7 - Notacao Indicial

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7 – Notação Indicial: 
 
Constitui uma alternativa à notação simbólica tradicional capaz de representar 
expressões matemáticas de uma maneira mais concisa. Para tanto, em um sistema de 
coordenadas cartesianas 3-D, associam-se os índices 1, 2, 3 às direções x1, x2, x3. Esta notação 
– também conhecida como notação de Einstein – apresenta como limitação a aplicação a 
coordenadas curvilíneas 
 
7.1 – Regras de Utilização da Notação Indicial: 
 
i) Índices mudos (repetidos) podem ser trocados por quaisquer outros índices mudos não-
presentes no termo, sem alterar o significado do termo; 
 
Exemplos: 332211 babababababa kkjjii ++=== 
 
332211
332211
332211
 
 
bAbAbA
bAbAbA
bAbAbAbAbAbA mmikkijji
333
222
111
+++
++++
+++===
 
 
ii) Índices não-repetidos são denominados índices livres e devem sempre assumir os 
valores 1, 2 e 3. Numa expressão qualquer, todas as parcelas devem possuir o mesmo 
índice livre; 
 
Exemplo: ikkkikjji yDcBxA =+ 
 
iii) A ordem de um tensor é dada pelo número de índices livres presentes em cada termo; 
 
Exemplos: ϕ é um escalar; 
 ia é um tensor de primeira ordem; 
 jiB é um tensor de segunda ordem; 
 
iv) Mais de dois índices mudos em um mesmo termo caracterizam uma inconsistência, pois 
não se sabe qual dos índices indica soma. 
Contra-exemplo: 332211 cbacbacbacba iiiiii ++= ou 
 
 332211 cbacbacba iii ++= ou 
 
 iii cbacbacba 332211 ++= 
 
7.2 – Tensor Delta de Kronecker: 
 
O Tensor Delta de Kronecker é um tensor de segunda ordem definido da seguinte 
forma: 
 
 
 
 
 
=jiδ 
 0 se i ≠
 
 j
 
; 
 1 se i =
 
 j
 
. 
 
 
Observações: 
 
i) Note que pela convenção de soma: 3111332211 =++=++= δδδδ ii ; 
 
ii) O tensor Delta de Kronecker possui uma propriedade de grande importância na análise de 
expressões em notação indicial. Esta propriedade é exemplificada a seguir e é conhecida 
como Propriedade de Substituição. 
 
Exemplo: iiiijji aaaaa =++= 332211 δδδδ 
 
iii) O tensor Delta de Kronecker corresponde a uma matriz identidade 3 x 3. Portanto, além de 
ser uma matriz diagonal, pode ser considerado simétrico. Todo produto de um tensor 
simétrico por um anti-simétrico de mesma ordem é nulo. 
 
Exemplo: Supondo um tensor qualquer jiA anti-simétrico, tem-se que: 0=jiji Aδ , pois: 
 
( ) jijijijiijjiijijjiji AAAAA δδδδδ −=−=== 
 
mas jijijiji AA δδ −= é um contra-senso. Logo, isto só pode ser verdade se 0=jiji Aδ . 
 
7.3 – Tensor Permutação: 
 
O Tensor Permutação já foi definido anteriormente para n dimensões. Para um espaço 
Euclideano 3-D, este tensor é de terceira ordem e, portanto, definido da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
=∈ kji 
+1 (se os valores atribuídos a i, j, k constituem uma permutação par) 
–1 (se os valores atribuídos a i, j, k constituem uma permutação ímpar) 
 0 (se os valores atribuídos a i, j, k não constituem uma permutação, 
 ou seja, se há um índice mudo) 
 
 
Observação: 
 
Num espaço 3-D, os índices i, j, k podem assumir os valores 1, 2, 3. Como kji∈ é um 
tensor de terceira ordem, possui 33 = 27 componentes (ou possíveis arranjos para a seqüência 
de três números, envolvendo 1, 2, 3). De todas estas possibilidades, 
 
• 1
 
2
 
3, 2
 
3
 
1, 3
 
1
 
2 são permutações pares; 
• 1
 
3
 
2, 2
 
1
 
3, 3
 
2
 
1 são permutações ímpares; 
• Todos os outros arranjos possíveis não constituem permutações; 
 
7.4 – Operações com Vetores em Notação Indicial: 
 
i) Produto Escalar: 
 
iijijijijijjii vuvueevueveuvu ==•=•=• δˆˆˆˆ 
 
ii) Produto Vetorial: 
 
kkjijijijijjii evueevueveuvu ˆˆˆˆˆ ∈=×=×=× 
 
 
 
 
iii) Produto Triplo: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
kjikjiikjkjikjimimkjmikjimkj
mikjimkjmmkjkjiikkjjii
wvuwvuwvuwvu
eewvuewveueweveuwvu
=∈∈==∈=∈
=•=∈∈•=ו=ו
δδ 
ˆˆˆˆˆˆˆ
 
 
iv) Identidade δ−∈ : 
Considere o seguinte determinante de terceira ordem: [ ]
333231
232221
131211
Det
aaa
aaa
aaa
A = . 
 
De acordo com as propriedades de determinantes, sabe-se que, se houver a permutação 
de uma linha por outra, inverte-se o sinal do determinante. Portanto, para um número 
arbitrário de permutações de linhas, tem-se: 
 
[ ] [ ]( )A
aaa
aaa
aaa
A kji
kkk
jjj
iii
DetDet
321
321
321
∈== 
 
onde kji∈ é o tensor permutação. Considere, agora, um número arbitrário de permutações de 
colunas. Analogamente, 
 
[ ] [ ]( )A
aaa
aaa
aaa
A nml
nml
nml
nml
DetDet
333
222
111
∈== 
 
Sendo assim, para um número arbitrário de permutações de linhas e colunas, tem-se: 
 
[ ] [ ]( )A
aaa
aaa
aaa
A nmlkji
nkmklk
njmjlj
nimili
DetDet ∈∈== 
 
Se a matriz [ ]A for o tensor Delta de Kronecker, ou seja, jijiA δ= , tem-se que 
1DetDet == jijiA δ . Portanto, chega-se à seguinte expressão: 
 
( ) nmlkjijinmlkji
nkmklk
njmjlj
nimili
ji ∈∈=∈∈== δ
δδδ
δδδ
δδδ
δ DetDet 
 
Por fim, calculando o determinante, obtém-se o seguinte resultado: 
 
lkmjninkljmimknjli
mkljnilknjminkmjli
nkmklk
njmjlj
nimili
ji δδδδδδδδδ
δδδδδδδδδ
δδδ
δδδ
δδδ
δ
−−−
−++=
=Det 
 
Desta forma, chega-se à expressão final conhecida como identidade δ−∈ : 
 
lkmjninkljmimknjlimkljnilknjminkmjlinmlkji δδδδδδδδδδδδδδδδδδ −−−++=∈∈ 
 
Em aplicações práticas, como será visto posteriormente, é comum haver índices 
mudos no lado direito da equação. Sendo assim, escreve-se esta identidade de uma maneira 
simplificada, conforme a seguir. Note que, para se chegar a este resultado, basta considerar 
ml = na expressão geral acima e efetuar as simplificações necessárias. 
 
lkmjmkljmlimji δδδδ −=∈∈ 
 
7.5 – Transformação de Coordenadas em Notação Indicial: 
 
Considere um SR original A ( 321 ,, xxx ) cujos cursores unitários são ( 321 ˆ,ˆ,ˆ eee ) que 
sofre uma rotação no espaço, dando origem a um novo SR B ( ,3
,
2
,
1 ,, xxx ) cujos cursores 
unitários são ( ,3
,
2
,
1 ˆ,ˆ,ˆ eee ). Considere, também, um tensor de primeira ordem (vetor) u que 
possui sua descrição em cada um dos SR’s dada por: 
 
ii
A êuu =
 ⇒ Descrição do vetor u no SR A ( 321 ,, xxx ); 
,,
ii
B êuu =
 ⇒ Descrição do vetor u no SR B ( ,3
,
2
,
1 ,, xxx ). 
 
Como o tensor é invariante à transformação de coordenadas, tem-se que: 
 
,,
iiii êuêuu == 
 
Para obter a regra de transformação para este tensor de primeira ordem, adota-se o 
seguinte artifício: pós-multiplicando escalarmente ambos os lados por jê , tem-se: 
 
jiijii êêuêêu •=•
,,
 mas... jiji êê δ=• e jiji Têê =•
,
 
 
Lembrando que 1
,
== ii êê , pois são cursores unitários, então ),(cos
,,
jiji êêêê =• . 
Portanto: 
 
 
,
ijijii uTu =δ ⇒ 
,
ijij uTu = (Regra de transformação para um tensor de 1a ordem) 
 
Procedimento análogo pode ser utilizado para obter a matriz responsável pela 
transformação inversa, bastando apenas pós-multiplicar escalarmente ambos os lados por 
,
jê . 
Conforme já ressaltado, a matriz [ ]Tjiij TT = , pois a matriz jiT é ortogonal. Portanto: 
 
iijj uTu =
,
 ou uTu AABB = 
 
Portanto: BAji TT = e 
AB
ij TT = . Observe que, para fazer uma analogia com a 
notação simbólica, o índice ”“ i corresponde às direções do SR A ( 321 ,, xxx ) e o índice”“ j 
corresponde às direções do SR B ( ,3
,
2
,
1 ,, xxx ). 
 
 
 
Considerando, agora, um tensor de segunda ordem (diádico) M , onde: 
 
jiji
A
nmMM ==
 
⇒
 Descrição do diádico M no SR A ( 321 ,, xxx ); 
,,,
lklk
B
nmMM == ⇒ Descrição do diádico M no SR B ( ,3
,
2
,
1 ,, xxx ). 
 
Mas, conforme visto anteriormente, tem-se que: 
,
kiki mTm = e 
,
ljlj nTn = . Portanto: 
 
( )( ) ,,,,, lkjliklkjlikljlkikji MTTnmTTnTmTM === 
,
lkM 
 
 
Portanto, a regra de transformação para um tensor de 2a ordem é: 
 
,
lkjlikji MTTM = 
 
 
Observações: 
 
i) Note que o tensor jiM é assumido como sendo obtido a partir da combinação 
(multiplicação) de dois vetores ( im e jn ). Em um caso geral, estes vetores podem ter 
regras de transformação diferentes ( ikT e jlT ). Caso possuam a mesma matriz de 
transformação, recai-se no seguinte caso particular: 
 
,
iijijijj MTTM = ou MTTM
BBABAA
= , lembrando que BAji TT = 
 
ii) Estendendo este conceito para tensores de ordem superior, tem-se, para um tensor de 
ordem qualquer, a seguinte regra de transformação: 
 
,
......
...... qpnmlqkpjnimlkji MTTTTM =