
ou seja, se cada componente atinge um erro absoluto menor que �.
• Erro Relativo. Se
max
1≤i≤n
|x(k+1)i − x(k)i |
|x(k+1)i |
< �. (3.15)
ou seja, se cada componente atinge um erro relativo menor que �.
Exemplo 3.7. Aplique o me´todo de Gauss-Seidel para resolver:
9x1 −3x2 +x3 = 2
−2x1 +5x2 +3x3 = −1
−x1 2x2 −7x3 = 3
Considerando um erro absoluto de � = 0.04.
Soluc¸a˜o:
Dividindo entre os coeficientes da diagonal obtemos:
x1 − 13 x2 +19 x3 = 29
− 25 x1 +x2 +35 x3 = − 15
1
7 x1 − 27 x2 +x3 = − 37
Repare que o me´todo das linhas na˜o e´ satisfeito, pois os coeficientes sa˜o:
β1 =
1
3
+
1
9
=
4
9
, β2 =
2
5
+
3
5
= 1 e β3 =
1
7
+
2
7
=
3
7
e enta˜o max1≤i≤n βi = 1. Assim, o crite´rio das linhas na˜o fornece informac¸a˜o sob a
convergeˆncia.
Mas, o crite´rio de Sassenfeld e´ satisfeito pois:
β1 =
1
3
+
1
9
=
4
9
< 1,
β2 = (
2
5
)(
4
9
) +
3
5
=
7
9
< 1,
β3 = (
1
7
)(
4
9
) + (
2
7
)(
7
9
) =
2
7
< 1.
45
Dessa forma, o me´todo de Gauss-Seidel, dado pelo processo iterativo:
x(k+1)1 =
2
9
+
x(k)2
3
− x
(k)
3
9
x(k+1)2 = +
2x(k+1)1
5
− 1
5
− 3x
(k)
3
5
x(k+1)3 = −
x(k+1)1
7
+
2x(k+1)2
7
− 3
7
com condic¸a˜o inicial x(0) = (0, 0, 0), e´ convergente. As aproximac¸o˜es esta˜o tabeladas
abaixo.
k x(k)1 x
(k)
2 x
(k)
3 erro 1 erro 2 erro 3
0 0 0 0
1 0.22222 -0.11111 -0.49206
2 0.23985 0.19117 -0.40821
3 0.33130 0.17744 -0.35760 0.09145 0.01373 0.05061
4 0.32110 0.143 -0.37910 0.0102 0.03444 0.0215
Por tanto, uma soluc¸a˜o aproximada e´ (0.32110, 0.143,−0.37910).
46
3.5 Exercı´cios
Exercı´cio 3.1. Para cada um dos sistemas lineares seguintes, obtenha uma soluc¸a˜o por
meio de um gra´fico, se possı´vel for. Explique os resultados do ponto de vista geome´trico.
(a)
x1 + 2x2 = 3
x1 − x2 = 0 (b)
x1 + 2x2 = 3
2x1 + 4x2 = 6
(c)
x1 + 2x2 = 3
2x1 + 4x2 = −6 (d)
2x1 + x2 + x3 = 1
2x1 + 4x2 − x3 = −1
Exercı´cio 3.2. Deˆ a Fatorac¸a˜o LU de cada matriz e resolva o sistema:
(a)
x1 + x2 + x3 = −1
3x1 + 2x2 − 2x3 = 2
4x1 + 3x2 − 4x3 = 7
(b)
2x1 + 3x2 + x3 − x4 = 6, 9
−x1 + x2 − 4x3 + x4 = −6, 6
x1 + x2 + x3 + x4 = 10, 2
4x1 − 5x2 + x3 − 2x4 = −12, 3
(c)
x + y + 2z + 4t = 7, 12
2x + 5y + z + 2t = 14, 90
x + y + 5z + 6t = 12, 02
4x + 6y + 2z + t = 20, 72
Exercı´cio 3.3. Utilize a Fatorac¸a˜o LU para resolver o sistema linear a seguir:
x1 + x2 + 2x3 + 4x4 = 7, 12
2x1 + 5x2 + x3 + 2x4 = 14, 90
x1 + x2 + 5x3 + 6x4 = 12, 02
4x1 + 6x2 + 2x3 + x4 = 20, 72
Exercı´cio 3.4. Considere o sistema linear
5x1 + 2x2 + x3 = 7
−x1 + 4x2 + 2x3 = 3
2x1 − 3x2 + 10x3 = −1
(a) Verificar a possibilidade de aplicac¸a˜o do me´todo de Gauss-Siedel, usando o Crite´rio
de Sassenfeld.
(b) Se possı´vel, resolveˆ-lo pelo me´todo do item (a), obtendo o resultado com erro
absoluto < 10−2.
Exercı´cio 3.5. Considere os seguintes sistemas de equac¸o˜es lineares
(I)
−9x1 + 5x2 + 6x3 = 11
2x1 + 3x2 + x3 = 4
−x1 + x2 − 3x3 = −2
(II)
5x1 + 2x2 + x3 = −12
−x1 + 4x2 + 2x3 = 20
2x1 − 3x2 + 10x3 = 3
(a) Resolva os sistemas dados usando o me´todo de Decomposic¸a˜o LU.
(b) Caso haja convergeˆncia garantida, resolva os sistemas dados pelo Me´todo Iterativo
de Gauss-Siedel com (x(0)1 , x
(0)
2 , x
(0)
3 ) = (0.1, 0.2, 0.5) e � = 0.01.
47
Exercı´cio 3.6. Dados os sistemas lineares:
(I)
4x1 + 2x2 + 6x3 = 1
4x1 + x2 + 3x3 = 2
−x1 + 5x2 + 3x3 = 3
(II)
2x1 + x2 + 3x3 = 9
−x2 + x3 = 1
x1 + 3x3 = 3
(III)
2x2 + 2x3 = 8
x1 + 3x2 = 6
3x1 + x2 + x3 = 4
mostrar que, reordenando as equac¸o˜es e inco´gnitas, podemos fazer com que o crite´rio
de Sassenfeld seja satisfeito, mas na˜o o crite´rio das linhas. Resolva-os.
48
4 Integrac¸a˜o Nume´rica
4.1 Introduc¸a˜o
Cada vez que descrevemos um problema utilizandoderivadas podemos inferir que a
soluc¸a˜o do mesmo envolve integrais do tipo
I( f ) =
∫ b
a
f (x)dx (4.1)
em que f : [a, b]→ R e´ uma func¸a˜o contı´nua no intervalo [a, b] com valores nos nu´meros
reais. Estudando as te´cnicas de integrac¸a˜o do Ca´lculo, sabemos que existem func¸o˜es f (x)
para as quais na˜o existe uma integral em termos de func¸o˜es elementares. Por exemplo,
as seguintes integrais sa˜o difı´ceis de calcular∫
sin(x)
x
dx,
∫
e−x2dx.
Assim, e´ necessario o uso de integrac¸a˜o nume´rica.
Em outros casos, quando temos pouca informac¸a˜o sobre a func¸a˜o, por exemplo,
quando conhecemos a func¸a˜o em um nu´mero finito de pontos, tambe´m e´ necessa´ria
alguma te´cnica de integrac¸a˜o nume´rica. Por exemplo no seguinte problema:
Exemplo 4.1. Um radar foi usado para medir a velocidade de um corredor durante os
primeiros 5 segundos de uma corrida (Veja a tabela ). Estime a distaˆncia que o corredor
cobriu durante aqueles 5 segundos.
t(s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
v(m/s) 0 4.67 7.34 8.86 9.73 10.22 10.51 10.67 10.76 10.81 10.81
Note que so´ conhecemos a func¸a˜o v(t) em 10 pontos, mas mesmo assim, desejamos
determinar o valor aproximado da integral∫ 5
0
v(t)dt,
dado que a distaˆncia e´ a integral da velocidade em relac¸a˜o ao tempo.
Numa terceira situac¸a˜o, pode ser que exista uma fo´rmula para integrar f (x) mas tal
vez esta´ fo´rmula na˜o seja a maneira mais eficiente de calcular I( f ).
49
4.2 Preliminares
Considere uma func¸a˜o contı´nua f : [a, b]→ R definida num intervalo [a, b].
A ideia ba´sica da integrac¸a˜o nume´rica e´ obter I( f ) via interpolac¸a˜o. Isto e´, primeiro
aproximar f (x) por um polinoˆmio interpolante Pn(x) de grau n em [a, b], um polinoˆmio
sobre n + 1 pontos x0 = a, x1, ..., xn−1, xn = b tais que a separac¸a˜o entre eles e´ dada por
h =
b − a
n
,
ou xi = x0 + ih, para todo i = 0, 1, ...,n.
Figura 12: Polinoˆmio Pn(x) que interpola f (x).
Enta˜o pode-se aproximar a integral de f (x) usando a integral de Pn(x).
Se Pn(x) interpola f (x) nos pontos x0 = a, x1, ..., xn = b, enta˜o
I( f ) =
∫ b
a
f (x)dx ≈
∫ b
a
Pn(x)dx.
Assim, aproximar I( f ) reduz-se a determinar a integral de um polinoˆmio, o qual e´ fa´cil
de realizar.
4.2.1 Estudo do Erro
Uma vez feita a aproximac¸a˜o, fica ainda o estudo do erro cometido no processo de
aproximar. Este erro pode ser estudado com a equac¸a˜o:
f (x) = Pn(x) + Rn(x) (4.2)
obtida na interpolac¸a˜o de Newton, em que Pn(x) e´ o polinoˆmio interpolante e Rn(x) e´ o
resto dado por
Rn(x) = (x − x0)(x − x1)...(x − xn) f [x0, x1, ..., xn, x]
50
em que f [x0, x1, ..., xn, x] e´ a diferenc¸a dividida de ordem (n + 1).
Integrando a igualdade (4.2) entre a e b:
I( f ) =
∫ b
a
Pn(x)dx +
∫ b
a
Rn(x),
a partir do qual deduzimos que o erro cometido En e´ dado por
En =
∫ b
a
Rn(x).
Repare que pode-se escrever o resto na forma Rn(x) = ψ(x) f [x0, x1, ..., xn, x] em que
ψ(x) = (x − x0)(x − x1)...(x − xn)
Usando o Teorema de Rolle, pode-se mostrar que existe um ξ ∈ [a, b] tal que
f [x0, x1, ..., xn, x] =
f (n+1)(ξ)
(n + 1)!
.
Assim, o erro e´ dado pela integral
En =
∫ xn
x0
f (n+1)(ξ)
(n + 1)!
ψ(x)dx. (4.3)
O primeiro resultado e´ o seguinte:
PROPOSIC¸A˜O 4.1. O erro En e´ limitado pela seguinte expressa˜o:
|En| ≤ K(n + 1)!
∫ xn
x0
|ψ(x)|dx, (4.4)
em que
K = max
{
| f (n+1)(x)| : x0 ≤ x ≤ xn
}
.
Demonstrac¸a˜o. Pela Equac¸a˜o (4.3), obtemos
|En| ≤ max
{
| f
(n+1)(ξ)
(n + 1)!
|, ξ ∈ [x0, xn]
} ∫ xn
x0
|ψ(x)|dx ≤ K
(n + 1)!
∫ xn
x0
|ψ(x)|dx.
pela definic¸a˜o de K. �
51
Observac¸a˜o 4.1. Pela Proposic¸a˜o 4.1, e´ suficiente estudar o comportamento de∫ xn
x0
|ψ(x)|dx (4.5)
para determinar um limitante superior do erro En. Aqui vamos trabalhar dois casos:
(a) Caso 1: Se ψ(x) ≥ 0 para todo x ∈ [x0, xn], ou se ψ(x) ≤ 0 para todo x ∈ [x0, xn].
(b) Caso 2: Se ψ(x) satisfaz
∫ xn
x0
ψ(x)dx = 0.
4.3 Regra dos Trape´zios.
A regra dos trape´zios e´ a mais simple das regras de integrac¸a˜o, ou seja, quando con-
sideramos n = 1. Isto e´ a interpolac¸a˜o sera´ dada sobre dois pontos x0 = a e x1 = b
e o polinoˆmio interpolante P1(x) e´ uma reta. Definamos h = b − a e seja y0 = f (x0) e
y1 = f (x1). O polinoˆmio P1(x) pode ser encontrado usando as diferenc¸as divididas:
xi yi ordem 0 ordem 1
x0 y0 y0
y1−y0
h
x1 y1 y1
Figura 13: Aproximac¸a˜o usando um polinoˆmio de grau 1.
Pela fo´rmula de interpolac¸a˜o de Newton, o polinoˆmio interpolante e´
P1(x) = y0 +
y1 − y0
h
(x − x0)
Enta˜o a aproximac¸a˜o de I( f ) sera´
I( f ) =
∫ b
a
f (x)dx ≈
∫ x1
x0
P1(x)dx =
∫ x1
x0
[
y0 +
y1 − y0
h
(x − x0)
]
dx.
52
Desenvolvendo as contas da u´ltima integral e fazendo x = x0 + u, obtemos:
I( f ) ≈
∫ h
0
[
y0 +
( y1 − y0
h
)
u
]
du =
h
2
[y0 + y1] =
h
2
[ f (x0) + f (x1)].
Observac¸a˜o 4.2. A fo´rmula
I( f ) ≈ h
2
[ f (x0) + f (x1)].
e´ denominada Regra do Trape´zio porque a a´rea abaixo do polinoˆmio P1(x) corres-
ponde a` a´rea de um trape´zio.
4.3.1 Limitante superior do erro na Regra do Trape´zio
Note que ψ(x) = (x − x0)(x − x1), enta˜o ψ(x) ≤ 0 para todo x ∈ [x0, x1]. Isto implica que
|ψ(x)| = −ψ(x) = (x − x0)(x1 − x) para todo x ∈ [x0, x1]. Pela fo´rmula (4.4) para o erro E1
obtemos
|E1| ≤ K(1 + 1)!
∫ x1
x0
(x − x0)(x1 − x)dx,
em que
K = max{| f (2)(x)| : x0 ≤ x ≤ x1}.
Fazendo a mudanc¸a x = x0 + u, obtemos
|E1| ≤ K(2)!
∫ h
0
u(h − u)du = h
3
12
max{| f (2)(x)| : x0 ≤ x ≤ x1}.
Resumindo:
A aproximac¸a˜o de I( f ) dada pela Regra do Trape´zio e´
I( f ) ≈ h
2
[ f (x0) + f (x1)]. (4.6)
e o limitante superior para o erro E1 e´ dado por
|E1| ≤ h
3
12
max{| f (2)(x)| : x0 ≤ x ≤ x1}. (4.7)
Exemplo 4.2. Usando a Regra dos Trape´zios, encontre uma aproximac¸a˜o da integral∫ 2
1
1
x
dx
53
e determine um limitante superior para o erro cometido ao aproximar a integral.
Soluc¸a˜o:
Definimos x0 = a = 1 e x1 = b = 2 e enta˜o h = x1 − x0 = 1. Assim, f (x0) = f (1) = 1 e
f (x1) = f (2) = 0, 5. Por tanto, a aproximac¸a˜o da integral dada pela fo´rmula (4.6) e´:
I( f ) ≈ 1
2
[1 + 0, 5] = 0, 75.
Para determinar o limitante superior do erro precisamos da derivada f (2)(x) = 2x3 .
Assim
max{| f (2)(x)| : x0 ≤ x ≤ x1} = max{ 2x3 : 1 ≤ x ≤ 2} =
2
1
= 2.
Por tanto, pela inequac¸a˜o (4.7),
|E1| ≤ 1
3
12
(2) =
2
12
= 0, 16666.
Logo a integral pertence ao intervalo I( f ) ∈ [0.75 − 0.16666, 0.75 + 0.16666] =
[0.58334, 0.91666].
4.3.2 Regra do Trape´zio Generalizada
A Regra dos Trape´zios Generalizada consiste na subdivisa˜o do intervalo de integrac¸a˜o
[a, b] em n sub-intervalos Ii = [xi−1, xi] para i = 1, ...,n, cada um de comprimento h = b−an ,
definidos pelos pontos
x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, ..., xi = a + ih, ..., xn = b,
para logo aplicar a regra dos trape´zios em cada sub-intervalo Ii para i = 1, ...,n. Desse
modo, a integral I( f ) sera´ aproximada pela soma das integrais em cada sub-intervalo
calculadas utilizando a regra do trape´zio. A figura abaixo apresenta o caso de 5 sub-
intervalos.
Figura 14: Regra do Trape´zio Generalizada.
54
A aproximac¸a˜o no intervalo Ii e´ dada por
Ai =
h
2
[ f (xi−1) + f (xi)].
Assim, a aproximac¸a˜o sera´:
I( f ) ≈ A1 + A2 + .... + An
Substituindo os valores:
I( f ) ≈ h
2
[ f (x0) + f (x1)] +
h
2
[ f (x1) + f (x2)] + .... +
h
2
[ f (xn−1) + f (xn)]
Simplificando
I( f ) ≈ h
2
[ f (x0) + 2
n−1∑
i=1
f (xi) + f (xn)] (4.8)
O erro na Regra do Trape´zios Generalizada e´ limitado pela soma dos erros em cada
subintervalo Ii. Denotemos por E(i) o erro no intervalo Ii, e enta˜o, pela inequac¸a˜o 4.7,
|E(i)| ≤ h
3
12
max{| f (2)(x)| : xi−1 ≤ x ≤