1 - Vetores

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1 – Vetores: 
 
Matematicamente, um vetor u pode ter, no caso mais geral, uma dimensão “n” 
infinita, ou seja: ( ) nn Ruuuuu ∈= ,,,, 321 K . 
No entanto, em problemas físicos, são utilizados para descrever grandezas que 
requerem informações sobre sua magnitude, direção e sentido. Usualmente, estas três 
componentes referem-se a três coordenadas independentes de um Espaço Euclidiano. Alguns 
exemplos de grandezas vetoriais são dados por: velocidade, aceleração, fluxo de calor, etc... 
 
Exemplo: ( )321 ,, vvvv = – vetor velocidade em coordenadas cartesianas; 
 
1eˆ
e 
2eˆ 
3eˆ 
x1 v1 
u 
v2 
u 
v3 
u 
v 
u
x2 
x3 
 
 
onde 1eˆ , 2eˆ , 3eˆ são os vetores unitários (ou cursores unitários) das direções x1, x2, x3, 
respectivamente. Enquanto v1, v2, v3 são as componentes do vetor v nestas mesmas direções. 
O vetor v pode ser representado apenas através de suas componentes ( )321 ,, vvvv = ou, ainda, 
em termos dos cursores unitários 332211 ˆˆˆ evevevv ++= . 
 
 
 
 
 
1.1 – Classificação dos Vetores: 
 
Os vetores podem ser classificados quanto ao seu ponto de aplicação (origem e/ou 
extremidade). Desta forma, existem vetores livres, deslizantes e vinculados. 
 
� Vetores livres independem de seu ponto de aplicação. Requerem apenas um sistema de 
referência para serem representados. Como exemplos, é possível citar: velocidade 
angular, torque, etc... 
 
� Vetores deslizantes estão associados a uma determinada linha de ação. Requerem, 
portanto, além de um sistema de referência para serem representados, uma reta suporte 
sobre a qual o vetor deve sempre estar. Como exemplo tem-se uma força atuando sobre 
um corpo rígido. 
 
� Vetores vinculados estão associados a um ponto de aplicação. Neste caso, requerem, além 
de um sistema de referência e uma reta suporte, um ponto fixo para sua origem e/ou 
extremidade. Um exemplo deste tipo de vetor é dado por uma força atuando sobre um 
corpo deformável. 
 
1.2 – Operações com Vetores: 
 
1.2.1 – Módulo de um Vetor: 
 
É uma particularização do conceito de Norma que fornece: 
 
 
( )
2
1
1
2








= ∑
=
n
i
iuu Norma de um vetor ( ) nn Ruuuuu ∈= ,,,, 321 K . 
 
Desta forma, para n = 3 dimensões, define-se o módulo de um vetor u conforme a 
seguir. Note que o resultado do módulo fornece um escalar cujo significado físico 
corresponde ao comprimento do vetor u . 
 
( ) ( ) ( ) 232221 uuuu ++= Módulo do vetor ( )321 ,, uuuu = . 
1.2.2 – Vetor Unitário: 
 
O vetor unitário (ou cursor unitário) uˆ de um vetor ( )321 ,, uuuu = qualquer é aquele 
cujo módulo é igual à unidade e que possui a mesma direção de u . Portanto: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 








++++++
==
2
3
2
2
2
1
3
2
3
2
2
2
1
2
2
3
2
2
2
1
1
,,ˆ
uuu
u
uuu
u
uuu
u
u
u
u 
 
1.2.3 – Soma de Vetores: 
 
Algebricamente, basta somar cada uma das componentes de cada vetor. Note que o 
resultado q é um vetor. 
 
Exemplo: ( )321 ,, uuuu = ; ( )321 ,, vvvv = ; ( )321 ,, wwww = 
( ) ( ) ( ) ( )333222111321321321 ,,,,,,,, wvuwvuwvuwwwvvvuuuwvuq ++++++=++=++= 
 
Graficamente, basta colocar a origem do vetor seguinte a ser somado coincidente com 
a extremidade do vetor anterior e depois unir a origem do primeiro à extremidade do último. 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo: 
Subtração de vetores 
wvuq −+=
v 
u
– w 
u
 
u 
u
Adição de vetores 
wvuq ++=
u 
u
v 
u
w 
u
Vetores isolados 
u 
u v 
u
w 
u
 
 
Propriedades: 
 
i) ( )321 ,, ukukukuk = (Multiplicação por uma constante escalar k); 
ii) uvvu +=+ (Comutativa da soma); 
iii) ( ) ( ) wvuwvu ++=++ (Associativa da soma); 
iv) uu =+ 0 (Elemento neutro da soma). 
1.2.4 – Produto Escalar: 
 
Algebricamente, multiplica-se cada componente do primeiro vetor pela sua 
correspondente do segundo vetor e depois somam-se os resultados parciais e o resultado final 
é um escalar. 
 
Exemplo: ( )321 ,, uuuu = ; ( )321 ,, vvvv = 
( ) ( ) 332211321321 ,,,, vuvuvuvvvuuuvu ++=•=• 
 
Graficamente, é possível fazer a seguinte representação: 
 
 
 Exemplo: 
θ 
u
vvˆ u 
 
cos θ 
 
 
Neste exemplo, o significado físico do produto escalar pode ser entendido como a 
projeção do vetor u na direção de outro v , desde que o vetor que define a direção da projeção 
v seja o unitário vˆ . Neste caso, o resultado do produto escalar fornece o comprimento da 
projeção do vetor u sobre o vetor v , lembrando que 1ˆ =v . Portanto: 
 
θcosvuvu =•
 
 
onde u e v são os respectivos módulos dos vetores u e v e θ é o menor ângulo formado 
entre os dois vetores. 
 
Propriedades: 
 
i) uvvu •=• (Comutativa do produto escalar); 
ii) ( ) wuvuwvu •+•=+• (Distributiva do produto escalar em relação à soma); 
iii) 2uuu =• (Quadrado de um vetor); 
iv) 0=• vu (para 0≠u e 0≠v , Condição de ortogonalidade: vu ⊥ , pois 
0cos =θ para θ = 90o); 
1.2.5 – Produto Vetorial: 
 
Algebricamente, o produto vetorial do vetor u pelo vetor v é um terceiro vetor w 
dado pelo resultado do determinante a seguir. 
 
Exemplo: ( )321 ,, uuuu = ; ( )321 ,, vvvv = 
( ) ( ) ( )
( )122131132332
312212311312332
321
321
321
,, 
ˆˆˆ
ˆˆˆ
vuvuvuvuvuvu
evuvuevuvuevuvu
vvv
uuu
eee
vuw
−−−=
=−+−+−==×=
 
 
Graficamente, o vetor w resultante pode ser interpretado como um vetor normal ao 
plano definido pelos vetores u e v , cujo sentido é dado pela regra da mão direita do primeiro 
vetor para o segundo e seu módulo corresponde à área do paralelogramo formado pelos 
vetores u e v . 
 
 
u
v
nˆ 
θ
 
 Exemplo: 
Área: θsenvuvuw =×= 
 
 
tal que nˆ seja um vetor unitário normal ao plano definido pelos vetores u e v . Portanto: 
 
( ) nvuvuw ˆsen θ=×= 
 
onde u e v são os respectivos módulos dos vetores u e v e θ é o menor ângulo formado 
entre os dois vetores. 
 
Propriedades: 
 
i) ( )uvvu ×−=× (A comutativa NÃO É VÁLIDA para o produto vetorial); 
ii) ( ) ( ) ( )wuvuwvu ×+×=+× (Distributiva do produto vetorial em relação à soma); 
iii) 0=× uu (O produto vetorial entre dois vetores paralelos é nulo); 
1.2.6 – Produto Triplo: 
 
Algebricamente, basta efetuar cada uma das operações, lembrando que o resultado 
deste produto é um escalar
 
 
Exemplo: ( )321 ,, uuuu = ; ( )321 ,, vvvv = ; ( )321 ,, wwww = 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )122133113223321
122131132332321
 
,,,,
wvwvuwvwvuwvwvu
wvwvwvwvwvwvuuuwvu
−+−+−=
=−−−•=ו
 
 
Graficamente, o escalar obtido pelo produto triplo pode ser interpretado como o 
volume do paralelepípedo definido pelos três vetores u , v e w . 
 
 
 
 Exemplo: 
Volume: ( )wvu ו 
u 
u
v 
u
w 
u
 
 
Sendo assim, uma outra forma de calcular o produto triplo é através da solução do 
seguinte determinante: 
 
( ) ( ) ( ) ( )122133113223321
321
321
321
wvwvuwvwvuwvwvu
www
vvv
uuu
wvu −+−+−==ו
 
 
Propriedades: 
 
i) ( ) ( ) ( )vuwuwvwvu ו=ו=ו (Comutativa do produto triplo); 
ii) ( ) ( ) ( ) uwvvwuwvu •−•=×× (Identidade do produto vetorial triplo);