TeoremaDoValorMedio_e_Aplicacoes

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Cap´ıtulo 5
5.1
O teorema que vamos estudar agora e´ o resultado central do ca´lculo
diferencial. Ele possui um conteu´do geome´trico bastante sugestivo, que
merece ser analisado antes mesmo que o enunciemos. Para isso, consid-
eremos uma func¸a˜o f e dois pontos sobre seu gra´fico:
Figura 5.1
A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)).
O declive da secante AB e´ dado por
f(b)− f(a)
b− a .
A Fig. 5.1 sugere que entre A e B deve haver um ponto C = (c, f(c))
sobre o gra´fico, onde a reta tangente a` curva seja paralela a` secante AB.
Mas enta˜o os declives dessas duas retas sera˜o iguais. Como o declive da
tangente em C e´ f ′(c), teremos
f(b)− f(a)
b− a = f
′(c),
Figura 5.2
ou ainda
f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a). (5.1)
Este resultado e´ conhecido como Teorema do Valor Me´dio. Observe que
o valor c, entre a e b, satisfazendo (5.1) pode na˜o ser u´nico. A Fig. 5.2
ilustra uma situac¸a˜o em que ha´ dois pontos C e C ′ entre A e B, onde
as tangentes sa˜o paralelas a` secante AB. Portanto, neste caso ha´ duas
abscissas c e c′ tais que
f(b)− f(a) = f ′(c)(b − a) = f ′(c′)(b− a).
148
SEC¸ ˜AO 5.1: TEOREMA DO VALOR M ´EDIO – 149
Pode acontecer, tambe´m, que na˜o haja ponto algum nas condic¸o˜es citadas,
como vemos na Fig. 5.3. Isto mostra que, para a validade geral da
Eq. (5.1), e´ imprescind´ıvel que a func¸a˜o f seja deriva´vel no intervalo
aberto (a, b).
Estamos agora em condic¸o˜es de enunciar o referido Teorema do
Valor Me´dio:
Figura 5.3
Teorema do Valor Me´dio. Seja f uma func¸a˜o definida e cont´ınua
num intervalo fechado [a, b] e deriva´vel nos pontos internos. Enta˜o ex-
iste pelo menos um ponto c, compreendido entre a e b, tal que
f(b)− f(a) = f ′(c)(b − a) (5.2)
A demonstrac¸a˜o desse teorema depende de um lema, conhecido como
Teorema de Rolle, e sera´ feita no Apeˆndice (pp. 366-367).
Nos Exerc´ıcios 1 a 12, determine os valores c tais que
f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a
e fac¸a os gra´ficos em cada caso.
1. f(x) = x2, a = 1, b = 2. 2. f(x) = x2 + 3x, a = −1, b = 1.
O procedimento e´ simples. Encontre o
nu´mero correspondente ao quociente
f(b) − f(a)
b− a
.
Esse sera´ igual a c = f ′(x) para algum
x em (a, b). Fac¸a com que a expressa˜o
da derivada seja igual ao nu´mero encon-
trado no quociente e resolva a equac¸a˜o
em x. O que encontrara´ sera˜o aqueles
valores de c tais que
f ′(c) =
f(b) − f(a)
b− a
.
Use o GeoGebra para visualizar o aspecto
geome´trico do que encontrara´. Ha´ in-
struc¸o˜es na p. 193.
3. f(x) = x3, a = 0, b = 1. 4. f(x) = x3, a = −2, b = 2.
5. f(x) = x3 − x2, a = −2, b = 3. 6. f(x) = −x4 + x2, a = −1, b = 1.
7. f(x) = 1/x, a = 1, b = 5. 8. f(x) = −1/x2, a = −3, b = −1.
9. f(x) =
√
x, a = 1, b = 4. 10. f(x) =
√
x, b > a > 0.
11. f(x) =
1√
x
, b > a > 0. 12. f(x) =
x− 1
x+ 1
, b > a > 1.
13. Considere a func¸a˜o f(x) = 2− 3
√
x2. Mostre que na˜o existe c ∈ [−2, 2] tal
que f ′(c) = 0. Por que isto na˜o contradiz o Teorema do Valor Me´dio?
14. Considere a func¸a˜o f(x) = |x− 2|. Mostre que na˜o existe c ∈ [1, 4] tal que
f(4)− f(1) = f ′(c)(4− 1). Por que isso na˜o contradiz o Teorema do Valor
Me´dio?
150 – CAP´ITULO 5: TEOREMA DO VALOR M ´EDIO E APLICAC¸ ˜OES
15. Demonstre que no caso da func¸a˜o y = f(x) = Ax2 + Bx + C so´ existe
um nu´mero c que satisfaz o Teorema do Valor Me´dio, o qual e´ dado por
c = (a+b)/2. Fac¸a um gra´fico e interprete esse resultado geometricamente.
Lembre-se que a func¸a˜o dada representa uma para´bola com eixo vertical.
Para visualizac¸a˜o dos gra´ficos, consulte a p. 193.
1. Como f ′(c) = 3 e f ′(x) = 2x enta˜o c = 3/2.
2. Como f ′(c) = 3 e f ′(x) = 2x+ 3 enta˜o c = 0.
3. Como f ′(c) = 1 e f ′(x) = 3x2 enta˜o c =
√
3/3.
4. Como f ′(c) = 4 e f ′(x) = 3x2 enta˜o c = ±2√3/3.
.: OPCIONAL :.
Saber o significado do que encontra e´ im-
portante. Na p. 193 ha´ instruc¸o˜es para
que construa ilustrac¸o˜es que mostram
o significado geome´trico dos valores en-
contrados.
5. Como f ′(c) = 6 e f ′(x) = 3x2 − 2x enta˜o c = (1±√19)/3.
6. Como f ′(c) = 0 e f ′(x) = −4x3 + 2x enta˜o c = ±√2/2 ou c = 0.
7. Como f ′(c) = −1/5 e f ′(x) = −1/x2 enta˜o c = √5.
8. Como f ′(c) = −4/9 e f ′(x) = 2/x3 enta˜o c = − 3√9/ 3√2.
9. Como f ′(c) = 1/3 e f ′(x) = 1/2
√
x enta˜o c = 9/4.
10. Como f ′(c) = (
√
b−√a)/(b−a) e f ′(x) = 1/2√x enta˜o c = (b− a)
2
4(
√
b−√a)2 .
11. Como f ′(c) = −
√
b−√a√
a · b (b− a) e f
′(x) =
−1
2x3/2
enta˜o, podemos mostrar
que c =
(
b · √a+ a ·
√
b
) 2
3
2
2
3
.
12. Como f ′(c) =
2
a+ b+ ab+ 1
e f ′(x) =
2
(x+ 1)
2
enta˜o, podemos mostrar
que c =
√
a+ b+ ab+ 1− 1.
13. A equac¸a˜o f ′(c) = −1/3c1/3 = 0 na˜o possui soluc¸a˜o e assim na˜o existe
c ∈ [−2, 2] tal que f ′(c) = 0. Na˜o contradiz o Teorema do Valor Me´dio
porque f na˜o e´ deriva´vel em x = 0 ∈ [−2, 2].
14. Para x ∈ (1, 2), f ′(x) = −1; se x ∈ (2, 4), f ′(x) = 1; em x = 2, f na˜o e´
deriva´vel. Na˜o contradiz o Teorema do Valor Me´dio porque f na˜o e´ deriva´vel
em x = 2 ∈ [1, 4].
15. Como f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a =
bB − aB + b2A− a2A
b− a e f
′(x) = 2A ·x+B
enta˜o, resolvendo a equac¸a˜o 2A · x + B = bB − aB + b
2A− a2A
b− a , em
relac¸a˜o a x, obteremos x = a+b
2
que e´ o ponto me´dio entre x = a e x = b.
SEC¸ ˜AO 5.2: FUNC¸ ˜OES COM A MESMA DERIVADA – 151
5.2
Vamos iniciar esta sec¸a˜o com uma propriedade muito importante:
Se a derivada de uma func¸a˜o f e´ zero em todo um intervalo aberto
(a, b), enta˜o a func¸a˜o e´ constante nesse intervalo.
Para demonstra´-la utilizamos o Teorema do Valor Me´dio, aplicando a
Eq. (5.2) com a e b substitu´ıdos por dois pontos quaisquer, x e x′, do
intervalo (a, b): existe um c entre x e x′ tal que
f(x)− f(x′) = f ′(c)(x− x′) = 0 · (x− x′) = 0.
Como a derivada de f e´ zero em todo o intervalo, obtemos f(x) = f(x′).
Isto prova que f tem valor constante, conforme quer´ıamos demonstrar.
Essa propriedade tem um significado geome´trico simples e intuitivo,
fa´cil de entender: como f ′(x) ≡ 0 o declive da reta tangente ao gra´fico da
func¸a˜o f e´ sempre horizontal, o que sugere que esse gra´fico seja mesmo
uma reta horizontal, donde a func¸a˜o ser mesmo constante.
Finalmente, consideremos o caso de duas func¸o˜es, f(x) e g(x), que
tenham a mesma derivada: f ′(x) = g′(x). Enta˜o, a diferenc¸a h(x) =
f(x) − g(x) tem derivada zero, pois h′(x) = f ′(x) − g′(x) = 0; em
consequeˆncia, h(x) e´ constante, ou seja, f(x) e g(x) diferem por uma
constante C, vale dizer,
Figura 5.4
f(x)− g(x) = C, ou ainda, f(x) = g(x) + C.
� Aplicac¸o˜es a` Cinema´tica
Veremos agora, como esse u´ltimo resultado, que e´ uma consequeˆncia do
Teorema do Valor Me´dio, tem interessantes aplicac¸o˜es em Cinema´tica.
Consideremos primeiro uma part´ıcula em movimento uniforme. Isso
significa que sua velocidade v e´ constante, o que nos permite escrever
s(t)− s0
t
= v, donde s(t) = s0 + vt.
onde s(t) e´ a posic¸a˜o do mo´vel no instante t e s0 e´ o posic¸a˜o inicial, ou
seja, o valor de s(t) em t = 0.
A equac¸a˜o s(t) = s0+vt e´ chamada a equac¸a˜o hora´ria do movimento.
Seu gra´fico e´ uma reta com declive v, cortando o eixo dos s no ponto de
152 – CAP´ITULO 5: TEOREMA DO VALOR M ´EDIO E APLICAC¸ ˜OES
ordenada s0. A Fig. 5.4 ilustra uma situac¸a˜o em que s0 e v sa˜o nu´meros
positivos.
� Movimento uniformemente variado
Neste movimento a velocidade e´ varia´vel, mas sua taxa de variac¸a˜o ins-
tantaˆnea, conhecida como acelerac¸a˜o, e´ constante. Exemplo t´ıpico de
tal movimento e´ o que ocorre na queda de um corpo. Consideremos,
pois, um movimento com acelerac¸a˜o constante a. Teremos
v − v0
t
= a,
onde v = v(t) e´ a velocidade e v0 e´ a velocidade inicial, ou seja, a veloci-
dadeno instante t = 0. Resolvendo a equac¸a˜o anterior obtemos
Figura 5.5
v = v0 + at, (5.3)
que e´ a equac¸a˜o da velocidade. Seu gra´fico e´ uma reta, ilustrada na
Fig. 5.5 quando v0 e a sa˜o positivos.
� Equac¸a˜o hora´ria
Para obtermos a equac¸a˜o hora´ria do movimento, sejam s = s(t) o espac¸o
percorrido pelo mo´vel ate´ o instante t e s0 = s(0) a posic¸a˜o inicial, ou
espac¸o no instante t = 0. Observe que a derivada de s(t) e´ a velocidade
dada em (5.3). Ora, a func¸a˜o
t 7→ v0t+ at
2
2
tambe´m tem a mesma derivada v0+at. Enta˜o, pelo que vimos ha´ pouco,
as func¸o˜es s(t) e v0t+ at
2/2 diferem por uma constante C:
s(t)−
(
v0t+
at2
2
)
= C,
ou seja,
s(t) = C + v0t+
at2
2
.
Figura 5.6
O significado de C torna-se claro quando fazemos t = 0:
C = s(0) = s0.
Em consequeˆncia,
s = s0 + v0t+
at2
2
.
Esta e´ a equac¸a˜o hora´ria do movimento. Como s e´ um trinoˆmio do
2o¯ grau em t, seu gra´fico e´ uma para´bola, como ilustra a Fig. 5.6 na
SEC¸ ˜AO 5.2: FUNC¸ ˜OES COM A MESMA DERIVADA – 153
hipo´tese de serem s0, v0 e a todos positivos.
◮ Exemplo 1: Trajeto´ria de um corpo lanc¸ado (qualquer direc¸a˜o).
Vamos provar que se um corpo for lanc¸ado com certa velocidade ini-
cial diferente de zero numa direc¸a˜o qualquer, e abandonado a` ac¸a˜o da
gravidade, sua trajeto´ria sera´ uma para´bola.
Figura 5.7
Suponhamos que a direc¸a˜o inicial do movimento fac¸a um aˆngulo α
com a horizontal. Escolhendo os eixos coordenados como na Fig. 5.7, o
movimento efetivo e´ a resultante de dois movimentos, sobre esses eixos,
de equac¸o˜es hora´rias dadas por
x = (v0 cosα)t e y = (v0 senα)t− gt
2
2
,
respectivamente.
De fato, o movimento horizontal e´ uniforme com velocidade v0 cosα,
enquanto o movimento vertical e´ desacelerado com velocidade inicial
v0 senα e acelerac¸a˜o negativa −g. Da primeira equac¸a˜o tiramos
t = x/v0 cosα; substituindo este valor na segunda equac¸a˜o, obtemos:
y = (tg α)x− g
2v20 cos
2 α
x2 = − g
2v20 cos
2 α︸ ︷︷ ︸
a
x2 + (tgα)︸ ︷︷ ︸
b
x.
Observe que esta equac¸a˜o e´ do tipo y = ax2 + bx+ c, onde
a = − g
2v20 cos
2 α
, b = tgα, c = 0,
Figura 5.8
portanto, equac¸a˜o de uma para´bola que passa pela origem e tem a con-
cavidade voltada para baixo (Fig. 5.8).
◮ Exemplo 2: Lanc¸amento vertical para cima.
Um objeto e´ lanc¸ado do solo, verticalmente para cima, com velocidade
de 100 m/s. Desprezando a resisteˆncia do ar, vamos calcular sua altura
ma´xima e o tempo gasto para atingi-la.
Com o eixo orientado para cima (Fig. 5.9), a equac¸a˜o hora´ria do
movimento e´ dada por
s = 100t − gt
2
2
,
donde obtemos a equac¸a˜o da velocidade: v = s˙ = 100 − gt. A altura
ma´xima h ocorre quando v = 0, isto e´, quando t = 100/g s. Este e´
o tempo gasto para atingi-la. Substituindo esse valor na primeira das
equac¸o˜es, obtemos
Figura 5.9 h =
1002
g
− 100
2
2g
=
5000
g
.
154 – CAP´ITULO 5: TEOREMA DO VALOR M ´EDIO E APLICAC¸ ˜OES
Tomando g = 9, 8 m/s2, esses valores sera˜o: t ≈ 10, 204 s e h ≈ 510, 2 m.
◮ Exemplo 3: Movimento horizontal de uma part´ıcula.
Vamos estudar o movimento de uma part´ıcula ao longo de um eixo
horizontal, com equac¸a˜o hora´ria
s = t3 − 3t2 − 9t+ 1.
Como de costume, supomos que o eixo esteja orientado da esquerda
para a direita, como ilustra a Fig. 5.10a. Para analisar esse movimento,
calculamos sua velocidade:
v =
ds
dt
= 3t2 − 6t− 9.
Trata-se de um trinoˆmio de segundo grau, com ra´ızes t = −1 e t = 3;
portanto,
v = 3(t+ 1)(t− 3).
O gra´fico desta func¸a˜o esta´ ilustrado na Fig. 5.10b. Observando os
dois gra´ficos da Fig. 5.10 vemos que a velocidade decresce de +∞ em
t = −∞1 a v = 0 em t = −1; continua decrescendo (portanto, agora e´
negativa, o que significa que o mo´vel esta´ se deslocando para a esquerda,
como ilustra a Fig. 5.10a) ate´ t = 1, onde passa a crescer e se anula
novamente em t = 3, e a partir de enta˜o desloca-se sempre para a direita,
com velocidade crescente e tendendo a +∞.
Figura 5.10
A acelerac¸a˜o do movimento, que e´ dada por
a = v′(t) = 6t− 6 = 6(t− 1).
ajuda a entender o que se passa: ela e´ negativa para t < 1, se anula em
t = 1 e e´ positiva para t > 1; isso mostra que a velocidade, positiva e
1Isto e´ um modo informal de dizer que v(t)→ +∞ com t→ −∞
SEC¸ ˜AO 5.2: FUNC¸ ˜OES COM A MESMA DERIVADA – 155
infinita em t = −∞, decresce ate´ um valor mı´nimo em t = 1, e a partir
da´ı volta a crescer, tendendo a infinito com t→ +∞.
Nos problemas 1 a 10, considere a acelerac¸a˜o da gravidade como sendo
g = 9, 8 m/s2.
1. Um automo´vel percorre 40 km a uma velocidade constante de 60 km/h, e
outros 100 km a` velocidade constante de 80 km/h. Calcule sua velocidade
me´dia em todo o trajeto.
2. Calcule o tempo que um foguete gasta para atingir a velocidade de 12 km/s,
supondo que ele seja lanc¸ado com acelerac¸a˜o igual a cinco vezes a da gravi-
dade.
3. Um carro a` velocidade de 80 km/h aplica os freios, adquirindo uma desacel-
erac¸a˜o constante, parando em 15 s. Calcule sua acelerac¸a˜o negativa.
4. Um corpo e´ lanc¸ado para cima com certa velocidade inicial v0. Demonstre
que o tempo de subida e´ igual ao tempo de descida. Calcule esse tempo e a
altura ma´xima atingida pelo corpo em termos de v0 e g.
5. Um projetil lanc¸ado para cima, na vertical, atinge a altura ma´xima de 2 km.
Calcule sua velocidade inicial.
6. Um projetil e´ lanc¸ado para cima com velocidade de 100 m/s. Determine sua
velocidade 5 segundos apo´s o lanc¸amento; determine a altura ma´xima atingida
e o tempo gasto para atingi-la.
7. Um foguete e´ lanc¸ado segundo a lei hora´ria s = 12t2 m, onde t e´ expresso em
segundos. Calcule a altura do foguete quando ele atingir a velocidade do som
(330 m/s) e o tempo necessa´rio para que isso acontec¸a. Calcule a altura e a
velocidade do foguete um minuto apo´s o lanc¸amento.
8. Um avia˜o, com acelerac¸a˜o constante de am/s2, precisa atingir uma velocidade
cr´ıtica de V m/s para levantar voˆo. Mostre que a pista necessa´ria para isto
deve ter comprimento l, inversamente proporcional a` acelerac¸a˜o, dado por
l = V 2/2a m.
9. Demonstre que a velocidade me´dia de um corpo em movimento uniformemente
acelerado, durante um tempo t, e´ igual a` velocidade instantaˆnea no instante
t/2. Interprete esse resultado graficamente.
10. Mostre que num movimento uniformemente acelerado, vale a relac¸a˜o
v2 − v20 = 2a(s− s0).
Nos Exerc´ıcios 11 a 19, uma part´ıcula se move ao longo de um eixo
com equac¸a˜o hora´ria dada. Encontre as expresso˜es para a velocidade e a
acelerac¸a˜o, descrevendo o movimento da part´ıcula, fazendo, inclusive, uma
representac¸a˜o esquema´tica do que ocorre.
156 – CAP´ITULO 5: TEOREMA DO VALOR M ´EDIO E APLICAC¸ ˜OES
11. s = t2 − 8t+ 12. 12. s = −t2 + 9t− 14. 13. s = t2 + 2t− 8.
14. s = 2t2 − t− 15. 15. s = −3t2 + 10t− 7. 16. s = t3 − 9t2 + 24t+ 1.
17. s = t3/3− t2 − 3t. 18. s = −t3 + 8t2 + 20t. 19. s = 3t5 − 5t3.
1. Na˜o confunda velocidade me´dia com me´dia de velocidades. t = tempo de
percurso:
t =
40
60
+
100
80
=
2
3
+
5
4
=
23
12
horas;
vm =
40 + 100
23/12
=
1680
23
≈ 73 km/h.
2. v = (5g) · t, donde t = 12.000/(5× 9, 8) ≈ 245 s = 4 min 5 s.
3. Substitua os valores nume´ricos (e v = 0) em v = v0 − at. e´ conveniente
transformar km/h em m/s.
a =
80 000
3 600 · 15 ≈ 1, 48 m/s
2
.
4. v = v0 − gt = 0 no fim da subida; enta˜o, t = ts = v0/g. Altura ma´xima
h = v0t− gt
2
2
=
v20
g
− gv
2
0
2g2
=
v20
2g
.
Na descida, h = gt2/2 = v20/2g, donde t = td = v0/g = ts.
5. Seja hmax a altura ma´xima. Como no exerc´ıcio 13, hmax = v
2
0/(2 · g) donde
obtemos v0 =
√
2 · g · hmax e assim, v0 =
√
2· 9, 8 · 2 000 ≈ 197, 99 m/s.
6. Como v = v(t) = v0 − gt enta˜o v(5) = 100− 9, 8 · 5 = 100− 49 = 51 m/s.
Do exerc´ıcio 13 sabemos que hmax = v
2
0/(2 · g) enta˜o
hmax = 100
2/(2 · 9, 8) = 10 000/19, 6≈ 510 m.
O tempo de subida e´ t ≈ 10, 2 s (veja exerc´ıcio 13).
7. v = 24t; t = v/24 = 330/24 = 13, 75 s; h = 12(330/24)2 = 2 268, 75 m.
Um minuto apo´s o lanc¸amento,
v = 24 · 60 = 1 440 m/s, s = 12 · 602 = 43 200 m.
8. t = V/a, l = at2/2 = aV 2/2a2 = V 2/2a.
9. v(t) = v0 + at.
v(t) + v0
2
= v0 + a
t
2
= v
(
t
2
)
.
10. Tire t de v = v0 + at e substitua em s = s0 + v0t+ at
2/2.
SEC¸ ˜AO 5.3: FUNC¸ ˜AO CRESCENTE E FUNC¸ ˜AO DECRESCENTE – 157
11. v = 2t− 8. 12. v = −2t+ 9. 13. v = 2t+ 2.
14. v = 4t− 1. 15. v = −6t+ 10. 16. v = 3t2 − 18t+ 24.
17. v = t2 − 2t− 3. 18. v = −3t2 + 16t+ 20. 19. v = 15t2(t2 − 1).
5.3
Seja f uma func¸a˜o definida em todo o eixo real, num semi-eixo ou em um
intervalo limitado. Diz-se que f e´ crescente se ela varia no mesmo sentido
que a varia´vel independente, isto e´, se f(x) cresce a` medida que x cresce,
e decresce a` medida que x decresce. Em linguagem formal, isso significa:
x < x′ ⇒ f(x) < f(x′).
Figura 5.11
Observe que isso tambe´m equivale a escrever: x > x′ ⇒ f(x) > f(x′).
O importante a notar aqui e´ que x e f(x) variam no mesmo sentido,
isto e´, se a varia´vel independente cresce (ou decresce), a func¸a˜o tambe´m
cresce (ou decresce). O gra´fico de uma func¸a˜o crescente tem um aspecto
ascendente, como ilustra a Fig. 5.11.
A definic¸a˜o de func¸a˜o decrescente e´ ana´loga a` de func¸a˜o crescente:
diz-se que uma func¸a˜o f e´ decrescente se x e f(x) variam em sentidos
contra´rios, isto e´, se x cresce, enta˜o f(x) decresce; e se x decresce, enta˜o
f(x) cresce. Formalmente,
x < x′ ⇒ f(x) > f(x′).
Figura 5.12
Ou ainda,
x > x′,⇒ f(x) < f(x′).
O gra´fico de uma func¸a˜o decrescente tem um aspecto descendente, como
ilustra a Fig. 5.12.
Geralmente lidamos com func¸o˜es definidas em todo o eixo real ou
em intervalos. Uma func¸a˜o pode ser crescente em um ou mais intervalos
de seu domı´nio e decrescente em outros; e´ este o caso da func¸a˜o y = x2,
que e´ decrescente em x ≤ 0 e crescente em x ≥ 0.