integrais-II

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

A INTEGRAL DEFINIDA
Área
Desde os tempos mais antigos os matemáticos se preocupam com o problema de determinar a área de uma figura plana. O procedimento mais usado foi o método da exaustão, que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são conhecidas.
A soma da área dos n retângulos pode ser representada por 
Integral Definida
A integral definida está associada ao limite da definição anterior. Nasceu com a formalização matemática dos problemas de áreas.
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
	O teorema fundamental do cálculo além de ser útil no cálculo das integrais definidas, ele evidencia a relação entre o estudo das derivadas e das integrais definidas.
Exemplo 1: Calcular 
Exemplo 2: Calcular 
Exemplo 3: Calcular 
Exemplo 4: Calcular 
Exemplo 5: Calcular 
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA
Veremos neste momento algumas propriedades fundamentais da integral definida.
Integrais definidas – Método da Substituição
O método de substituição de variáveis trabalhado anteriormente para as integrais indefinidas, pode ser estendido as integrais definidas.
Exemplo 1: Calcular 
Exemplo 2: Calcular 
Exercícios: Calcule a integral:
1- 
		2- 
		3- 
4- 
		5- 
		6- 
APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA
Abordaremos que grande parcela de situações pode ser calculada com integrais: o volume de sólidos, o comprimento das curvas, a quantidade de trabalho necessária para bombear líquidos do subsolo, as forças exercidas contra comportas, as coordenadas de pontos onde objetos sólidos terão equilíbrio (centro de massa), áreas. Definiremos todos esses cálculos através de limites das somas de Riemann de funções contínuas em intervalos fechados.
ÁREA
Exemplo 1: Achar a área da região delimitada pelos gráficos das equações 
 e 
.
Exemplo 2: Achar a área da região 
 delimitada pelos gráficos das equações 
 , 
 e 
.
Exemplo 3: Achar a área da região delimitada pelos gráficos das equações 
 e 
.
Cálculo de Áreas: Problemas
Exemplo 1: Calcule a área do conjunto do plano limitado pelas retas x=0, x=1, y=0 e pelo gráfico de f(x) = 
.
Exemplo 2: Calcule a área da região limitada pelo gráfico de
, pelo eixo x e pelas retas x=-1 e x=1.
 
Exemplo 3: Calcule a área da região limitada pelas retas x= 0, x= 1, y= 2 e pelo gráfico de y=
.
Exemplo 4: Calcule a área do conjunto de todos os pontos (x,y) tais que 
.
Exemplo 5: Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de y=x e y= 
com 
.
Exemplo 6: Achar a área da região 
 delimitada pelos gráficos das equações 
 e 
.
SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região plana em torno de uma reta, a reta é chamada de eixo de revolução.
�
Exemplo 1: Seja a região formada por 
 e 
. A função gira em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine o seu volume.
�
Exemplo 2: Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, da região compreendida entre o eixo y e a curva 
 com 
.
�
Volumes por Anéis Cilindricos
�
Exemplo1: Ache o volume do sólido gerado quando a região entre os gráficos das equações 
 e g(x)=x sobre o intervalo [0,2] é girada em torno do eixo x.
Exemplo2: Ache o volume do sólido gerado quando a região limitada por 
,
 e 
e g(x)=x é girada em torno do eixo y.
b
a
y = g(x)
y = f(x)
Calculando a área para uma região � EMBED Equation.3 ���
Teorema: Se � EMBED Equation.3 ��� e � EMBED Equation.3 ��� são contínuas e � EMBED Equation.3 ��� para todo � EMBED Equation.3 ��� em � EMBED Equation.3 ���, então a área � EMBED Equation.3 ��� da região delimitada pelos gráficos de � EMBED Equation.3 ���, � EMBED Equation.3 ���, � EMBED Equation.3 ��� e � EMBED Equation.3 ��� é
� EMBED Equation.3 ���
Região � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
b
a
Se � EMBED Equation.3 ��� é um número real, então � EMBED Equation.3 ���
y
Teorema Fundamental do Cálculo
Suponhamos � EMBED Equation.3 ��� contínua em um intervalo fechado [a, b].
Se a função � EMBED Equation.3 ��� é definida por � EMBED Equation.3 ��� para todo � EMBED Equation.3 ��� em [a, b], então � EMBED Equation.3 ��� é uma antiderivada de � EMBED Equation.3 ��� em [a, b]
Se � EMBED Equation.3 ��� é qualquer antiderivada de � EMBED Equation.3 ��� em [a, b], então � EMBED Equation.3 ���
Se � EMBED Equation.3 ��� e � EMBED Equation.3 ��� são integráveis em [a, b] e � EMBED Equation.3 ��� para todo � EMBED Equation.3 ��� em [a, b], então � EMBED Equation.3 ���
Se � EMBED Equation.3 ��� é integrável em [a, b] e � EMBED Equation.3 ��� para todo � EMBED Equation.3 ��� em [a, b] então � EMBED Equation.3 ���
x
Se � EMBED Equation.3 ��� e � EMBED Equation.3 ��� são integráveis em [a, b], então � EMBED Equation.3 ��� e � EMBED Equation.3 ��� são integráveis em [a, b] então � EMBED Equation.3 ���
Se � EMBED Equation.3 ��� é integrável em [a, b] e � EMBED Equation.3 ��� é um número real arbitrário, então � EMBED Equation.3 ��� é integrável em [a, b] então 
� EMBED Equation.3 ���
Seja � EMBED Equation.3 ��� uma função definida no intervalo [a, b] e seja P uma partição qualquer de [a, b]. A integral definida com � EMBED Equation.3 ��� de � EMBED Equation.3 ���até � EMBED Equation.3 ���, denotado por � EMBED Equation.3 ��� desde que o limite exista.
Seja � EMBED Equation.3 ��� uma função contínua, não negativa em [a, b]. A área sob a curva � EMBED Equation.3 ���, de � EMBED Equation.3 ��� até � EMBED Equation.3 ���, é definida por � EMBED Equation.3 ���
y
x
� EMBED Equation.3 ���
y
x
Definição: Seja f contínua em [a,b], e seja R a região delimitada pelo gráfico de f pelo eixo-x e pelas retas verticais � EMBED Equation.3 ��� e � EMBED Equation.3 ���. O volume V do sólido de revolução gerado pela revolução de R em torno do eixo-x é
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Região � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
d
c
y
x
_1217766551.unknown
_1409385608.unknown
_1409481074.unknown
_1409482504.unknown
_1409484100.unknown
_1409484318.unknown
_1409484332.unknown
_1409484276.unknown
_1409482962.unknown
_1409481115.unknown
_1409481816.unknown
_1409480342.unknown
_1409480368.unknown
_1409385653.unknown
_1409472467.unknown
_1409383695.unknown
_1409384965.unknown
_1409385475.unknown
_1409384780.unknown
_1409043335.unknown
_1409043395.unknown
_1217766930.unknown
_1217767029.unknown
_1217767050.unknown
_1217766956.unknown
_1217766568.unknown
_1217766720.unknown
_1216033658.unknown
_1217764810.unknown
_1217766117.unknown
_1217766433.unknown
_1217766132.unknown
_1217766416.unknown
_1217764850.unknown
_1217765452.unknown
_1217765895.unknown
_1217765854.unknown
_1217764948.unknown
_1217764865.unknown
_1217764875.unknown
_1217764859.unknown
_1217764830.unknown
_1217764767.unknown
_1217764782.unknown
_1217764802.unknown
_1217764771.unknown
_1216033926.unknown
_1217764666.unknown
_1217764695.unknown
_1216033989.unknown
_1216033872.unknown
_1216032305.unknown
_1216033226.unknown
_1216033579.unknown
_1216033611.unknown
_1216033457.unknown
_1216032365.unknown
_1216032411.unknown
_1216032492.unknown
_1216032491.unknown
_1216032382.unknown
_1216032344.unknown
_1216028795.unknown
_1216030177.unknown
_1216032260.unknown
_1216032295.unknown
_1216030207.unknown
_1216030281.unknown
_1216030182.unknown
_1216030123.unknown
_1216030125.unknown
_1216030126.unknown
_1216030124.unknown
_1216029212.unknown
_1216029241.unknown
_1216029249.unknown
_1216029374.unknown
_1216029218.unknown
_1216028964.unknown
_1216029029.unknown
_1216029145.unknown
_1216028997.unknown
_1216028796.unknown
_1215528171.unknown
_1215528487.unknown
_1215528665.unknown
_1215528303.unknown
_1215528326.unknown
_1215528178.unknown
_1215528110.unknown
_1215528163.unknown
_1215527311.unknown
_1215527410.unknown
_1215527419.unknown
_1215526957.unknown
_1215526480.unknown