6 - Sistemas de Coordenadas

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6 – Sistemas de Coordenadas: 
 
Conforme ressaltado anteriormente, tensores de primeira ordem (ou de ordens 
superiores) requerem um sistema de referência para serem representados. Desta forma, é 
necessário estabelecer o tipo de coordenadas do sistema adotado (por exemplo: coordenadas 
cartesianas, cilíndricas, esféricas, elípticas, etc...). A seguir, são discutidas as diversas 
considerações inerentes aos principais tipos de sistema de coordenadas. 
 
6.1 – Transformação de Sistemas de Coordenadas: 
 
Lembrando que um tensor pode ser expresso em termos dos cursores unitários do 
Sistema de Referência (SR) em que está descrito, deve-se relacionar os cursores unitários do 
novo SR em questão com aqueles do SR original. Inicialmente, considera-se a transformação 
de um SR original em coordenadas cartesianas ( 321 ,, xxx ) para um novo SR também descrito 
em coordenadas cartesianas ( ,3
,
2
,
1 ,, xxx ). 
 
6.1.1 – Translação do novo SR: 
 
Considere um SR A de coordenadas cartesianas ( 321 ,, xxx ) que sofre uma translação 
no plano x1 x2 dando origem a um novo SR B também de coordenadas cartesianas ( ,3
,
2
,
1 ,, xxx ), 
conforme a Figura 6.1. Escrevem-se os cursores unitários ( 321 ˆ,ˆ,ˆ eee ) do SR original A em 
função dos cursores unitários ( ,3
,
2
,
1 ˆ,ˆ,ˆ eee ) do novo SR B. 
 
 
,
3
,
2
,
11
,
3
,
2
,
12
,
3
,
2
,
11
ˆ1ˆ0ˆ0ˆ
ˆ0ˆ1ˆ0ˆ
ˆ0ˆ0ˆ1ˆ
eeee
eeee
eeee
++=
++=
++=
x1 
x2 
ê1 
ê2 
ê2 ’ 
ê1 ’ 
x1 
, 
x2 
, 
 
Figura 6.1 – Translação de um SR no plano x1 x2. 
 
Escrevendo estas relações na forma matricial tem-se: 
 
 
,
33
,
22
,
11
ˆ
 1 0 0 ˆ
ˆ
 0 1 0 ˆ
ˆ
 0 0 1 ˆ
ee
ee
ee
=
 
 
Tal que a matriz acima converte coordenadas descritas no novo SR B em coordenadas 
descritas no SR original A. Esta matriz é conhecida como matriz de transformação. Note que, 
para o caso de translação, os cursores unitários ( ,3
,
2
,
1 ˆ,ˆ,ˆ eee ) do novo SR B não mudam de 
direção em relação aos cursores unitários ( 321 ˆ,ˆ,ˆ eee ) do SR original A. Portanto, a matriz de 
transformação será a própria matriz identidade [ ]I para translação em qualquer direção. 
 
[ ]IT BA =










=
100
010
001
 
 
6.1.2 – Rotação do novo SR: 
 
Para o caso mais geral, o novo sistema pode sofrer uma rotação no espaço em torno 
das três direções. Para tratar uma rotação desse tipo, decompõe-se esta rotação em três 
rotações sequenciais (uma em torno de cada direção). Em seguida, basta fazer a composição 
das três rotações. Para tanto, considere um SR original A que sofre rotação em torno das três 
direções e dá origem a um novo SR D. Note que, em um espaço tri-dimensional, é importante 
respeitar a ordem das rotações. Portanto, para esta análise, assumem-se as seguintes rotações 
sequenciais: 
 
 
 
 
 
A 
( 321 ,, xxx ) 
SR original 
B 
( ,3
,
2
,
1 ,, xxx ) 
SR intermediário 
αααα (1) D 
( ,,,3
,,,
2
,,,
1 ,, xxx ) 
SR resultante 
ββββ (2) θθθθ (3) C 
( ,,3
,,
2
,,
1 ,, xxx ) 
SR intermediário 
 
 
 
onde o SR original A ( 321 ,, xxx ) sofre uma rotação de um ângulo α em torno da direção x1, 
dando origem a um SR intermediário B ( ,3
,
2
,
1 ,, xxx ), que, por sua vez, sofre uma rotação de 
um ângulo β em torno da direção x2, dando origem a outro SR intermediário C ( ,,3,,2,,1 ,, xxx ). 
Por fim, este SR C ( ,,3
,,
2
,,
1 ,, xxx ) sofre uma última rotação de um ângulo θ em torno da 
direção x3 para, finalmente, dar origem ao novo SR resultante D ( ,,,3
,,,
2
,,,
1 ,, xxx ). A seguir, cada 
uma dessas rotações é avaliada. 
 
� Rotação em torno da direção x1 : 
 
Considere um SR A de coordenadas ( 321 ,, xxx ) que sofre uma rotação de um ângulo 
genérico α qualquer em torno do eixo x1 no sentido positivo (de acordo com a Regra da Mão 
Direita), dando origem ao SR intermediário B de coordenadas ( ,3
,
2
,
1 ,, xxx ), conforme a 
Figura 6.2. Projetam-se os cursores unitários ( 321 ˆ,ˆ,ˆ eee ) do SR original A sobre o SR 
intermediário B, escrevendo-os em termos de seus cursores unitários ( ,3
,
2
,
1 ˆ,ˆ,ˆ eee ). 
 
 
,
3
,
2
,
13
,
3
,
2
,
12
,
3
,
2
,
11
ˆcosˆsenˆ0ˆ
ˆsenˆcosˆ0ˆ
ˆ0ˆ0ˆ1ˆ
eeee
eeee
eeee
αα
αα
++=
−+=
++=
x2 
x3 
α 
α 
ê3 ’ 
ê2 
ê2 ’ ê3 
x3 
, 
x2 
, 
 
Figura 6.2 – Rotação de um SR em torno da direção x1 . 
 
Escrevendo estas relações na forma matricial tem-se: 
 
 
,
33
,
22
,
11
ˆ
 cos sen 0 ˆ
ˆ
 sen cos 0 ˆ
ˆ
 0 0 1 ˆ
ee
ee
ee
αα
αα −= 
 
 
 
Tal que a matriz anterior converte coordenadas descritas no SR intermediário 
B ( ,3
,
2
,
1 ,, xxx ) em coordenadas descritas no SR original A ( 321 ,, xxx ). 
 










−=
αα
αα
cossen0
sencos0
001
BAT
 
 
Observações: 
 
i) Esta matriz é também conhecida como matriz dos cossenos diretores, ou seja, aquela 
cujos elementos correspondem ao cosseno do menor ângulo que cada direção do 
SR original A ( 321 ,, xxx ) faz com cada direção do novo SR B (
,
3
,
2
,
1 ,, xxx ). Portanto, 
obtém-se a seguinte matriz de cossenos diretores para esta transformação de sistema de 
coordenadas: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 








−=










−
+=
αα
αα
αα
αα
cossen0
sencos0
001
cos90cos90cos
90coscos90cos
90cos90cos0cos
oo
oo
ooo
BA
T 
 
Note que a matriz dos cossenos diretores é igual à matriz de transformação obtida 
anteriormente. 
 
ii) No caso analisado acima, considerou-se apenas uma rotação em torno da direção x1. Num 
caso geral, é possível efetuar uma rotação simultânea em torno das três direções, desde 
que se conheçam todos os ângulos sólidos que cada um dos eixos originais faz com cada 
um dos novos eixos. 
 
� Rotação em torno da direção x2 : 
 
Considere, agora, a rotação no sentido positivo do SR intermediário B de coordenadas 
( ,3
,
2
,
1 ,, xxx ) de um ângulo genérico β qualquer em torno do eixo x2, dando origem a um novo 
SR C de coordenadas ( ,,3
,,
2
,,
1 ,, xxx ), conforme a Figura 6.3. Projetam-se os cursores unitários 
( ,3
,
2
,
1 ˆ,ˆ,ˆ eee ) do SR original A sobre o SR intermediário B, escrevendo-os em termos de seus 
cursores unitários ( ,,3
,,
2
,,
1 ˆ,ˆ,ˆ eee ). 
 
,,
3
,,
2
,,
1
,
3
,,
3
,,
2
,,
1
,
2
,,
3
,,
2
,,
1
,
1
ˆcosˆ0ˆsenˆ
ˆ0ˆ1ˆ0ˆ
ˆsenˆ0ˆcosˆ
eeee
eeee
eeee
ββ
ββ
++−=
++=
++=
 
β 
β 
ê3 ’ 
ê1 ’ 
x3 ’ 
x1 ’ 
ê3 ’ ’ 
ê1 ’ ’ 
x3 ’ ’ x1 ’ ’ 
 
Figura 6.3 – Rotação de um SR em torno da direção x2 . 
 
Escrevendo as relações na forma matricial tem-se: 
 
 
,,
3
,
3
,,
2
,
2
,,
1
,
1
ˆ
 cos 0 sen ˆ
ˆ
 0 1 0 ˆ
ˆ
 sen 0 cos ˆ
ee
ee
ee
ββ
ββ
−
=
 
 
 
A matriz de transformação para a direção y fornece: 
 










−
=
ββ
ββ
cos0sen
010
sen0cos
CB T
 
 
� Rotação em torno da direção x3 : 
 
Por fim, considere a rotação no sentido positivo do SR intermediário C de coordenadas 
( ,,3
,,
2
,,
1 ,, xxx ) deum ângulo genérico θ qualquer em torno do eixo x3, dando origem a um 
novo SR D de coordenadas ( ,,,3
,,,
2
,,,
1 ,, xxx ), conforme a Figura 6.3. Projetam-se os cursores 
unitários ( ,,3
,,
2
,,
1 ˆ,ˆ,ˆ eee ) do SR original A sobre o SR intermediário B, escrevendo-os em termos 
de seus cursores unitários ( ,,,3
,,,
2
,,,
1 ˆ,ˆ,ˆ eee ). 
 
 
 
 
 
,,,
3
,,,
2
,,,
1
,,
3
,,,
3
,,,
2
,,,
1
,,
2
,,,
3
,,,
2
,,,
1
,,
1
ˆ1ˆ0ˆ0ˆ
ˆ0ˆcosˆsenˆ
ˆ0ˆsenˆcosˆ
eeee
eeee
eeee
++=
++=
+−=
θθ
θθ
θ 
θ 
x2 ’ ’ 
x1 ’ ’ 
x1 ’ ’ ’ x2 ’ ’ ’ 
ê2 ’ ’ ê1 ’ ’ ’ 
ê1 ’ ’ 
ê2 ’ ’ ’ 
 
Figura 6.4 – Rotação de um SR em torno da direção x3 . 
 
Escrevendo as relações na forma matricial tem-se: 
 
 
,,,
3
,,
3
,,,
2
,,
2
,,,
1
,,
1
ˆ
 1 0 0 ˆ
ˆ
 0 cos sen ˆ
ˆ
 0 sen cos ˆ
ee
ee
ee
θθ
θθ
=
−
 
 
A matriz de transformação para a direção z fornece: 
 









 −
=
100
0cossen
0sencos
θθ
θθ
DC T
 
 
 
Observações: 
 
i) Para um caso geral de transformação de coordenadas cartesianas em coordenadas também 
cartesianas envolvendo rotação, as matrizes de transformação BAT , CB T e DC T aqui 
apresentadas podem ser combinadas para transformar tensores de qualquer SR em 
qualquer outro SR. 
No caso específico analisado, onde se deseja relacionar o SR original A ( 321 ,, xxx ) e o 
SR resultante D ( ,,,3
,,,
2
,,,
1 ,, xxx ), tem-se a seguinte combinação: 
 










++−
−+−+
−
=
=









 −










−









−==
βαθαθβαθαθβα
βαθαθβαθαθβα
βθβθβ
θθ
θθ
ββ
ββ
αα
αα
coscoscossensensencossensencossencos
cossencoscossensensensencoscossensen
sensencoscoscos
100
0cossen
0sencos
cos0sen
010
sen0cos
cossen0
sencos0
001
DCCBBADA TTTT
 
ii) Note que a matriz resultante DAT converte tensores de qualquer ordem descritos no SR 
resultante D ( ,,,3
,,,
2
,,,
1 ,, xxx ) diretamente em tensores de mesma ordem descritos no SR 
original A ( 321 ,, xxx ). Os tensores, obedecem às seguintes regras de transformação: 
 
Exemplos: Considere a transformação analisada anteriormente, onde um SR original A de 
coordenadas ( 321 ,, xxx ) sofre uma rotação no espaço, dando origem a um novo 
SR resultante D de coordenadas ( ,,,3
,,,
2
,,,
1 ,, xxx ). 
 
• uTu DDAA = Regra de transformação de um vetor u qualquer 
(tensor de primeira ordem) descrito no novo SR D ( ,,,3
,,,
2
,,,
1 ,, xxx ) para o 
SR original A ( 321 ,, xxx ). 
 
• MTTM DDADAA = Regra de transformação de um diádico M qualquer 
(tensor de segunda ordem) descrito no novo SR D ( ,,,3
,,,
2
,,,
1 ,, xxx ) para o 
SR original A ( 321 ,, xxx ). 
 
iii) Para efetuar a transformação inversa, é necessário identificar a matriz ADT . Para tanto, 
considere a transformação de um tensor de primeira ordem (um vetor qualquer u , 
por exemplo): uTu DDAA = . 
Pré-multiplicando ambos os membros por [ ] 1−DAT , tem-se: 
 
[ ] [ ] uTTuT DDADAADA 11 −− = . 
 
Mas [ ] [ ]ITT DADA =−1 . Portanto: [ ] uTu ADAD 1−= . No entanto, as matrizes de 
transformação de coordenadas BAT , CB T e DC T são ortogonais, logo DAT também é 
ortogonal. Sendo assim: [ ] [ ] ADTDADA TTT ==−1 . Como conclusão, tem-se que a matriz 
responsável pela transformação inversa é a transposta da matriz original. 
 
iv) Qualquer rotação de um sistema de coordenadas ortogonal fornece uma matriz ortogonal. 
Além disso, esta matriz é ortonormal, pois: tanto os vetores linha, quanto os vetores 
coluna estão normalizados e quaisquer dois vetores linha ou coluna da matriz são 
ortogonais entre si (ou seja, o produto escalar entre eles é nulo). Observe que a matriz de 
transformação DAT obtida na Observação ( i ) também é ortogonal e está normalizada. 
 
 
6.1.3 – Representação em Coordenadas Cilíndricas: 
 
Existem certos problemas físicos cujo domínio é mais facilmente representado em 
outros tipos de coordenadas que não as cartesianas. As coordenadas cilíndricas, por exemplo, 
são mais adequadas a problemas onde as grandezas possuem variação radial e angular no 
plano com a terceira dimensão linear. Sendo assim, é necessário relacionar este novo sistema 
de coordenadas cilíndricas com o sistema original de coordenadas cartesianas. 
Considere um SR A de coordenadas cartesianas ( 321 ,, xxx ) e um novo SR B de 
coordenadas cilíndricas ( zr ,,θ ), conforme a Figura 6.5. Projetam-se os cursores unitários 
( 321 ˆ,ˆ,ˆ eee ) do SR original A sobre o SR B, escrevendo-os em termos de seus cursores 
unitários ( zr eee ˆ,ˆ,ˆ θ ). 
 
 
x2 
x3 ≡ z 
x1 
θ 
ê1 
ê2 
ê3 
êr 
êθ 
êz 
r 
zr
zr
zr
eeee
eeee
eeee
ˆ1ˆ0ˆ0ˆ
ˆ0ˆcosˆsenˆ
ˆ0ˆsenˆcosˆ
3
2
1
++=
++=
+−=
θ
θ
θ
θθ
θθ
 
Figura 6.5 – Coordenadas cilíndricas. 
 
Escrevendo as relações na forma matricial tem-se: 
 
 
z
r
ee
ee
ee
ˆ
 1 0 0 ˆ
ˆ
 0 cos sen ˆ
ˆ
 0 sen cos ˆ
3
2
1
θθθ
θθ
=
−
 
 
A matriz de transformação a seguir converte as coordenadas descritas no novo SR 
B ( zr ,, θ ) de coordenadas cilíndricas em coordenadas descritas no SR original A ( 321 ,, xxx ) 
de coordenadas cartesianas: 
 









 −
=
100
0cossen
0sencos
θθ
θθ
BAT
 
 
6.1.4 – Representação em Coordenadas Esféricas: 
 
Uma outra alternativa ao sistema de coordenadas cartesianas é o sistema de 
coordenadas esféricas. Este sistema é indicado para domínios onde as grandezas possuem, 
além de variação radial, variação angular em duas direções ortogonais. 
Considere um SR A de coordenadas cartesianas ( 321 ,, xxx ) e um novo SR B de 
coordenadas esféricas ( φθ ,,r ), conforme a Figura 6.6. Projetam-se os cursores unitários 
( 321 ˆ,ˆ,ˆ eee ) do SR original A sobre o SR B, escrevendo-os em termos de seus cursores 
unitários ( φθ eee r ˆ,ˆ,ˆ ). 
 
 
x2 
x3 
x1 
θ 
ê1 
ê2 
ê3 
êr 
êθ 
êφ 
φ 
r 
 
θφ
θφ
θφ
φφ
θθφθφ
θθφθφ
eeee
eeee
eeee
r
r
r
ˆ0ˆsenˆcosˆ
ˆcosˆsencosˆsensenˆ
ˆsenˆcoscosˆcossenˆ
3
2
1
+−=
++=
−+=
 
 
Escrevendo as relações na forma matricial tem-se: 
 
 
θ
φ
φφ
θθφθφ
θθφθφ
ee
ee
ee r
ˆ
 0 sen cos ˆ
ˆ
 cos sencos sensen ˆ
ˆ
 sen coscos cossen ˆ
3
2
1
−
=
−
 
 
A matriz de transformação a seguir converte as coordenadas descritas no novo SR 
B ( φθ ,,r ) de coordenadas esféricas em coordenadas descritas no SR original A ( 321 ,, xxx ) 
de coordenadas cartesianas: 
 










−
−
=
0sencos
cossencossensen
sencoscoscossen
φφ
θθφθφ
θθφθφ
BAT