APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO

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Apostila de Raciocínio Lógico – Notas de Aula 
 Professor Joselias – 2010 – joselias@uol.com.br 
 
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LÓGICA 
 
 Veremos nas próximas linhas a definição do que vem a ser uma 
proposição, bem como o seu cálculo proposicional antes de chegarmos ao 
nosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão 
conjuntos de proposições denominadas premissas ou conclusões. 
 
1 – LÓGICA PROPOSICIONAL 
 
1.1 - PROPOSIÇÃO 
 Chamaremos de proposição ou sentença todo conjunto de palavras ou 
símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Sendo assim, 
vejamos os exemplos. 
 
1 Exemplo 
a) O Lula é o presidente do Brasil. 
b) O Rio de Janeiro fica na Europa. 
c) Elvis não morreu. 
 
 As proposições devem assumir os valores falsos ou verdadeiros, pois 
elas expressam a descrição de uma realidade, e uma proposição representa 
uma informação enunciada por uma oração, portanto pode ser expressa por 
distintas orações, tais como: “O João é mais novo que o Pedro”, ou podemos 
expressar também por “O Pedro é mais velho que o João”. 
 Concluímos que as proposições estão associadas aos valores lógicos: 
verdadeiro (V) ou falso (F). 
 
2 Exemplo: 
Se a proposição p = “O Lula é o presidente do Brasil” é verdadeira então 
representaremos o valor lógico da proposição p por VAL(p) = V. 
 
Se a proposição p = “O Lula não é o presidente do Brasil” é falsa então 
representaremos o valor lógico da proposição p por VAL(p) = F. 
 
Sendo assim a frase “Parabéns!” não é uma proposição, pois não admite o 
atributo verdadeiro ou falso. Portanto também não serão proposições as 
seguintes expressões: 
 
Exclamações: “Oh!”, “Que susto!”. 
 
Interrogações: “Tudo bem?”, “Que dia é hoje?”, “ Você é professor?”. 
 
Imperativos: “Seja um bom marido.”, “ Estude para concursos.” 
 
Paradoxos: “Esta sentença é falsa”. 
 
Teremos dois princípios no caso das proposições: 
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1.2 – PRINCÍPIO DO TERCEIRO-EXCLUÍDO 
 
 Uma proposição só pode ter dois valores lógicos, isto é, é verdadeira (V) 
ou falsa (F), não podendo ter outro valor. 
 
 
1.3 – PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO 
 
 Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. 
 
 Logo, voltando ao exemplo anterior temos: 
a) “O Lula é o presidente do Brasil.” é uma proposição verdadeira. 
b) “O Rio de Janeiro fica na Europa.” é uma proposição falsa. 
c) “Elvis não morreu”, é uma proposição falsa. 
 
 
 As proposições serão representadas por letras do alfabeto: A, B, C, .... 
 
 As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são 
modificadas, através de operadores (conectivos), gerando novas sentenças 
chamadas de moléculas(ou compostas). 
 
 
 
1.4 - CONECTIVOS 
 
 Os conectivos serão representados da seguinte forma: 
 
¬ corresponde a “não” (Alguns autores usam o símbolo “ ~ ”, para 
representar a negação). 
 
∧ corresponde a “e” (conjunção) 
 
∨ corresponde a “ou” (disjunção) 
 
→ corresponde a “se ... então ...” (condicional) 
 
↔ corresponde a “...se e somente se...” (bi-condicional) 
 
ٺ corresponde a “... ou ..., ou ..., mas não ambos (disjunção exclusiva) 
 
 
 Assim podemos ter: 
 
• Negações: ~ ࢖ (lê-se: não p) 
3 Exemplo: 
Seja a proposição p = “Lógica é difícil”. 
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A proposição “Lógica não é difícil” poderá ser representada por ~ ࢖. 
 
• Conjunções: p ∧ q (lê-se: p e q) 
4 Exemplo: 
Sejam p e q proposições tal que: 
 p = “Trabalho” 
q = “Estudo”, então temos que: 
p ∧ q = “Trabalho e estudo” 
 
• Disjunções: p ∨ q (lê-se: p ou q) 
5 Exemplo: 
Sejam p e q proposições tal que: 
p = “Trabalho” 
q = “Estudo”, então temos que: 
p ∨ q = “Trabalho ou estudo” 
 
• Condicionais: p → q (lê-se: Se p então q) 
6 Exemplo: 
Sejam p e q proposições tal que: 
p = “Trabalho” 
q = “Estudo”, então temos que: 
p → q = “Se trabalho então estudo” 
 
• Bi-condicionais: p ↔ q (lê-se: p se e somente se q) 
7 Exemplo: 
Sejam p e q proposições tal que: 
p = “Trabalho” 
q = “Estudo”, então temos que: 
p ↔ q = “Trabalho se e somente se estudo” 
 
• Disjunção exclusiva: p ٺ q ((lê-se: ou p, ou q, mas não ambos) 
8 Exemplo: 
Sejam p e q proposições tal que: 
p = “Trabalho” 
q = “Estudo”, então temos que: 
p ٺ q = “Ou trabalho, ou estudo, mas não ambos” 
 
 Podemos usar parênteses para evitar ambigüidades, considerando a 
seguinte prioridade em ordem decrescente: 
¬ (A prioridade mais alta) 
∧ 
∨ 
→ 
↔ (A prioridade mais baixa) 
 
 
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2 - TABELA VERDADE 
 
 O valor lógico de cada proposição composta depende dos conectivos 
contidos nela. Cada conectivo possui uma regra para formar o valor lógico da 
proposição composta, conforme a descrição abaixo. 
 
a) Tabela verdade da negação (¬p) 
(não p) 
 
 Se a proposição é verdadeira, sua negação será falsa. Se a proposição 
é falsa, sua negação será verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
b) Tabela verdade da disjunção (p∨q) 
(p ou q) (ou p, ou q) 
 
 A disjunção será falsa quando todas as proposições simples forem 
falsas, caso contrário será verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Tabela verdade da conjunção (p∧q) 
(p e q) 
 A conjunção será verdadeira quando todas as proposições simples 
forem verdadeiras, caso contrário será falsa. Assim teremos a seguinte tabela: 
 
p q p∧q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
 
p ¬p 
V F 
F V 
p q p∨q
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
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d) Tabela verdade da condicional (p → q) 
(Se p, então q) 
 A condicional somente será falsa quando p for verdadeira e q for falsa, 
caso contrário será verdadeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Tabela verdade da bi-condicional (p ↔ q) 
(p se e somente se q) 
 
 A bi-condicional será verdadeira quando as proposições simples, p e q, 
tiverem o mesmo valor lógico, caso contrário será falsa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Tabela verdade da disjunção exclusiva (p ٺ q) 
 
 A disjunção exclusiva será verdadeira quando as proposições simples, p 
e q, tiverem os valores lógicos diferentes, caso contrário será falsa. 
 
p q p ٺ q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 
p q p → q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
p q p ↔ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
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Assim teremos abaixo a tabela verdade para as proposições compostas pelas 
proposições simples p e q: 
 
TABELA VERDADE 
 
p q ¬p p∨q p∧q p → q p ↔ q p ٺ q 
V V F V V V V F 
V F F V F F F V 
F V V V F V F V 
F F V F F V V F 
 
 
9 Exemplo 
Sejam as proposições p e q, tal que: 
p = ”Corre” 
q = ”O bicho pega” 
Descrever as seguintes proposições abaixo: 
a) ¬p 
b) p ∨ q 
c) p ∧ q 
d) p → q 
e) p ↔ q 
f) p ٺ q 
Solução: 
a) ¬p = “Não corre” 
 
b) p ∨ q = “Corre ou o bicho pega” 
 
c) p ∧ q = “Corre e o bicho pega” 
 
d) p → q = “Se corre, então o bicho pega” 
 
e) p ↔ q = “Corre se e somente se o bicho pega” 
 
f) p ٺ q = “Ou corre, ou o bicho pega,mas não ambos” 
 
 
 
 
 
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10 Exemplo 
Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixo 
 
p q ¬p ¬q p∨q p∧q ¬p∧¬q ¬p∨¬q p ↔ q p ٺ q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Solução: 
p q ¬p ¬q p∨q p∧q ¬p∧¬q ¬p∨¬q p ↔ q p ٺ q 
V V F F V F F F V F 
V F F V V F F V F V 
F V V F V F F V F V 
F F V V F V V V V F 
 
 
11 Exemplo 
Determinar o valor verdade da proposição R ↔ (P ∧ Q), sabendo-se que VAL 
(P) = F, VAL (Q) = F e VAL (R) = F. 
 
Solução 
 
P Q R P ∧ Q R ↔ (P ∧ Q) 
V V V V V 
V V F V F 
V F V F F 
F V V F F 
V F F F V 
F V F F V 
F F V F F 
F F F F V 
 
Logo o VAL(R ↔ (P ∧ Q)) = V 
 
 
 
12 Exemplo 
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(STF-2008) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. 
A resposta branda acalma o coração irado. O orgulho e a vaidade são as 
portas de entrada da ruína do homem. Se o filho é honesto então o pai é 
exemplo de integridade. Tendo como referência as quatro frases acima, 
julgue o itens seguintes como certo(C) ou errado(E). 
 
a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas 
pelo conectivo de conjunção. 
 
b) A segunda frase é uma proposição lógica simples. 
 
c) A terceira frase é uma proposição lógica composta. 
 
d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos 
lógicos. 
Solução 
 
a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas 
pelo conectivo de conjunção. 
Errado. A sentença não é proposição. 
 
b) A segunda frase é uma proposição lógica simples. 
Certo. A sentença “A resposta branda acalma o coração irado” é uma 
proposição simples. 
 
c) A terceira frase é uma proposição lógica composta. 
Errado. Trata-se de uma oração com o sujeito composto, formando uma 
proposição simples. 
 
d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos 
lógicos. 
Errado. A sentença “Se o filho é honesto então o pai é exemplo de 
integridade” apresenta apenas o conetivo condicional. 
 
13 Exemplo 
Sabendo que a proposição “se A, então B” é falsa, podemos concluir que: 
a) a proposição A é verdadeira e B é verdadeira. 
b) a proposição A é verdadeira e B é falsa. 
c) a proposição A é falsa e B é verdadeira. 
d) a proposição A é falsa e B é falsa. 
e) A proposição A é sempre falsa. 
Solução 
Teremos “se verdade, então falso”. Logo A é verdadeira e B é falsa. 
Resposta: B 
 
3 - TAUTOLOGIA 
 
 São as proposições compostas sempre verdadeiras, independentemente 
dos valores lógicos das proposições simples que as compõem. Para verificar 
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se uma proposição é uma tautologia basta fazer a tabela verdade da 
proposição composta. 
14 Exemplo 
a) A proposição (p ∨ ¬p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para 
qualquer valor lógico da proposição p. 
 
p ¬p p ∨ ¬p
V F V 
F V V 
 
b) A proposição (p → p) é uma tautologia, pois é verdadeira para qualquer 
valor lógico da proposição p. 
 
p p → p 
V V 
F V 
 
c) A proposição (p ∨ ¬p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para 
qualquer valor lógico da proposição p. 
 
p (¬p) ¬(¬p) ¬(¬p) ↔ p 
V F V V 
F V F V 
 
d) A proposição (p → q) ↔ (¬p ∨ q) é uma tautologia, pois é sempre 
verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. 
 
p q (p→q) ¬p (¬p∨q) (p→q) ↔ (¬p∨q) 
V V V F V V 
V F F F F V 
F V V V V V 
F F V V V V 
 
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e) A proposição (p → q) ↔ (¬q → ¬p) é uma tautologia, pois é sempre 
verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. 
 
p q (p→q) ¬q ¬p (¬q→¬p) (p→q) ↔ (¬q→¬p) 
V V V F F V V 
V F F V F F V 
F V V F V V V 
F F V V V V V 
 
A tautologia (p → q) ↔ (¬q → ¬p) é conhecida como contra-positiva. 
 
f) A proposição ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) é uma tautologia, pois é sempre 
verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. 
 
p q (p ∧ q) ¬(p ∧ q) ¬p ¬q (¬p ∨ ¬q) ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) 
V V V F F F F V 
V F F V F V V V 
F V F V V F V V 
F F F V V V V V 
 
A tautologia ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) é conhecida como tautologia de Morgan. 
 
g) A proposição ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) é uma tautologia, pois é sempre 
verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. 
 
p q (p ∨ q) ¬(p ∨ q) ¬p ¬q (¬p ∧ ¬q) ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) 
V V V F F F F V 
V F V F F V F V 
F V V F V F F V 
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A tautologia ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) também é conhecida como tautologia 
de Morgan. 
 
h) A proposição ¬ (p→q) ↔ (p ∧ ¬q) é uma tautologia, pois é sempre 
verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. 
 
p q (p→q) ¬ 
(p→q) 
¬q (p ∧ ¬q) ¬ (p→q) ↔ (p ∧ ¬q)
V V V F F F V 
V F F V V V V 
F V V F F F V 
F F V F V F V 
 
3.1 – LISTA DE TAUTOLOGIAS MAIS COMUNS 
a) (p ∨ ¬p) 
b) (p → p) 
c) (p ↔ p) (Identidade) 
d) (p → q) ↔ (¬p ∨ q) 
e) (p → q) ↔ (¬q → ¬p) (Contra-positiva) 
f) ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) (Morgan) 
g) ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) (Morgan) 
h) ¬(¬p) ↔ p (Negação dupla) 
i) ¬ (p → q) ↔ (p ∧ ¬q) 
 
4 - CONTRADIÇÕES 
 
São as proposições compostas sempre falsas, independentemente dos valores 
lógicos das proposições simples que as compõem. Para verificar se uma 
proposição é uma contradição basta fazer a tabela verdade da proposição 
composta. 
 
15 Exemplo 
A proposição (p ∧ ¬p) é uma contradição, pois é sempre falsa para qualquer 
valor lógico da proposição p. 
 
p ¬p p ∧ ¬p
V F F 
F V F 
 
 
 
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5 - CONTINGÊNCIA 
 
 São as proposições compostas em que os valores lógicos dependem 
dos valores das proposições simples. Para verificar se uma proposição é uma 
contingência basta fazer a tabela-verdade da proposição. Se na tabela-verdade 
alguns valores lógicos forem verdadeiros e outros falsos teremos uma 
contingência. 
 
16 Exemplo 
A proposição (p ∧ ¬q) é uma contingência, pois a proposição pode ser 
verdadeira ou falsa dependendo dos valores lógicos de p e q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 Exemplo 
a) (p ∧ ¬p) → (p ∨ ¬p) é uma tautologia, pois a proposição composta é sempre 
verdadeira. 
b) (p ∧ ¬p) ∧ (p ∨ ¬p) é uma contradição, pois a proposição composta é 
sempre falsa. 
 
18 Exemplo 
 Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Das 
alternativas abaixo, a única que é tautologia é: 
a) se filosofamos, então filosofamos. 
b) se não filosofamos, então filosofamos. 
c) Lógica é fácil, mas é difícil. 
d) ele é feio, mas para mim é bonito. 
e) eu sempre falo mentira. 
Solução 
A única proposição sempre verdadeira é “se filosofamos, então filosofamos”, 
pois é a tautologia (p → p). 
Resposta: A 
 
 
 
 
 
p q ¬q (p ∧ ¬q) 
V V F F 
V F V V 
F V F F 
F F V F 
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6 - EQUIVALÊNCIA 
 
 Dizemos que duas proposições são equivalentes se elas possuem a 
mesma tabela-verdade. Para verificar se duas proposições são equivalentes 
devemos comparar as suas valorações. 
 
19 Exemplo 
 
a) A proposição (p∨q) é equivalente a (q∨p). 
 
 
 
 
b) A proposição (p∧q) é equivalente a (q∧p). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) A proposição (p ↔ q) é equivalente a (q ↔ p). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p q (p∨q) (q∨p)
V V V V 
V F V V 
F V V V 
F F F F 
p q (p ∧ q) (q ∧ p) 
V V V V 
V F F F 
F V F F 
F F F F 
p q (p ↔ q) (q ↔ p).
V V V V 
V F F F 
F V F F 
F F V V 
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d) A proposição (p → q) é equivalente a (¬p ∨ q). 
 
p q (p→q) ¬p (¬p∨q)
V V V F V 
V F F F F 
F V V V V 
F F V V V 
 
 
e) A proposição (p → q) é equivalente a (¬q → ¬p). 
A equivalência entre (p → q) e (¬q → ¬p) é chamada de contra-positiva. 
 
p q (p → q) ¬q ¬p (¬q → ¬p) 
V V V F F V 
V F F V F F 
F V V F V V 
F F V V V V 
 
 
f) A proposição ¬(p ∧ q) é equivalente a (¬p ∨ ¬q). 
A equivalência entre ¬(p ∧ q) e (¬p ∨ ¬q) é chamada de equivalência de 
Morgan. 
 
p q (p ∧ q) ¬(p ∧ q) ¬p ¬q (¬p ∨ ¬q) 
V V V F F F F 
V F F V F V V 
F V F V V F V 
F F F V V V V 
 
 
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g) A proposição ¬(p ∨ q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q). 
A equivalência entre ¬(p ∨ q) e (¬p ∧ ¬q) é chamada de equivalência de 
Morgan. 
 
p q (p ∨ q) ¬(p ∨ q) ¬p ¬q (¬p ∧ ¬q) 
V V V F F F F 
V F V F F V F 
F V V F V F F 
F F F V V V V 
 
 
LISTA DE ALGUMAS EQUIVALENCIAS COMUNS 
 
a) (p ∨ q) é equivalente a (q ∨ p) 
b) (p ∧ q) é equivalente a (q ∧ p) 
c) (p ↔ q) é equivalente a (q ↔ p) 
d) (p → q) é equivalente a (¬p ∨ q) 
e) (p → q) é equivalente a (¬q → ¬p) 
f) ¬(p ∧ q) é equivalente a (¬p ∨ ¬q) 
g) ¬(p ∨ q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q) 
h) ¬(¬p) é equivalente a p 
i) ¬ (p → q) é equivalente a (p ∧ ¬q) 
 
20 Exemplo 
Uma sentença lógica equivalente a “Se Pedro é economista, então Luisa é 
solteira.” é: 
a) Pedro é economista ou Luisa é solteira. 
b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira. 
c) Se Luisa é solteira, Pedro é economista. 
d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira. 
e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista. 
Solução 
(Se Pedro é economista, então Luisa é solteira) 
 ( )p q→ 
é equivalente(contra-positiva) a ( )q p¬ → ¬ 
(Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista) 
Resposta: E 
 
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21 Exemplo 
Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a (¬ p ∧ ¬ q) é 
a) ¬ (p ∨ q) 
b) (¬p ∧ q) 
c) (p ∨q) 
d) (p ∧ ¬q) 
e) (~p ∨q) 
Solução 
¬(p ∨ q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q) é a equivalência de Morgan. 
Resposta: A 
 
22 Exemplo 
Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente 
equivalente a dizer que: 
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. 
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. 
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro 
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. 
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro 
Solução 
(André é artista ou Bernardo não é engenheiro) 
A expressão acima é equivalente a: 
(Bernardo não é engenheiro ou André é artista) ( )p q¬ ∨ 
é equivalente a 
( )p q→ 
(Se Bernardo é engenheiro, então então André é artista) 
Resposta: D 
 
23 Exemplo 
Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista 
lógico, o mesmo que dizer que: 
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista 
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro 
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista 
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista 
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista 
Solução 
(Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista) ( )p q¬ ∨ 
é equivalente a 
( )p q→ 
(Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista) 
Resposta: A 
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24 Exemplo 
(CESGRANRIO) A negação de “não sabe matemática ou sabe português” é: 
(A) não sabe matemática e sabe português. 
(B) não sabe matemática e não sabe português. 
(C) sabe matemática ou sabe português. 
(D) sabe matemática e não sabe português. 
(E) sabe matemática ou não sabe português. 
Solução 
(não sabe matemática ou sabe português)¬ 
é equivalente a (Morgan) 
(sabe matemática e não sabe português) 
Resposta: D 
 
25 Exemplo 
A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está 
em Paris” é logicamente equivalente à afirmação: 
(A) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’. 
(B) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’. 
(C) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’. 
(D) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’. 
(E) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’. 
Solução 
“Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” 
Não é verdade que (Pedro está em Roma Paulo está em Paris)→ 
Não é verdade que (Pedro está em Roma Paulo está em Paris)→ 
 
Não é verdade que ( )p q→ 
é equivalente a 
Não é verdade que ( )p q¬ ∨ 
é equivalente a 
Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris” 
Resposta: D 
 
26 Exemplo 
Dizer que “João não é honesto ou José é alto” é, do ponto de vista lógico, o 
mesmo que dizer que: 
a) se João é honesto, então José não é alto. 
b) se João não é honesto, então José é alto. 
c) se José é honesto, então João é alto 
d) se João não é alto, então José não é honesto 
e) se João é honesto, então José é alto. 
Solução 
“João não é honesto ou José é alto” é equivalente a “Se João é honesto então 
José é alto” 
Resposta: E 
 
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27 Exemplo 
A negação de “se correr, o bicho pega” é: 
(A) corre ou o bicho pega. 
(B) corre e o bicho pega. 
(C) se não corre, bicho não pega 
(D) corre e o bicho não pega. 
(E) se o bicho pegar então corre. 
Solução 
A negação de “se correr, o bicho pega” é “corre e o bicho não pega” 
Resposta: D 
 
 
7 – NÚMERO DE LINHAS DA TABELA VERDADE 
 
 O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta 
com n proposições simples é 2n . 
 
 
28 Exemplo 
Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com uma 
proposições simples possui 21 = 2 linhas. 
 
p 
V 
F 
 
29 Exemplo 
Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com duas 
proposições simples possui 22 = 4 linhas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
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30 Exemplo 
Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com três 
proposições simples possui 23 = 8 linhas. 
 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V VF V F 
F F V 
F F F 
 
7.1 – NÚMERO DE PROPOSIÇÕES NÃO-EQUIVALENTES 
 
O número de proposições não equivalentes, tabelas-verdade distintas, com n 
proposições simples é 
22
n
. 
 
 
31 Exemplo 
O número de valorações, tabelas distintas, com uma proposição simples é 
2ଶ
భ
ൌ 2ଶ ൌ 4 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que: 
P1 é equivalente a (p ∨ ¬p). 
P2 é equivalente a p. 
P3 é equivalente a ¬p. 
P4 é equivalente a (p ∧ ¬p). 
 
 
p P1 P2 P3 P4 
V V V F F 
F V F V F 
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32 Exemplo 
O número de valorações, tabelas distintas, com duas proposições simples é 
2ଶ
మ
ൌ 2ସ ൌ 16 . 
 
p q P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15 P16
V V V V V V V V V V F F F F F F F F 
V F V V V V F F F F V V V V F F F F 
F V V V F F V V F F V V F F V V F F 
F F V F V F V F V F V F V F V F V F 
 
 
 8 - PROPOSIÇÃO CONDICIONAL 
(p → q) 
 
8.1 – CONDIÇÕES NECESSÁRIAS E SUFICIENTES 
 
 Na condicional, a proposição antecedente p é chamada de condição 
suficiente para a proposição conseqüente q, e a proposição consequente q é 
chamada de condição necessária para p. 
 
33 Exemplo 
Sejam as proposições: 
p = “João é paulista”. 
q = “João é brasileiro”. 
 
 Temos que a proposição (p → q) representa a seguinte sentença: “Se 
João é paulista, então João é brasileiro”. 
 
 Podemos dizer que a sentença “João é paulista” é condição suficiente 
para a sentença “João é brasileiro”. 
 
 Por outro lado a sentença “João é brasileiro” é condição necessária para 
a sentença “João é paulista”. 
 
 A proposição (p → q) pode ser lida de várias maneiras distintas, como 
segue: 
a) Se p, então q. 
b) Se p, q. 
c) q, se p 
d) p implica q. 
e) p acarreta q. 
f) p é suficiente para q. 
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g) q é necessário para p. 
h) p somente se q. 
i) p apenas se q. 
 
34 Exemplo 
A sentença “Se João é paulista, então João é brasileiro” pode ser lida como: 
a) Se João é paulista, então João é brasileiro. 
b) Se João é paulista, é brasileiro. 
c) João é brasileiro, se é paulista. 
d) João ser paulista implica João ser brasileiro. 
e) João ser paulista acarreta João ser brasileiro. 
f) João ser paulista é suficiente para João ser brasileiro. 
g) João ser brasileiro é necessário para João ser paulista. 
h) João é paulista somente se é brasileiro. 
i) João é paulista apenas se é brasileiro. 
 
 
8.2 – RECÍPROCA, CONTRÁRIA E CONTRA-POSITIVA 
 
Se p e q são proposições então: 
 
Recíproca 
Chamamos de recíproca de (p → q) a proposição (q → p). 
 
Contrária 
Chamamos de contrária de (p → q) a proposição (¬p → ¬q). 
 
Contra-positiva 
Chamamos de contra-positiva de (p → q) a proposição (¬q → ¬p). 
 
 
35 Exemplo 
Considere a sentença condicional “Se João é paulista, então João é brasileiro”. 
Podemos dizer que: 
 
A recíproca é “Se João é brasileiro então João é paulista”. 
 
A contrária é “Se João não é paulista então João não é brasileiro”. 
 
A contra-positiva é “Se João não é brasileiro então João não é paulista”. 
 
 
 
8.3 - EQUIVALÊNCIA DE (p → q) 
 
 Algumas equivalências da condicional surgem com muita freqüência, 
conforme listamos abaixo: 
 
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8.3.1 - (p → q) é equivalente a (¬p ∨ q) 
(Se p então q) é equivalente a (não p ou q). 
 
36 Exemplo 
 A sentença “Se João é paulista, então João é brasileiro” é equivalente a 
“João não é paulista ou João é brasileiro”. 
 
 
 
8.3.2 - (p → q) é equivalente a (¬q → ¬p) 
(Se p então q) é equivalente a (Se não-q então não-p). 
(Contra-positiva) 
 
37 Exemplo 
 A sentença “Se João é paulista, então João é brasileiro” é equivalente a 
“Se João não é brasileiro, então João não é paulista”. 
 
 
8.3.3 - ¬ (p → q) é equivalente a (p ∧ ¬q) 
A negação de (Se p, então q) é (p e não-q) 
 
38 Exemplo 
 A negação da sentença “Se João é paulista, então João é brasileiro” é 
equivalente a “João é paulista e João não é brasileiro”. 
 
 
 
9 – BI-CONDICIONAL (IMPLICAÇÃO DUPLA) 
(p ↔ q) 
 
 Na bi-condicional, a proposição antecedente p é chamada de condição 
necessária e suficiente para a proposição conseqüente q, e a proposição 
conseqüente q é chamada de condição necessária e suficiente para p. 
 
39 Exemplo 
Sejam as proposições: 
p = “Estuda”. 
q = “Trabalha”. 
Temos que a proposição (p ↔ q) representa a seguinte sentença: “Estuda se e 
somente se trabalha”. 
 Podemos dizer que a sentença “Estuda” é condição necessária e 
suficiente para a sentença “Trabalha”. Por outro lado a sentença “Trabalha” é 
condição necessária e suficiente para a sentença “Estuda”. 
 
 A proposição (p ↔ q) pode ser lida de várias maneiras distintas, como 
segue: 
a) p se e somente se q. 
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b) p se e só se q. 
c) p é condição necessária e suficiente para q 
e p é equivalente a q 
 
40 Exemplo 
A proposição “Estuda se e somente se trabalha”pode ser enunciada também 
das seguintes maneiras: 
a) “Estuda se e somente se trabalha” 
b) “Estuda se e só se trabalha”. 
c) “Estudar é condição necessária e suficiente para trabalhar”. 
d) “Estudar é equivalente a trabalhar”. 
 
 
 
9.1 – EQUIVALÊNCIA DE (p ↔ q) 
 
 Algumas equivalências da proposição (p ↔ q) são muito freqüentes. 
 
9.1.1 - (p ↔ q) é equivalente a (p → q) ∧ (q → p) 
 Portanto (p se e somente se q ) é equivalente a (Se p então q) e (Se q 
então p). 
 
 
9.1.2 - (p ↔ q) é equivalente a (¬q ↔ ¬p) 
(contra-positiva) 
 Portanto (p se somente se q) é equivalente a (não q se e somente se não 
p). 
 
 
9.1.3 - (p ↔ q) é equivalente a (q ↔ p) 
(recíproca) 
 Portanto (p se somente se q) é equivalente a (q se somente se p). 
 
 
 
9.1.4 - (p ↔ q) é equivalente a (¬p ↔ ¬q) 
(contrária) 
 Portanto (p se somente se q) é equivalente a (não p se e somente se 
não q). 
 
 
 
9.1.5 - ¬ (p ↔ q) é equivalente a (p ↔¬q) 
 Portanto a negação de (p se e somente se q) é equivalente a (p se 
somente se não q). 
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10 – DISJUNÇÃO EXCLUSIVA 
(OU EXCLUSIVO) 
p ∨ q 
 A proposição p ∨ q representa a disjunção exclusiva (ou exclusivo), e 
significa “ou p, ou q, mas não ambos”. A tabela verdade desta proposição 
composta será F quando ambos p e q forem verdadeiros ou ambos falsos, caso 
contrário será verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela verdade: 
 
p q p∨ q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
41 Exemplo 
Sejam as proposições: 
p = “Trabalho” 
q = “Estudo” 
 A proposição p ∨ q significa “Ou trabalho, ou estudo, mas não ambos”. 
 
 
10.1 – EQUIVALÊNCIA DE p∨ q 
 
 Entre as equivalências da proposição p ∨ q destacamos algumas das 
mais freqüentes: 
 
 
10.1.1 - p ∨ q É EQUIVALENTE A (p ∧ ¬q)  ∨ (¬p ∧ q) 
 Portanto (ou p ou q, mas não ambos) é equivalente a (p e não-q) ou 
(não-p e q)”. 
 
 
 
10.1.2 ¬(p ↔ q) É EQUIVALENTE A p∨ q 
 Portanto a negação de (p se e somente se q) é equivalente a (ou p ou q, 
mas não ambos). 
 
 
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11 - NEGAÇÃO 
(¬, ~) 
 
 A proposição ¬p representa a negação da proposição p. Se a 
proposição p é verdadeira então a proposição ¬p é falsa. Se a proposição p é 
falsa então a proposição ¬p é verdadeira. 
 Sendo assim a negação da sentença p= “Eu estudo” é ¬p = “Eu não 
estudo”. 
 Negamos as proposições compostas conforme o quadro abaixo: 
 
PROPOSIÇÃO NEGAÇÃO 
p ¬p 
(¬p) p 
(p ∧q) (¬p ∨ ¬q) 
(p ∨ q) (¬p ∧¬q) 
(p→ q) (p ∧ ¬q ) 
(p ↔ q) (p ↔ ¬q) 
(p ↔ q) p ∨ q 
 
42 Exemplo 
A negação da sentença “Eu trabalho” é “Eu não trabalho” 
 
43 Exemplo 
A negação da sentença “Eu trabalho ou estudo” é “Eu não trabalho e não 
estudo” 
 
44 Exemplo 
A negação da sentença “Eu trabalho e estudo” é “Eu não trabalho ou não 
estudo”. 
 
45 Exemplo 
A negação da sentença “ Se eu trabalho então estudo” é “Eu trabalho e não 
estudo”. 
 
46 Exemplo 
A negação da sentença “Eu trabalho se e somente se estudo” é “Eu trabalho se 
somente se não estudo”. 
 
47 Exemplo 
A negação da sentença “Eu trabalho se e somente se estudo” é “Ou trabalho, 
ou estudo, mas não ambos”. 
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12 - SENTENÇAS ABERTAS E SENTENÇAS GERAIS 
 
 As proposições são declarações que podem ser verdadeiras ou falsas, 
mas não podem receber ambos valores. Portanto as sentenças abaixo são 
proposições: 
a) João é um médico. 
b) 10 é um número natural. 
c) 10+ 10 > 20 
 
 
 Considere agora as seguintes sentenças abertas, que não podem 
receber o atributo verdadeiro ou falso: 
1) X é um médico. 
2) n é um número natural. 
3) x + y >20 
 
 Concluímos que se atribuirmos um valor para as variáveis X, n, x e y, 
nas sentenças abertas acima, teremos as proposições dos casos anteriores a, 
b e c respectivamente. 
 Há outra maneira de transformarmos as sentenças abertas em 
proposições, que consiste no uso do quantificador universal e do quantificador 
existencial. 
 
 
Quantificador universal 
∀ - Significa “Para todo ...”, “Qualquer que seja ...”. 
 
 
Quantificador Existencial ∃ - Significa “Existe ...”, “Há um ...”. 
 
 
 Utilizando-se os quantificadores podemos transformar as sentenças 
abertas em proposições falsas ou verdadeiras, por exemplo: 
 
 
48 Exemplo 
A sentença “׌݊ א Թ, n é um número natural” é uma proposição verdadeira. 
 
 
49 Exemplo 
A sentença "ሺ׊ݔ א Թሻሺ׊ݕ א Թሻሺݔ ൅ ݕ ൐ 100ሻ" é uma proposição falsa. 
 
 
As proposições que utilizam quantificadores são chamadas de sentenças 
gerais. 
 
 
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12.1 – NEGAÇÕES DE SENTENÇAS GERAIS 
 
 Sejam Px, Qx, Rx,... sentenças abertas de variável x. A negações de 
algumas sentenças gerais podem ser da forma abaixo: 
 
 ( )( )x Px¬ ∀ é equivalente a ( )( )x Px∃ ¬ 
 
 ( )( )x Px¬ ∃ é equivalente a ( )( )x Px∀ ¬ 
 
 ( )( )x Px Qx¬ ∀ → é equivalente a ( )( )x Px Qx∃ ∧ ¬ 
 
 ( )( )x Px Qx¬ ∀ ∨ é equivalente a ( ) ( )x Px Qx∃ ¬ ∧ ¬ 
 
 ( )( )x Px Qx¬ ∀ ∧ é equivalente a ( )( )x Px Qx∃ ¬ ∨ ¬ 
 
50 Exemplo 
Podemos afirmar que o número de linhas da tabela-verdade para proposições 
compostas quatro átomos é: 
a) 3 
b) 4 
c) 8 
d) 12 
e) 16 
Solução 
O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta de n 
proposições simples é 2n . Logo o número de linha será 24=16 linhas. 
Resposta: E 
 
51 Exemplo 
Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de 
proposições não equivalentes de três átomos é: 
a) 16 
b) 32 
c) 64 
d) 128 
e) 256 
Solução 
O número de proposições não equivalentes a uma proposição composta de n 
proposições simples é 
22
n
. Logo o número de proposições não equivalentes 
de três átomo é 
32 82 2 256= = . 
Resposta: E 
 
 
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52 Exemplo 
Sabe-se que se 4>x então 2=y . Podemos daí concluir que: 
a) Se 4<x então 2≠y . 
b) Se 4≤x então 2≠y . 
c) Se 2=y então 4>x . 
d) Se 2≠y então 4≤x . 
e) Se 2≠y então 4<x . 
Solução 
4>x então 2=y 
( )p q→ 
é equivalente(contra-positiva) a 
( )q p¬ → ¬ 
é equivalente 
 
Se 2≠y então 4≤x 
Resposta: D 
 
 
53 Exemplo 
A negação da proposição " 3 2"x y≠ ∧ < é: 
a) " 3 2"x y= ∧ ≥ 
b) " 3 2"x y= ∧ > 
c) " 3 2"x y= ∨ ≥ 
d) " 2 3"x y≠ ∧ < 
e) " 3 2"x y≠ ∨ < 
Solução 
( 3 2 )x y¬ ≠ ∧ < 
é equivalente a (Morgan) 
( 3 2)x y= ∨ ≥ 
Resposta: C 
 
 
 
Texto para os itens de 54 a 57. (TRT - CESPE): 
Considere que as letras P, Q, R e S representam proposições e que os 
símbolos ¬, ∧ e ∨ são operadores lógicos que constroem novas 
proposições e significam não, e e ou respectivamente. Na lógica 
proposicional, cada proposição assume um único valor (valor verdade) 
que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. 
Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os 
itens seguintes. 
 
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54 Exemplo 
¬ P ∨ Q é verdadeira. 
Solução 
¬ P ∨ Q 
 
¬ V ∨ V 
 
F ∨ V 
 
V 
Resposta: Certo. 
 
55 Exemplo 
¬ [(¬ P ∨ Q) ∨ (¬ R ∨ S)] é verdadeira. 
Solução 
¬ [(¬ V ∨ V) ∨ (¬ V ∨ V)] 
 
 
¬ [(F ∨ V) ∨ (¬ F ∨ V)] 
 
 
 ¬ [V ∨ V] 
 
 ¬ V 
 
 F 
Resposta: Errado. 
 
 
56 Exemplo 
 [P ∧ (Q ∨ S) ] ∧ (¬ [(R ∧ Q) ∨ (P ∧ S)] ) é verdadeira. 
 
Solução 
[P ∧ (Q ∨ S) ] ∧ (¬ [(R ∧ Q) ∨ (P ∧ S)] ) 
 
 
[V ∧ (V ∨ V) ] ∧ (¬ [(V ∧ V) ∨ (V ∧ V)] ) 
 
 
[V ∧ V ] ∧ (¬ [V ∨ V] ) 
 
 V ∧ (¬ V ) 
 
 V ∧ F 
 
 F 
Resposta: Errado. 
 
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57 Exemplo 
(P ∨ (¬ S)) ∧ (Q ∨ (¬ R)) é verdadeira. 
 
Solução 
(P ∨ (¬ S)) ∧ (Q ∨ (¬ R)) 
 
(V ∨ (¬ V)) ∧ (V ∨ (¬ V)) 
 
(V ∨ F) ∧ (V ∨ F) 
 
 V ∧ V 
 
 V 
Resposta: Certo. 
58 Exemplo 
(CESGRANRIO) Considere verdadeira a proposição: “Marcela joga vôlei ou 
Rodrigo joga basquete”. Para que essa proposição passe a ser falsa: 
(A) é suficiente que Marcela deixe de jogar vôlei. 
(B) é suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete. 
(C) é necessário que Marcela passe a jogar basquete. 
(D) é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete. 
(E) é necessário que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar 
vôlei. 
Solução 
Pela relação de Morgan temos que a negação do ou transforma-se em e. Logo 
é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete. 
Resposta: D 
 
 
 
59 Exemplo 
A negação da proposição ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∀ ∀ + < → ≥ ∨ < é: 
a) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∀ + ≥ → < ∨ ≥ 
b) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < → < ∧ ≥ 
c) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < ∧ < ∧ ≥ 
d) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∀ ∃ + ≥ → ≥ ∧ ≥ 
e) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + ≥ ∧ < ∨ ≥ 
Solução 
( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y¬ ∀ ∀ + < → ≥ ∨ < 
( ) ( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ¬ ∀ + < → ≥ ∨ < 
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( )( ) ( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ ¬ + < → ≥ ∨<
( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < ∧ ¬ ≥ ∨ <
( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < ∧ < ∧ ≥ 
Resposta: C 
 
 
13 - ARGUMENTO 
 
É um conjunto de proposições em que algumas delas implicam outra 
proposição. Chamaremos as proposições p1, p2, p3, . . . , pn de premissas do 
argumento, e a proposição q de conclusão do argumento. Representaremos os 
argumentos da seguinte maneira: 
p1 
p2 
p3 
. 
. 
. 
pn 
 ∴q 
 
60 Exemplo 
 Se chover então fico em casa. 
 Choveu. 
 
 ∴ Fico em casa. 
 
61 Exemplo 
 Todas as mulheres são bonitas. 
 Maria é mulher. 
 
 ∴ Maria é bonita. 
 
62 Exemplo 
 João ganha dinheiro ou João trabalha 
 João ganha dinheiro. 
 
 ∴João não trabalha 
 
13.1 – ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS 
 
Os argumentos são divididos em dois grupos: Dedutivos e indutivos. 
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A noção de argumento dedutivo gera a idéias de transportar o geral ao 
particular, isto quer dizer que a conclusão apenas ratifica o conteúdo das 
premissas. 
63 Exemplo 
O argumento abaixo é dedutivo, pois o conteúdo da conclusão é conseqüência 
apenas das premissas. 
 Todas as mulheres são princesas. 
 Todas as princesas são bonitas. 
 
 ∴ Todas as mulheres são bonitas. 
 A noção de argumento indutivo gera a idéia de transportar o particular 
para o geral, portanto a conclusão não é derivada apenas das premissas. 
 
64 Exemplo 
O argumento abaixo é indutivo, pois o conteúdo da conclusão não é 
conseqüência apenas das premissas. 
 Segunda-feira choveu. 
 Terça-feira choveu. 
 Quarta-feira choveu. 
 Quinta-feira choveu. 
 
 ∴ Amanhã vai chover. 
 
 
 Para os argumentos dedutivos haverá uma classificação como válidos 
ou não válidos. Os argumentos dedutivos válidos são raciocínio corretos, e os 
não válidos são raciocínio incorretos. A classificação da validade não se aplica 
aos argumentos indutivos. 
 
 
ܣݎ݃ݑ݉݁݊ݐ݋ݏ ቊܦ݁݀ݑݐ݅ݒ݋ݏ ቄ
ܸá݈݅݀݋ݏ
ܰã݋ ݒá݈݅݀݋ݏ
ܫ݊݀ݑݐ݅ݒ݋ݏ
 
 
 
 
 Pelo princípio do terceiro-excluído temos que uma proposição é 
verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele é válido ou não 
válido. 
 
 A validade é uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende 
da forma (estrutura) lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e 
não do conteúdo delas. 
Sendo assim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos 
válidos dedutivos: 
a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. 
b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira. 
c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa. 
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Podemos dizer que um argumento é válido se quando todas as suas premissas 
são verdadeiras implica que sua conclusão também é verdadeira. Portanto um 
argumento será não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem 
verdadeiras e sua conclusão falsa. 
 
65 Exemplo 
No exemplo 63 observamos não precisamos de nenhum conhecimento 
aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento acima é válido. 
Vamos substituir mulheres, princesas e bonitas por A, B e C respectivamente e 
teremos: 
Todos A é B. 
Todo B é C. 
 ∴Todo A é C 
 
 
13.2 – ARGUMENTOS DEDUTIVOS VÁLIDOS 
 
Sabemos que a classificação de argumentos válidos ou não válidos aplica-se 
apenas aos argumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas 
da forma do argumento e não dos respectivos valores lógicos das proposições 
do argumento. Sabemos também que não podemos ter um argumento válido 
com premissas verdadeiras e conclusão falsa. Veremos agora alguns 
argumentos dedutivos válidos importantes. 
 
 
13.2.1 - Afirmação do antecedente(modus ponens) 
 
O argumento válido chamado de afirmação do antecedente possui a seguinte 
estrutura: 
 
Se p, então q. 
p 
 ∴ q 
 
Ou 
݌ ՜ ݍ 
݌ 
 
׵ ݍ 
 
Nesse argumento a afirmação da condição suficiente garante a conclusão da 
condição necessária. 
 
 
 
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66 Exemplo 
Se ama, então cuida. 
Ama. 
 ∴ Cuida. 
 
67 Exemplo 
Se é divisível por dois, então é par. 
É divisível por dois. 
 ∴ É par. 
 
13.2.2 - Negação do consequente(modus tollens) 
 
O argumento válido chamado de negação do consequente possui a seguinte 
estrutura: 
 
݌ ՜ ݍ 
¬q 
 
׵ ¬p 
 
 
 Nesse argumento a negação da condição necessária garante a negação 
da condição suficiente. 
 
68 Exemplo 
Se ama, então cuida. 
Não cuida. 
 ∴ Não ama. 
 
 
69 Exemplo 
Se é divisível por dois, então é par. 
Não é par. 
 ∴ Não é divisível por dois. 
 
 
 
13.2.3 - Dilema 
 
 Outro argumento válido é o dilema. Geralmente este argumento ocorre 
quando a escolha de algumas opções levam a algumas consequências, e 
nesse caso a conclusão será pelo menos uma das consequências. 
 
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p ou q. 
Se p então r. 
Se q então s. ∴ r ou s 
 
70 Exemplo 
João estuda ou trabalha. 
Se João estudar será feliz. 
Se João trabalhar será rico. 
 ∴ João será feliz ou rico. 
 
 
 
13.3 – ARGUMENTOS DEDUTIVOS NÃO-VÁLIDOS 
 
Chamaremos de falácias aos argumentos com estruturas não válidas. Os 
argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das 
premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. 
Assim podemos ter, por exemplo, argumentos não-válidos com premissas e 
conclusões verdadeiras, porém as premissas não sustentam a conclusão. 
 
 
13.3.1 - Falácia da negação do antecedente 
 
Negando o antecedente em uma condicional não podemos obter conclusão, 
sendo assim o argumento não válido conhecido como falácia da negação do 
antecedente possui a seguinte estrutura: 
 
݌ ՜ ݍ 
¬݌ 
 
׵ ¬ݍ 
 
 
71 Exemplo 
Se ama, então cuida. 
Não ama. 
 ∴ Não cuida. 
 
Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de não amar não garante que 
não cuida. 
 
 
 
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72 Exemplo 
Se chover, ficarei em casa. 
Não está chovendo 
 ∴ Não ficarei em casa. 
 
Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de está chovendo não garante 
se ficarei ou não em casa. 
 
73 Exemplo 
Se eu for eleito, acabará a miséria. 
Não fui eleito. 
 ∴ A miséria não acabará 
 
Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de não ser eleito não implica que 
a miséria não acabará. 
 
13.3.2 - Falácia da afirmação do consequente 
 
Afirmando o consequente em uma condicional não podemos obter conclusão 
sobre a afirmação do antecedente, sendo assim o argumento não válido 
conhecido como falácia da afirmação do consequente possui a seguinte 
estrutura: 
݌ ՜ ݍ 
q 
 
׵ p 
 
74 Exemplo 
Se ele ama, então cuida. 
Ele cuida. 
 ∴ Ele ama. 
 
Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de ele cuidar não garante que 
ele ama. 
 
75 Exemplo 
Se chover, ficarei em casa. 
Fiquei em casa 
 ∴ Choveu. 
 
Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato ficar em casa não garante que 
choveu. 
 
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76 Exemplo 
Se eu for eleito, acabará a miséria. 
Acabou a miséria. 
 ∴ Fui eleito 
 
Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de acabar a miséria não implica 
que fui eleito. 
 
14 - PROPOSIÇÕES UNIVERSAIS E PARTICULARES 
 
 Podemos classificar algumas sentenças como proposições universais ou 
particulares. 
 
Nas proposições universais o predicado refere-se a totalidade do conjunto. 
 
 
77 Exemplo 
 “Todas as mulheres são vaidosas” é universal e simbolizamos por “todo S é 
P”. 
 
78 Exemplo 
“A mulher é sábia” é universal e simbolizamos por “todo S é P”. 
 
 
Nas proposições particulares o predicado refere-se apenas a uma parte do 
conjunto. 
 
79 Exemplo 
 “Algumas mulheres são vaidosas” é particular e simbolizamos por “algum S é 
P”. 
 
 
14.1 - Proposições afirmativas e negativas 
As proposições podem ser classificas como afirmativas ou negativas. 
 
80 Exemplo 
“Nenhuma mulher é vaidosa” é universal negativa e simbolizamos por “nenhum 
S é P”. 
 
81 Exemplo 
“Algumas mulheres não são vaidosas” é particular negativa e simbolizamos por 
“algum S não é P”. 
 
 Chamaremos então de proposição categórica na forma típica as 
proposições dos tipos: “Todo S é P”, “algum S é P”, “algum S não é P” e 
“nenhum S é P”. 
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Silogismo categórico de forma típica 
 
O silogismo categórico de forma típica (ou silogismo) será argumento 
formado por duas premissas e uma conclusão, tal que todas as premissas 
envolvidas são categóricas de forma típica ( A, E, I, O ). 
 
O silogismo categórico de forma típica apresenta os seguintes termos: 
• Termo menor – sujeito da conclusão. 
• Termo maior – predicado da conclusão. 
• Termo médio – é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não 
aparece na conclusão. 
Chamaremos de premissa maior a que contém o termo maior, e premissa 
menor a que contém o termo menor. 
 
 
82 Exemplo 
Todos os brasileiros são alegres. 
Todos os alegres são felizes. 
 ∴Todos os brasileiros são felizes. 
 
Termo menor: os brasileiros 
Termo maior: felizes 
Termo médio: os alegres 
Premissa menor: Todos os brasileiros são alegres. 
Premissa maior: Todos os alegres são felizes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15 – DIAGRAMAS LÓGICOS 
 
a) Universal afirmativa (A) 
“Todo S é P” 
 
 
Observação: 
 - A negação de “Todo S é P” é “Algum S não é P”. 
 
 
b) Universal negativa (E) 
“Nenhum S é P” 
 
 
Observação: 
 - “Nenhum S é P” é equivalente a ” Nenhum P é S”. 
 - A negação de “Nenhum S é P” é “Algum S é P”. 
 
 
 
c) Particular Afirmativa (I) 
“Algum S é P” 
 
Observação: 
 - “Algum S é P” é equivalente a ” Algum P é S”. 
- “Algum S é P” é equivalente a ” Pelo menos um S é P”. 
 - A negação de “Algum S é P” é “Nenhum S é P”. 
 
 
 
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d) Particular negativa (O) 
“Algum S não é P” 
 
Observação: 
 - A negação de “Algum S não é P” é “ Todo S é P”. 
 
 
83 Exemplo 
A negação da sentença “Todas as crianças são levadas” é: 
a) nenhuma criança é levada. 
b) existe pelo menos uma criança que não é levada. 
c) não existem crianças levadas. 
d) algumas crianças são levadas. 
e) existe pelo menos uma criança levada. 
Solução 
A negação da sentença “Todas as crianças são levadas” é “Algumas crianças 
não são levadas”, que é equivalente a “existe pelo menos uma criança que não 
é levada”. 
Resposta B. 
 
84 Exemplo 
A negação da proposição “Todo A é B” é, no ponto de vista lógico, 
equivalente a: 
a) algum A é B. 
b) nenhum A é B. 
c) algum B é A. 
d) nenhum B é A. 
e) algum A não é B. 
Solução 
A negação da proposição “Todo A é B” é “Algum A não é B”. 
Resposta A. 
 
85 Exemplo 
A negação da proposição “Nenhum A é B” é, no ponto de vista lógico, 
equivalente a: 
a) algum A é B. 
b) algum A não é B. 
c) algum B não é A. 
d) nenhum B é A. 
e) todo A é B. 
Solução 
A negação da proposição “Nenhum A é B” é “Algum A é B”. 
Resposta A. 
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86 Exemplo 
A negação da proposição “Todas as mulheres são bonitas” é: 
a) Nenhuma mulher é bonita. 
b) Todos os homens são bonitos. 
c) Algumas mulheres são bonitas. 
d) Algumas mulheres não são bonitas. 
e) Todas as mulheres não são bonitas 
Solução 
A negação da proposição “Todas as mulheres são bonitas” é “Algumas 
mulheres não são bonitas”. 
Resposta D. 
 
87 Exemplo 
Para que a afirmativa “Todo matemático é louco” seja falsa, basta que: 
a) todo matemático seja louco. 
b) todo louco seja matemático. 
c) Algum louco não seja matemático. 
d) Algum matemático seja louco. 
e) Algum matemático não seja louco. 
Solução 
A negação de todos pode ser Algum..., Existe um ..., Pelo menos um... etc. 
Sendo assim para que a afirmação “Todo matemático é louco” seja falsa basta 
que “Algum matemático não seja louco”. 
Resposta: E 
 
88 Exemplo 
Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é 
C. Segue-se, portanto, necessariamente que 
a) todo C é B 
b) todo C é A 
c) algum A é C 
d) nada que não seja C é A 
e) algum A não é C 
Solução 
Pelas premissas podemos ter, por exemplo, o diagrama abaixo: 
 
 
Assim concluímos que algum A é C. 
Resposta: C 
 
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89 Exemplo 
Sejam as declarações: 
Se ele me ama então ele casa comigo. 
Se ele casa comigo então não vou trabalhar. 
Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que: 
a. Ele é pobre mas me ama. 
b. Ele é rico mas é pão duro. 
c. Ele não me ama e eu gosto de trabalhar. 
d. Ele não casa comigo e não vou trabalhar. 
e. Ele não me ama e não casa comigo. 
Solução 
Suponhamos que todas as premissas são verdadeiras. Então temos: 
Ele me ama ele casa comigo (V)
Ele casa comigo não vou trabalhar (V)
Vou trabalhar (V) 
→
→ 
 
Como a terceira premissa é verdadeira temos: 
 
F
V
Ele me ama ele casa comigo (V)
Ele casa comigo não vou trabalhar (V)
Vou trabalhar (V)
→
→ 144424443
1442443
 
 
Temos que a segunda premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não vou 
trabalhar) é falso, sendo assim temos que o antecedente(Ele casa comigo) tem 
que ser falso. Logo temos: 
 
FF
V
Ele me ama ele casa comigo (V)
Ele casa comigo não vou trabalhar (V)
Vou trabalhar (V)
→
→ 1444244431442443
1442443
 
 
Conseqüentemente obtemos: 
F
FF
V
Ele me ama Ele casa comigo (V)
Ele casa comigo não vou trabalhar (V)
Vou trabalhar (V)
→
→
1442443
1444244431442443
1442443
 
 
Temos que a primeira premissa é verdadeira e o seu conseqüente(Ele casa 
comigo) é falso, sendo assim temos que o antecedente(Ele me ama) tem que 
ser falso. Logo temos: 
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F F
FF
V
Ele me ama Ele casa comigo (V)
Ele casa comigo não vou trabalhar (V)
Vou trabalhar (V)
→
→
14243 1442443
1444244431442443
1442443
 
 
Podemos então encontrar as proposições verdadeiras do argumento válido, 
que serão as conclusões: 
Vou trabalhar.(V) 
Ele não casa comigo.(V) 
Ele não me ama.(V) 
Resposta: E 
 
90 Exemplo 
(ESAF) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é 
justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é 
bondoso, ou Homero é honesto. Logo, 
a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. 
b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. 
c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. 
d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo. 
e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. 
Solução 
Suponhamos que todas as premissas são verdadeiras. 
 
Homero não é honesto Júlio é justo (V)
Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)
Beto é bondoso Júlio não é justo (V)
Beto não é bondoso Homero é honesto (V)
∨
∨ ∨
∨
∨
 
 
Observamos que todas as premissas são disjunções e nesse caso não temos 
uma proposição com o valor verdade definido, sendo assim vamos fazer uma 
hipótese sobre alguma delas. Se a hipótese for correta encontraremos a 
resposta final, se não for correta chegaremos a um absurdo e nesse caso 
trocamos a hipótese e teremos a resposta. 
Suponhamos que a proposição “Homero não é honesto” é verdadeira. 
Então pela hipótese teremos: 
V
F
Homero não é honesto Júlio é justo (V)
Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)
Beto é bondoso Júlio não é justo (V)
Beto não é bondoso Homero é honesto
∨
∨ ∨
∨
∨
14444244443
144424443
F
 (V)144424443
 
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Como a última premissa é verdadeira temos que a proposição “Beto não é 
bondoso” tem que ser verdadeira. Então teremos: 
 
V
F F
F
V
Homero não é honesto Júlio é justo (V)
Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)
Beto é bondoso Júlio não é justo (V)
Beto não é bondoso
∨
∨ ∨
∨
14444244443
144424443 1442443
1442443
1 2
F
 Homero é honesto (V)∨444 4443 144424443
 
 
Como a terceira premissa é verdadeira temos que a proposição “Júlio não é 
justo” tem que ser verdadeira. Então teremos: 
 
V F
F FF
F V
Homero não é honesto Júlio é justo (V)
Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)
Beto é bondoso Júlio não é justo (V)
B
∨
∨ ∨
∨
14444244443 14243
144424443 144244314243
1442443 1442443
V F
eto não é bondoso Homero é honesto (V)∨144424443 144424443
 
 
Temos um absurdo na segunda premissa, pois todas as proposições são falsas 
e a premissa é verdadeira. Sendo assim nossa hipótese esta errada, isto é a 
proposição “Homero não é honesto” deve ser falsa. Mudando a nossa 
hipótese inicial teremos que a proposição “Homero não é honesto” é falsa. 
Sendo assim vamos refazer o exercício com a nova hipótese correta: 
 
F
V
Homero não é honesto Júlio é justo (V)
Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)
Beto é bondoso Júlio não é justo (V)
Beto não é bondoso Homero é honesto
∨
∨ ∨
∨
∨
14444244443
144424443
V
 (V)144424443
 
 
Temos pela primeira premissa que “Júlio é justo” tem que ser verdadeira. 
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F V
V V
F
Homero não é honesto Júlio é justo (V)
Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)
Beto é bondoso Júlio não é justo (V)
Beto não é bondos
∨
∨ ∨
∨
14444244443 14243
144424443 14243
1442443
V
o Homero é honesto (V)∨ 144424443
 
 
Temos pela primeira premissa que “Beto é bondoso” tem que ser verdadeira. 
 
F V
V VV
V F
Homero não é honesto Júlio é justo (V)
Homero é honesto Júlio é justo Beto é bondoso (V)
Beto é bondoso Júlio não é justo (V)
B
∨
∨ ∨
∨
14444244443 14243
144424443 144244314243
1442443 1442443
F V
eto não é bondoso Homero é honesto (V)∨144424443 144424443
 
Assim teremos as seguintes conclusões: Júlio é justo. Homero é honesto. Beto 
é bondoso. 
Resposta: C 
 
(CESPE) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como 
verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. As proposições são 
usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, por 
exemplo, P, Q, R etc. Se a conexão de duas proposições é feita pela 
preposição “e”, simbolizada usualmente por ∧ , então obtém-se a forma 
P Q∧ , lida como “P e Q” e avaliada como V se P e Q forem V, caso 
contrário, é F. Se a conexão for feita pela preposição “ou”, simbolizada 
usualmente por ∨ , então obtém-se a forma P Q∨ , lida como “P ou Q” e 
avaliada como F se P e Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma 
proposição é simbolizada por ¬P, e avaliada como V, se P for F, e como F, 
se P for V. Um argumento é uma seqüência de proposições P1, P2, ..., Pn, 
chamadas premissas, e uma proposição Q, chamada conclusão. Um 
argumento é válido, se Q é V sempre que P1, P2, ..., Pn forem V, caso 
contrário, não é argumento válido. A partir desses conceitos, julgue item 
abaixo. 
 
91 Exemplo 
Considere as seguintes proposições: 
P: “Mara trabalha” e Q: “Mara ganha dinheiro” 
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Nessa situação, é válido o argumento em que as premissas são “Mara não 
trabalha ou Mara ganha dinheiro” e “Mara não trabalha”, e a conclusão é “Mara 
não ganha dinheiro”. 
Solução 
Argumento: 
 ¬P ∨ Q (V) 
 ¬P (V) 
 ∴ ¬Q 
 
Suponhamos que as premissas são verdadeiras, temos então: 
 ¬P ∨ Q (V) 
 ¬P (V) 
 ∴ ¬Q 
Temos que a proposição ¬Q pode ser verdadeira ou falsa, portanto o 
argumento é NÃO VÁLIDO 
Resposta: Errado 
 
 
(CESPE) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou 
falsas (F), mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições 
são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A 
expressão A → B, lida, entre outras formas, como “se A então B”, é uma 
proposição que tem valoração F quando A é V e B é F, e tem valoração V 
nos demais casos. Uma expressão da forma ¬A, lida como “não A”, é uma 
proposição que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando 
A é V. A expressão da forma A ∧ B, lida como “A e B”, é uma proposição 
que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem 
valoração F. Uma expressão da forma A ∨ B, lida como “A ou B”, é uma 
proposição que tem valoração F apenas quando A e B são F; nos demais 
casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem. 
 
92 Exemplo 
Uma expressão da forma ¬(A ∧ ¬B) é uma proposição que tem exatamente as 
mesmas valorações V ou F da proposição A →B. 
Solução 
Basta saber que ¬ (A →B) é equivalente a (A ∧ ¬ B) 
Resposta: Correto. 
 
93 Exemplo 
Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e 
“Mara não acertou na loteria” sejamambas proposições verdadeiras. 
Simbolizando adequadamente essas proposições pode-se garantir que a 
proposição “Ela não ficou rica” é também verdadeira. 
Solução 
Trata-se da falácia conhecida como negação do antecedente. 
Resposta: Errado. 
 
 
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94 Exemplo 
A proposição simbolizada por (A →B) → (B→A) possui uma única valoração 
F. 
Solução 
Vamos fazer a tabela verdade de (A→B) → (B→A) 
 
A B (A?B) (B?A) (A?B)?(B?A) 
V V V V V 
V F F V V 
F V V F F 
F F V V V 
 
Resposta: Correto. 
 
95 Exemplo 
Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja 
verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é 
verdadeira. 
Solução 
Podemos ter a proposição verdadeira de modo que: 
FV
V
S ilv ia am a Jo aq u im S ilv ia am a T ad eu∨ 144424443144424443
14444444244444443 
Resposta: Errada. 
 
 
16 - ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
16.1 - PROBLEMA DA CONTAGEM 
 
 A análise combinatória surge como uma ferramenta eficiente para 
problemas de contagem, conforme os exemplos abaixo: 
 
 - (TRE-2009) Em um restaurante que ofereça um cardápio no qual uma 
refeição consiste em uma salada — entre salada verde, salpicão e mista —, um 
prato principal — cujas opções são bife com fritas, peixe com purê, frango com 
arroz ou massa italiana — e uma sobremesa — doce de leite ou pudim. Qual a 
quantidade de refeições possíveis de serem escolhidas por um cliente? 
 
 - As chapas dos automóveis são constituídas por três letras e quatro 
algarismos. Quantos carros podem ser licenciados nessas condições? 
 
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 Os exemplos acima mostram que para se obter o número de 
possibilidades poderíamos começar descrevendo todos e contando, porém, 
este processo seria trabalhoso. Daí surge a análise combinatória, que permite 
criar regras para agrupamentos de objetos facilitando assim a contagem. 
 
16.2 – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
 
Este princípio é conhecido como princípio da multiplicação e tem o seguinte 
enunciado: 
 Sejam dois acontecimentos A e B. Se A pode ocorrer de m maneiras 
distintas e, para cada uma das m maneiras distintas, outro acontecimento B 
pode ocorrer de n maneiras distintas, então o número de possibilidades de 
ocorrer A seguido da ocorrência de B é m x n. 
 
96 Exemplo 
 (TRE-2009) Em um restaurante que ofereça um cardápio no qual uma 
refeição consiste em uma salada — entre salada verde, salpicão e mista —, um 
prato principal — cujas opções são bife com fritas, peixe com purê, frango com 
arroz ou massa italiana — e uma sobremesa — doce de leite ou pudim. Qual a 
quantidade de refeições possíveis de serem escolhidas por um cliente? 
Solução 
Vamos dividir a formação da refeição em três acontecimentos: 
Primeiro acontecimento: 
Escolher a salada – 3 maneiras distintas. 
 
Segundo acontecimento: 
Escolher o prato principal – 4 maneiras distintas. 
 
Terceiro acontecimento: 
Escolher a sobremesa – 2 maneiras distintas. 
 
Aplicando o princípio fundamental da contagem teremos: 
3 x 4 x 2 = 24 maneiras distintas de refeições completas. 
 
97 Exemplo 
 As chapas dos automóveis são formadas por três letras e quatro 
algarismos. Quantos carros podem ser licenciados nessas condições? 
Solução 
 Como as placas são formadas por três letras e quatro algarismos, 
vamos seguir a configuração abaixo, onde L representa uma letra escolhida no 
alfabeto de vinte e seis letras e N representa uma algarismo do sistema 
decimal. 
L L L N N N N 
Primeiro acontecimento: 
Escolher a primeira letra – 26 maneiras distintas. 
 
Segundo acontecimento: 
Escolher a segunda letra – 26 maneiras distintas. 
 
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Terceiro acontecimento: 
Escolher a terceira letra – 26 maneiras distintas. 
 
Quarto acontecimento: 
Escolher o primeiro algarismo - 10 maneiras distintas. 
 
Quinto acontecimento: 
Escolher o segundo algarismo – 10 maneiras distintas. 
 
Sexto acontecimento: 
Escolher o terceiro algarismo – 10 maneiras distintas. 
 
Sétimo acontecimento: 
Escolher o quarto algarismo – 10 maneiras distintas. 
 
Aplicando o princípio fundamental da contagem temos: 
26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175.760.000 placas. 
 
 
 
98 Exemplo 
(PUC) O número total de inteiros positivos que podem ser formados com 
algarismos 1, 2, 3 e 4, se nenhum algarismo é repetido em nenhum inteiro, é: 
a. 54 
b. 56 
c. 58 
d. 60 
e. 64 
Solução 
 
Com um algarismo temos 4 números. 
Com dois algarismos temos 4x3 = 12 números. 
Com três algarismos temos 4x3x2 = 24 números. 
Com 4 algarismos temos 4x6x2x1 = 24 números. 
Logo o total de números com os algarismos distintos é 64. 
Resposta: E 
 
99 Exemplo 
Quantos números pares de três algarismos podem ser formados com os 
algarismos 1, 2, 3, 6, 7, 9 ? 
Solução 
Seja o esquema: 
 
Observamos que os números m ser deve ser pares, isto dificulta a contagem, 
daí precisamos primeiramente satisfazer a restrição de os números serem 
pares. 
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Regra: “Se existe uma restrição causando dificuldade então devemos satisfazê-
la em primeiro lugar” Sendo assim, temos: 
Posição C - 2 possibilidades (algarismos 2, 6) 
Posição A - 6 possibilidades (algarismos 1, 2, 3, 6, 7, 9) 
Posição B - 6 possibilidades (algarismos 1, 2, 3, 6, 7, 9) 
Pelo princípio da multiplicação temos 2 x 6 x 6 = 72 números. 
 
16.3 - FATORIAL 
 
Seja n um número natural maior que um. Chamamos de n fatorial a: 
 
 
 
100 Exemplo 
a) 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 
b) 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 
c) 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 5040. 
 
 
101 Exemplo 
Simplificar: 
10!
7! 
Solução 
 
10! 10 9 8 7! 10 9 8 720
7! 7!
× × ×= = × × = 
 
 
16.4 - ARRANJOS SIMPLES 
 
 Seja A um conjunto com n elementos e p um número natural, com p൑n. 
 Chamamos de arranjo simples p a p, dos n elementos de A, a cada 
subconjunto ordenado de p elementos de A. 
 Como o subconjunto é ordenado, temos que os arranjos são distintos 
quanto a ordem. 
 Chamaremos de 
p
nA ao número de arranjo de n objetos, p a p. 
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A fórmula ( 1)( 2)...( 1)pnA n n n n p= − − − + também pode ser escrita 
como 
!
( )!
p
n
nA
n p
= − . 
 
102 Exemplo 
Quais são os arranjos dos objetos a, b e c tomados 2 a 2? 
Solução 
ab, ba, ac, ca, bc e cb. São seis arranjos tomados 2 a 2. 
 
103 Exemplo 
a) 35 5 4 3 60A = × × = 
b) 47 7 6 5 4 840A = × × × = 
c) 26 6 5 30A = × = 
 
104 Exemplo 
Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os 
algarismos significativos? 
Solução 
Entendemos como algarismos significativos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) 
Então teríamos: 
Para a primeira posição - 9 possibilidades 
Para a segunda posição, após preencher a primeira - 8 possibilidades 
Para a terceira posição, após preencher duas primeiras posições - 7 
possibilidades. 
Daí pelo princípio da multiplicação 
 
 
3
9 9 8 7 504A = × × = 
 
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16.5 - PERMUTAÇÃO SIMPLES 
 
 Chamamos de permutações simples de n objetos distintos a qualquer 
arranjo desses n elementos tomados em qualquer ordem. 
 O número de permutação de n objetos distintos, denotamos por Pn a: 
 
 
 
Logo 
( 1)( 2)( 3)....1
!
n
n
P n n n n
P n
= − − −
= 
 
 
105 Exemplo 
Quais são as permutações simples dos objetos a, b e c? 
Solução 
abc, acb, bac, bca, cab e cba. São seis permutações simples. 
 
 
106 Exemplo 
Quantos anagramas podemos fazer com as letras da palavra ESTUDO? 
Solução 
 
 
P6 = 6x5x4x3x2x1 = 6! = 720 anagramas. 
 
 
107 Exemplo 
Calcular quantos números de cinco algarismos distintos podemos formar com 
os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?. 
Solução 
P5= 5! = 120 anagramas. 
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17 - PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO 
 
 
108 Exemplo 
Quantos anagramas possui a palavra BANANA? 
Solução 
଺ܲ
ଵ,ଷ,ଶ ൌ ଺!
ଵ!ଷ!ଶ!
ൌ 60 anagramas. 
 
 
109 Exemplo 
 Quantas anagramas possui a palavra ARROZ? 
Solução 
 
ହܲ
ଵ,ଶ,ଵ,ଵ ൌ ହ!
ଵ!ଶ!ଵ!ଵ!
ൌ 60 anagramas. 
 
110 Exemplo 
Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ANATEL? 
Solução 
଺ܲ
ଶ,ଵ,ଵ,ଵ,ଵ ൌ ଺!
ଶ!ଵ!ଵ!ଵ!ଵ!
ൌ 360 anagramas. 
 
 
111 Exemplo 
Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ANATEL 
começando com consoante? 
Solução 
Primeira posição: 3 maneiras distintas de uma consoante. 
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Nas outras cinco posições teremos: 
Pହ
ଶ,ଵ,ଵ,ଵ ൌ ହ!
ଶ!ଵ!ଵ!ଵ!
ൌ 60 maneiras distintas. 
Aplicando o princípio fundamental da contagem temos 3 x 60 = 180 anagramas 
começando com consoante. 
 
 
112 Exemplo 
Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ANATEL 
começando com vogal? 
Solução 
Pelos dois exemplos anteriores temos 360 – 180 = 180 anagramas começando 
com vogal. 
 
 
113 Exemplo 
(Sta. CASA) Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas de ferro entre as 
cidades A e B. Quantos são os diferentes percursos para fazer a viagem de ida 
e volta entre A e B, utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, em qualquer 
ordem? 
a) 4! × 3! 
b 2! × 4! × 3! 
c. 24 
d. 12 
e. 7 
Solução 
Podemos ir de rodovia e voltar de trem e vice versa. Logo temos 4 x 3 + 3 x 4 = 
24 modos. 
Resposta: C 
 
 
18 - COMBINAÇÕES SIMPLES 
 
Seja um conjunto A, com n elementos distintos. Chamamos de combinação 
simples dos n elementos, tomados k a k, a qualquer subconjunto de k 
elementos do conjunto A. Indicamos o número de combinações dos n 
elementos tomados k a k por: 
!
!( )!
k
n
nC
k n k
= − ou 
!
!( )!
n n
k k n k
⎛ ⎞ =⎜ ⎟ −⎝ ⎠ 
Exemplo 
Quais são as combinações dos objetos a,b e c, tomados 2 a 2? 
Solução 
ab, ac e bc. São três combinações tomadas 2 a 2. 
 
 
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114 Exemplo 
 
a) ( )23
3! 3! 3 2! 3 3
2! 3 2 ! 2!1! 2!1! 1!
C ×= = = = =− 
 
b) 
3
7
7! 7! 7 6 5 4! 7 6 5 7 5 35
3!(7 3)! 3!4! 3!4! 3!
C × × × × ×= = = = = × =− 
c) 
5
8
8! 8! 8 7 6 5! 8 7 6 8 7 56
5!(8 5)! 5!3! 5!3! 3!
C × × × × ×= = = = = × =− 
 
 
115 Exemplo 
Com seis alunos, quantas comissões com dois alunos podemos formar? 
Solução 
2
6
6! 6! 6 5 4! 6 5 15
2!(6 2)! 2!4! 2!4! 2!
C × × ×= = = = =− comissões. 
 
 
 
116 Exemplo 
Quantas diagonais possui o pentágono regular? 
Solução 
 
Observe que para fazer uma diagonal, preciso unir dois 
vértices; como possuo 5 vértices teremos 
2
5C modos 
de unir dois vértices, isto é, 10 modos. Por outro lado, 
quando unimos AB, BC, CD, DE e EA, estamos 
contando os lados do pentágono, logo, o número de 
diagonais é 10 – 5 = 5 diagonais. 
 
 
 
117 Exemplo 
(OSEC) Do cardápio de uma festa constavam 10 diferentes tipos de 
salgadinhos dos quais só 4 seriam servidos quentes. O garçom encarregado de 
arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre 
só dois tipos de salgadinhos frios e só 2 diferentes dos quentes. De quantos 
modos diferentes, teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para 
compor a travessa, respeitando as instruções? 
Solução 
4 quentes
Tipos de salgadinhos 
6 frios
⎧⎨⎩ 
 
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Travessa ⇒ 2 24 6 6 15 90C C× = × = modos. 
 
118 Exemplo 
(CESGRANRIO) Considere cinco pontos, três a três não colineares. Usando 
esses pontos como vértices de um triângulo, o número de todos os triângulos 
distintos que se podem formar é: 
a) 5 
b) 6 
c) 9 
d) 10 
e) 15 
Solução 
O numero de triângulos que podemos formar è 35 10C = triângulos. 
Resposta: D 
 
119 Exemplo 
(PUC) Uma mensagem em código deve ser feita de tal forma que, cada letra do 
alfabeto seja representada por uma seqüência de n elementos, onde cada 
elemento é zero (0) ou um (1). O menor valor de n de modo que as 26 letras do 
alfabeto possam ser representadas é: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
Solução 
Com um elemento podemos representar 21 = 2 letras. 
Com dois elementos podemos representar 22 = 4 letras. 
Com três elementos podemos representar 23 = 8 letras. 
Com quatro elementos podemos representar 24 = 16 letras. 
Com cinco elementos podemos representar 25 = 32 letras. 
Resposta: A 
 
 
120 Exemplo 
(GV) Na figura, quantos caminhos diferentes podem ser feitos de A até B, 
deslocando-se uma unidade de cada vez, para cima ou para a direita? 
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a) 126 
b) 858 
c) 326 
d) 954 
e) 386 
Solução 
Cada caminho terá quatro movimentos para cima (C) e cinco movimentos para 
a direita (D). Logo o número de caminhos será o número de permutações de 
nove elementos, sendo 4 iguais a C e 5 iguais a D. 
4,5
9
9! 9 8 7 6 5! 9 8 7 6 126
4!5! 4!5! 4!
P × × × × × × ×= = = = caminhos. 
Resposta: A 
 
 
19 - SEQUÊNCIAS RECCORRENTES OU RECURSIVAS 
 
Chamamos de sequência recursiva (ou recorrente) quando um determinado 
termo pode ser calculado em função de termos antecessores. 
 
121 Exemplo 
 A sequência ሼܽ௡ሽ dos números naturais pares 0, 2, 4, 6, 8, 10, ... pode 
ser definida pela seguinte equação de recorrência: ܽ௡ାଵ ൌ ܽ௡ ൅ 2 , 
para n ൒ 1, com ܽଵ ൌ 0. 
 
 
122 Exemplo 
 A progressão aritmética ሼܽ௡ሽ de razão igual a 5 e primeiro termo igual a 
1 (1, 6, 11, 16,...) pode ser definido pela seguinte equação de recorrência: 
ܽ௡ାଵ ൌ ܽ௡ ൅ 5, para n ൒ 1, com ܽଵ ൌ 1. 
 
 
123 Exemplo 
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 A sequência ሼܽ௡ሽ de números triangulares, cujos termos são 1, 3, 6, 10, 
15, ... pode ser definida pela seguinte equação de recorrência: : ܽ௡ାଵ ൌ
ܽ௡ ൅ ݊ ൅ 1, para n ൒ 1, com ܽଵ ൌ 1. 
 
 
124 Exemplo 
 A sequência {an} de Fibonacci, cujos termos são 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... 
pode ser definida pela seguinte equação de recorrência: ܽ௡ାଶ ൌ ܽ௡ାଵ ൅
ܽ௡, para n ൒ 1, com ܽଵ ൌ 0 e ܽଶ ൌ 1. 
 
 
 A ordem da recorrência é o maior deslocamento na equação de 
recorrência.