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Introdução: 
 
Existem grandezas que são caracterizadas por apenas uma componente (intensidade ou 
magnitude). Outras grandezas necessitam de informações acerca de sua direção e seu sentido, 
além de sua magnitude, para serem descritas. De maneira mais ampla, pode-se generalizar 
estas idéias, introduzindo-se o conceito de tensores. 
Tensores são entes matemáticos abstratos cujas propriedades fundamentais 
independem do sistema de referência em que estão representadas. Além disso, atribui-se uma 
ordem de grandeza aos tensores. Um tensor dito de ordem “n” terá 3n componentes. 
 
� Tensores de Ordem Zero (escalar): Invariantes que são definidos por uma única 
coordenada (30 = 1 componente). Sendo assim, não requerem um sistema de referência. 
Embora sejam caracterizados apenas por sua magnitude, é necessário cuidado com o 
sistema de unidades adotado para expressá-los. Esse cuidado deve se estender para os 
demais tipos de tensores. Como exemplos de grandezas escalares, têm-se: massa, 
temperatura, energia, etc... 
 
� Tensores de Primeira Ordem (vetor): Utilizados para descrever grandezas que requerem 
informações sobre sua magnitude, direção e sentido (31 = 3 componentes). 
Exemplos: velocidade, aceleração, força, etc... 
 
� Tensores de Segunda Ordem (diádico): Neste ponto, torna-se difícil o entendimento do 
significado físico destes tensores (32 = 9 componentes). Esta tarefa é facilitada através da 
analogia com fenômenos físicos. Para isso, considere o estado de tensões em um 
elemento infinitesimal. 
Exemplos: tensor de tensões, tensor de deformações, tensor de inércia, etc... 
 
x 
y 
z 
τ
 xy 
τ
 xz 
σ
 xx 
σ
 yy 
σ
 zz 
τ
 yx 
τ
 yz 
τ
 zx 
τ
 zy 










=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
σττ
τστ
ττσ
σ
 Tensor de Tensões: 
 
 
Observação: Existem tensores de ordem superior. Por exemplo, o tensor elástico da 
Lei de Hooke Generalizada para casos 3-D que é de quarta ordem. P/ o caso 
anisotrópico, têm-se 34 = 81 componentes. 
Exemplo: klijklij E εσ =