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Unisanta - Mecânica Geral - Prof. Damin - Aula n.º_____ - Data ___/____/______ Página nº 43 CENTRO DE MASSA - CENTRÓIDE. Beer e Johnston, 1995 Consideremos, como na figura abaixo, uma placa horizontal. Podemos dividir essa placa em i pequenos elementos. As coordenadas do primeiro elemento são denominadas x1 e y1, as do segundo elemento x2 e y2 etc. Sobre cada elemento age a ação da gravidade, obtemos assim as forças peso ∆P1, ∆P2 e ∆Pi, respectivamente. Essas forças estão orientadas em direção ao centro da terra; porém, para todas finalidades práticas, elas podem ser consideradas paralelas. Sua resultante é uma única força na mesma direção. O módulo P dessa força é obtido pela adição dos módulos dos pesos elementares. ΣFz → P = ∆P1+∆P2+...∆Pi ou seja: ΣΣFz →→ P = ∫∫dp PPZ X Y GG x yo PiPiZ X Y xi yio Momento Axial no eixo Y: ΣΣMy = x.P = ΣΣxi.∆∆Pi Momento Axial no eixo X: ΣΣMx = y.P = ΣΣyi.∆∆Pi Para obtermos as coordenadas do ponto G (baricentro), onde a força P deve ser aplicada, temos: ΣΣMy = xg.P = x1.∆∆P1 + x2.∆∆P2 + xi.∆∆Pi ΣΣMx = yg.P = y1.∆∆P1 + y2.∆∆P2 + yi.∆∆Pi Logo G, tem as coordenadas xg e yg, que são obtidas da forma: G = (xg ; yg ) xg = ∫∫xdp/∫∫dp yg = ∫∫ydp/∫∫dp Unisanta - Mecânica Geral - Prof. Damin - Aula n.º_____ - Data ___/____/______ Página nº 44 Exemplo 13: Uma laje de 5 x 7,5 m suporta cinco colunas que exercem sobre ela as forças indicadas na figura abaixo. Determine o módulo e o ponto de aplicação da única força equivalente às forças dadas 1 m 4 m 2 m 2,5 m 0,5 m 1,5 m 0,5 m 4 N 3 N 7,5 N 6 N 3,5 N Unisanta - Mecânica Geral - Prof. Damin - Aula n.º_____ - Data ___/____/______ Página nº 45 Baricentro - Centro De Gravidade de Figuras Planas: Analogamente podemos usar o mesmo raciocínio para superfícies planas. Trocando a força aplicada pela área, temos: (Murat, S.D.) Nomenclatura utilizada: (A.B.N.T.) Baricentro ou centro de gravidade = G. Eixos baricêntricos = XG e YG. Momentos Estáticos = Msx e Msy. Pontos do baricentro = xg e yg. Área da Figura Plana = A Admitindo a figura plana (acima) posicionada em relação a um par de eixos de referência (X e Y), pode-se definir seu baricentro, de coordenadas (x ; y), como sendo o único ponto da figura plana, que obedece simultaneamente a duas condições: xg = Msy/A yg = Msx/A Da definição acima, pode-se concluir, qualquer que seja a figura plana: Msy = xg.A Msx = yg.A Se a figura plana for composta por diversas figuras básicas, o resultado dos momentos estáticos são a soma algébrica dos momentos das figuras componentes, bem como, a área total da figura composta é a soma das áreas das figuras componentes. yg = yg1.A1+ yg2.A2+ ygi.Ai+ /A1+ A2+ Ai xg = xg1.A1+ xg2.A2+ xgi.Ai+ /A1+ A2+ Ai Nessas condições, qualquer que seja a figura plana, o cálculo de G = (xg ; yg), será: yg = ΣΣMsx(i)/ΣΣA(i) xg = ΣΣMsy(i)/ΣΣA(i) A dx dy dA=dx.dyxgi ygi Y XO Unisanta - Mecânica Geral - Prof. Damin - Aula n.º_____ - Data ___/____/______ Página nº 46 Demonstração, pela definição, do Cálculo do Baricentro: Para um Triângulo: Seja o triângulo retângulo, representado na figura ao lado Calcularemos sua área e momento estático, bem como, seu baricentro. A variação da figura em relação aos eixos serão: 0 < X < b - b.y/a 0 < Y < a Cálculo da Área: Área = ∫∫∫∫dx.dy = ∫∫dx. ∫∫dy = ∫∫(b - b.y/a)dy = b.∫∫dy - ∫∫b.y.dy/a = b.y(0 →→ a) - b.y2/2.a(0 →→ a) Área = b.a - b.a/2 = Área = b.a/2 Da definição de Momento Estático temos: Msy = ∫∫( A) x.dA Msx= ∫∫( A) y.dA Logo, os pontos de baricentro serão: G = (xg , yg). xg = Msy/A = (2/b.a)∫∫x.dx.dy = (2/b.a)∫x.dx.∫dy = (2/b.a)∫ (b-b.y/a)2/2.dy xg = (2/b.a)∫ (b2-2.b2.y/a +(b.y/2)2)/2.dy = (b2.a - b2.a + b2.a/3)/b.a = b2.a/3.b.a = xg = b/3 yg = Msx/A = (2/b.a)∫∫y.dy.dx = (2/b.a)∫dx.∫y.dy = (2/b.a)∫(b.y - b.y2/a).dy yg = (2/b.a).[(b.y2/2) - (b.y3/3.a)]0→a = (2/b.a).[(b.a2/2) - (b.a3/3.a)] = yg = (2.b.a2/2.b.a) - (b.a2.2/3.b.a) = a - 2.a/3 yg = a/3 Y b a dx dy X Unisanta - Mecânica Geral - Prof. Damin - Aula n.º_____ - Data ___/____/______ Página nº 47 BARICENTROS DE ALGUMAS FIGURAS BÁSICAS Figuras Áreas Baricentros Retângulo A = B.H G = (B/2 ; H/2) Triângulo Retângulo A = (B.H)/2 G = (B/3 ; H/3) Quarto de Círculo A = (pipi.R2)/4 G = (4.R/3.pipi ; 4.R/3.pipi) Semi Círculo A = (pipi.R2)/2 G = (0 ; 4.R/3.pipi) Círculo A = pipi.R2 G = (0 ; 0) (Miranda,2000) Unisanta - Mecânica Geral - Prof. Damin - Aula n.º_____ - Data ___/____/______ Página nº 48 Determinar o Baricentro das seguintes Figuras Compostas: (Almeida, 1993). Exemplo 14: (Resolvido) Baricentro: Área da figura composta = 28,27 +(13,5).2 = 55,27 cm2 ou 55,27 x 10-4 m2. G da figura composta: xg = 28,27.(-8/pi) + (13,5).(3).2/ 55,27 = 0,16 cm ou 0,16 x 10-2 m yg = 28,27.(8/pi) + 13,5.(4) + 13,5.(2)/ 55,27 = 2,77 x 10-2 m ou 2,77 cm Preliminares: Separar a figura principal (composta) em figuras planas simples. Calcular as áreas e posição dos baricentros de cada figuras em relação aos eixos de referência X e Y da figura principal. Quarto de Círculo: Área = pi.R2/4 = 28,27 x 10-4 m2 ou 28,27 cm2 xg = -4.R/3.pi = -8/pi yg = 4.R/3.pi = 8/pi Triângulo Superior: Área = B.H/2 = 9.3/2 = 13,5 cm2 xg = B/3 = 3 x 10-2 m ou 3 cm yg = (H/3) + 3 = (3/3) + 3 = 4 cm. Triângulo Inferior: Área = 13,5 cm2 ou 13,5 x 10-4 m2 xg = 3 cm yg = 2.H/3 = 2.3/3 = 2 cm 0u 2 x 10-2 m Exercício 13: (Resolver em Aula) Baricentro: Preliminares: Unisanta - Mecânica Geral - Prof. Damin - Aula n.º_____ - Data ___/____/______ Página nº 49 Exercícios Propostos: (Para estudo). Calcular, para as figuras planas compostas abaixo, o baricentro posicionando os eixos nas figuras: Exercício 14: Resposta: G = (-0,69; 1,37) x 10-2 m Exercício 15: Resposta: G = (1,5; -1,91) cm Exercício 16: Resposta: G = (-0,137; -1,137) cm Exercício 17: Resposta: G = (1,53; 1,24) x 10-2 m Exercício 14:: Exercício 15: (Almeida, 1993) Exercício 16: Exercício 17: (Murat, S.D.)
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