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Universidade Federal Fluminense - PUVR
Física Experimental III
Experiência: Oscilações em Pêndulo Simples
1 Objetivos
1. Determinar o período de um pêndulo simples.
2. Determinar a aceleração de gravidade g.
3. Estudar a dependência do período com o comprimento da corda do
pêndulo.
4. Estudar a dependência do período com o ângulo de oscilação do pên-
dulo.
2 Material e equipamentos
Tripé com haste e suporte, uma esfera com linha, cronômetro multifun-
cional, sensor ótico régua/trena de aço.
3 Fundamentos teóricos
A equação de movimento para o pêndulo simples (ver Fig. 1) é dada por
d2θ
dt2
L = −g sen(θ), (1)
onde L é o comprimento da corda do pêndulo e θ é ângulo da corda com a
vertical.
Quando o ângulo é pequeno sen(θ) ≈ θ, o movimento do pêndulo simples é
descrito pela equação do oscilador harmônico
d2θ
dt2
∼= −g
L
θ. (2)
1
L
mg cos
mg
mg sen
θ
θ
θ
T
Figura 1: Diagrama de forças no pêndulo simples.
O movimento que obedece a esta equação é chamado de movimento har-
mônico simples. A solução da equação do oscilador harmônico é uma função
periódica do tipo
θ = A cos
(√
g
L
t+ φ
)
, (3)
onde A é a amplitude do movimento e φ é chamado ângulo de fase.
O período do pêndulo é dado por
T = 2pi
√
L
g
, (4)
e a frequência é o inverso do período f = 1/T .
Para ângulos de oscilação arbitrários, o perído de oscilação pode ser aprox-
imado pela seguinte expressão
T = 2pi
√
L
g
(
1 +
1
4
sen2
θ
2
+
9
64
sen4
θ
2
)
(5)
onde θ é dado em radianos.
4 Procedimento
Primeira parte:
1. Meça o comprimento da corda do pêndulo.
2
2. Ligue o cronômetro e familiarize-se com as suas funções.
3. Ajuste a posição do sensor ótico para que ele funcione corretamente.
4. Coloque o pêndulo na posição de soltura, respeitando o limite de ângulo
pequeno.
5. Solte a esfera e meça o período do pêndulo com cronômetro.
6. Repita a medida do período 6 vezes.
7. Repita a medida as medidas para 5 comprimentos do pêndulo (aproxi-
madamente 10, 15, 20, 25 e 30 cm).
Segunda parte:
1. Fixe o comprimento da corda do pêndulo entre 30 e 35 cm.
2. Ajuste a posição do sensor ótico para que ele funcione corretamente.
3. Coloque o pêndulo na posição de soltura para um dos ângulos indicado
abaixo usando de trigonometria para calcular a posição de soltura.
4. Solte a esfera e meça o período do pêndulo com cronômetro.
5. Repita a medida do período 6 vezes.
6. Repita as medidas para 3 ângulos diferentes (40o, 50o e 60o).
5 Análise dos dados
1. Calcule, usando a Eq. (4), a aceleração da gravidade para cada valor do
comprimento da corda utilizado L, com a incerteza calculada usando a
teoria de propagação de erro. Para isto calcule primeiramente a média
do período do pêndulo com seu respectivo erro para cada comprimento
L utilizado. Mostre os cálculos realizados e as fórmulas utilizadas.
2. Construa o grá�co L vs T 2 em papel milimetrado. Que tipo de de-
pendência é observada entre L e T 2 no grá�co? A dependência ob-
servada entre L e T 2 está de acordo com a teoria? Explique. Que
parâmetro físico é possível de ser determinado a partir deste grá�co?
Explique como isto é possível. Faça um ajuste de mínimos quadrados
para a melhor reta que passa pelos pontos experimentais. A partir do
ajuste de mínimos quadrados determine o valor de g com sua respectiva
incerteza.
3
3. Compare e discuta os valores de g calculados no item 1 e 2. Compare
também estes resultados com o valor teórico para g.
4. Compare os valores médios dos períodos medidos para grandes ângulos
com a previsão dada pela Eq. (5).
6 Elaboração do relatório
De posse dos dados obtidos, dos cálculos, das tabelas, dos grá�cos e das
respostas da Seção 5, elabore um relatório contendo pelo menos os itens:
1. Título.
2. Introdução: Importância da experiência e caracterização do problema.
3. Objetivos: O que se pretende realizar? O que se tenciona provar?
4. Fundamentação teórica.
5. Material e equipamentos utilizados.
6. Montagem da experiência: Descrever a montagem da experiência assim
como também os cuidados tomados na mesma.
7. Resultados: Apresentação de tabelas, grá�cos e leituras de instrumen-
tos de medida.
8. Discussão dos resultados: Os resultados do relatório necessariamente
precisam de uma análise de erro cuidadosa. Os resultados estão em
acordo com a teoria? Sim? Não? Justi�que. Que di�culdades foram
encontradas durante a experiência?
9. Conclusão: O que aprederam? O que conseguiram (ou não conseguiram)
provar? Como poderia ser melhorada a experiência? Como poderia ser
melhorada a coleta de dados? Etc.
10. Bibliogra�a.
4
Formulário:
σ =
√∑N
i=1(Ti−T¯ )2
N−1 σm =
σ√
N
f(x, y, . . .)⇒ ∆f =
√
|∂f
∂x
|2∆x2 + |∂f
∂y
|2∆y2 + . . .
Mínimos quadrados (erros diferentes):
Y = aX + b;
a =
(
∑
iwi)(
∑
wiyixi)− (
∑
iwiyi)(
∑
iwixi)
∆
;
b =
(
∑
iwiyi)(
∑
iwix
2
i )− (
∑
iwiyixi)(
∑
iwixi)
∆
;
σ2a =
(
∑
iwi)
∆
; σ2b =
(
∑
iwix
2
i )
∆
;
∆ = (
∑
i
wi)(
∑
i
wix
2
i )− (
∑
i
wixi)
2; wi =
1
σ2i
.
Mínimos quadrados (erros iguais):
Y = aX + b;
a =
N(
∑
i yixi)− (
∑
i yi)(
∑
i xi)
∆
;
b =
(
∑
i yi)(
∑
i x
2
i )− (
∑
i yixi)(
∑
i xi)
∆
;
σ2a =
N
∆
σ2; σ2b =
(
∑
i x
2
i )
∆
σ2;
∆ = N(
∑
i
x2i )− (
∑
i
xi)
2;
σ2 =
∑
i(∆Yi)
2
N − 2 onde ∆Yi = yi − (axi + b).
5