A.L.G.A

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(u1,u2)
(v1,v2)
(u1+v1, u2+v2)
(u1,u2)
(ku1,ku2)
ku
u
Produto interno(escalar)
u = (u1, u2); v = (v1,v2)
u . v = u1v1 + u2 v2
Produto escalar e módulo
u = (u1, u2); v = (v1,v2)
u . v = u1v1 + u2 v2
Produto interno(escalar) em n
u = (u1, u2, u3, u4 . . . , un); 
v = (v1, v2, v3, v4 . . . , vn); 
u . v = u1v1 + u2 v2 + u3v3 + u4 v4 + . . .+ un vn
Propriedades do produto escalar
u . v = v . u
u . (v + w) = u . v + u . w
 ( u . v ) = ( u) . v = u . ( v)
u . u  0 
u . u = 0  u = 0
EXEMPLOS
u = (1, 6, 0, -1, 0, 2)
v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2)
u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) =
	 = -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6
 
EXEMPLOS
u = (1, 6, 0, -1, 0, 2)
v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2)
u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) =
	 = -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6
 
EXEMPLOS
u = (1, 6, 0, -1, 0, 2)
v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2)
u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) =
	 = -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6
 
Propriedades do módulo
Desigualdade triangular
Desigualdade 
Cauchy-Schwartz
v
u
v
u
|u|
|v|
|u+v|
Desigualdade triangular
Ortogonalidade:
Definição: Dois vetores são ortogonais se o seu produto interno(escalar) for nulo
Ortogonalidade:
Definição: Dois vetores são ortogonais se o seu produto interno (escalar) for nulo
Exemplo:
u = (1, 2, 3, 4) ; v = (-4, -3, 2, 1)
u . v = -4 -6 + 6 + 4 = 0
u
v
u
v
tu
u
v
tu
tu é a projeção do vetor v sobre u
u
v
tu
w
u
v = tu + w
tu
w
u
v = tu + w
tu
w
v . u = (tu + w) . u= (t u) . u + w . u = t u.u
u
v = tu + w
tu
w
v . u = (tu + w) . u = t u . u + w . u = t u.u
u
v = tu + w
tu
w

u
v = tu + w
tu
w

u
v = tu + w
tu
w

Definição de projeção de um vetor sobre outro:
Sejam u e v vetores de n
A projeção de v sobre u é o vetor t u sendo 
Definição de ângulo de dois vetores:
Sejam u e v vetores não nulos de n
O ângulo entre os vetores u e v é  tal que 
Exemplo:
Exemplo:
Exemplo:
Regra prática:produto vetorial
Regra prática:
Produto vetorial
Produto vetorial:
Produto vetorial
Propriedades do produto vetorial(externo):
u  v = - (v  u)
u  (v + w) = u  v + u  w
 (u  v) = ( u)  v 
u . (u  v) = 0
v . (u  v) = 0
|u  v|2 = |u|2 |v|2 – (u . v)2
u  v = 0  u e v são paralelos
Propriedades do produto vetorial:
O produto vetorial não é associativo!
Exemplo:
Propriedades do produto vetorial:
O produto vetorial não é associativo!
Exemplo:
Propriedades do produto vetorial:
|u  v|2 = |u|2 |v|2 – (u . v)2
u . v = |u| |v|cos
(u . v)2 = |u|2 |v|2 cos2
|u  v|2 = |u|2 |v|2 – |u|2 |v|2 cos2
|u  v|2 = |u|2 |v|2 (1 – cos2)
|u  v|2 = |u|2 |v|2 sen2
v
u

|u|sen
v
u

|u|sen
Área do paralelogramo:
:|u  v| = |u| |v|sen
Bases ortonormais
Um conjunto de vetores diz-se ortogonal se os vetores forem ortogonais dois a dois.
Um conjunto de vetores diz-se ortonormal se for ortogonal e todos os vetores tiverem norma unitária
Bases ortonormais
Um vetor que tiver norma igual a um diz-se unitário.
Dado um qualquer vetor não nulo u, é possível construir um vetor unitário a partir de u fazendo: